Premier ordre. En BF, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, on reconnaît un pont diviseur de tension et u s =

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1 TD E 7 oection PSI TAVAUX DIIGÉS E 7 Pemie ode Execice : Filte électique du pemie ode Soit le cicuit epésenté ci-dessous et pou lequel u e est une tension sinusoïdale de pulsation et la tension de sotie.. Détemine, sans calcul, la natue du filte.. Détemine l expession de sa fonction de tansfet H(j). 3. Tace les diagammes de Bode. ue L us oection au tableau. Execice : Filte électique du pemie ode. Soit le cicuit epésenté ci-conte et pou lequel u e est une tension sinusoïdale de pulsation et la tension de sotie. α peut vaie ente et 0, kω et µf.. De quel type de filte s agit-il?. Détemine la fonction de tansfet H de ce filte et la mette sous la fome H G 0. Pécise la signification de G +j 0 et Tace le diagamme de Bode en amplitude pou α puis α 0 su la même figue. 4. alcule l impédance d entée Z e de ce filte. α ue. Pou détemine la natue du filte, on tace le cicuit équivalent en basses féquences et en hautes féquences (figues ci-dessous à gauche). α ue En basses féquences us α ue En hautes féquences α u Z e i α e u Z éq e En BF, le condensateu se compote comme un inteupteu ouvet, on econnaît un pont diviseu de tension et u α+ e d où un gain en tension G us u e <. +α En HF, le condensateu se compote comme un inteupteu femé, 0 et G 0. On a donc affaie à un filte passe bas du pemie ode.. En égime sinusoïdal focé, on tace le cicuit en utilisant la notion d impédance (figues ci-dessus à doite). On peut se amene à un pont diviseu de tension en associant en paallèle et Z d impédance équivalent Z éq avec Y Y éq + j et on a alos : éq H(j) u e Z éq Z éq + α + αy éq + α + jα ( + α)( + j α +α ) et pa identification avec la fome G 0 +j 0, on en déduit G 0 +α le gain statique et 0 +α α la pulsation de coupue du filte.

2 TD E 7 oection PSI Diagamme de Bode en amplitude : Pou α, on a G G 0 d où,0 0 log G 0 6,0 db pou 0 03 ad.s soit log 0 3,0 puis G d B décoît avec une pente de -0 db / décade. Pou α 0, G G 0 d où G db,0 0 log G 0 db pou ad.s soit log 0,7 puis G d B décoît avec une pente de -0 db / décade α log 0 α omme le filte est en sotie ouvete, Z e u e i e αi e + Z éq.i e i e α + Z éq α + Z Z + α + + Y α + + j Execice 3 : Filte électique du pemie ode. Soit le cicuit epésenté ci-dessous et pou lequel u e est une tension sinusoïdale de pulsation et la tension de sotie.. Détemine, sans calcul, la natue du filte.. Détemine l expession de sa fonction de tansfet H(j). 3. La mette sous la fome H(j) H 0 avec H H 0 G 0 ( + j 0 ) et H + j. On donnea les expessions de G 0, 0 et. ue 4. Tace les diagammes de Bode asymptotiques de H 0 et H su le même gaphe (un gaphe pou les gains et un gaphe pou les phases). On penda : 0 kω,, kω et 0, µf. 5. En déduie les diagammes de Bode du filte. us ue Figue : BF us ue Figue : HF us Z ue Figue 3 : SF us Z éq ue Figue 4 us. Natue du filte : En basses féquences (figue ), d apès la fomule des ponts diviseus de tension, u + e G < mais difféent de 0. + En hautes féquences (figue ), la tension aux bones de est nulle d où u e et G G max. On a donc à pioi un compotement du type "mauvais" passe haut.

