CHAPITRE 1 : CINEMATIQUE

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1 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE 1/1 CHAPITE 1 : CINEMATIQUE I. INTDUCTIN La mécaniqu a pour objt l étud ds mouvmnts, i.. l étud ds changmnts spatiaux survnant au cours d un évolution tmporll. Nous savons c qu st l spac : il constitu l «volum» dans lqul ls objts physiqus évolunt. Nous pouvons y msurr ds longuurs avc un règl, l unité d longuur du systèm intrnational st l mètr. Nous avons un connaissanc intuitiv d c qu st l tmps. Si nous n pouvons l définir précisémnt, nous savons du moins qu il s écoul invariablmnt du passé vrs l futur t nous lui prêtons un caractèr absolu : sa vitss d écoulmnt n vari pas n fonction d la situation d l xpérimntatur. Ctt notion n sra pas rmis n qustion n mécaniqu nwtoninn 1. L tmps s msur avc un horlog, i.. un objt utilisant un phénomèn périodiqu ; l unité d tmps du systèm intrnational st la scond. Ls résultats qu nous établirons dans l cadr d la mécaniqu nwtoninn sont utilisabls lorsqu ls vitsss miss n ju sont très ptits dvant la célérité d la lumièr c : 8 1 v c où c 3,.1 m.s La cinématiqu st l domain d la mécaniqu lié à la dscription ds mouvmnts. Dans c chapitr, on étudira donc l mouvmnt d un mobil sans s intérssr à ss causs. n s limitra d plus à considérr l mouvmnt d un point. Nous évitrons ainsi, lorsqu nous parlrons du mouvmnt physiqu d un mobil, ls problèms liés aux mouvmnts proprs d un solid (rotations autour d son cntr d inrti) car nous n considèrrons qu l mouvmnt du cntr d inrti d un solid n translation. II. TAJECTIE, EFEENTIEL Nous savons dpuis Galilé qu «l mouvmnt st comm rin» : pour nous qui somms solidairs du mouvmnt d la Trr, il nous st imprcptibl. Avant tout chos, lors d l étud du mouvmnt d un mobil, il faut donc précisr par rapport à quoi on étudi c mouvmnt. C solid d référnc st considéré immobil pour l étud. Assis dans un sall d class, nous somms immobils dans l référntil trrstr (i.. si l on étudi notr mouvmnt par rapport à la Trr, considéré immobil), alors qu nous nous déplaçons d nviron 3 kilomètrs chaqu scond si l on étudi notr mouvmnt dans l référntil lié au Solil, t d plus d 6 kilomètrs par scond si l on s plac dans l référntil lié au cntr d notr galaxi. La trajctoir d un point st la form géométriqu qu il parcourt au cours d son mouvmnt. Ell dépnd bin sûr du référntil choisi, comm l montr l xmpl d la figur 1.1. III. UTILS PU LA DESCIPTIN DU MUVEMENT 1) Vctur position L cadr mathématiqu idéal pour décrir un mouvmnt dans l spac st la géométri. Si l on choisit un origin arbitrair d l spac, immobil par rapport à l objt d référnc rtnu 1 L caractèr absolu du tmps st abandonné n rlativité. Comm nous l vrrons dans la duxièm parti d l anné, l xpérinc du pndul d Foucault prmt n fait d mttr n évidnc la rotation d la Trr.

2 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE /1 (définissant ainsi un référntil ), ainsi qu un origin arbitrair ds tmps, on put rpérr dans la position d un point mobil P à la dat t par un vctur nommé vctur position liant l origin r, ou plus simplmnt P ou r t l point considéré. Il st noté indifférmmnt P ( ) ou ( ) n gardant à l sprit qu il dépnd d la dat t du référntil (voir figur 1..). Sa norm P st la distanc séparant ls points t P à la dat t. t t A (a) Figur 1.1 : Trajctoir du point A d un rou d vélo a. dans l référntil d la rout (cycloïd) b. dans l référntil lié au cadr du vélo (crcl) (b) P( t) P(t) A B Figur 1.. : Vctur position à la dat t (l origin st immobil dans l référntil d étud) Figur 1.3. : Approximation d un ptit portion d trajctoir par un sgmnt P( t + t) V r ( t+ t) r ( t) r () t () t P() t Figur 1.4. : Vctur vitss à la dat t v ( t 1 ) P( t ) P( t ) 1 v ( t ) ( ) P t 3 v ( t 3 ) Figur 1.5. : Vitss instantané du point P n différnts points d sa trajctoir ) Vctur vitss a. Vctur vitss moynn La figur 1.3. illustr la trajctoir qulconqu d un point mobil dans un référntil arbitrair. marquons qu tout portion d trajctoir suffisammnt ptit put êtr approximé par un sgmnt d droit. Considérons maintnant dux positions occupés par un point mobil P ntr dux dats prochs t t t+ t (figur 1.4.). L vctur séparant cs dux positions st : r ( t) r ( t + t) r ( t)

