Résumés de cours : Terminale S.

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1 Résumés de cours : Terminle S. Mths-Terminle S. Mr Mmouni : source disponible sur: c Smedi 08 Avril Tble des mtières Nombres complexes. 3. Prtie réelle et imginire d un complexes Conjugué d un complexe Module d un complexe Affixes et imges Ecriture exponentielle Arguments d un complexe non nul Complexes et géometrie plne Eqution du second degré Ses solutions Son signe Asymptotes Asymptote horizontle Asymptote verticle Asymptote oblique Limites Limite d une frction rtionnelle Tbleu des limites Dérivtion Définition

2 5.2 Opértions sur les dérivées Tbleu des dérivées Éqution de l tngente Les vritions de f Exponentielle. 0 7 Équtions différentielles. 7. Éqution différentielle sns second membre Éqution différentielle vec second membre Primitives Définition Tbleu des primitives Notion d intégrle Propriétés des intégrles Logrithme Définition Vritions Propriétés lgébriques Limites usuelles Composée vec un logrithme Logrithme déciml

3 Nombres complexes.. Prtie réelle et imginire d un complexes. z C z = x + iy vec (x, y) R 2 et i 2 =, x s ppelle l prtie réelle de z et se note Re(z), y s ppelle l prtie imginire de z et se note Im(z). On les résultts suivnts : Si A() et B(b) lors AB = b, l distnce entre A et B. En prticulier, z = r est l éqution du cercle de centre A() et de ryon r, et z = z b est l éqution de l méditrice du segment [A, B] tel que A(), B(b) Re(z + z ) = Re(z) + Re(z ) Re(z) = 0 z ir.5 Ecriture exponentielle. Im(z + z ) = Im(z) + Im(z ).2 Conjugué d un complexe. Im(z) = 0 z R z = x iy s ppelle le conjugué de z. On : z + z = z + z. Re(z) = z + z 2 Im(z) = z z 2i.3 Module d un complexe. zz = zz z n = z n n Z z = x 2 + y 2 s ppelle module de z. on : z = z. e iθ = e iθ = e iθ Formules d Euler : Formule de Moivre : cos θ = eiθ + e iθ 2 (cos θ + i sin θ) n = e inθ e iϕ + e iθ = 2 cos ( ) ϕ θ 2 e i ϕ+θ 2 + e iθ = 2 cos ( ) θ 2 e i θ 2 et sin θ = eiθ e iθ 2i z 2 = zz z = z = z zz = z z z n = z n, n Z e iϕ e iθ = 2i sin ( ) ϕ θ 2 e i ϕ+θ 2 e iθ = 2i sin ( ) θ 2 e i θ 2.4 Affixes et imges. z + z z + z Inéglité tringulire Soit z = x+iy et M = (x, y), z s ppelle ffixe de M et M s ppelle l imge de z, on note lors M(z)..6 Arguments d un complexe non nul. On z C z z est de module, donc s ecrit sous l forme = e iθ, z z c est à dire z = re iθ = r(cos θ + i sin θ) vec r = z cette écriture s ppelle 3

4 forme trigonométrique de z, les réels θ stisfisnt cette reltion s ppellent des rgument de z et se notent rg(z), ils sont tous égux modulo 2π. rg(zz ) rg(z) + rg(z ) [2π] rg(z) rg ( z) rg(z) [2π] z R rg(z) 0 [π] z ir rg(z) π 2 [π].7 Complexes et géometrie plne..7. Propriétés. Si A(), B(b), C(c), lors : ( AB, ( ) c AC) rg [2π]. b A, B, C lignés c b R. AB AC c b ir. 4 points M i (z i ) vec i 4 sont cocycliques ou lignés si et seulement z 3 z z leur birpport 3 z 2 z 4 z est un nombre réel. z 4 z 2 L trnsformtion z z tel que z = z + est l trnsltion de vecteur OA où A est le point d ffixe. L trnsformtion z z tel que z w = k(z w) est l homothetie de rpport k et de centre ω, le point d ffixe w. L trnsformtion z z tel que z w = e iθ (z w) est l rottion d ngle θ et de centre ω, le point d ffixe w. 4