3 TD E 7 oection PSI On se amène à un pont diviseu de tension (figues 3 et 4) avec Y éq + j pou écie H u e + Z éq Y éq + Y éq + j + j + + j + + j On peut véifie la cohéence avec la éponse à la question pécédente. 3. On cheche à écie sous la fome H(j) G 0(+j 0 ) +j, il faut donc faie appaaîte au numéateu et au dénominateu. Pou cela, on met et + en facteu : H + j + + j ( + j) ( + )( + j + + j + + j G + j/ j/ + avec G 0, + 0 et + > On calcule ad.s log 0 3, 0 4 ad.s log 4 et G 0 0, d où 0 log G 0 0 db. Diagammes de Bode asymptotiques de H 0 Pou 0, H 0 G 0 G 0,dB 0 log G 0 0 db et ϕ Pou 0, H 0 jg 0 0 G 0,dB 0 log G log 0 (asymptote de pente de +0 db/décade) et ϕ 0 π. On pocède de même pou H : Pou, H G,dB 0 db et ϕ 0. Pou, H j G,dB 0 log (pente de +0 db/décade) et ϕ π. ϕ, log ϕ ϕ 0, log 5. Gaphiquement, on tace les diagammes de Bode du filte en utilisant G 0,dB G,dB et ϕ ϕ 0 ϕ. Second ode ϕ 0 Execice 4 : Filte L On pend 0 4 Ω, L 0, H et 0, µf.. Détemine, sans aucun calcul, la natue du filte epésenté ci conte.. Détemine sa fonction de tansfet. 3. Tace ses diagammes de BODE. i L ue us. Pou détemine la natue du filte, on étudie son compotement asymptotique. u 0 u u e i 0 u 0 u 0 i 0 I L ue Basses Féquences ue Hautes Féquences Z U Z e L Notation complexe U s 3

4 TD E 7 oection PSI On epésente le cicuit en basses féquences ( est équivalent à un inteupteu ouvet, L à un inteupteu femé : figue ci-dessus à gauche). On a donc 0 d où un gain nul. En hautes féquences (L est équivalent à un inteupteu ouvet et à un inteupteu femé : figue ci-dessus au cente). omme l intensité est nulle dans toutes les banches, on a ici (loi des mailles) u e soit U e et le gain est de. On en déduit que le filte est un filte passe haut decond ode.. On epésente le cicuit en égime sinusoïdal focé et en faisant appaaîte les impédances complexes. Tous les dipôles sont pacouus pa le même couant et on peut applique la fomule des ponts diviseus de tension : H(j) u e Z L + Z + Z L jl + jl + j L(j) j L + x x + j x Q avec ici 0 L 0 5 ad.s et Q 0 0, <. 3. Pou tace les diagammes de Bode, on commence pa le tacé asymptotique puis on complète pa la valeu en x. En basses féquences, x et H x 0 40 (pente de 40 db/décade) et ϕ π. En x, H j/q jq 0 log Q 0 db et ϕ π. En hautes féquences, x et H x x 0 et ϕ 0. On en déduit les tacés suivants : 0 3 ϕ π 40 π 60 Execice 5 : Filte de Wien. Quelle est la natue du filte de WIEN epésenté ci-conte?. Établi sa fonction de tansfet H(j) et la mette sous la fome H(j) K + jq(x x ) avec x 0 où K, 0 et Q sont des constantes positives que l on explicitea et dont on donnea la signification physique. 4 0 ue

5 TD E 7 oection PSI alcule la valeu maximale du gain en db de ce filte et la phase coespondante. Quelle est sa bande passante? 4. Tace l allue du diagamme de BODE de ce filte.. Natue du filte : étudions le compotement du filte en basses féquences BF (figue ci dessous à gauche) et en hautes féquences HF (figue au cente). En BF, le condensateu se compote comme un inteupteu ouvet alos qu en HF, il est équivalent à un inteupteu femé. v e 0 i s 0 0 v s 0 0 v e i s 0 Dans les deux cas, v s 0, on a donc affaie à un cicuit passe bande (decond ode). v s 0. En posant Z l impédance du dipôle équivalent à l association en séie de et et Z celle de l association en paallèle, on econnaît un pont diviseu de tension pou lequel v e (t) i s 0 H v s v e v s (t) Z Z + Z Z.Y + Z v e (t) Z i s 0 avec Z + et Y j +j, d où Z.Y (+ ).( +j) +j+ +. j j v s (t) H 3 + j + j 3[ + j + ] /3 [ 3 3j + j 3 ] K + jq [ x x ] avec 0 la pulsation de ésonance, x 0 la pulsation éduite ; Q le 3 facteu de qualité et K le gain maximum (à la ésonance) En x, H K. Pa définition, le gain en décibel est 0 log( H(x) ) et quand x, (max) 0 log K 0 log 9,54 db et ϕ 0. 3 La bande passante est 0 3. Q 4. Pou tace les diagammes de Bode, on commence pa le tacé asymptotique puis on complète pa la valeu en x (déjà connue) En basses féquences, x et H db/décade) et ϕ π. K jx K jx G jq/x Q db 0 (pente de +0 En hautes féquences, x et H K jqx j/x 0 (pente de 0 db/décade) et ϕ π. On en déduit les tacés suivants : 5

