Correction (ou réponses rapides) de la feuille TD 5 : probabilités continues

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1 Université de Nice-Sophi Antipolis -L2 MASS - Probbilités Correction (ou réponses rpides) de l feuille TD 5 : probbilités continues Attention, l correction peut contenir des erreurs de clcul. Ecrivez-moi si vous ne comprenez ps. Exercice 1 : Clculer l fonction de réprtition d une vrible létoire X de loi uniforme sur ]0, 1[. Quelle est l probbilité que X soit dns l intervlle ]1/4, 3/4[, dns l intervlle [1/2, 3], dns l intervlle ] 5, 1/3]? F X (x) 0 si x < 0 F X (x) x si 0 x < 1 F X (x) 1 si x 1 P(X ]1/4, 3/4[) 1/2 ; P(X ]1/2, 3[) 1/2 ; P(X ] 5, 1/3[) 1/3 Exercice 2 : Clculer l fonction de réprtition de l loi exponentielle de prmètre λ > 0. C est du cours! F (x) 0 si x < 0, F (x) 1 e λx si x 0. Exercice 3 : Etnt donnée une vrible létoire X de loi uniforme sur ]0, 1[, donner l loi de l vrible λx + µ pour λ et µ deux réels. Méthode. On écrir, pour < b, P{ λx + µ b}, comme l intégrle entre et b d une fonction de densité. On utiliser pour cel le chngement de vrible y λx + µ. On pose Y λx + µ (Y est une vrible létoire). On suppose λ > 0 (sinon il fut juste fire ttention ux bornes des intégrles). Pr définition de l densité de Y, notée f Y, on Pr illeurs : P(Y [, b]) b f Y (y)dy P(Y [, b]) P(λX + µ [, b]) P(X [( µ)/λ, (b µ)/λ] (b µ)/λ ( µ)/λ b f X ((y µ)/λ)dy/λ

2 On utilisé un chngement de vrible dns l dernière églité. Cette églité est vrie pour tous et b. En comprnt vec l définition de f Y, on voit donc que f Y (y) f X ((y µ)/λ)/λ Donc f Y (y) 0 si y < µ, f Y (y) 0 si y > µ + λ, f Y (y) 1/λ sinon. Y est donc une v.. de loi uniforme sur l intervlle [µ, µ + λ]. Exercice 4 Etnt donnée une vrible létoire X de loi exponentielle de prmètre 1, donner l loi de λ 1 X, pour λ réel strictement positif. Méthode. On écrir, pour < b, P{ λ 1 X b}, comme l intégrle entre et b d une fonction de densité. On utiliser pour cel le chngement de vrible y λ 1 x. Même méthode. On pose Y X/λ. Comme à l exercice précédent, on en déduit P(Y [, b]) P(X/λ [, b]) P(X [λ, λb] λb λ b f Y (y) f X (λy)λ f X (λy)dy λ Donc f Y (y) 0 si y < 0, et f Y (y) λe λy si y 0. Donc Y est une v.. de loi exponentielle de prmètre λ. Exercice 5 Etnt donnée une vrible létoire X de loi gussienne centrée réduite, i.e. de loi de densité x R 1 exp ( x2 ). 2 donner l loi de m + σx, pour m réel et σ réel strictement positif. Méthode. On écrir, pour < b, P{ m + σx b}, comme l intégrle entre et b d une fonction de densité. On utiliser pour cel le chngement de vrible y m + σx. C est encore le même principe; on trouve que Y m + σx est une v.. de loi N (m, σ 2 ). Exercice 6 Une mchine-outil débite des plques crrées dont le côté, mesuré en centimètres, est une v..

