W - METHODES DE CALCUL APPROCHE DES INTEGRALES

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1 W - METHODES DE CALCUL APPROCHE DES INTEGRALES Le bt de ces méthodes et de clcler ne vler pprochée d ne intégrle b ft)dt où f est ne fonction contine sffismment réglière sr [, b]. L idée de bse est de décoper l intervlle [, b] en n intervlles de longer b )/n et de remplcer sr chqe intervlle l fonction f pr ne fonction pls simple : n polynôme. On vet églement voir ne mjortion de l errer commise, et éventellement le signe de cette errer. Polynômes d interpoltion Notons [, v ] n intervlle sr leqel f est remplcée pr n polynôme Φ. Nos llons étdier trois cs. ) Le polynôme Φ est constnt et vt f). Φ f v

2 W On remplce donc l intégrle ft)dt pr Φt)dt = f)dt = v )f) c est-à-dire pr l ire d n rectngle. L méthode est ppelée por cette rison méthode des rectngles. ) Le polynôme Φ est l fonction ffine qi coïncide vec f en et v. Φ f v L intégrle Φt)dt est l ire d n trpèze de hter v et dont les bses ont por longer respectives Φ) et Φv). On donc Φt)dt = v )Φ) + Φv)) = v )f) + fv)) Cette méthode est ppelée méthode des trpèzes.

3 W 3 3) Le polynôme Φ est le polynôme de degré pls qi coïncide vec f en, v, et + v)/. Cette méthode fit prtie d ne méthode pls générle ppelée méthode de Simpson. Φ f + v v Por déterminer Φ, montrons tot d bord qe le système x ),x v),x )x v)) est ne bse de R [x]. Pisqe l espce est de dimension 3, il sffit de montrer qe le système est libre. Or, si l on, αx ) + βx v) + γx )x v) =, il sffit de remplcer x sccessivement pr et v por obtenir β = pis α =, et finlement γ =. On écrit lors Φ dns cette bse. On cherche α, β, γ tels qe Φx) = αx ) + βx v) + γx )x v). On doit donc voir Φ) = f) = β v) Φv) ) = fv) ) = αv ) + v + v Φ = f = α + β γ. v ) 4 On en dédit qe Φx) = v ) fv)x ) + f)x v) + f) + fv) 4f + v )) ) x )x v).

4 W 4 D tre prt et, en intégrnt pr prties, Il en réslte qe t )t v)dt = t ) dt = t v) dt = 3 v )3, [ ] v t ) t v) t ) dt = 6 v )3. Φt)dt = )) + v f) 6 v ) + fv) + 4f Mjortion de l errer Dns ce qi sit, nos notons D l différence D = ft)dt Φt)dt. Il s git d obtenir ne mjortion de D insi qe le signe de D sos certines conditions portnt sr f. Nos reprenons les trois cs précédentes. ) Méthode des rectngles Proposition Soit f de clsse C sr [, v ]. On ) ft)dt v )f) v ) sp t [, v ] f t). L églité lie dns ) si f est n polynôme de R [x]. Si f grde n signe constnt sr [, v ] c est le signe de l errer D. Soit g définie sr [, v ] pr gx) = x ft)dt x )f). Cette fonction est de clsse C sr [, v ], et l on g x) = fx) f) et g x) = f x).

5 W 5 Pisqe g) et g ) sont nls, en ppliqnt l formle de Tylor, il existe ξ dns ], v [ tel qe gv) = v ) g ξ), soit ) gv) = v ) f ξ). Alors ce qi donne ). gv) v ) sp t [, v ] f t), D tre prt, si f est n polynôme de degré pls, l fonction f est constnte, et d près ) gv) = v ) f ξ) = v ) sp t [, v ] f t). Enfin, tojors d près ), l errer D = gv) est d signe de f, si f grde n signe constnt sr [, v ]. Corollire Soit f de clsse C sr [, b], et, por tot entier i entre et n, soit Alors 3) b ft)dt b n x i = + i b n. fx i ) b ) sp n i= t [, b ] f t). - Si f grde n signe constnt sr [, b] c est le signe de l errer commise en remplçnt pr b n fx i ). i= b ft)dt Por i n, on ppliqe l proposition à l intervlle [x i, x i+ ]. Notons D i l différence D ssociée à cet intervlle. On x i+ D i = ft)dt x i+ x i )fx i ) x i+ x i ) sp f t). t [ x i, x i+ ] x i En remplçnt x i+ x i pr s vler b )/n et en mjornt obtient sp f t) pr sp f t), on t [ x i, x i+ ] t [, b ]

