Optique des milieux anisotropes

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1 Univrsité d Gabs FACULTE DES SCIENCES DE GABES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE A.U. : 015/016 SECTION : LFPh3 Optiqu ds miliux anisotrops s ab s c G %HQ $PDUD D n i c S s d é lt u c a ra F a d u o n B Am m h a M Bn Amara Mahmoud 1

2 Objctifs : L'objctif du cours st d donnr ls bass d la propagation dans un miliu anisotrop t d comprndr l fonctionnmnt d composants optiqus simpls. Chapitr 0: Rappls d'élctromagnétism (Voir TD) Equations d Maxwll - Vctur d Poynting - Equation d propagation - Ond plan monochromatiqu - Structur d l'ond plan - Intnsité d'un ond plan - Vctur d Poynting complx - Vitss d phas, d group t d propagation d l'énrgi Chapitr I: Polarisation d la lumièr Polarisation d'un ond plan monochromatiqu - Rprésntation d l'état d polarisation (vctur d Jons, paramètrs d Stoks t sphèr d Poincaré) Chapitr II: Propagation dans un miliu anisotrop Tnsur diélctriqu - Propagation dans un miliu linéair, homogèn t anisotrop (rlation d disprsion, structur d l'ond plan, mods proprs d propagation, surfac ds indics, llipsoïd ds indics) - Propagation dans un miliu uniax - Lams d phas - Doubl réfraction Chapitr III: Formalism d Jons Matrics d Jons - Exmpls - Filtrs intrférntil d polarisation

3 Chapitr I Polarisation ds onds luminuss 3

4 L txt apparait n doubl après avoir travrsé l cristal d calcit. C'st la doubl réfraction, un phénomèn caractéristiqu ds miliux biréfringnts. Polarisation Biréfringnc dans un basalt. 4

5 1. Natur vctorill d la lumièr 1. Natur vctorill d la lumièr Ls phénomèns luminux sont corrctmnt xpliqués n utilisant la notion d champ élctromagnétiqu qui s propag dans ls différnts miliux sous form d ond. C champ spatio-tmporl st par définition vctoril, puisqu formé du coupl champ élctriqu E(r, t) t champ magnétiqu B(r, t). Ls évolutions d E t d B étant liés au cours du tmps, il suffit d décrir l comportmnt E. C st pourquoi, par la suit tout l attntion st porté sur l champ élctriqu E. 5

6 . États d polarisation ds onds optiqus. États d polarisation ds onds optiqus L étud d la polarisation d un ond optiqu dans un miliu infini rvint à répondr à la qustion suivant: Commnt évolu tmporllmnt l vctur attaché au champ élctromagnétiqu n un point donné d l spac? Si ctt évolution st idntiqu n tous ls points d l spac, l champ optiqu sra dit polarisé. Dans ls autrs cas on sra dans l cas d polarisation partill ou mêm d non polarisation. Pour étudir ls différnts typs d polarisation, il st nécssair d étudir la théori d la propagation ds onds élctromagnétiqus..1. Dscription d un ond luminus Tout vibration luminus put s décomposr n un infinité d onds plans monochromatiqu d fréqunc angulair ω t chacun ntr ux a un infinité d onds plan d vctur d ond. Choisi tl qu: 6

7 L champ élctriqu s écrit : (1) Où st un vctur, à priori complx normal au vctur d ond,,qui décrit l amplitud t la polarisation d l ond considéré. Dans l cas l plus général, il s écrit sous la form: () Où A x, A y sont ds quantités rélls positivs qui décrivnt l amplitud d l ond slon chaqu dirction t φ x, φ y sont ls phass d chacun ds dirctions d polarisation. On rmarqu qu, la phas d un champ étant défini à partir d un référnc d tmps. Ls partis rélls ds projctions du champ slon ls dux dirctions d l spac transvrs, qui rprésntnt ffctivmnt la valur du champ élctriqu, s écrivnt:. États d polarisation ds onds optiqus (3) 7

8 . États d polarisation ds onds optiqus On voit qu l vctur champ élctriqu rél décrit lors d la propagation, un trajctoir dans l plan transvrs, c st c qu on l'appll la polarisation d la lumièr. Champ élctriqu transvrs.. Etat d polarisation l plus général Dans l cas général, ctt trajctoir st un llips. On put la décrir n posant x=ex, y = Ey, n choisissant z=0 t n faisant un changmnt d l origin ds tmps d tll sort qu : (3) (4) 8

