Théorème de la bijection : exemples de rédaction

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1 ECE-B 5-6 Théorème de l bijection : eemples de rédction Le but de cette fiche est de fire un point sur le théorème de l bijection. Après un retour sur l énoncé et s démonstrtion, on illustrer l utilistion de ce théorème en grégent les questions rencontrées lors des DS de l nnée -4. Cel devrit vous convincre, je l espère, qu il n est ps envisgeble de perdre des points sur ces questions (toujours les mêmes!). I. L énoncé générl du théorème Théorème. Théorème de l bijection On considère une fonction f : I R définie sur un intervlle I. ) f continue sur I, ) f strictement croissnte sur I. ) f continue sur I, ) f strictement décroissnte sur I. = = ) f(i) est un intervlle, b) f : I f(i) est bijective, c) f : f(i) I est continue et strictement croissnte sur f(i). ) f(i) est un intervlle, b) f : I f(i) est bijective, c) f : f(i) I est continue et strictement décroissnte sur f(i). Démonstrtion. (Cs où f est strictement croissnte) ) f(i) est un intervlle cr imge d un intervlle pr une fonction continue (c est une des conséquences du TVI). b) L fonction f : I f(i) est surjective puisque son ensemble d rrivée coïncide vec son imge. De plus, comme f est strictement croissnte, elle est injective. L fonction f est donc bijective de I sur f(i). c) Montrons que f : f(i) I est ussi strictement monotone. Il s git de montrer : (u, u ) (f(i)), u < u f (u ) < f (u ). Soient u et u deu éléments de f(i). Ainsi : il eiste I tel que u = f( ), il eiste I tel que u = f( ). D où f (u ) = f (f( )) = et f (u ) = f (f( )) =. L impliction à montrer s écrit donc : f( ) < f( ) <. On l démontre pr contrposée : si lors f( ) f( ) cr f est croissnte. Le crctère continu de f, plus technique, n est ps démontré ici. Remrque Le point ) est une conséquence du TVI et est essentiel pour démontrer le crctère continu de f. Le théorème de l bijection est donc souvent présenté comme un corollire du TVI. Toutefois, citer le TVI u lieu du théorème de l bijection ser considéré comme une erreur de rédction : les hypothèses et résultts du théorème de l bijection sont plus précis. L démonstrtion du point c) fit pprître l propriété suivnte. Pour tout,, α éléments de D f : f( ) < f(α) < f( ) f strictement croissnte ========== < α < Évidemment, cette propriété est ussi vérifiée pour des inéglités lrges. Cette propriété donne ussi souvent lieu à des questions dns les concours.

2 ECE-B 5-6 II. L énoncé dpté u questions Théorème. On considère une fonction f : I R définie sur un intervlle I. Tbleu récpitultif. Le tbleu suivnt permet de fire un point sur les différents types d intervlles rencontrés. ) f continue sur I, ) f strictement monotone sur I. Alors pour tout y f(i), l éqution y = f() dmet une unique solution I. I Nture de l intervlle f(i) Cs f strictement croissnte sur I Cs f strictement décroissnte sur I Démonstrtion. C est un corollire direct du théorème. L fonction f : I f(i) est bijective. On en déduit que tout élément y f(i) dmet un unique ntécédent dns l intervlle I. Remrque Les questions nécessitnt ce théorème sont fcilement repérbles : «Montrer qu il eiste un unique α... tel que...» «Montrer que l éqution f() =... dmet une unique solution dns...» L rédction correcte d une telle question demnde de l rigueur. Une erreur clssique et lourdement pénlisée consiste à oublier de préciser les intervlles considérés (I et f(i)). Le théorème suivnt permet de préciser l nture de l intervlle f(i). Théorème. Soit I un intervlle d etrémités et b (chcune pouvnt être infinie). Soit f : I R une fonction continue et strictement monotone sur I. ) Alors f(i) est un intervlle d etrémités lim f() et lim f(). b b) De plus, les intervlles I et f(i) sont de même nture : fermés (comme [, ], [, [, ], ]), ouverts (comme ], [, ], [, ], [), ou semi-ouverts (comme ], ], [, [). [, b] [f(), f(b)] [f(b), f()] [, b[ ], b] ], b[ [f(), lim b f()[ ]lim f(), f(b)] ]lim f(), lim b f()[ ]lim b f(), f()] [f(b), lim f()[ ]lim b f(), lim f()[ Remrque Les tbleu de vrition constituent un outil de bse dns l rédction des questions s ppuynt sur le théorème de l bijection. Une fois étbli, un tel tbleu permet l lecture rpide : des intervlles I de stricte monotonie de f, des intervlles f(i) correspondnts. Nous considérerons dns les illustrtions suivntes que les tbleu de vritions sont déjà rélisés. (en cs de doute, se référer u corrigés précédemment fournis)