6 TD E 7 oection PSI ϕ π Execice 6 : Filte passif d ode On considèe le filte de la figue ci-dessous.. Détemine le compotement asymptotique du filte, en déduie le type de filte dont il s agit.. Détemine sa fonction de tansfet et la mette sous la fome canonique H(jx) U s U e U s U. U U e G 0 x + j x Q π ue u avec x 0, G 0 une constante et Q le facteu de sutension à détemine. 3. Tace le diagamme de BODE du filte. ue u Basses Féquences us ue u Hautes Féquences A Z Z U e U Notation complexe U s. On epésente le cicuit en basses féquences ( est équivalent à un inteupteu ouvet : figue ci-dessus à gauche). omme l intensité est nulle dans toutes les banches, on a ici (loi des mailles) u e soit u e et le gain est de. En hautes féquences ( est équivalent à un inteupteu femé : figue ci-dessus au cente). On alos 0 d où un gain nul. On en déduit que le filte est un filte passe bas decond ode.. On epésente le cicuit en égime sinusoïdal focé et en faisant appaaîte les impédances complexes. omme le suggèe l énoncé, on décompose ensuite l expession de H en utilisant U. Les deux dipôles situés à doite sont pacouus pa le même couant et on peut applique la fomule des ponts diviseus de tension : U s Z Z + U U + Y U + j U + jx U ( + jx)u s este maintenant à lie U à U e et Us. Pou cela, on peut utilise une loi des nœuds en temes de potentiels au nœud A apès avoi posé la masse : U e U +0 U Z + U s U 0 U e U ju+u s U 0 U U e + U s + j U e + U s + jx On pouvait aussi obteni pa application du théoème de Millman : U U e /+0.Y +U s / /+Y +/. 6

7 TD E 7 oection PSI Des deux expessions de U pécédentes, on déduit U ( + jx)u s U e + U s + jx ( + jx)( + jx)u s U s + U e H U s U e x + 3jx et pa identification avec la fome canonique, H on en déduit Q. x +j x 3 Q 3. Pou tace les diagammes de Bode, on commence pa le tacé asymptotique puis on complète pa la valeu en x. En basses féquences, x et H 0 et ϕ 0. En x, H j/q jq 0 log Q 0 log 0,33 9,6 db et ϕ π. En hautes féquences, x et H G x db 0 log 40 (pente de 40 x db/décade) et ϕ π. On en déduit les tacés suivants : 0 ϕ 40 π 60 Execice 7 : Filte en double T. On considèe le filte suivant en sotie ouvete : i s 0.. De quel type de filte s agit-il?. Détemine sa fonction de tansfet H(j). On posea x. 3. Tace l allue de son diagamme de BODE en amplitude et en phase. 3 π E A B ue S i s 0 us. Pou détemine la natue du filte, on étudie le compotement asymptotique : E A B ue S i s 0 us Basses féquences E A B ue S i s 0 us Hautes féquences Z Z E A B ue Z S i s 0 us égime sinusoïdal focé Aux basses féquences, les condensateus se compotent comme des inteupteus ouvets (figue ci-dessus à gauche). L application de la loi des nœuds en S, B puis A monte qu aucun couant ne tavese les ésistos de ésistance. En écivant une loi des mailles, on a u e u e d où un gain de. 7