9 . États d polarisation ds onds optiqus (4) (5) 9

10 . États d polarisation ds onds optiqus C st l équation d la courb décrit par l champ élctriqu dans l plan transvrs à sa propagation Où φ st l déphasag ntr ls vibrations orthogonals Ex(t) t Ey (t) Par convntion ctt quantité sra désormais pris dans l intrvall [-, ] Ls xprssions (5) montrnt clairmnt qu l llips st inscrit dans un rctangl d coté A x t A y Ay Ax (5) 10

11 . États d polarisation ds onds optiqus Qulqu form d l llips n fonction d déphasag 11

12 Rmarqu L sns d rotation sur l llips s détrmin n xaminant ls équations paramétriqus (4). Par convntion, l sns utilisé généralmnt par ls opticins st rlativ à la dirction d obsrvation C st la dirction Z Pour prcvoir un état d polarisation d la lumièr, on plac œil fac la dirction d propagation d l ond. La lumièr doit pénétrr dans l œil.. États d polarisation ds onds optiqus (4) 1

13 . États d polarisation ds onds optiqus - Si st compris ntr [0, ] l sns d rotation équivalnt au sns invrs d l aiguill d un montr la rotation st dit gauch - Si st compris ntr [-,0] l sns d rotation équivalnt au sns dirct d l aiguill d un montr la rotation st dit droit 13

14 .3. Ellips d polarisation t rpèr d laboratoir En cas général ls ax Ox t Oy d l llips d polarisation n sont pas cux du rpèr du laboratoir Ox t Oy à caus d la présnc du trm croisé (xy) dans l équation (5) :. États d polarisation ds onds optiqus (5) 14

15 Azimut: dirction du grand ax d l llips Y tan() =E0y /E0x Ellipticité :tan() =b/a Y a Ax. États d polarisation ds onds optiqus b Ay X X 15

16 cosα sinα. États d polarisation ds onds optiqus Dans un rpèr fix oxy, il st possibl d détrminr ls axs d l llips n ffctuant un changmnt d rpèr oxy ox y par rotation d angl α = (ox,ox ) (mod ) autour d l ax oz n réduisant la form quadratiqu d l équation (5). y -sinα y cosα α x x 16

17 . États d polarisation ds onds optiqus (6) En s rapplons d l équation (5), on obtint: (7) 17

18 M. États d polarisation ds onds optiqus Annulons du trm croisé n x y d l xprssion (7) On obtint un angl α tl qu: L xprssion n x t y fournit la valur d α à prés, à qui conduit à quatr possibilité corrspondant aux dux axs d llips d équation dans Ox y : M M M (8) 18

19 . États d polarisation ds onds optiqus On démontr (voir TD n séri 1 Exrcic 3) qu ls grandurs a t b longuur rspctivs du dmi-grand ax t du dmi-ptit ax satisfont ls rlations: Suivant ls valurs rlativs à Ax t Ay ds composants orthogonals du champ ou la valur du déphasag, l llips put apparaitr sous form d un crcl ou d un sgmnt d un droit conduisant à ds états d polarisations particulirs. (9) 19

20 3. Principaux états d polarisation 3.1. Etats rctiligns Etud d comportmnt d E y n fonction E x L état d polarisation st rctilign dans l cas où l déphasag st égal à zéro ou. Dans cs conditions, la form quadratiqu d (5) s mt sous la form ci-aprés: + pour = 0 - pour = 3. Principaux états d polarisation (5) 0

21 L llips s réduit alors à un sgmnt d droit qui st l un d dux diagonals du rctangl circonscrit: Polarisation rctilign 3. Principaux états d polarisation = 0 1

22 3. Principaux états d polarisation Polarisation rctilign =

23 3.1.. L comportmnt d E(E x,e y,0) au cour du tmps pour = 0, Ls dux composant cartésinns E x t E y du champ E sont n phas ou n opposition d phas : Ctt propriété st caractéristiqu d un état d polarisation rctilign. Dans l cas d polarisation rctilign, il st souvnt util d choisir comm l un ds axs Oxy la dirction d polarisation considéré: 3. Principaux états d polarisation Polarisation vrtical Polarisation horizontal 3

24 L animation suivant présnt un ond plan polarisé horizontalmnt L animation suivant présnt un ond plan polarisé vrticalmnt L animation présnt un ond plan polarisé rctilignmnt Principaux états d polarisation 4