6 W 6 Or Alors ce qi donne 3). D i = x i+ x i b ft)dt n fx i) nb ) sp b ft)dt b n fx i) = D i. D i D i i= i= b ) n i= t [, b ] sp f t) t [, b ] f t). De pls, si f grde n signe constnt sr [, b], tos les D i sont de ce signe et donc lers somme églement. Remrqe : on retrove d près 3) le fit qe lim n + n qi est l vler moyenne de f sr [, b]. ) Méthode des trpèzes i= fx i ) = b b ft)dt, Proposition Soit f de clsse C sr [, v ]. On 4) ft)dt v )f) + fv)) v )3 sp t [, v ] f t). L églité lie dns 4) si f est n polynôme de R [x]. Si f grde n signe constnt sr [, v ] c est le signe opposé de celi de l errer D. Soit g définie sr [, v ] pr gx) = x ft)dt x )fx) + f)). Cette fonction est de clsse C sr [, v ], et l on g x) = fx) f) x )f x)).

7 W 7 On églement g) =. D près l formle de Tylor, il existe ξ dns ], x[ tel qe f) = fx) + x)f x) + x) f ξ). Il en réslte qe 5) g x) = 4 x ) f ξ), d où l on dédit g x) 4 x ) sp f t), t [, v ] et en intégrnt, gv) = g t)dt g t) dt sp f t) t [, v ] 4 t ) dt, ce qi donne finlement gv) v )3 sp f t). t [, v ] Si f est de degré pls, l fonction f est constnte et en intégrnt 5) gv) = f ξ) 4 ) t ) dt = v )3 f ξ). Donc gv) = v )3 sp f t). t [, v ] Enfin, si f grde n signe constnt sr [, v ], l fonction g est d signe de f. Comme g) est nl, l fonction g est ssi d signe de f en effet, si g est positive, g croît à prtir de donc est positive, et si g est négtive, g décroît à prtir de est donc est négtive).

8 W 8 Corollire Soit f de clsse C sr [, b], et, por tot entier i entre et n, soit Alors 6) b x i = + i b n. ft)dt b ) f) + fb) + fx i )) n b )3 sp n i= t [, b ] f t). - Si f grde n signe constnt sr [, b] c est le signe opposé de celi de l errer commise en b ) remplçnt ft)dt pr b ) f) + fb) + fx i ). n i= L méthode de démonstrtion est identiqe à celle d corollire. 3) Méthode de Simpson Proposition 3 Soit f de clsse C 4 sr [, v ]. On 7) ft)dt )) f) + v 6 v ) + fv) + 4f 88 v )5 sp f 4) t). t [, v ] L églité lie dns 7) si f est n polynôme de R 4 [x]. Si f 4) grde n signe constnt sr [, v ] c est le signe opposé de celi de l errer D. Nos llons démontrer tot d bord l proposition dns le cs prticlier où [, v ] = [, ], soit l formle 8) ft)dt f) + f) + 4f 6 )) sp f 4) t). 88 t [,] Posons En intégrnt pr prties, on obtient gt)f 4) t)dt = gx) = x4 4! x3 6 3! = x3 4! x ). 3 [ ] gt)f 3) t) g t)f t) + g t)f t) g 3) t)ft) + ft)g 4) t)dt.

