CHAPITRE 3 ECHANTILLONNAGE

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1 CHAPITRE 3 ECHANTILLONNAGE Claud E. Shannon (96-2), mathématicin t ingéniur élctricin américain. Après dux thèss aux MIT, Shannon ntra aux Bll Labs, n 94, où il établit ls fondmnts d la théori d l information. Il décrivit l prmir la possibilité d nvoyr du son, du txt, t ds imags, par l biais d un flux binair (il st d aillurs l invntur du «bit», contraction d «binary digit»), dans un articl magistral : "A mathmatical thory of communication", Bll Labs Tchnical Journal, 948. Il s intérssa plus tard à l intllignc artificill, t fut un ds prmirs à programmr un ju d échcs. La grand majorité ds signaux numériqus rprésntnt n réalité ds signaux analogiqus sous-jacnts, auxquls on vut pouvoir appliqur tout la puissanc ds traitmnts numériqus. La convrsion analogiqu-numériqu st applé échantillonnag. Nous étudirons dans c chapitr l intrprétation spctral d l échantillonnag, t n déduirons l'xprssion du théorèm d Shannon. Nous xaminrons d plus près ls problèms liés à la concption du filtr d gard, t introduirons l intrpolation-décimation ainsi qu l sur-échantillonnag. Nous vrrons d mêm commnt rconstruir un signal analogiqu à partir d son homologu numériqu, par xtrapolation t lissag. Nous conclurons c chapitr par l xamn du théorèm d Shannon généralisé t d son application pour l filtrag n sous-band. 3. Princip Ls signaux numériqus puvnt êtr crés dirctmnt par un systèm numériqu (un procssur, sous touts ss forms actulls). On parl alors d synthès numériqu (comm dans l cas d la synthès d'imags ou d sons numériqus). La plupart du tmps, cpndant, ils sont obtnus par échantillonnag d signaux analogiqus. L'échantillonnag d'un signal analogiqu rprésnté par un fonction f() t consist à construir, à partir d f() t, un signal à tmps discrt f ( n) = f( nt ) obtnu n msurant la valur d f() t touts ls T sconds (Fig. 3.) : f ( n) = f( nt ) (3.)

2 2 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES f(t) f(n) F Fig. 3. Rprésntation schématiqu d l échantillonnag Si f() t subit un discontinuité par saut à un instant d'échantillonnag, on convint d posr : f( n) = /2. f( nt ) f( nt ) (3.2) L schéma d princip d l'échantillonnag st décrit à la Fig Il xprim l fait qu'on put considérr qu f () t st obtnu par multiplication d f(t) par un train d'impulsions d Dirac d périod T : f () t = f() t δt () t = f( nt) δ( t nt ) n (3.3) Fig. 3.2 Rprésntation mathématiqu d l'échantillonnag On put alors intrprétr la transformé d Fourir F ( ω) d f () t (c'st-à-dir la TFTD d {f(n)}) comm cll d'un produit, t n calculr la transformé d Fourir : F ( f) = F( f)* δ f ( f) F( f nf ) = T T k = (3.4) Nous savions déjà qu la TFTD d'un signal échantillonné st périodiqu n f, d périod f (ou, n F, d périod ). Nous comprnons maintnant qu, lorsqu l signal numériqu st obtnu par échantillonnag d'un signal analogiqu, ctt périodicité résult d la suprposition d touts ls translatés (à ds multipls ntirs d f ) d la transformé d Fourir du signal original divisé par T.

3 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES 3 f (t) A(f) A()/T -F F Fig. 3.3 Spctr d un signal échantillonné 3.2 Rcouvrmnt spctral (aliasing) Si l spctr F(f) du signal analogiqu f(t) n'st pas nul au dlà d f, la suprposition (3.4) put conduir à ds mpiétmnts ds translatés (Fig. 3.4). C phénomèn st applé rcouvrmnt (ou rplimnt) spctral (n anglais : aliasing). Fig. 3.4 Phénomèn d rcouvrmnt L rcouvrmnt spctral a pour conséqunc qu l signal à tmps discrt f(n) obtnu par échantillonnag n'st plus un imag corrct d f(t), mais bin du signal f () t dont l spctr st donné par F ( f) ntr -f t f (Fig. 3.5). ~ C graphiqu, ainsi qu ls dux suivants, st ici à ds fins didactiqus, mais il put portr à confusion : n réalité, c st l spctr complx F(w) qui st additionné à ds translatés d luimêm, t pas l spctr d amplitud.