5 2 Eqution du second degré. x 2 + bx + c = 0 s ppelle éqution du second degré, son descriminnt est = b 2 4c 2. Ses solutions. Les solutions sont : Si < 0 : x + Signe de Signe de c x 2 + bx + c x = b, x 2 = b si > 0 x = b 2 si = 0 z = b i, z 2 = b + i 2 2 si < Son signe. Son signe est résumé dns les tbleu suivnts : Si > 0 : x x x 2 + Signe de Signe de 0 Signe de 0 Signe de x 2 + bx + c Si = 0 : x b 2 Signe de Signe de 0 Signe de x 2 + bx + c + 5

6 3 Asymptotes. 3. Asymptote horizontle. Si lim f(x) = b, lors l droite d éqution : y = b est un symptote x horizontle à l courbe. 3.2 Asymptote verticle. Si lim f(x) =, lors l droite d éqution : x = est un symptote verticle à l courbe, en générl est une extrémité du domine de définition de x f. 3.3 Asymptote oblique. Si lim f(x) (x + b) = 0, lors l droite d éqution : y = x + b est un x symptote oblique à l courbe. Pour étudier l postion de l courbe pr rpport à celle de son symptote, on étudie le signe de f(x) y : Si f(x) y 0 u voisinge de, lors C f est en dessus de son symptote. Si f(x) y 0 u voisinge de, lors C f est en dessous de son symptote. 6

7 4 Limites. 4. Limite d une frction rtionnelle. n x n n x n lim = lim x b m x m b 0 x b m x m 4.2 Tbleu des limites. Somme Produit Quotient Rpport Limites possible l + (+ ) = + l (+ ) = l + ( ) = l ( ) = (+ ) = + + ( ) = + + ( ) = ( ) = + l (+ ) = + si l > 0 l (+ ) = si l < 0 l ( ) = si l > 0 l ( ) = + si l < 0 + (+ ) = + + ( ) = ( ) + + = 0, = 0 0 = +, + 0 = l + = 0 si l 0 l = 0 si l 0 + = + si l > 0 l + = si l < 0 l = si l > 0 l = + si l < 0 l + + = = = = + Formes indetérminées + (+ ) + + ( ) + (+ ) (+ ) 0 (+ ) 0 ( )

8 5 Dérivtion. 5.3 Tbleu des dérivées. 5. Définition Situtions simples. f(x) f() On dit que f est dérivble u point si et seulement si lim x x est finie, on pose lors : f f(x) f() () = lim x x L fonction S dérivée L fonction S dérivée k (Constnte) 0 x 5.2 Opértions sur les dérivées. x n nx n x x 2 n x x n x n+ 2 x cos(x) sin(x) sin(x) cos(x) (u + v) = u + v (uv) = u v + uv ( v ) = v v 2 ( u v ) = u v uv v 2 tn(x) = sin(x) cos(x) cos 2 (x) = + tn2 (x) 8

9 5.3.2 Situtions composées. L fonction S dérivée L fonction S dérivée u n nu u n u u u 2 u n nu u n+ u u 2 u cos(u) u sin(u) sin(u) u cos(u) tn(u) = sin(u) cos(u) u cos 2 (u) = u ( + tn 2 (u)) 5.4 Éqution de l tngente. L éqution de l tngente à l courbe de f u point est : 5.5 Les vritions de f. : y = f ()(x ) + f() Si f 0 sur [, b], lors f est croissnte sur [, b]. Si f > 0 sur [, b], lors f est strictement croissnte sur [, b]. Si f 0 sur [, b], lors f est décroissnte sur [, b]. Si f < 0 sur [, b], lors f est strictement décroissnte sur [, b]. 9

10 6 Exponentielle. Définition. L fonction exponentielle, est l unique fonction dérivble sur R, notée exp, dont l dérivée est elle même, et qui prend l vleur en 0 exp = exp exp(0) = On vérifie que exp() = 2, 7, qu on noter dns l suite e, on lors : Propriétés. e = 2, 7 et exp(x) = e x pour tout réel x e 0 = e 0 e = e b = b e e b b e +b = e e b e b = e b e e b = e b e p = (e ) p pour p Z (e x ) = e x (e u ) = u e u e x lim x 0 x = lim x + ex = + lim x ex = 0 e x lim x + x = + lim x xex = 0 0