3 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE 3/1 Si t st suffisammnt ptit, la trajctoir mprunté par P ntr cs dux positions put êtr approximé par un droit t la distanc parcouru par P pndant la duré t st alors r ( t). L vctur vitss moynn du point P ntr t t t t V t, st défini par la rlation : +, noté ( ) r ( t) () t V t Il a la dirction t l sns d r () t (i.. la dirction t l sns du mouvmnt ntr ls dux dats), 1 t un norm égal à r () t t xprimé n ms. (sa rprésntation quantitativ nécssit donc l indication sur un schéma d un échll ds vitsss). b. Vctur vitss L vctur vitss, noté v () t, st la limit du vctur vitss moynn lorsqu t dvint infinimnt ptit (i.. tnd vrs éro), ctt définition coïncid avc cll d la dérivé du vctur position par rapport au tmps : r() t r( t+ t) r( t) dr( t) v() t lim = lim r t t t t dt Ls trois prmièrs égalités sont obtnus n écrivant ls définitions d la vitss moynn, du vctur r t d la dérivé du vctur position par rapport au tmps. La drnièr égalité corrspond à l introduction d la notation «point» pour signifir un dérivé tmporll. L vctur vitss, colinéair à dr ( t), st donc tangnt à la trajctoir. Il indiqu qul st l changmnt, n dirction, n sns t n norm, du vctur position du point P par unité d tmps au point considéré d la trajctoir (figur 1.5.). L calcul du vctur vitss instantané n chaqu point nécssit, n plus d la connaissanc précis d la trajctoir, la connaissanc d la dat à laqull l mobil st passé n chaqu point. Mathématiqumnt, l passag à la limit n pos aucun problèm. Ls lois physiqus trouvant dans l calcul différntil un cadr particulièrmnt bin adapté, nous nous srvirons mêm abondammnt ds dérivés. Physiqumnt, cpndant, nous somms limités par nos instrumnts d msur : ls msurs sont nécssairmnt finis (non infinitésimals). Nous choisirons donc pour un msur un duré t la plus ptit possibl sans introduir trop d rrur (d un part, un chronomètr fiabl au dixièm d scond introduit 1% d incrtitud sur un msur d duré d l ordr d 1s, mais 1% d incrtitud si l on choisit d msurr ds duré d,1s t, d autr part, un duré faibl induit un distanc faibl t donc un plus grand incrtitud d msur sur la distanc). Nous msurrons donc ds vitsss «instantanés» n msurant ds vitsss moynns avc un intrvall d tmps pris l plus ptit possibl, comm sur la figur 1.4. v t V t ( t suffisammnt ptit). Cla s traduit mathématiqumnt par l approximation : ( ) ( ) 3) Vctur accélération D la mêm manièr qu nous avons défini la vitss comm la variation du vctur position par unité d tmps n un point d la trajctoir, nous définissons maintnant l accélération du point P à la dat t comm la variation du vctur vitss par unité d tmps n c point d la trajctoir : v( t+ t) v( t) a() t lim v = r t t Il a la dirction t l sns d la différnc ntr ls vcturs vitss ntr ls dats t t t+ t t s xprim n mètrs par scond au carré ( ms. 1, i.. n ms. par scond). Sa rprésntation quantitativ nécssit l indication d un troisièm échll sur un schéma.