9 W 9 On ssi g t)f 4) t)dt = On obtient sccessivement [ ] g t)f 3) t)+g t)f t)+g t)f t)+g 3) t)ft) ft)g 4) t)dt. g x) = x3 3! x 6, g x) = x x 6 Totes les dérivées de g s nnlent en jsq à l ordre., g 3) x) = x 6, g 4) x) =. En remplçnt dns les dex reltions obtenes, et en les dditionnnt terme à terme, il vient gt)f 4) t)dt + Or, on obtient fcilement, g t)f 4) t)dt = g 3) )f) + g 3) )f) g )f ) g 3) )f) + ft)dt. g 3) ) = 6, g ) =, g 3) ) = 3, ce qi donne finlement 9) D = ft)dt 6 f) + f) + 4f)) = gt)f 4) t)dt + Le membre de droite se mjore en vler bsole pr sp f 4) t) gt) dt + t [,] c est-à-dire pr Mis g est négtive sr [, ], et gt) dt = sp f 4) t) t [,] ) t 3 6 3! t4 4! dt = g t) dt gt) dt. [ ] t 4 6 4! t5 = 5! g t)f 4) t)dt !.

10 W Il en réslte qe ce qi donne le résltt pisqe D 3 3 5! sp f 4) t), t [, ] 3 3 5! = 88. Si f est n polynôme de degré pls 4, l fonction f 4) est constnte, et d près 9) et donc D = f 4) t) D = 88 gt)dt = f4) t) 88, sp f 4) t). t [, ] On voit églement qe si f 4) grde n signe constnt sr [, ], comme g est négtive sr [, ], c est celi de f 4). Por revenir cs générl, on remrqe qe si f est de clsse C 4 sr [, v ], lors en posnt Fx) = f + xv )) on obtient ne fonction F de clsse C 4 sr [, ], vec les reltions Ft)dt = v ft)dt ; F 4) x) = v ) 4 f 4) + xv )), ) ) + v F) = f), F) = fv), F = f. En ppliqnt lors l formle 8), on obtient lors v ft)dt )) + v f) + fv) + f v 6 88 v )4 sp f 4) t), t [, v ] ce qi donne 7) en mltiplint pr v. Remrqe : si f est n polynôme de degré 3, les dex membres de 7) sont nls, et donc ft)dt = )) + v f) 6 v ) + fv) + f lors qe cette églité n vit été obtene qe por les polynômes de R [x].

11 W Corollire 3 Soit f de clsse C 4 sr [, b], et, por tot entier i entre et n, soit x i = + i b et z i = + i + ) b n n. Alors ) b ft)dt b ) f) + fb) + 6n i= fx i ) + 4 i= fz i )) b )5 sp 88n4 t [, b ] f 4) t). - Si f 4) grde n signe constnt sr [, b] c est le signe de l errer commise en remplçnt ) pr b ) f) + fb) + fx i ) + 4 fz i ) 6n i= i= est l opposé de celi de f 4). b ft)dt L démonstrtion est tojors nloge à celle d corollire en remrqnt qe 3) Méthode de Simpson : formle générle z i = x + x i+ L proposition 3 est n cs prticlier de l proposition sivnte :. Proposition 4 Soit n et f de clsse C n sr [, v ]. On ) ft)dt + v f) 6 v ) + fv) + 4f )) + k= k )v ) k+ 3 k k + )! fk) n 3 n + )! v )n+ sp f n) t). t [, v ] L églité lie dns ) si f est n polynôme de R n [x]. Si f n) grde n signe constnt sr [, v ] c est le signe opposé de celi de l errer. ) + v Comme dns l prtie précédente, il sffit de démontrer le résltt si [, v ] = [, ], soit