11 7 Équtions différentielles. 7. Éqution différentielle sns second membre. L solution générle de l éqution différentielle y = y est : f(x) = ke x 7.2 Éqution différentielle vec second membre. L solution générle de l éqution différentielle y = y + b est : f(x) = ke x b où k est un constnte qu on peut déterminer si on connit une condition initile de type y(x 0 ) = y 0.

12 8 Primitives. 8.2 Tbleu des primitives Situtions simples. 8. Définition. On ppelle primitive de f sur un intervlle I, toute fonction F, dérivble sur I telle que : L fonction S primitive L fonction S primitive F = f k (Constnte) kx x x 2 2 x n x n+ n + x 2 x Remrque. Si F est une primitive de f sur I, toutes les utres primitives de f s écrivent sous l forme : x n x (n )x n 2 x cos(x) sin(x) sin(x) cos(x) F + c où c est une constnte. cos 2 (x) tn(x) e cx c ecx e x e x x ln( x ) 2

13 8.2.2 Situtions composées. L fonction S primitive L fonction S primitive u u n u n+ n + u u 2 u u u n u (n )u n u 2 u u cos(u) sin(u) u sin(u) cos(u) u cos 2 (u) tn(u) e cx c ecx u e u e u u u ln( u ) 3

14 9 Notion d intégrle. Si f est continue sur [, b], son integrle sur [, b] est le nombre réel noté f(t) dt, défini pr : f(t) dt = F (b) F () où F est une primitive de f sur [, b] F (b) F () est souvent noté pr [F (t)] b, crochet de F sur [, b]. 9. Propriétés des intégrles. c f(t) dt = f(t) dt = 0 et f(t) dt + b c b f(t) dt = f(t) dt. Reltion de Chsles. L vleur moyenne de f sur [, b] est b (f(t) + g(t)) dt = cf(t) dt = c f(t) dt. Si f 0 sur [, b], lors Si f 0 sur [, b], lors Si f g sur [, b], lors u v = [uv] f(t) dt + b b f(t) dt 0. f(t) dt 0. f(t) dt 0 f(t) dt. b g(t) dt. g(t) dt. uv. Intégrtion pr prties. f(t) dt. L ire, (l surfce) de l prtie située entre l xe des bscisses et l courbe de f sur [, b] est : A = f(t) dt. 4

15 0 Logrithme. 0.3 Propriétés lgébriques. 0. Définition. Le logrithme néperien, est l fonction notée ln définie sur ]0, + [, comme étnt l fonction réciproque de exp qui s nnule en, utrement dit : ln(b) = ln + ln b ln( p ) = p ln ln ( ) = 2 ln ln ( ) ( ) = ln b ln = ln ln b b b Le domine de définition de ln est ]0, + [ ln x existe si x > Limites usuelles. L dérivée de ln est x (ln x) = x ln est l primitive de x qui s nnule en x dt = ln x 0 t ln = 0 ( ) ln x lim = lim (x ln x) = 0 x x x 0 lim x + ( ) ln x = 0 x 0.2 Vritions. ln est strictement croissnte ln x < ln y x < y ln x < 0 0 < x < ln x > 0 x > ln est bijective sur ]0, + [ ln x = ln y x = y ln x < 0 x = 0.5 Composée vec un logrithme. Théorème. Si u est une fonction dérivble et strictement positive sur ]0, + [, lors : (ln u) = u u Théorème 2. Si u est une fonction dérivble, qui ne s nnule jmis sur ]0, + [, lors l primitive de u u est : ln u si u(x) > 0 pour tout x > 0. ln u si u(x < 0 pour tout x > 0. 5

16 0.6 Logrithme déciml. C est l fonction définie sur ]0, + [ pr l formule Fin. log x = ln x ln 0 6

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