4 4 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES Fig. 3.5 Spctr du signal analogiqu supposé L trm d rplimnt spctral st d aillurs tout à fait justifié (plus ncor qu clui d rcouvrmnt). En fft, tout s pass comm si la parti d F(f) infériur à f /2 s trouvait additionné à la parti d c mêm F(f) supériur à f /2, rplié autour d f /2 t conjugué (Fig. 3.6). A (f) F /2 F Fig. 3.6 Rplimnt spctral 2 Exmpl 3. On échantillonn un sinusoïd f () t = sin(2 π ft) à la fréqunc d échantillonnag d Hz. Dssinons l allur ds échantillons (c st-à-dir l allur d la fonction f (t) corrspondant) pour ds valurs d f égals à : Hz, 25 Hz, 5 Hz, 75 Hz, 9 Hz, t 3 Hz. Pour qu ls graphiqus possèdnt ds axs tmporls idntiqus, choisissons d montrr ls prmièrs ms ds signaux (Fig. 3.7). subplot(6,,); stm(sin(2*pi**[:99]/)); subplot(6,,2); stm(sin(2*pi*25*[:99]/)); subplot(6,,3); stm(sin(2*pi*5*[:99]/)); subplot(6,,4); stm(sin(2*pi*75*[:99]/)); subplot(6,,5); stm(sin(2*pi*9*[:99]/)); subplot(6,,6); stm(sin(2*pi*3*[:99]/)); 2 C graphiqu st n réalité assz réductur : non sulmnt c n sont pas ls spctrs d amplitud qui s additionnnt (mais bin ls spctrs complxs), mais d plus l opération d rplimnt st n réalité associé à la conjuguaison d F(f).

5 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES x Fig. 3.7 Echantillonnag d sinusoïds On constat : Qu suls ls échantillonnags ds sinusoïds à t 25 Hz donnnt un imag réalist ds signaux sous-jacnts (on put rtrouvr la fréqunc ds sinusïds corrspondants n msurant lur périod sur l graphiqu). Qu l échantillonnag d la sinusoïd à 5 Hz fait apparaîtr un signal d amplitud très ptit. En théori, ls échantillons dvraint êtr tous nuls. Ls valurs non nulls apparaissant sur l graphiqu sont l résultat d rrurs d arrondis d Matlab. Qu ls échantillonnags ds sinusoïds à 75 Hz t 9 Hz donnnt ds résultats idntiqus (au sign près) à cux ds sinusoïds à 25 Hz t Hz. Il st par conséqunt impossibl, après échantillonnag, d rtrouvr la fréqunc xact ds sinusoïds sous-jacnts. C st l résultat du rplimnt spctral ds sinusoïds d départ autour d la fréqunc d Nyquist (5 Hz). Qu l échantillonnag d la sinusoïd à 3 Hz donn xactmnt l mêm résultat qu clui d un sinusoïd à Hz. C st l résultat d la suprposition d touts ls translatés (à ds multipls ntirs d f ) d la transformé d Fourir du signal original.