4 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE 4/1 Nous utilisrons ls dérivés pour l calcul mais ls msurs s front, comm pour ls vitsss, avc ds durés ptits mais finis. 4) Projction sur un bas Ls vcturs sont ds objts tridimnsionnls, or il st souvnt plus simpl d travaillr avc ds nombrs. Cla st possibl si nous projtons ls vcturs sur un bas, i.. si nous introduisons un systèm d coordonnés. L introduction d un bas, si son choix st judiciux, prmt bin souvnt d simplifir considérablmnt un problèm. En c début d anné, nous n vrrons dux xmpls. Dans tout la fin d c chapitr, nous omttrons l indic. a. Un bas fix : la bas cartésinn La bas cartésinn st la bas généralmnt utilisé dans ls problèms au lycé. Ell st formé d trois vcturs unitairs orthogonaux ntr ux ( x; y; ) 3. Un rpèr cartésin (,,, x y ) st un référntil qu l on a muni d origins spatial t tmporll t d un bas cartésinn. n put alors décrir un vctur position à l aid d ss coordonnés x, y t qui sont ls projctions du vctur position sur ls trois axs (figur 1.6.). x r y y y ( ) ( ( ) ) () () () () ( ) ( ( ) ) r t = r t + r t + r t y x x y y () () () x t = x t x + y t y + t = y t t x x x Figur 1.6. : Projction du vctur r sur la bas cartésinn Si on connaît ls composants x, y t du vctur position r du point mobil n tant qu fonction du tmps dans la bas cartésinn, on put n déduir sa vitss t son accélération par dérivations tmporlls succssivs : x x x r = y v= r = y a= v= r = y marqus : Ls trois axs jount un rôl strictmnt équivalnt. Cla st un illustration d l isotropi d l spac : l spac n xhib pas d dirction privilégié. Ls valurs numériqus ds coordonnés ds vcturs r, v t a dépndnt d l orintation d la bas, mais cs vcturs, qui sont ds objts géométriqus, ont un xistnc parfaitmnt défini dans l référntil sans qu il soit nécssair d choisir un bas. Ctt différnc st à gardr à l sprit bin qu la notation utilisé n la rflèt pas. 3 ctt bas défini d plus un orintation d l spac, l trièdr formé par ls trois vcturs st dirct. Nous rvindrons sur ctt notion plus tard dans l anné.

5 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE 5/1 b. Un bas mobil : la bas cylindriqu Dans la bas cylindriqu, ls trois coordonnés sont, t (voir figur 1.7.). La bas cylindriqu st un bas mobil, i.. ss trois vcturs (toujours unitairs t orthogonaux) s muvnt avc l point étudié. x r y r = + + = Figur 1.7. : Projction du vctur r sur la bas cylindriqu L vctur s déduit du vctur par un rotation d + π autour d l ax. Ls coordonnés cartésinns ds vcturs d la bas cylindriqu sont, comm il st aisé d l voir sur l schéma n projtant cs vcturs sur la bas cartésinn : cos cos( + π ) sin ( ) = sin = sin ( + π ) = cos( ) = Ls équations d passag ds coordonnés cylindriqus aux coordonnés cartésinns sont donc : x = cos y = sin = t ls équations d passag ds coordonnés cartésinns aux coordonnés cylindriqus sont : = x + y = arctan ( x y) = Nous vrrons dans la prochain sction qu ctt bas st privilégié dans un problèm lorsqu il xist un symétri d révolution autour d l ax, i.. lorsqu l problèm st invariant par un rotation d un angl suivant ct angl. L xprssion d la vitss s obtint par dérivation tmporll ( t dépndnt du tmps) : d d d v= r = ( + ) = + + = + + dt d dt où nous avons utilisé d dr = d d =. r d = d (figur 1.8.). n a donc l xprssion d la vitss dans la bas cylindriqu : v = + + n obtint l accélération par un nouvll dérivation : d a= v = ( + + ) = dt Notons tout d abord qu d dr = d d =. L xprssion ci-dssus s ré-écrit donc : = d d + d a d +