25 3.. Etats circulairs Etud d comportmnt d E y n fonction E x Considérons maintnant l cas où l déphasag. L llips d équation (5) st alors rapporté à ss axs. Si d plus Ax t Ay sont égaux nt lls, on obtint l équation d un crcl d rayon Ax=Ay= a: = / l équation d un crcl d rayon Ax=Ay= a 3. Principaux états d polarisation (5) 5

26 3. Principaux états d polarisation Pour = / ls dmi axs d l llips s confond avc ls axs du rpèr Pour Ax=Ay: L llips s arrondit t dvint un crcl alors à un crcl = / 6

27 3.1.. L comportmnt d E(E x,e y ) au cour du tmps pour = / L comportmnt ds dux composant cartésinns E x t E y du champ E dépndnt d sign d déphasag : - Si =/ - Si =-/ Polarisation circulair gauch 3. Principaux états d polarisation Polarisation circulair droit 7

28 3. Principaux états d polarisation Comportmnt d E(E x,e y ) au cour du tmps pour = / Polarisation circulair droit Polarisation circulair gauch 8

29 3. Principaux états d polarisation 9

30 Comportmnt d d E y n fonction E x pour différnts valurs d Rctilign Circulair gauch lliptiqu gauch E Y 1,0 0,5 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0-0,5-1,0 E y 1,0 0,5 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0-0,5 E x E X E y 1,0 0,5 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0-0,5-1,0 E y 1,0 0,5 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0-0,5 =/ E x =3/ E x E y 1,0 0,5 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0-0,5-1,0 E y 1,0 0,5 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0-0,5 =/4 =3/4 E x =5/4 =7/4 E x -1,0-1,0-1,0 Rctilign Circulair droit lliptiqu droit 30

31 3.3. Rmarqu Ls convntions d sns d polarisation gauch t droit sont valabls pour un obsrvatur rcvant l ond optiqu c st-à-dir rgardant dans a dirction -Z * > 0 : Y st n rtard par rapport à X, la rotation a liu dans l sns dirct. L champ tourn vrs la gauch : on parl polarisation gauch. * < 0 : Y st n avanc par rapport à X, la rotation a liu dans l sns invrs. L champ tourn vrs la droit : on parl d polarisation droit. - On put détrminr l sns d rotation n détrminant l sign d la dérivé d Ey par rapport au tmps à l origin d tmps 3. Principaux états d polarisation 31

32 3.4. Exmpl d application 3. Principaux états d polarisation Au tmps t = 0, on a x = Ax t y = 0 ; l vctur E st confondu avc l ax Ox. Calculons la dérivé d y à l origin d tmps: Si 0 alors ctt dérivé st positiv, donc y croit. L systèm d'équations (9) rprésnt un llips gauch. Si -0 alors ctt dérivé st négativ, donc y décroit. L systèm d'équations (9) rprésnt un llips droit. (9) 3

33 4. Rprésntation d l état d polarisation 4. Rprésntation d l état d polarisation Afin d rprésntr l état d polarisation d un ond optiqu, il faut utilisr un concpt mathématiqu adapté au problèm à traitr Rprésntation d JONES Définition La natur vctorill d l état d polarisation suggèr d utilisr un rprésntation matricill d c drnir. En 1941 par l physicin américain Robrt Clark Jons à rprésnté l état d polarisation par un vctur à dux dimnsions, applé «vctur d Jons», dont ls composants sont proportionnlls aux amplituds complxs ds composants du champ élctriqu. L vctur d Jons associé au champ élctriqu : 33

34 3. Principaux états d polarisation Dans l formalism d Jons on trouv qu l vctur Jons corrspond à la somm d dux onds ( ond suivant X t l autr suivant Y) D plus, l intnsité d un ond luminus s xprim par l produit scalair hrmitin d J: Comm la multiplication d vctur d Jons par un constant complx qulconqu n modifi pas l état d polarisation, il st souvnt commod d travaillr avc ds vcturs d Jons normés JN 34

35 sin Etat d polarisation rctilign Un état d polarisation rctilign faisant l angl 0 avc l ax x à pour vcturs d Jons normé : cos On put associr son état orthogonal, qui st rctilignmnt polarisé suivant la dirction +/ avc l ax x : +/ 4. Rprésntation d l état d polarisation 35

36 Ls d polarisation rctilign associs aux axs Ox t Oy, qui ls axs d laboratoir, sront noté au moynn du vcturs normés suivant: Polarisation rctilign slon l ax Ox Polarisation rctilign slon l ax Oy Polarisation rctilign 45 slon l ax Ox = 0 st donné par: = / st donné par: 3. Principaux états d polarisation = /4 st donné par: 36

