TESTS DE PRIMALITÉ, NOMBRES DE MERSENNE

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1 TESTS DE PRIMALITÉ, NOMBRES DE MERSENNE 1. Introduction Soit N un entier. On eut se oser trois questions distinctes sur la nature arithmétique de N : N est-il comosé? N est-il remier? Factoriser N. Si les trois questions semblent équivalentes, elles sont en fait de difficulté largement différente. On s intéresse ici aux deux remières. A savoir, comment montrer qu un nombre est comosé, uis, si la réonse est aaremment as, comment montrer qu il est remier. Les tests roosés utilisent les notions nécessaires aux calculs et raisonnements dans Z/nZ, où n est un entier, arfois remier. On utilise également un calcul sur un cors fini quadratique sur F ( étant un nombre remier) our le test de rimalité de Lucas.. Tests de non rimalité Le etit théorème de Fermat fournit un test qui eut ermettre de montrer qu un nombre N n est as remier. Si en effet en calculant N 1 mod N, on trouve un résultat distinct de 1, on est certain que N n est as remier. Par contre, si on trouve 1, cela ne veut as dire que N est remier. On eut alors rendre d autres valeurs a que, et calculer. Si l on trouve 1 à chaque fois, cela ne rouvera as non lus que N n est as remier. Il existe des nombres comosés our lesquels on n a que très eu de chances de conclure ainsi : les nombres de Carmichael, c est-à-dire les nombres comosés N tels que 1 mod N our tout a remier avec N. Il a été démontré qu il existe une infinité de tels nombres. Un renforcement de ce test a été donné ar Rabin et Miller en Il se base sur le théorème suivant. Théorème.1. Soit N un nombre remier imair, et a un entier remier à N. Si N 1 = e q, où q est un entier imair, alors : (1) Soit a q 1 mod N. () Soit il existe i tel que 0 i e 1 tel que a iq 1 mod N. Là encore, la réciroque est fausse, comme le montre l exemle où N = 377 et a =. Si un entier a {1,... N 1} vérifie l une des roriétés (1) ou () du théorème de Rabin-Miller, on dit que N est seudo-remier (de Miller-Rabin) our la base a. 1

2 TESTS DE PRIMALITÉ, NOMBRES DE MERSENNE Toutefois, la situation est meilleure que our le test venant directement du etit théorème de Fermat. Le théorème suivant montre en effet que si un nombre N n est as remier, et si l on essaie un nombre suffisant de valeurs de a, on a une très forte robabilité de trouver une base a our laquelle N n est as seudo-remier. Théorème.. Si N est comosé, alors il est seudo-remier dans au lus 1/4 des bases a. Pour démontrer ce théorème, on eut rocéder de la manière suivante. On écrit la décomosition de N en roduit de facteurs remiers N = f. En utilisant le théorème chinois, on voit que le nombre A d éléments a qui satisfont le test est égal à #{x : qx 0 mod ( 1) f 1 } e 1 + #{x : q i x ( 1) f 1 / mod ( 1) f 1 }. i=0 On trouve alors que A = ( ) 1 + ωe 1 ω (q, 1), 1 où ω est le nombre de facteurs remiers de N, et où E = min e, l entier e étant défini our tout ar : e = v ( 1). La robabilité P cherchée est égale à A/(N 1). Si ω = 1, on trouve P = 1 si f = 1, et P ( 1)/( f 1) 1/( + 1) 1/4 si f > 1. Si ω > 1, les inégalités (q, 1) ( 1)/ e et ( 1) N 1 montrent que ( ) P 1 + ωe 1 ω / ωe. 1 On obtient alors la majoration voulue, sauf dans le cas où ω =, où on obtient seulement P 1/. Dans ce cas, on eut affiner les inégalités récédentes our obtenir le bon résultat, sauf si 1 divise N 1 our tout et si N est sans facteurs carrés. On montre alors que ce cas est imossible. 3. Tests de rimalité Suosons que N ait assé le test de Rabin-Miller. Nous sommes alors à eu rès certains que N est remier. Le démontrer rigoureusement est un roblème lus difficile. Nous donnons ici un exemle de test, trouvé ar Pocklington et amélioré ar Lehmer, basé sur le théorème suivant, Théorème 3.1. Soit N > 1 un entier. Alors N est un nombre remier si et seulement si our tout diviseur remier de N 1 on eut trouver un entier a tel que 1 mod N et (a (N 1)/ 1, N) = 1.