6 6 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES Exmpl 3.2 On chrch à calculr la transformé d Fourir d rct a (t)/2a. On dmand : d choisir la fréqunc d échantillonnag d façon qu la valur maximal d la transformé d Fourir d rct a (t)/2a soit affcté d moins d % d rrur par rplimnt spctral (on suppos qu il n y a pas d filtr d gard); d vérifir c résultat sous Matlab. Il st clair qu il y aura rplimnt spctral, qull qu soit la fréqunc d échantillonnag choisi. En fft, la transformé d Fourir d rct a (t)/a st donné par : rct ()/ t a a F sin( aω / 2) aω /2 Son nvlopp st donc donné par 2/aw. L maximum du spctr s trouv n f= t vaut. Si l on suppos qu l fft du rplimnt st surtout du au prmir spctr imag à droit, qu on approxim c spctr par son nvlopp (Fig. 3.8), t qu on suppos qu l amplitud du spctr résultant st la somm ds amplituds du spctr d bas t d c prmir spctr imag 3, il vint : FF ( ) <. max( F( f) ) =. 2 /( a2 π F ) <. F > / π a A(f) Envlopp du prmir spctr imag <% /a 2/a 3/a f Fig. 3.8 Efft approximatif du rplimnt Si on prnd par xmpl a= (c qui corrspond à un carré d un scond), on trouv à pu près F >3. Comm chaqu lob a un largur d Hz, on constat qu il faut 3 lobs pour qu l rrur soit d moins d %. Pour voir ct fft sous Matlab, on affich la transformé F ( f ) du signal obtnu par échantillonnag d rct (t) à un fréqunc largmnt supériur à 3 Hz (x : 3 Hz). L signal st donc constitué d 3 échantillons égaux à. On constat qu l spctr obtnu 3 En réalité la somm étant complx, l fft du rcouvrmnt sra n général moindr qu clui calculé ici.

7 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES 7 st pratiqumnt xmpt d rplimnt spctral ntr t 3 Hz, t corrspond donc pratiqumnt à F(f). frqz([ons(,3)],,:/:3,3) % F(f) ntr t 3 Hz => 3 lobs zoom sur F(f) Magnitud Rspons (db) Frquncy (Hrtz) Fig. 3.9 Transformé d Fourir d rct (t) On constat qu l nvlopp d F(f) à 3 Hz st bin 4 db sous F() (c st-à-dir % d F()). Notons qu n pratiqu, on n connaît pas la transformé d Fourir qu l on chrch à calculr. L calcul ci-dssus pour l choix d F st alors rmplacé par un stimation itérativ : partant d un prmièr valur d F, on augmnt progrssivmnt F jusqu'à c qu la transformé d Fourir msuré n chang plus baucoup. On a alors attint un valur suffisant pour évitr l rcouvrmnt spctral. Un altrnativ consist à utilisr dès l départ un fréqunc d échantillonnag suffisammnt élvé pour qu la condition d nonrcouvrmnt soit vérifié à coup sûr. 3.3 Filtr d gard On chrch donc n général à évitr c phénomèn, n faisant n sort qu l spctr d la fonction f() t soit à support borné [-fm,f M ] avc f M <f /2 (Fig. 3.). Fig. 3. Illustration du non-rcouvrmnt 2 On sait cpndant qu'un fonction dont l spctr st à support borné st illimité dans l tmps. Un signal physiqu n'st jamais illimité dans l tmps t par conséqunt son spctr n'st pas à support borné. Son échantillonnag provoqu donc n princip toujours du rcouvrmnt spctral. Par aillurs, tout signal analogiqu st affcté par ds bruits additifs, qui portnt ds composants à haut fréqunc. Cs bruits puvnt vnir dégradr l spctr util du signal par rplimnt spctral.