37 Etat d polarisation circulair On put introduir ls vcturs d Jons normés corrspondant aux états gauchs t droits Polarisation circulair gauch : 4. Rprésntation d l état d polarisation 37

38 Polarisation circulair droit : Rmarqus 4. Rprésntation d l état d polarisation On put facilmnt vérifir qu ls états circulairs gauchs t droits sont orthogonaux comm ls états rctiligns vrticals t horizontals puisqu l produit scalair hrmitin ds vctur d Jons corrspondants st nul 38

39 4. Rprésntation d l état d polarisation On montr qu normalmnt, tout état d polarisation put êtr décomposr d manièr uniqu slon la bas ds états rctiligns ou slon d la bas ds états circulairs (voir TD 1) On put aussi définir un matric d changmnt d bas M ainsi qu sont invrs prmttant d passr ntr ls états rctiligns t ls états circulairs 39

40 40

41 Etat d polarisation lliptiqu 4. Rprésntation d l état d polarisation Y tang() =E0y /E0x Azimut: dirction du grand ax d l llips Ellipticité :tang() =b/a Y b a X E0x E0y X 41

42 a. Vctur Jons xprimé n fonction d t O y E0x E0y D un manièr générals, un état d polarisation lliptiqu put êtr rprésnté par un vctur d Jons normé dépndant d dux paramètrs, l angl défini précédmmnt t l déphasag ntr ls composants cartésinns. x 4. Rprésntation d l état d polarisation 4

43 4. Rprésntation d l état d polarisation La multiplication d un vctur d Jons normé par un nombr complx conduit au mêm état d polarisation. Souvnt, l vctur d d Jons st présnté sous la form symétriqu suivant: A chaqu état Tl qu: on put associr son état orthogonal O y +/ x 43

44 b. Vctur d Jons xprimé n fonction d t 4. Rprésntation d l état d polarisation Y Y Dans l rpèr propr d l llips (O b x,y ) l vctur d Jons s écrit: a Dans l rpèr d laboratoir (O x,y) l vctur d Jons s écrit: X X D après la matric d rotation R -1 () (ox y oxy): 44

45 4. Rprésntation d l état d polarisation Matric d transfrt d'un systèm optiqu Soit un systèm optiqu, E l vctur d Jons d la lumièr incidnt t Es clui d la lumièr émrgnt Il st possibl d'écrir : où T rprésnt la matric d Jons du systèm ou matric d transfrt. Si l systèm optiqu st composé d N élémnts caractérisés chacun par un matric d transfrt, alors ctt formul rst toujours valabl d proch n proch, t on aura : On rmarqu qu la prmièr matric du produit T1,. st la matric d transfrt du drnir élémnt travrsé. 45

46 a. Polarisur linéair 4. Rprésntation d l état d polarisation C st un miliux optiqu qui n transmttnt qu ds composants du champ E vibrant parallèlmnt à un dirction détrminé Matric d Jons d un polarisur d dirction d transmission xx E vibr prpndiculairmnt à la dirction d polarisation P Matric d Jons d un polarisur d dirction d transmission yy cos sin cos E vibr parallèlmnt à la dirction d polarisation sin cos sin Matric d Jons d un polarisur d dirction d transmission fait un angl avc l horizontal 46

47 b. Polarisation par rtard d phas A un incidnc normal, un lam birfringnt chang l état d polarisation d l ond n crayant un déphasag Δφ ntr ls dux dirction d E : paissur d la lam; λ : longuur d ond; Δn: la différanc d indic d réfraction ntr ls dux dirctions d la lam Un ond polarisé linéairmnt s trnsform n un ond polarisé lliptiqumnt matric d Jons pour un lam birfrignt M i 4 0 i 4 i Rprésntation d l état d polarisation 1 0 matric d Jons pour un lam λ/4 quart d ond (Δφ=/) 0 i 47

48 Systèm optiqu Matric d Jons corrspondant Polarisur avc ax horizontal Polarisur avc ax vrtical Polarisur avc ax incliné à 45 Polarisur avc ax incliné d un angl Polarisur circulair droit Polarisur circulair gauch Lam λ/ avc ax rapid horizontal Lam λ/ avc ax rapid vrtical Lam λ/4avc ax rapid horizontal Lam λ/4 avc ax rapid vrtical i i i i i i i i i i i i sin ² cos sin sin cos cos ² 48