8 TD E 7 oection PSI En hautes féquences, les condensateus se compotent comme des inteupteus femés (figue ci-dessus au cente). En écivant une loi des mailles, on a u e u e d où un gain de. Le filte étudié est donc un filte déphaseu ou un éjecteu de bande.. Pou effectue le calcul de la fonction de tansfet H u e, on epoduit le cicuit équivalent en égime sinusoïdal focé (figue ci-dessus à doite). Il n y a ni pont diviseu de tension, ni pont diviseu de couant et pou évite d intoduie des intensités inconnues (sauf i s 0), on peut utilise le théoème de Millman ou des lois des nœuds en temes de potentiels. La masse est déjà posée dans le cicuit et v s 0 0 de même, u e v e. Loi des nœuds en teme de potentiels en S : v A u S Z + v B u S + i S 0 u S v A Z + v B Z + jv A + v B / j + / jxv A + v B jx + éq () On etouve l expession du théoème de Millman appliqué en S avec x la pulsation éduite (équation ()). De même pa application de la loi des nœuds en temes de potentiels ou diectement le théoème de Millman en A : v e v A Z + 0 v A / + v s v A Z 0 v A Y.u A + /.0 + Y. Y + / + Y jxu e + jx jx + éq () Enfin, l application de la loi des nœuds en temes de potentiels ou diectement le théoème de Millman en B : v e v B + 0 v B Z + v s v B 0 v B u e/ + Y.0 + / / + Y + / u e + jx + éq (3) En epotant les équations () et (3) dans (), on obtient : jx + jx.jx( + u e ) + ( + jx) + jx. u e + ( + jx) ( + jx) x (u e + ) + u e + ( + 4jx x + x ) u e ( x ) H u e x x + 4jx x x + j x Q On econnaît la fonction de tansfet d un filte coupe bande de facteu de qualité Q Pou tace les diagammes de Bode, on commence pa le tacé asymptotique et en x. En basses féquences, x et H 0 et ϕ 0. En hautes féquences, x et H x x 0 et ϕ 0. En x, H ϕ ag(h) ag( x ( x ) + x Q x x +j x Q 0 et tend ves selon une asymptote veticale. ) ag( x ) ag( x + j x Q ) avec ag( x ) 0 si x < et ag( x ) π si x >. Si x, ϕ 0 ag( j Q ) π et si x +, ϕ π ag( j Q ) π. On en déduit les tacés suivants : 8

9 TD E 7 oection PSI π ϕ Execice 8 : Identification d un quadipôle Un dipôle est constitué d une ésistance, d une inductance et d une capacité. es tois composants sont épatis de manièe inconnue ente D et D. Si on alimente le cicuit avec une tension continue E 5 V, on mesue i 5 ma. Si on alimente le cicuit avec une tension sinusoïdale, on s apeçoit qu il s agit d un filte passe-bande de féquence de ésonance f 0,6 khz et de bande passante à 3 db de 0,34 khz. Détemine la stuctue complète du cicuit et les valeus numéiques de, L et. π i D ue D us epenons les hypothèses de l énoncé : En égime pemanent i 5 ma alos qu un condensateu est équivalent à un inteupteu ouvet en égime continu. On en déduit que ni D ni D ne peut ête constitué d un condensateu seul, c est à die que n est pas su la banche pincipale mais en déivation avec ou L dans D ou D. Le filte constitué est un passe bande, ce qui signifie que la tension aux bones de D doit s annule en basses féquences et hautes féquences. D doit donc équivalent à un inteupteu femé en hautes féquences et en basses féquences, il ne peut s agi ni de seule ni de en paallèle avec ni de L seul. Le seul cicuit possible est donc celui epésenté ci-dessous à gauche. L ue Filte us L ue Basses Féquences us L ue Hautes Féquences us u Z e Filte en SF On véifie le compotement asymptotique. Pou détemine la valeu de, on applique la loi de Pouillet au cicuit en égime continu : i E E i Ω On expime ensuite la féquence de ésonance et la bande passante en fonction de, L et. Pou cela, il faut détemine 0 et Q la pulsation de ésonance et le facteu de qualité du filte. On calcule donc la fonction de tansfet H du filte puis on identifie avec une fome canonique. Su la figue ci-dessus à doite, on econnaît un pont diviseu de tension pou lequel Y + j et jl Z + Z u e.y + u e H + + j + jq(x ) + jq( jl x 0 0 ) Z 9