3 TESTS DE PRIMALITÉ, NOMBRES DE MERSENNE 3 En effet, si N est remier, et si g est une racine rimitive modulo N, alors il suffit de oser a = g our tout. Réciroquement, soit d un diviseur remier de N, on montre que our tout divisant N 1, v(n 1) divise d 1, ce qui ermet ensuite de conclure que N = d. Ce théorème fournit un test de rimalité raide, dès que l on connaît la factorisation de N 1. La factorisation d un entier est un roblème difficile et eut être un obstacle à l utilisation de ce test. Il arrive toutefois qu il ne soit as tro difficile de factoriser N 1. De lus, on n a as vraiment besoin de la factorisation comlète de N 1, comme le montrent les théorèmes 3. et 3.3 ci-dessous, auxquels la démonstration du théorème 3.1 s alique, avec quelques modifications. Théorème 3.. Soit N > 1 un entier. On suose qu on sait écrire N 1 = F U, où (F, U) = 1, F = g i=1 f i i est comlètement factorisé, et où U < F. Alors N est remier si et seulement si our tout élément x = i, i {1,..., r}, on eut trouver un entier a x tel que x 1 mod N et (a (N 1)/x x 1, N) = 1. Théorème 3.3. Soit N > 1 un entier. On suose qu on sait écrire N 1 = F U, où (F, U) = 1, F = g i=1 f i i est comlètement factorisé, où tous les diviseurs remiers de U sont lus grand qu un entier B, et où BF N. Alors N est remier si et seulement si our tout élément x = i, i {1,..., r} et x = U, on eut trouver un entier a x tel que x 1 mod N et (a (N 1)/x x 1, N) = 1. Un autre test, dû à Lucas, utilise la factorisation de N +1, au lieu de celle de N 1. Ce test utilise les suites (U n ), aelées suites de Lucas, définies ar récurrence : U 0 = 0, U 1 = 1, U n+1 = SU n P U n 1, our n, où S et P sont des nombres entiers. Soit D le discriminant du olynôme Q(x) = x Sx+P, et soit un nombre remier imair ne divisant as DP. On considère la suite (U n ) modulo. On note r et r les racines de Q dans une clôture algébrique de F. Alors [U n ] = (r n r n )(r r ) 1. Si ( D ) = 1, alors r 1 = r 1 = 1, donc U 1 0 mod. Si ( D ) = 1, alors r = r, donc U +1 0 mod. De lus, si e est le lus etit entier tel que U e 0 mod, alors U n 0 mod si et seulement si e divise n. On montre alors de la même façon que our le théorème 3.1 le théorème suivant, qui donne un autre test de rimalité. Théorème 3.4. Si on eut trouver une suite de Lucas (U n ) telle que (N, DP ) = 1, et telle que (U (N+1)/, N) = 1 our tout nombre remier divisant N + 1

4 4 TESTS DE PRIMALITÉ, NOMBRES DE MERSENNE et alors N est un nombre remier. U N+1 0 mod N, 4. Nombres de Mersenne Si N est de la forme n 1, la factorisation de N + 1 est simle et il est lus facile d étudier la rimalité de N. L entier N ne eut être un nombre remier que si n est remier. Un nombre de cette forme M n = n 1, où n est un nombre remier, est aelé nombre de Mersenne. Pour donner un exemle déjà ancien, Euler a démontré que M 31 est remier en utilisant le théorème suivant. Théorème 4.1. Soient et q deux nombres remiers imairs. Si divise M q, alors 1 mod q et ±1 mod 8. Mais revenons aux suites de Lucas. Soit (V n ) définie ar récurrence : V n+1 = SV n P V n 1 our n 1, V 0 = et V 1 = S. Alors U n = U n V n. Si N est un nombre de Mersenne, on a donc U N+1 = U (N+1)/ V (N+1)/. On eut alors remlacer les deux conditions du théorème 3.4 ar la seule condition : V (N+1)/ 0 mod N. Pour calculer V (N+1)/, on eut remarquer que V n = Vn P n. On ose alors v n = V n et on obtient la récurrence v n = vn 1 P n 1. Il est donc intéressant de s arranger our que P = 1 ou 1, c est-à-dire, si a et a sont les racines de Q dans C, our que aa = 1 ou 1. De lus, il est imlicite dans le théorème 3.4 que si le test réussit, ( D N ) = 1. On eut rendre our D un carré multilié ar 3, et donc ar exemle a = + 3, ce qui donne our Q : Q(x) = x 4x + 1. U N+1 Malheureusement, le fait que P = 1, avec ( ) D N = 1, imlique que 0 mod N, ce qui emêche d aliquer le théorème 3.4 directement. On rend alors a = 3+1 au lieu de a et 3 1 our a, ce qui donne comme olynôme x Le raisonnement récédent ne s alique as directement, uisque les coefficients ne sont lus dans Z, mais les résultats restent similaires. Soit (V ) la suite corresondante : V k = a k + a k. On obtient : V 0 =, V 1 = 6, V = 4. En osant v k = V, our k 0, on k+1 obtient le résultat suivant. Théorème 4.. Si n est un nombre remier imair, alors M n est remier si et seulement si v n 0 mod n, où v k+1 = v k our k 0 et v 0 = Problèmes ouverts Signalons au assage une roriété intéressante des nombres de Mersenne : tout nombre arfait air est de la forme n 1 M n, où M n est remier. On raelle qu un nombre arfait est un nombre entier ositif égal à la somme de ses diviseurs rores. Par exemle, 6 est un nombre arfait. Il n est as connu à ce jour de nombres arfaits imairs, et on ne sait as s il en existe.

5 TESTS DE PRIMALITÉ, NOMBRES DE MERSENNE 5 Quant aux nombres de Mersenne, on ne sait as s il en existe une infinité qui soient remiers. On ne sait as non lus s il en existe une infinité qui soient comosés. Il existe ceendant un résultat (théorème 5.1 ci-dessous), dû à Euler, qui semble indiquer que la réonse à cette dernière question devrait être affirmative. On ense en effet qu il existe une infinité de coules de nombres remiers (, + 1), où 3 mod 4. Théorème 5.1. Si k > 1 et = 4k + 3 est un nombre remier, alors + 1 est remier si et seulement si 1 mod Suggestions Plusieurs affirmations sont données sans reuve. Le candidat est invité à les démontrer. Il est ceendant déconseillé d essayer de démontrer qu il existe une infinité de nombres de Carmichael. Par ailleurs, la reuve de certains théorèmes n est qu ébauchée. On ourra en fournir lus de détails. Plusieurs tests sont roosés. On ourra en imlémenter certains et les commenter. On ourra aussi faire une liste de nombres remiers de Mersenne, de nombres arfaits, de nombres comosés de Mersenne.