49 4.. Formalism d Stoks-Mullr Paramètrs d Stoks La rprésntation d Jons n fait appl qu'aux composants du champ élctriqu t n'st valabl qu'aux états totalmnt polarisés. Dans l domain optiqu suls ls intnsités sont msurabls. En 185, Sir G. G. Stoks a introduit quatr paramètrs réls pour rprésntr ls onds d polarisation qulconqu. Cs paramètrs s'obtinnnt à partir ds élémnts d la matric d cohérnc, t sont définis par : P 0 P 1 P P 3 I Q U V E E 0x 0x E E 0x 0x E E E E 0y 0y 0y 0y cos sin 4. Rprésntation d l état d polarisation 49

50 Ls paramètrs d Stoks sont définis par ds grandurs dirctmnt obsrvabls par ds détcturs optiqus. Ils puvnt égalmnt êtr définis comm: 4. Rprésntation d l état d polarisation P0: Intnsité total ; P1: Différnc ntr l intnsité transmis par un polarisur linéair orinté slon l ax x t un autr orinté slon l ax y ; P: Différnc ntr l intnsité transmis par un polarisur linéair à +45 d l ax x t un autr orinté à 45 d x ; P3: Différnc ntr l intnsité transmis par un polarisur circulair droit t un polarisur circulair gauch. Si l ond st polarisé, avc φ = φy φx : 50

51 4... Vctur d Stoks 4. Rprésntation d l état d polarisation Ls paramètrs d Stoks ils sont rgroupé n un grandur vctorill à quatr composants, c st l vctur d Stoks Vctur d Stoks avc avc Vctur d Stoks normalisé 51

52 Y Y b a E0x E0y X X 4. Rprésntation d l état d polarisation 5

53 4.3. Sphèr d Poincaré En 189 Hnri Poincaré a rprésnté par un point dans un sphèr unité, (nommé Sphèr d Poincaré) l vctur d Stoks normalisé à son prmir élémnt P0. La rprésntation d Poincaré prmt d rprésntr géométriqumnt t d'un manièr uniqu un lumièr partillmnt ou totalmnt polarisé. Ell prmt un intrprétation physiqu élégant d la propagation ds états d polarisation. O Rprésntation d'un sphèr d Poincaré. M 4. Rprésntation d l état d polarisation : L'azimut : l'llipticité d'un ond 53

54 Sphèr d Poincaré- Polarisation total 4. Rprésntation d l état d polarisation Ls coordonnés du point M sur la surfac d la sphèr (polarisation total) sont donnés par : x z O M y L vctur d Stoks normalisé ( polarisation total) : 54

55 4.3.. Sphèr d Poincaré- Polarisation partill Si la polarisation st partill, l point M st à dans d la sphèr. O Rprésntation d'un sphèr d Poincaré Polarisation partill. M L vctur d Stoks normalisé ( polarisation partill) : ls coordonnés d point M sont donnés par : Si l ond st n st pas polarisé, l point M st sur l point O. 4. Rprésntation d l état d polarisation : l Dgré d polarisation 55

56 Rprésntation d Poincaré pou différnts états d polarisation. M4//-45 M1//Ox O Polarisation rctilign //45 : M M3//+45 = 0, = 0 ; α= /4 α= / M//Oy Polarisation rctilign slon l ax Ox st donné par: =0 ; α= 0 L vctur d Stoks normalisé Polarisation rctilign slon l ax Oy st donné par: =0 ; α= / α= L vctur d Stoks normalisé L vctur d Stoks normalisé 56

57 4. Rprésntation d l état d polarisation M4//-45 M1//Ox M4,CG M6,CD O M M//Oy M3//+45 Polarisation circulair gauch st donné par: =/ = /4 = / ; α= 0 L vctur d Stoks normalisé Polarisation circulair droit st donné par: =-/ = -/4 = -/ ; α= 0 L vctur d Stoks normalisé 57

58 Chapitr II Propagation d la lumièr dans un miliu diélctriqu anisotrop 58

59 1. Introduction L'objt d c chapitr st d étudir la propagation d la lumièr dans ds miliux homogèns (ls propriétés du miliu sont ls mêms n tout point) anisotrops, c'st a dir tls qu l'indic d réfraction dépnd d la dirction d propagation.. Rappls.1. Définitions - Homogèn : ls propriétés du miliu sont ls mêms n tout point d l'spac. - Isotrop : ls propriétés du miliu sont ls mêms dans touts ls dirctions. La prmittivité diélctriqu t la prméabilité magnétiqu sont ds scalairs isotrop t homogèn Isotrop mais pas homogèn - Miliu anisotrop : ls dirctions n sont pas équivalnts. La prmittivité diélctriqu ou la prméabilité magnétiqu st un tnsurs (matric). (a) La maill élémntair d NaCl st cubiqu. La structur d NaCl n présnt pas d'anisotropi optiqu. (b) la maill élémntair d la calcit CaCo3 st rhomboédriqu. La structur d CaCo3 rprésnt l anisotropi optiqu 1. Introduction 59