12 W ) Por cel, on pose ft)dt 6 En intégrnt pr prties et gt)f n) t)dt = f) + f) + 4f g t)f n) t)dt = Or, si i n, on et donc, si i n, En prennt i =, on obtient D tre prt, n 3 n + )! )) + k= k 3 k k + )! ) fk) sp f n) t). t [,] gx) = xn n)! x 6n )! = x n)! [ ) i+ g n i ) t)f i) t) i= [ i= g n i ) t)f i) t) g n i ) x) = ] x n ). 3 ] xi+ i + )! xi 6 i! g n i ) ) =, g ) ) = 6. g n) x) =. + + En sommnt membre à membre les dex expressions écrites pls ht, on trove D n = = f) 6 gt)f n) t)dt + f) 6 g t)f n) t)dt ) i+ g n i ) )f i) ) + i= i= g n) t)ft)dt g n) t)ft)dt. g n i ) )f i) ) + Il ne reste qe les indices pirs dns l somme. Por k vrint de à n posons i = k. Alors D n = g n k ) )f k) ) 6 f) + f)) + ft)dt. k= ft)dt.

13 W 3 Pr illers, si k >, et g n k ) k ) = 3 k k + )! g ) ) = 3. En remplçnt, on obtient l formle 3) ft)dt 6 f) + f) + 4f)) + k 3 k k + )! fk) ) = k= gt)f n) t)dt + g t)f n) t)dt. Le terme correspondnt à k = est nl). On en dédit D n sp f n) t) t [, ] gt) dt, et, pisqe g est négtive sr [, ], gt) dt = ) t 6n )! tn n)! dt = n 3 n n + )!. Finlement D n n 3 n + )! sp f n) t). t [,] ce qi est l formle ). On dédit fcilement de 3), comme dns l proposition 3, qe l églité lie por les polynômes de degré pls n et qe, si f n) grde n signe constnt sr [, ], c est l opposé de celi de D n, pisqe g est négtive sr [, ]. Remrqe : les dex membres de l inéglité de l proposition 4 sont nls por des polynômes de degré pls n.

14 W 4 Corollire 4 Soit f de clsse C sr [, v ]. Si l site de terme générl α n = n 3 n + )! v )n+ sp f n) t) t [, ] converge vers, lors [ )) + v ) ] k + v lim v ) f) + fv) + 4f n k k + )! v )k+ f k) On pet ssi exprimer cel en disnt qe l série de terme générl ) n + v n + )! v )n+ f n) n ) converge et por somme v ) f) + fv) + 4f k= + v )) 3 ft)dt. = ft)dt. L convergence de l site α n ) est ssrée en prticlier s il existe des constntes K et λ telles qe, por tot entier n, sp f n) t) Kλ n n!. t [, v ] Sele l dernière ssertion n est ps évidente. Si on l mjortion indiqée, lors α n Kn )λn n! 3 n + )! = β n. Mis β n+ β n = λ 8 n n )n + 3), et ce rpport converge vers, ce qi, d près le critère de d Alembert, prove qe l série de terme générl β n converge, et donc qe l site β n ) converge vers. Il en réslte qe α n ) converge vers. On pet tiliser églement les techniqes des prties précédentes en tilisnt n décopge de [, b]. On pr exemple, si n = 3 :

15 W 5 Corollire 5 Soit f de clsse C 6 sr [, b], et, por tot entier i entre et n, soit x i = + i b et z i = + i + ) b n n. Alors 4) b ) ft)dt b ) f) + fb) + fx i ) + 4 fz i ) 6n i= i= + b )5 88n 5 f 4) z i ) i= b )7 sp 49n6 t [, b ] f 6) t). Si f 6) grde n signe constnt sr [, b] c est le signe opposé de celi de l errer. Appliction d corollire 4 Soit µ ne constnte non nlle, et f ne soltion de l éqtion différentielle f µf =. On donc, por tot entier n, f n) = µ n f, et sp f n) t) = µ n sp ft). t [, x ] t [, x] L fonction f stisfit x conditions d corollire 4 dns [, x]. On donc k= k )x k+ x ) k k + )! fk) = x x fx) + f) + 4f 3 )) x ft)dt. Mis, comme on obtient, si fx/) n est ps nl, Sx) = k= k )x k+ µ k k k + )! = f k) x ) x = µ k f, ) fx/) x x fx) + f) + 4f 3 )) x ft)dt. On constte qe le résltt ne dépend ps de l soltion f choisie. Por obtenir l somme de l série, prenons { e x µ si µ > fx) = e ix µ. si µ <