8 8 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES La condition d non rcouvrmnt n'st donc n général pas vérifié par ls signaux usuls, c qui impliqu la nécssité d fair précédr l'échantillonnag d'un filtr dont ls spécifications sront définis pour vérifir la condition d non rcouvrmnt; c filtr sra applé filtr d gard ou filtr anti-rplimnt. (Errur! Sourc du rnvoi introuvabl.). f(t) f LP (t) f(n) F /2 F Fig. 3. Filtr d gard idéalisé On commt toujours un crtain «rrur» n fixant la limit du spctr à F /2 : ls composants du signal à plus haut fréqunc n sont pas priss n compt Théorèm d Shannon L théorèm d Shannon, égalmnt applé théorèm d l échantillonnag, st un ds fondmnts du traitmnt numériqu ds signaux : "Tout fonction f(t) dont l spctr st à support borné ( F( f ) = pour f > fm ) st complètmnt défini par ss échantillons f(nt ) si f 2 f." C théorèm découl immédiatmnt d l analys précédnt concrnant l phénomèn d rcouvrmnt : l échantillonnag à un fréqunc f d un fonction f(t) qui rspct l théorèm d Shannon n produit pas d rcouvrmnt spctral. Par conséqunt, l signal original f(t) put êtr rconstitué par l filtrag du signal impulsionnl f () t par un pass-bas idéal d fréqunc d coupur f M (Fig. 3.2). M Fig. 3.2 Filtr d rconstitution 4 Ctt rrur n st pas nouvll. Tout systèm d msur analogiqu souffr du mêm inconvénint : ls composants ds signaux msurés supériurs à la band passant du systèm d msur n sont pas priss n compt.

9 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES 9 Ctt opération d filtrag corrspond à la convolution du signal f () t par la répons impulsionnll du filtr idéal, c qui rvint pratiqumnt à réalisr la somm ds réponss impulsionnlls dus à chaqu impulsion d f () t : [ ω t nt ] sin M.( ) f() t = f( nt ). (3.5) ω.( t nt ) n M Fig. 3.3 La fonction d'intrpolation idéal La fonction sin( ωm.)/( t ω M.) t st la fonction d'intrpolation idéal (Fig. 3.3); ll s'annul aux points t = nt, c qui confirm l'indépndanc ds échantillons f( n) dans la rconstruction du signal f() t (Fig. 3.4). Fig. 3.4 Rconstruction d la fonction f(t) Notons pour trminr qu la fréqunc f /2, qui donn la limit supériur du spctr du signal à échantillonnr, st souvnt applé fréqunc d Nyquist. Exmpl 3.3

10 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES Parmi ls sinusoïds xaminés à l xmpl précédnt, suls clls à t 25 Hz rspctaint l théorèm d Shannon, c qui xpliqu qu on puiss rtrouvr à l œil ls sinusoïds sous-jacnts à partir ds échantillons. 3.5 Rconstruction du signal à tmps continu filtr d lissag A partir d'un signal à tmps discrt, on put vouloir rconstruir un signal à tmps continu. En pratiqu, il st évidmmnt impossibl d filtrr l signal impulsionnl f () t, qui n st qu un abstraction mathématiqu util à la compréhnsion ds phénomèns. On procèd alors n dux étaps : On construit un vrai signal analogiqu f*(t) à partir ds échantillons du signal à tmps discrt. Ctt opération port l nom d xtrapolation. L signal f*(t) st n qulqu sort un prmièr ébauch d f(t). On fait suivr l xtrapolatur d un filtr st applé filtr d lissag, qui affin f*(t) t l rnd plus proch d f(t). L princip l plus simpl d la rconstruction du signal à tmps continu consist n l'utilisation d'un xtrapolatur d'ordr zéro (n anglais : sampl and hold) dont l schéma d bas st décrit à la Fig On put, pour miux comprndr son fft, l considérr comm un filtr d répons impulsionnll unitair d à T t null partout aillurs : l xtrapolation d f(n), tout comm l filtrag d f () t, conduit à un signal f*(t) évoluant par palirs. δ (t) h(t) X δ (t) Extrapol. d'ordr h(t) X X T 2 X T t T t Fig. 3.5 Extrapolatur d'ordr Connaissant la répons impulsionnll du filtr équivalnt à l'xtrapolatur d'ordr, on put calculr sa fonction d transfrt t sa répons n fréqunc : pt 2 pt/2 H( p) =.( ) =..sinh( pt / 2) (3.6) p p c qui conduit à : /2 sin( / 2) ( ). j ω ωt T H jω = T. (3.7) ωt /2 L princip d la rconstitution d'un signal à tmps continu à partir d'un signal impulsionnl st alors décrit à la Fig L'xamn d l'amplitud spctral du signal à tmps continu montr qu l'amplitud spctral dans la zon util (, f / 2 ) st déformé par la fonction sin( ωt / 2) /( ω T / 2) (qui n st qu un pâl