10 TD E 7 oection PSI avec pa identification Q 0 Q 0 et Q 0 L d où 0 L 0 L et Q 0 L. Pou un filte passe bande, 0 Q et ici, on en déduit L L. π f 468 nf puis 0 L L 4π f 0 Mise en situation 40 mh Execice 9 : TNT vs 4G La tansmission de la TNT se fait via des ondes électomagnétiques contenues dans ce que l on appelle la bande UHF (Ulta Haute Féquence). ette bande est la bande de féquences contenue ente 300 Mhz et 3000 Mhz. Les chaines TV sont émises su plusieus canaux (ou bande de féquences) numéotés de à 69. La figue pécise la féquence de chaque canal (en fait pou chaque canal il y deux féquences : une pou le son et une pou l image). FIGUE Liste des canaux UHF. es féquences peuvent vaie de Mhz selon les besoins des diffuseus (notamment afin d évite les bouillages). Depuis Décembe 0, les canaux de 6 à 69 ne sont plus alloués à la télévision mais à la téléphonie, plus pécisément au éseau 4G. Dès los, plusieus utilisateus se sont plaints de ne plus ecevoi coectement la TNT. En effet, les filtes des décodeus TNT ne sont pas suffisamment sélectifs et laissent passe les signaux pésents su les canaux au-delà du 6 ieme. Pou palie à ce poblème, il est ecommande d installe un filte ejecteu de 4G ente l antenne éceptice et le décodeu TNT.. De quel type est le filte ejecteu de 4G?. On souhaite atténue d un facteu 0 l amplitude dignal pésent su le canal 6. Tace l allue du diagamme de Bode en amplitude de ce filte. 3. Quel doit ête l ode minimal du filte? ommentez. 0

11 TD E 7 oection PSI Passe-bas. diagamme de Bode d un passe bas Ode 5 : c est compliqué donc ce filte coute che (0 euos). Execice 0 : Filtage d un signal sonoe Attention à détaille les aisonnements, cet execice a été donné en DS et un plus gand nombe de points était donné pou le aisonnement que pou le ésultat. Ainsi, un ésultat non justifié ne appote que tès peu de points. Pou analyse les composantes féquentielles d un signal sonoe (analyse des phonèmes du langage pa exemple), on utilise un tansducteu (micophone) qui convetit le signal en une tension v e puis un filte passe-bande qui extait les composantes sinusoïdales de v e de féquences voisines d une féquence f 0 donnée. On note v s la tension de sotie du filte. Le filte est un cicuit linéaie dont la fonction de tansfet s écit : F(j) v s v e F 0 + jq ( ) 0 0 On se popose de détemine les caactéistiques F 0, Q et 0 du filte à pati des oscillogammes obtenus en égime péiodique pou une tension d entée v e ectangulaie pou deux valeus de féquences. On appelle la décomposition en séie de Fouie de v e (t) dans le cas où v e (t) est péiodique de péiode T avec : pou 0 t T/, v e (t) V 0, pou T/ t T, v e (t) 0, v e (t) V 0 ( + π k0 ) (k + ) sin[(k + ) t] avec π T Pemièe expéience : voies et en position D, base de temps : 50 µs pa caeau, sensibilités : voie (en gas) : 0,5 V pa caeau, voie : V pa caeau, Dans cette expéience : la tension v s obtenue est quasisinusoïdale, si on augmente la féquence de v e pa appot à la valeu coespondant à cet oscillogamme, on constate que l amplitude de v s diminue, si, pa appot à cette même féquence, on diminue légèement la féquence de v e, on constate que l amplitude de v s diminue également. Deuxième expéience :