3 ECE-B 5-6 III. Illustrtion sur des eemples III.. Énoncé du DS Eercice On considère l fonction f définie pr : f() = ln. Cette fonction est C sur D f =], [ et son tbleu de vrition (complété vec les informtions prouvées ci-dessous) est : Signe de g() Signe de f () α b. On remrque que : ( ) f = 4 ln <, f(α) =, f() = >. ( ) Ainsi on : f < f(α) < f(). Or, d près le théorème de l bijection, f : ], [ ], [ est strictement croissnte. En ppliqunt f à l inéglité précédente, on obtient : < α <. Vritions de f <. Montrer que l éqution f() = dmet une unique solution sur D f. On l noter α. b. Montrer que : < α <. Démonstrtion.. On sit que : ) f est continue sur ], [, ) f est strictement croissnte sur ], [. De plus, f(], [) = ] lim f(), lim f()[ = ], [. D près le théorème de l bijection, l fonction f rélise une bijection de ], [ dns ], [. Or ], [. On en déduit que l éqution f() = dmet une unique solution ], [.

4 ECE-B 5-6 III.. Énoncé du DS5 Eercice ( ) ln( ) On considère l fonction f définie pr : f() =. En posnt f() =, on prolonge l fonction f en une fonction C sur D f = [, [ (fire l étude!). Son tbleu de vrition (complété vec les informtions prouvées ci-dessous) est : Signe de f () Vritions de f α 4. Démontrer qu il eiste un unique α [, [ tel que f(α) =. b. Montrer que : < α < 4. (on donne ln, 69 et ln 5, 6) Démonstrtion.. On sit que : ) f est continue sur [, [, ) f est strictement croissnte sur [, [. De plus, f([, [) = [f( ), lim < f()[ = [, [. > D près le théorème de l bijection, l fonction f rélise une bijection de [, [ dns [, [. b. On remrque que : f() = 4 ln(4) f(α) =, f(4) = 5 ln(5) 4 Ainsi on : = 4 ln( ) = 8 ln() > 5, 6 =. 4 f() < f(α) < f(4). < 8, 7 = 5, 6 <, Or, d près le théorème de l bijection, f : [, [ [, [ est strictement croissnte. En ppliqunt f à l inéglité précédente, on obtient : < α < 4. Remrque Le fit qu une seule flèche (et ps!) soit dessinée dns le tbleu de vrition ne doit ps surprendre. En effet, on rppelle le résultt suivnt (cf chpitre «Dérivbilité») : f sur I et f ne s nnule qu en un nombre fini de points f strictement croissnte sur I Or [, [. On en déduit que l éqution f() = dmet une unique solution [, [. 4

5 ECE-B 5-6 III.. Énoncés du DS6 III..) Énoncé de l eercice Eercice Pour tout entier nturel non nul n, on définit l fonction f n pr : R, f n () = e n Cette fonction est C sur D f = R et son tbleu de vrition (complété vec les informtions prouvées ci-dessous) est : Signe de f n() Vritions de f n Signe de f n() Vritions de f n n n < u n 4 n > n De plus, f n (], [) = ] lim f n(), lim f n()[ = ]n, [. D près le théorème de l bijection, l fonction f n rélise une bijection de ], [ dns ], [. Or ], [. On en déduit que l éqution f n () = dmet une unique solution ], [. b. On remrque que : ( ) f n = = e n <, n e n e n f n (u n ) =, f n () = >. Ainsi on : ( ) f n n < f n (u n ) < f n (). Or, d près le théorème de l bijection, fn : ], [ ], [ est strictement croissnte. En ppliqunt fn à l inéglité précédente, on obtient : n < u n <.. Montrer que l éqution f n () = possède une seule solution sur R. On note u n cette solution. b. Montrer qu on : n N, n < u n <. Démonstrtion.. Soit n N. On sit que : ) f n est continue sur ], [, ) f n est strictement croissnte sur ], [. 5