11 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES approximation d la fonction d transfrt du filtr d lissag idéal) t d plus qu ds résidus non négligabls ds spctrs translatés subsistnt. Un filtrag pass-bas supplémntair st donc nécssair pour éliminr cs résidus dans l spctr: c'st l filtr d lissag dont ls spécifications sont fort prochs d clls du filtr d gard. x (t) X (w) t -2 ω - ω 2 ω ω H(w) h(t) -2 ω - ω 2 ω ω f*(t) F*(w) ω -2 ω - ω 2 ω Fig. 3.6 L'xtrapolatur d'ordr vu comm un filtr 3.6 Filtr d gard rél L filtr d gard idéal st impossibl à réalisr n pratiqu. Pour obtnir un transition aussi radical ntr band passant t band atténué, il faudrait un filtr d ordr infini. L filtr gard utilisé n pratiqu n st qu un approximation du filtr idéal (Fig. 3.7), dans laqull on accptra d commncr à atténur l signal à partir d un fréqunc f M infériur à F /2, t où la band atténué commncra à un fréqunc f S supériur à F /2. En général, ctt approximation st bonn pour ls fréquncs éloignés d la fréqunc d coupur du filtr. Par contr, l filtr rél possèd un band d band d transition d largur fini, non null. Il s nsuit qu l spctr du signal à tmps discrt obtnu par échantillonnag du signal sortant du filtr d gard différra un pu du spctr du signal analogiqu d départ autour d f M, à caus du rplimnt ds composants résidulls supériurs à F /2.

12 2 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES Fig. 3.7 Filtr d gard rél Ct fft put êtr compnsé d dux façons : Si la fréqunc d échantillonnag st imposé, on put fair n sort qu la band passant du filtr d gard soit franchmnt plus étroit qu la limit théoriqu d f /2 (c qui prmt d avoir un band d transition plus larg, t donc, pour un filtr d dgré donné, un rippl plus faibl n band passant, t un atténuation plus important n band atténué). Ls rcouvrmnts spctraux sont alors minimisés, au prix d un prt ds composants à plus hauts fréquncs du signal. Si on a la librté d choisir la fréqunc d échantillonnag, on put la choisir fortmnt supériur à 2 f M. En fft, pour un fréqunc util maximal f M donné, l filtr d gard st d autant moins critiqu qu la fréqunc d échantillonnag d départ st choisi supériur à 2 fois ctt fréqunc util : on put élargir considérablmnt la zon d transition tout n gardant la mêm band util d fréqunc. On pai alors par un nombr d échantillons plus importants par scond (t donc plus d calculs pour ls traitmnts numériqus qui suivnt) l gain obtnu sur ls spécifications du filtr d gard. Exmpl 3.4 Dans crtains cas, on choisit mêm d échantillonnr à plusiurs fois la fréqunc désiré, c qui prmt d simplifir nttmnt l filtr d gard. Un fois l signal échantillonné, on procèd alors à un souséchantillonnag par filtrag t décimation. Un parti d la complxité du filtr d gard s trouv ainsi déplacé n numériqu, dans l filtr d sous-échantillonnag. Il st n fft nttmnt plus facil (t moins coûtux) d crér ds filtrs sélctifs n numériqu qu n analogiqu. On chrch comm précédmmnt à échantillonnr la fonction rctangulair rct (t). Si l on choisit F =Hz, t qu on choisit comm filtr d gard un filtr pass-bas d dgré d fréqunc d coupur égal à 5Hz, on dmand : D vérifir si la valur maximal d la transformé d Fourir d rct (t) st affcté d moins d % d rrur par rplimnt spctral ;