6 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE 6/1 d d otation du vctur d un angl α ptit : (on idntifi l côté du triangl rctangl t l arc d crcl) α ' + α α α ' α α Au passag à la limit α, l approximation dvint un égalité. x d = = d d = = d Figur 1.8. : Variations ds vcturs d la bas cylindriqu pour un rotation infinitésimal d angl d 4 (sul l plan = st rprésnté) D plus, d = d (figur 1.9.). D où l xprssion d l accélération dans la bas cylindriqu : ( ) ( ) a= marquons nfin qu : 1 d ( ) = + dt Nous rtindrons la formul d l accélération dans la bas cylindriqu sous la form : 1 d a= ( ) + ( ) + dt IV. ETUDE DE QUELQUES MUVEMENTS SIMPLES 1) Mouvmnts rctiligns a. Cas général Lorsqu la trajctoir d un mobil st rctilign, la bas d choix la bas cartésinn, l origin t l orintation ds axs étant choisi d tll manièr qu l un ds axs coïncid avc la trajctoir (figur 1.9.). 4 Cs xprssions puvnt aussi s obtnir par l calcul n écrivant ls xprssions d t n coordonnés cartésinns : d d ( cos ) d ( sin ) sin d cos d d = ( sin) d d = cos = ; = ( cos) = sin = d d d d

7 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE 7/1 x r P y L vctur position s écrit alors : r( t) Figur 1.9. : Mouvmnt rctilign du point mobil (la trajctoir put êtr borné ou non) ( ) = t, ls coordonnés x t y sont alors constammnt nulls au cours du mouvmnt t l on st ramné à un problèm à un dimnsion. n obtint la vitss t l accélération par dérivation : v( t) = ( t) ; a( t) = ( t). Ls vcturs position, vitss t accélération sont colinéairs à tout instant. b. Mouvmnt rctilign uniform L adjctif uniform signifi qu la norm d la vitss st constant au cours du mouvmnt. n a v t = t = v où v = constant ; a t =. donc () () ( ) ( ) c. Mouvmnt rctilign sinusoïdal Un mouvmnt rctilign sinusoïdal s caractéris par un évolution sinusoïdal d la position au cours du tmps. C st par xmpl l mouvmnt d un mass accroché à un rssort si ls frottmnts sont négligabls. La trajctoir du mobil st alors un sgmnt d droit. n orint la bas d manièr à c qu c mouvmnt à un dimnsion s fass suivant la coordonné, on plac l origin au miliu d la trajctoir t on choisit l origin ds tmps à un dat où l mobil st à l origin. L mouvmnt du mobil, i.. la fonction (t), st rprésnté par la figur 1.1.a. L mouvmnt st alors simplmnt mis n équation : () sin t t = π T où st l amplitud du mouvmnt, i.. la valur maximal pris par la coordonné au cours du mouvmnt, t T st la périod du mouvmnt, i.. la duré qui sépar dux maxima consécutifs. L argumnt d la fonction sinus mérit qu on l rgard d un pu plus près : l rapport d dux durés assur qu il st sans dimnsions t, à chaqu fois qu t st un multipl d la périod T, l argumnt du sinus st un multipl d π t commnc un nouvau cycl. marquons nfin qu si nous avions choisi comm origin un point différnt du miliu d la trajctoir, il aurait été nécssair d rajoutr un constant Z à la suit d l équation du mouvmnt. D mêm, si nous avions choisi un origin ds tmps différnt, il aurait fallu rajoutr un déphasag ϕ dans l argumnt du sinus (figur 1.1.b). L équation du mouvmnt aurait alors été : () sin t t = π + ϕ+ Z T plaçons-nous maintnant dans l cas d la figur 1.11.a. où ls origins ont été choisis afin d simplifir ls xprssions. Ls projctions d la vitss t d l accélération du mobil sur l ax s obtinnnt par dérivation tmporll :