6 ECE-B 5-6 III..b) Énoncés de l eercice Eercice 4 Soit >. On considère l fonction f définie pr : f() = ep[( )]. A) Cs où =. Montrer que l éqution f() = dmet une unique solution sur R. B) Cs où >.. Montrer que l éqution f() = dmet deu solutions sur R. On noter r() l plus petite. b. Montrer que : < r() <. Technique de démonstrtion. On souhite trouver ici les solutions de l éqution f() =. On ne peut ppliquer directement le théorème de l bijection à f. On considère lors l fonction g : f() de sorte que : f() = g() = Démonstrtion. On note g : f(). A) Cs où =. On lors le tbleu de vrition suivnt. Signe de g () Vritions de g Ainsi, g() = dmet = comme unique solution. Il en est de même de l éqution f() =. B) Cs où >. On le tbleu de vrition suivnt. g () g e On remrque que : ( g ln ) = e (cf corrigé du DS) r() ln ln ( g( ln ) ( ) ln ). Détillons les éléments de ce tbleu de vrition. Sur l intervlle ], ln [. On sit que : ) g est continue sur ], ln [, = ln ) g est strictement décroissnte sur ], ln [. De plus : g(], ln ln [) = ]g( ), lim < ln g()[ = ]g( ), [. D près le théorème de l bijection, l fonction g rélise une bijection de ], ln ln [ dns ]g( ), [. Or ]g( ln ), [. On en déduit que l éqution g() = dmet une unique solution ], ln [. L éqution f() = dmet donc une unique solution sur ], ln [. 6

7 ECE-B 5-6 Sur l intervlle ] ln, [. On sit que : ) g est continue sur ] ln, [, ) g est strictement croissnte sur ] ln, [. De plus : g(] ln ln, [) = ]g( ), lim ln g()[ = ]g( ), [. D près le théorème de l bijection, l fonction g rélise une bijection de ] ln ln, [ dns ]g( ), [. Or ]g( ln ), [. On en déduit que l éqution g() = dmet une unique solution ] ln, [. L éqution f() = dmet donc une unique solution sur ] ln, [. b. Notons tout d bord que l plus petite solution de f() =, notée r() est dns l intervlle ], ln ln [. On en déduit que r() < <. D utre prt, on : g() = e >, g(r()) =. Ainsi on : g(r()) < g(). Or, d près le théorème de l bijection, l fonction g : ]g( ln ln ), [ ], [ est strictement décroissnte. En ppliqunt g à l inéglité précédente, on obtient : < r(). Eercice 5 On considère l fonction f définie, pour [, ] pr : φ() = e. Cette fonction est C sur [, ] et son tbleu de vrition est : Signe de φ () Vritions de φ. Montrer que φ rélise une bijection de [, ] sur [, e ]. b. Montrer que s fonction réciproque φ est continue et strictement croissnte sur [, e ]. c. Dresser le tbleu de vrition de φ. Démonstrtion.. On sit que : ) φ est continue sur [, ], ) φ est strictement croissnte sur [, ]. De plus, φ([, ]) = [φ(), φ()] = [, e ]. D près le théorème de l bijection, l fonction φ rélise une bijection de [, ] dns [, e ]. b. De plus, s fonction réciproque φ : [, e ] [, ] est continue et strictement croissnte sur [, e ]. c. D où le tbleu de vrition : e e On en conclut : < r() <. Vritions de φ 7

8 ECE-B 5-6 III..c) Énoncé du problème A Eercice 6 On considère l fonction f définie pr : f() = 5. Cette fonction polynomile est C sur D f = R et son tbleu de vrition (complété vec les informtions prouvées ci-dessous) est : Signe de f () Vritions de f α 8 b. On remrque que : f() = <, f(α) =, ( ) f = 8 >. Ainsi on : f() < f(α) < f ( ). Or, d près le théorème de l bijection, f : ], [ ], [ est strictement croissnte. En ppliqunt f à l inéglité précédente, on obtient : < α <.. Montrer que l éqution 5 = dmet une unique solution dns R. On note α cette solution. b. Étblir que : < α <. Démonstrtion.. On sit que : ) f est continue sur ], [, ) f est strictement croissnte sur ], [. De plus, f(], [) = ] lim f(), lim f()[ = ], [. D près le théorème de l bijection, l fonction f rélise une bijection de ], [ dns ], [. Or ], [. On en déduit que l éqution f() = dmet une unique solution ], [. 8

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