12 TD E 7 oection PSI voies et en position D, base de temps : 5 µs pa caeau, sensibilités : voie (en gas) : V pa caeau, voie : 0, V pa caeau. Dans ce qui suit, on ne demande pas de calculs d incetitudes mais les mesues devont ête faites avec soin (tous les ésultats devont ête obtenus avec une incetitude elative inféieue à 0%).. Pouquoi, dans chaque expéience, la tension de sotie v s ne compote-t-elle pas de composante continue contaiement à la tension d entée v e?. Pemièe expéience : pouquoi peut-on obteni une tension de sotie v s quasi-sinusoïdale alos que la tension v e est ectangulaie? 3. Déduie de l oscillogamme de la pemièe expéience et du commentaie qui l accompagne : (a) la pulsation 0, (b) la valeu de F Dans la deuxième expéience, v s est tiangulaie alos que v e est ectangulaie. Le filte a un compotement intégateu. (a) Donne l expession appochée de F(j) dans le domaine de féquence coespondant à la deuxième expéience. (b) En utilisant l oscillogamme de la deuxième expéience, détemine, en justifiant pécisément la méthode utilisée, le appot F 0 0 (on se souvienda, cf. question., que la Q composante continue de v e n est pas intégée). En déduie la valeu de Q. e poblème est tombé aux concous. Il est tès intéessant et pemet de voi si vous avez compis le filtage. Il est impotant de compende que pou chaque féquence v s () F(j)v e (). lim. ompte tenu de la fonction de tansfet, le filte est un passe-bande ( lim F(j) 0 0 F(j)). La composante continue coespondant à 0, la fonction de tansfet s annule et la composante continue dignal de sotie vaut F(j0) V Le filte étant passe bande, s il est tès sélectif il est possible d isole une seule composante dpecte de v e pa appot aux autes qui seont fotement atténuées. On peut le voi pa exemple ci-dessous avec un filte passe-bande de gain G() et un specte d entée d un signal non sinusoïdal.

13 TD E 7 oection PSI c n () c n () G() Specte dignal d entée et gain du filte Specte dignal de sotie 3. Les deux signaux étant de même féquence, le filte passe-bande sélectionne le fondamental de v e. Le commentaie accompagnant l oscillogamme nous indique que l on est pile à la féquence de ésonance. La péiode dignal est de 5 caeaux, soit T 50 µs. (a) On en déduit puisque 0 π que T ad/s. Il était indispensable de justifie que 0 dans la pemièe expéience, sinon, il n y a aucune aison pou que la mesue de vous donne une infomation su 0. (b) Pou cela, il faut touve l amplitude du fondamental, soit en utilisant la décomposition donnée c (v e ) V 0 π (coespondant à k 0 dans la somme). Ici, V 0 V ( caeaux à V/div). Puis l amplitude dignal de sotie est c (v s ) F(j 0 ) c (v e ) F 0 c (v e ). On lit su le gaphique l amplitude dignal de sotie est de 3 caeaux soit 6 V. Soit F 0 c (v s) c (v e) 6 π 9,4. F(j) est le appot ente les amplitudes à. Ici, il ne faut donc pas pende diectement les amplitudes des signaux qui mélangent plusieus pulsations, mais l amplitude à une seule féquence, 0. De plus F 0 est sans dimension et sans unité. 4. (a) Le temps pa division est plus petit que dans la pemièe expéience, on a donc > 0. De plus, le compotement est intégateu, ce qui evient à faie, ce qui est cohéent j avec 0 compte tenu de la fonction de tansfet. On a donc F(j) 0F 0 jq (b) On a donc v s 0F t ( 0 v e (t ) V ) 0 dt. On soustait la valeu moyenne puisque Q 0 l énoncé nous indique qu elle n est pas intégée, confomément à ce qui a été vu plus tôt. Su les deux pemies caeaux et demi, v e V 0 st V. D où v s (t) 0F 0 (st Q t v e (t 0)) La pente du tiangle coespond donc à 0F 0 st. On mesue su le gaphique que Q l on monte de 6 caeaux losque l on avance de,5 caeaux, soit une pente de p,/,5 0,096 V/µs ou encoe p V/s D où 0F 0 Q p st ad/s. On en déduit Q 0F 0 st 9, Q 4,9. 3