13 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES 3 Si c n st pas l cas, d donnr l factur d sur-échantillonnag minimal pour qu ctt condition soit rspcté (n supposant qu on n chang pas l filtr d gard). L filtr d gard a un pnt d 2 db/décad (dgré ) à partir d 5 Hz. Comm précédmmnt, on n considérra qu l fft du prmir spctr imag, réduit à son nvlopp. L atténuation du filtr d gard à Hz st d 2dB*log(/5)/log() = 6dB. Comm la transformé d Fourir d rct (t) tomb déjà d 3 db ntr F() t F() (Fig. 3.9), ls 6 db supplémntairs du filtr d gard n prmttnt pas vraimnt d vérifir la condition dmandé (%= atténuation d 4dB). On put rfair l mêm calcul pour ds fréquncs d échantillonnags d 5 (il st clair qu on n doit pas allr jusqu 3Hz, puisqu c st la valur qui vérifi la condition sans filtr d gard). L atténuation y st rspctivmnt d 2dB*log(5/5)/log() = 9.5dB, c qui fait à pu près 45 db si on tint compt du fait qu F(5) st déjà 35 db au dssous d F(). En procédant par approximations succssivs, on trouv facilmnt qu la fréqunc F minimal st d 2 Hz : 2dB*log(2/5)/log() = 7.6dB, qui s ajoutnt aux 32 db d écart ntr d F(2) t F(). L factur d sur-échantillonnag doit donc êtr d Changmnt d fréqunc d échantillonnag - Décimation Intrpolation Il arriv qu l on chrch à augmntr ou à diminur la fréqunc d échantillonnag d un signal déjà échantillonné. Nous nous intérssrons ici au cas l plus courant : clui d un division ou d la multiplication d la fréqunc d échantillonnag par un nombr ntir Décimation Sous-échantilonnag (downsampling) Considérons un signal x (n) obtnu par échantillonnag d un signal analogiqu x(t) à un fréqunc d échantillonnag valant F. En vrtu d c qui a été dit plus haut, l spctr util du signal st limité à l intrvall [,F /2] ; un filtr d gard vill d aillurs normalmnt à c qu ct intrvall n soit pas prturbé par du rplimnt spctral. Sous-échantillonnr c signal à un fréqunc k fois infériur corrspond n princip à n rtnir qu un échantillon d x (n) sur k dans x 2 (n), à décimr x (n) par k (Fig. 3.8) : x ( n) = x ( kn) (3.8) 2 x(t) x LP (t) x (n) k x 2 (n) F /2 F Fig. 3.8 Sous-échantillonnag par décimation brutal d un signal numériqu x (n) Cci pos cpndant un problèm important : l résultat d l échantillonnag d x(t) à F suivi d un scond échantilonnag à F /k st évidmmnt équivalnt à un échantillonnag dirct à F /k : l spctr du signal décimé st clui du signal analogiqu d départ, rndu périodiqu d périod F /k, t dont l amplitud spctral st divisé par kt (c qui constitu donc un division par k par rapport au spctr du signal échantillonné à F ). Or, comm l filtr d gard a été prévu pour un échantillonnag à F, la décimation par k introduit, au nivau d la TFTD