3 X de loi U([9, 11]).. Donner l densité de probbilité de l vrible létoire S représentnt l surfce d un crré. On S X 2. Toujours l même méthode pour clculer l densité de S. Bien sûr, S ne prend que des vleurs positives. Soient donc et b positifs; on : P(S [, b]) P(X 2 [, b]) P(X [, b] b b f X ( y)dy/(2 y) On en déduit que f Y (y) 1/(4 y) si y [9 2, 11 2 ], et 0 sinon. b. En utilisnt le., clculer l probbilité qu un crré it une surfce u moins égle à 110 centimètre crrés. P(S 110) dy 4 y [ y/2] / c. Clculer directement à prtir de l loi de X, l même probbilité qu u b. et vérifier en comprnt les résultts. P(S 110) P(X 2 110) P(X 110) 1 2 (11 110) Exercice 7 Soit X une v.. de loi U([0, 1]). Pour > 0, on définit Y ln(x)/. Déterminer l loi de Y. Pour chnger des exercices 3, 4, 5 et 6, on utilise une méthode un peu différente. On note F X l fonction de réprtition de X, et F Y celle de Y. Remrquons d bord que puisque X prend ses vleurs entre 0 et 1, Y prend ses vleurs entre 0 et +. Donc F Y (y) 0 si y 0. On X e Y, donc, pour y > 0 (en prennt grde que l fonction y e y est décroissnte) : P(Y y) P(e Y e y ) P(X e y ) 1 F X (e y ) e y est compris entre 0 et 1; en utilisnt l expression de l fonction de réprtition d une v.. uniforme sur [0, 1], on F X (e y ) e y. Donc F Y (y) 1 e y, pour y > 0. On reconnît l fonction de réprtition d une loi exponentielle, et on conclut que Y est de loi E(). Exercice 8 Clculer l espérnce et l vrince de l loi uniforme sur le segment [, b], < b, i.e. l loi de densité x R 1 b 1 [,b](x). Cours. Exercice 9 Clculer l espérnce et l vrince de l loi exponentielle de prmètre λ > 0. Cours.

4 Exercice 10 Soit X une vrible létoire de loi gussienne centrée réduite. Clculer E[exp(X)]. On utilise le cours E[exp(X)] f X (x)e x dx 1 + e x2 /2+x dx 1 + e (x 1)2 /2+1/2 dx e 1/2 1 + e y2 /2 dy e 1/2 On utilisé le chngement de vrible y x 1. Exercice 11 : On lnce un dé équilibré 3000 fois. On s intéresse à l v.. N qui compte le nombre de résultts supérieurs ou égux à 5.. En utilisnt l loi des grnds nombres, de quel nombre N/3000 devrit être proche? On pose X i 1 si le lncer de dé i donne 5 ou 6, et X i 0 sinon. Chque X i suit une loi B(1/3), et les X i sont indépendnts. De plus, N (X X L loi des grnds nombres dit que (X X n )/n tend vers E(X i ) 1/3 qund n tend vers l infini. Donc N/3000 doit être proche de 1/3. b. Quel est l écrt-type de N? N est l somme de 3000 v.. indépendntes et de même loi, de vrince 1/3(1 1/3) 2/9. L vrince de N est donc /9 2000/3 c. En utilisnt le TCL : quelle est l probbilité que N soit plus grnd que 1030? Compris entre 950 et 1050? N est l somme de 3000 v.. indépendntes et de même loi. Le TCL dit que l loi de n[(x X n )/n 1/3]/ 2/9 tend vers une loi N (0, 1) qund n tend vers l infini est suffismment grnd pour que l on puisse pproximer l loi de ( 3000(N/3000 1/3)/ 2/9 pr une loi N (0, 1). Alors P(N 1030) P( 3000(N/3000 1/3)/ 2/9 3000(1030/3000 1/3)/ 2/9) P(Z 1.16) où Z est une v.. de loi normle centrée réduite. On utilisé une tble de l loi normle pour l dernière ligne. Exercice 12 : Je prends un bus 240 fois dns l nnée. On peut considérer que les temps d ttente sont des vribles létoires indépendntes et de même loi. Je sis que le temps moyen d ttente est de 5 minutes. Je sis de plus que le temps d ttente d un bus suit une loi exponentielle.

5 Quelle est le prmètre cette loi exponentielle? Puis-je évluer l probbilité que mon temps d ttente totl sur une nnée soit inférieur à 19h? Une loi exponentielle de prmètre λ une espérnce 1/λ. Le temps d ttente (exprimé en minutes) suit donc une loi E(1/5). Le temps totl d ttente sur un n est X (T T 240 ). Les T i sont des v.. de même loi, d espérnce 5 et de vrince 5 2. On peut supposer que les T i sont indépendntes. 240 est ssez grnd pour qu on puisse utiliser l pproximtion fournie pr le TCL. On écrit donc que (X 240 5/( 240 5) suit pproximtivement une loi normle centrée réduite. Donc P(X 19 60) P((X 240 5)/( 240 5) ( )/( 240 5)) P((X 240 5)/( 240 5) 0.775) P(Z 0.775) où Z est une v.. de loi normle centrée réduite. On utilisé l pproximtion donnée pr le TCL pour l dernière ligne. L prob cherchée est environ 0.22 (en utilisnt une tble de l loi normle).