16 W 6 On obtient dns le premier cs [ x Sx) = µ ex + + 4e x µ/ ) 3 ] e x µ ) e x µ/, µ ce qi donne Sx) = x Pr n clcl nloge, on obtient dns le second cs Sx) = x cos x ) µ + Exemples ) Clcl d ne vler pprochée de ln = Si l on pose, por tot x de [, ], on, por tot k, et donc ch x ) µ + 6 sh x µ. µ t dt fx) = x f k) x) = ) k k!x k+), sp f k) t) = k!. t [, ] 6 sin x µ. µ On remrqe qe les dérivées pires sont positives. Les errers commises seront donc négtives dns ce cs. ) Utilistion d corollire vec n =. On obtient ln )) 9 = 6, ce qi donne ne vler pprochée I de ln égle à On donc 37956,6937 I,6938. D tre pr, l errer commise en remplçnt ln pr I est telle qe I ln,7 3. On en dédit qe b) Utilistion de l proposition 3,69 ln,6938.

17 W 7 ln ) 4! 6 4 5! =, ce qi donne ne vler pprochée I de ln égle à 5. On donc 36,694 I,695. D tre pr, l errer commise en remplçnt ln pr I est telle qe On en dédit qe c) Utilistion d corollire 3 vec n =. On obtient ln I ln 9 3.,685 ln, )) ce qi donne ne vler pprochée I 3 de ln égle à 747. On donc 5,6935 I 3,6933. D tre pr, l errer commise en remplçnt ln pr I 3 est telle qe On en dédit qe d) Utilistion d corollire 5 vec n =. On obtient I 3 ln 5,3 4.,697 ln, = 9, ln ) 4 ) 4! ) )) ! 49 6 = 54, ce qi donne ne vler pprochée I 4 de ln égle On donc ,6935 I 4,6936. D tre pr, l errer commise en remplçnt ln pr I 4 est telle qe I 4 ln

18 W 8 On en dédit qe On donc les qtre premiers chiffres excts.,693 ln,6936. ) Clcl d ne vler pprochée de I = e t / dt Si l on pose fx) = e x /, on sccessivement f x) = xe x /, f x) = x )e x /, f 3) x) = x3 x )e x /, f 4) x) = 3 6x + x 4 )e x / ) Utilistion d corollire vec n =., f 5) x) = xx 4 x + 5)e x /. Comme f 3) est positive sr [, ], l fonction f est croissnte et vrie de à, donc, f est négtive et sp f t) =. t [,] On lors I + e + e,5 + e, + e,45 + e,8 + e,5 + e,8 + e,45 + e,3 + e,45 ), ce qi donne ne vler pprochée I vérifint l encdrement sivnt,8556 I,856. D tre pr, l errer commise en remplçnt I pr I est telle qe I I 9 4. On en dédit qe b) Utilistion de l proposition 3,8556 I,8566. Les nombres et sont tos dex infériers à l pls petite des rcines d trinôme PX) = X X + 5 cr P) et P) sont positifs et l demi-somme des rcines vt 5. On en dédit qe P est positif sr [, ] et donc qe f 5) est négtive sr cet intervlle. Donc f 4) décroît de 3 à. Elle n est ps de signe constnt et on sp f 4) t) = 3. t [,]

19 W 9 On I 6 + e + 4e /8 ) 96 ce qi donne ne vler pprochée I vérifint l encdrement sivnt,856 I,856. D tre pr, l errer commise en remplçnt I pr I est telle qe, I I,. On en dédit qe,8549 I,857. c) Utilistion d corollire 3 en prennt n =. On obtient I + e + e /8 + 4e /3 + 4e 9/3 ) 536 ce qi donne ne vler pprochée I 3 vérifint l encdrement sivnt,85565 I 3, D tre pr, l errer commise en remplçnt I pr I est telle qe,7 I I 3,7. On en dédit qe On donc trois décimles exctes.,85558 I,85573.