14 4 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES d x 2 (n), un rplimnt spctral ds composants d x (n) situés ntr F /2k t F /2. Il st donc nécssair d fair précédr la décimation d un filtr numériqu (au contrair du filtr d gard, analogiqu) pass-bas jouant l rôl d un «adaptatur d filtr d gard», d fréqunc d coupur F /2k (Fig. 3.9) x(t) x LP (t) x (n) x LP (n) k x 2 (n) F /2 F F /2k Fig. 3.9 Sous-échantillonnag par filtrag t décimation Intrpolation Sur-échantillonnag (upsampling) Pour sur-échantillonnr (au sns du mot anglais «up-sampling») l signal x (n) à un fréqunc k fois supériur, il faut calculr k- échantillons intrmédiairs ntr dux échantillons connus d x (n). C calcul st possibl : n vrtu du théorèm d Shannon, il st mêm possibl d rconstitur complètmnt x LP (t) n utilisant l intrpolatur idéal. L calcul ds k- échantillons intrmédiairs d x LP (t) s fait n pratiqu d la manièr suivant : on commnc par intrpolr d façon brutal n insérant k- échantillons nuls aux ndroits rquis : x ( n) = x ( n / k) ( n multipl d k) 2 x ( n) = ( n non multipl d k) 2 (3.9) Ctt opération n chang n rin la TFTD du signal intrpolé x 2 (n), qui rst périodiqu d périod F. Par contr, l spctr util d c signal s étnd maintnant d à kf /2. C spctr fait donc apparaîtr ds composants d x (n) qui n sont pas présnts dans x LP (t) (Fig. 3.2, où l on a xprssémnt rprésnté ls TFTD n fréqunc vrai, non normalisé). X (f)= X 2 (f) Fin du spctr util d x (n) Fin du spctr util d x 2 (n) f F /2 F 3F /2 2F 5F /2 3F 7F /2 4F Fig. 3.2 Efft spctral d l intrpolation par insrtion d zéros (xmpl : k=4) Cs composants prturbatrics puvnt êtr éliminés n faisant suivr l intrpolation par un filtr pass-bas numériqu d fréqunc d coupur égal à F /2.

15 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES 5 x(t) x LP (t) x (n) k x 2 (n) X 2LP (n) F /2 F F /2 Fig. 3.2 Sur-échantillonnag par intrpolation t filtrag On notra qu ls filtrs numériqus utilisés pour sous- t sur-échantillonnr par un factur k sont n réalité idntiqus. En fft, lur fréqunc d coupur normalisé (rapport d la fréqunc d coupur à la fréqunc d échantillonnag ds signaux d ntrés t d sorti) vaut dans ls dux cas /2k. 3.8 Filtr d lissag rél Sur-échantillonnag (ovrsampling) L filtr d lissag put égalmnt s trouvr grandmnt simplifié par l utilisation d un fréqunc d échantillonnag intrmédiair, supériur à la fréqunc d départ, avant l xtrapolatur. On l obtint facilmnt par intrpolation (up-sampling), c qui impliqu un crtain charg d calcul au nivau du filtr numériqu, qu l on gagn n simplification du gabarit du filtr d lissag. Exmpl 3.5 Application : Sur-échantillonnag dans un lctur d CD Audio L sur-échantillonnag st souvnt utilisé dans l étag d sorti ds lcturs d CD audio. La Fig illustr ls contraints sur l filtr d lissag sans t avc sur-échantillonnag. 5 On constat qu la zon d transition du filtr st baucoup plus larg dans l scond cas. Fig a. Répons n fréqunc typiqu pour l filtr d lissag dans l étag DAC d un lctur d CD, sans suréchantillonnag (haut) t avc sur-échantillonnag d un factur 4 (bas) [d après Phil Shnitr, Digital Signal Procssing, 5 Paradoxalmnt, l industri du lctur d CD s srt mêm du sur-échantillonnag comm un argumnt commrcial.

16 6 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES 3.9 Théorèm d Shannon généralisé L théorèm d SHANNON put êtr généralisé pour ls signaux à band étroit, c'st-à-dir pour ls signaux pour lsquls l'amplitud spctral s trouv confiné dans un band d fréqunc d largur B cntré autour d f (Fig. 3.23). Fig Signal à band étroit Imaginons qu l on échantillonn un tl signal à un fréqunc tll qu Kf = f B /2 ou Kf = f B /2, avc K ntir (Fig t Fig. 3.25). On constat qu ds spctrs imag apparaissnt d part t d autr du spctr initial, mais qu l rcouvrmnt spctral st nul tant qu f 2B. L signal original put donc êtr rconstitué par l passag du signal impulsionnl f () t dans un filtr pass-band idéal dont ls fréquncs d coupur sont f = c f ± B/2. ± Fig Signal à band étroit échantillonné avc 3 f = f B/2