8 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE 8/1 T Tϕ π T Z (a) Figur 1.1. : Evolution tmporll sinusoïdal d la coordonné du point mobil a. choix judiciux ds origins spatials t tmporlls b. choix qulconqu ds origins d t π t t v() t = () t = sin cos vcos dt π T = π = π T T T d t π v t t a() t = () t = v () t = vcos π sin π asin π dt = = T T T T π 4π avc v t a rspctivmnt la vitss t l accélération maximals attints au T T cours du mouvmnt. L analys du mouvmnt st simplifié si l on trac graphiqumnt l évolution ds trois grandurs (figurs 1.11.). Lorsqu l point st au miliu d sa trajctoir, s déplaçant d la gauch vrs la droit ( t = ), la vitss st positiv d valur absolu maximal, t l accélération st null. Puis l accélération dvint négativ : la dérivé d la vitss st donc négativ t cll-ci diminu. La vitss s annul lorsqu attint sa valur maximal = +, à t = T 4 ; l accélération st alors négativ t sa valur absolu st maximal. L lctur complètra facilmnt la lctur ds graphiqus jusqu à t = T (i.. jusqu au commncmnt d un nouvll périod idntiqu à la prmièr). (b) position vitss accélération Figur : Evolutions tmporlls d un mouvmnt rctilign sinusoïdal ) Mouvmnts circulairs a. Cas général Nous nous proposons maintnant d étudir un mouvmnt circulair (figur 1.1.) d rayon. La bas la plus judicius st la bas cylindriqu, orinté d tll manièr qu l mouvmnt circulair s fass dans l plan =. La coordonné st alors constammnt null t l on st ramné à un

9 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE 9/1 problèm à dux dimnsions (la bas à dux dimnsions (, ) polair) ainsi défini st nommé bas y x r P Figur 1.1. : Mouvmnt circulair du point mobil t coordonnés polairs La bas s déplaçant avc l point mobil, l vctur position du point P s écrit simplmnt : r = La vitss t l accélération s n déduisnt n faisant = t = = ct dans ls formuls trouvés n III.4.b. : v= a= + La vitss st donc purmnt orthoradial (c qui st nécssair pour gardr la coordonné radial constant). L accélération st composé d dux trms : Un trm radial dépndant du rayon du crcl t d (la variation d l angl par unité d tmps, i.. la vitss angulair), dirigé vrs d cntr du crcl, Un trm orthoradial dépndant d (la variation d la vitss angulair par unité d tmps, i.. l accélération angulair). b. Cas particulir du mouvmnt circulair uniform Dans un mouvmnt circulair uniform, l crcl st parcouru à vitss constant, i.. la vitss angulair st constant : = ; = ω = ct. n a alors : v= ω t a= ω La vitss st donc purmnt radial t sa norm st constant. L accélération quant à ll n st pas null puisqu il y a variation d la dirction d la vitss. L accélération st radial, dirigé vrs l cntr du crcl t d norm constant. Exmpl : En prmièr approximation, l mouvmnt du cntr d mass d la Trr st circulair uniform (figur 1.14.). La distanc Trr-Solil, applé unité astronomiqu, st égal à 15 millions d kilomètrs. La périod d rotation d la Trr autour du Solil st d 365,5 jours. n n déduit : π π 7-1 = ω = = = 1,99.1 rad.s T 365, v = ω =,99.1 m.s 3 km.s ; a = ω = 5,95.1 m.s 6, mm.s

10 PCSI CHAPITE 1 : CINEMATIQUE 1/1 S r a= a T v = v Figur : Mouvmnt circulair uniform du cntr d mass d la Trr 3) Mouvmnt paraboliqu Un xmpl d parabol st la courb y = x. Un tll figur géométriqu st plan, on put donc orintr la bas cartésinn d manièr à fixr = pour tout dat t t s ramnr à un problèm à dux dimnsions puis choisir l origin t orintr ( x, y) d manièr à pouvoir décrir la trajctoir par l équation : y = Ax comm l montr la figur où A = 1,3 (un choix différnt d orintation ds axs ou d origin aurait conduit à un équation plus complx). L étud du mouvmnt doit donc s fair suivant ls axs x t y. Nous nous limitons au cas intérssant x( t) = v t où vx = x = v t ax = x= n a alors suivant la dirction y : v = Axx = Av t t = Av y ay Figur : Trajctoir paraboliqu dans l plan (x, y) v st un constant, i.. L accélération st donc constant suivant y. Comm nous l vrrons dans l chapitr suivant, un xmpl d un tl mouvmnt st l mouvmnt d un objt qu l on a lancé puis laissé évolur librmnt dans l champ d psantur.