17 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES 7 Fig Signal à band étroit échantillonné avc 3 f = f B/2 La fréqunc d'échantillonnag nécssair st donc fonction d la largur ffctiv B t non d la valur cntral f (comm on aurait pu s y attndr avc la vrsion simpl du théorèm d Shannon) : "Tout fonction f(t) dont l spctr st à band étroit ( f, B) st complètmnt défini par ss échantillons f(nt ) si f 2B t qu f rspct n outr l un ds conditions suivants : Kf = f B /2 ou Kf = f B /2, avc K ntir " On put notr n passant qu ls signaux dont ls spctrs sont donnés à la Fig t la Fig sont idntiqus à cux qu l on aurait obtnus n translatant tout d abord l spctr du signal d Kf (obtnant ainsi un signal analogiqu à bass fréqunc, ntr t f /2, t n échantillonnant c signal à f. La rconstruction du signal d départ impliqu donc bin ntndu d s souvnir qu l signal, avant échantillonnag, avait son spctr dans l intrvall f ± B /2 Exmpl 3.6 Application : Analys n sous-bands L théorèm d Shannon généralisé st mis à profit dans ls systèms dit d analys n sousbands, où un signal d départ st décomposé, par filtrag pass-band, n plusiurs signaux à band étroit, dont la somm fournit l signal d départ. C signaux sont alors échantillonnés séparémnt n rspctant l théorèm d Shannon généralisé. Cci prmt d transformr un flux d échantillons d départ (larg-band, d largur d band f M donné) n N flux à band étroit (f M /N) n consrvant l débit total n nombr d échantillons par scond. Ainsi par xmpl, l signal x(t) dont l spctr A(f), d largur f M, st donné à la Fig st décomposé 2 dux sous-bands A (f) t A 2 (f) d largur f M /2. Ls dux signaux analogiqus x (t) t x 2 (t) corrspondants sont tous dux échantillonnés à un fréqunc d échantillonnag f égal à f M. L échantillonnag d x (t) rspct donc l théorèm d Shannon, t clui d t x 2 (t) rspct l théorèm d Shannon généralisé. Ls dux signaux numériqus corrspondants x (n) t x 2 (n) portnt bin la mêm information qu l signal x(n) qui aurait été obtnu par échantillonnag dirct d x(t) à un fréqunc d échantillonnag f égal à 2f M (pour rspctr l théorèm d Shannon sur l échantillonnag d c signal). L nombr total d échantillons utilisés pour stockr ctt information dans x (n) t x 2 (n) st bin idntiqu à clui utilisé dans x(n). En pratiqu, la décomposition n sous-bands st généralmnt réalisé dirctmnt dans l domain numériqu. Pour l xmpl ci-dssus, on échantillonn x(t) à f = 2f M, puis on décompos par filtrag l spctr d x(n) n dux sous-bands ([, f M /2], [f M /2, f M ]), t on décim ls dux signaux numériqus x L (n) t x H (n) ainsi obtnus par 2, pour obtnir x (n) t x 2 (n) (Fig. 3.27). L signal x (n) put êtr vu comm un «approximation grossièr», bass-fréqunc, d x(n), tandis qu x 2 (n) port au contrair ls détails haut-fréqunc du signal. La mêm opération put alors êtr réitéré sur x (n) t x 2 (n) séparémnt, c qui conduit à un décomposition récursiv n un nombr d sous-bands d plus n plus élvé, t d fréqunc d échantillonnag d plus n plus faibl. C typ d décomposition st utilisé par xmpl pour l codag d imags slon la norm JPEG2, ainsi qu pour l codag/décodag slon la norm MPEG-layr3 (plus communémnt applé mp3).

18 8 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES NUMERIQUES A(f) f M /2 f M f f A (f) f M /2 f M f A (f) f f A 2 (f) A 2 (f) f M /2 f M f f f Fig Efft spctral d la décomposition d un signal n 2 sous-bands. En gras, la band d fréqunc util (-f /2 f /2). x L (n) 2 x (n) F/4 x(n) x H (n) 2 x 2 (n) F/4 F/2 Fig Décomposition numériqu n sous-bands.