60 . Rappls - Miliu transparnt : tout ond incidnt st au moins partillmnt transmis - Miliu non magnétiqu : c st un miliu dont la prméabilité magnétiqu st µ 0 - Diélctriqu parfait : st un miliu qui n port aucun charg (n dhors ds chargs d polarisation), donc ρ = 0, t n st l sièg d aucun courant élctriqu (n dhors ds courants d polarisation), donc j = 0... Rappls sur ls miliux diélctriqus non magnétiqu Ls champs élctriqu t magnétiqu dans l matériau satisfont * Ls équations d Maxwll dans l miliu divd 0 divb 0 B rote t roth D t * Polarisation : Quand ll travrs un miliu matéril, l ond EM induit un polarisation qui vint s ajoutr à cll du vid 0 P 0 E P 1 D (1 E E E r 0 E 0 ) 0 dw * Loi d consrvation d énrgi: divr 0 dt Tl qu : w w w m st la dnsité d énrgi élctromagnétiqu, ou, 1 w m BH t l vctur d Poynting R EH 1 w E D 60

61 * Tnsur d prmittivité diélctriqu [ r ]. Rappls D la loi d consrvation, t du fait qu l miliu considèr st non magnétiqu t parfaitmnt transparnt, il découl qu l tnsur [ r ] st symétriqu rél La matric 3 x 3 rprésntant l tnsur [ r ] st donc diagonalisabl dans un bas orthogonal d états proprs. Dans ctt bas, nous notons : r n1 0 0 ou ls n i sont ls indics proprs du miliu. On utilisra égalmnt par la suit ls c vitsss d phass proprs : v si bin qu la rlation D 0 E dvint: i r ni c 1 Di 0 riei 0ni Ei 0 Ei E i v v 3 cas d figur puvnt s produir: i 0 i A- n : tous ls dirctions sont équivalnts t l miliu st isotrop 1 n n3 B- n1 n n3 : l miliu st dit Uniax (miliu anisotrop) C- n n : l miliu st dit biax (miliu anisotrop) 1 n3 0 n n 3 61

62 3. Structur d l ond plan luminus 3. Structur d l ond luminus Un ond luminus st un ond élctromagnétiqu. Ell st défini par : son vctur déplacmnt élctriqu (polarisation élctriqu): son vctur d ond: son champ élctriqu: son vctur déplacmnt magnétiqu (xcitation magnétiqu): son champ magnétiqu:, t formnt un trièdr dirct t sont intrinsèqus à l ond. t sont générés par t : ils dépndnt du miliu d propagation. k st orthogonal au plan (B; D ) qui form donc l plan d'ond, L plan (E;B) st applé plan d vibration t formnt l plan d polarisation 6

63 3.1. Structur d l ond dans ds miliux isotrops un miliu st isotrop la prmittivité diélctriqu st un scalair D 0 E Soit un ond plan d champ élctriqu : E E0 xp( i(ω( kr)) Ls équations d Maxwll s écrivnt : kd 0 kb 0 r k E t D sont parallèls t transvrss E B k H D 3. Structur d l ond luminus L plan d ond (B; D) st prpndiculair à la dirction d propagation k B t H sont orthogonaux à E t D, t transvrss L plan d vibration (B;E) parallèl au plan d ond (B; D) t prpndiculairs à k L vctur d Poynting st parallèl à k 63

64 - Rlation d disprsion: D après l équation d Maxwll t on obtint: 1 1 D k H 0 k ( k k H D 1 E) k D autr part, D 0 r E - Touts ls polarisations transvrss sont possibls - Rlation d disprsion: En général, on travaill avc l indic : On obtint : Vitss d phas : 0 E k 3. Structur d l ond luminus E B 64

65 3.1. Structur d l ond dans ds miliux anisotrops un miliu st anisotrop la prmittivité diélctriqu st un tnsur D 0 r E D n st plus parallèl à E Pour un ond plan d champ élctriqu : E E0 xp( i(ω( kr)) Ls équations d Maxwll s écrivnt : kd 0 kb 0 k H D k E B D t B sont toujours orthogonaux à k D t H sont orthogonaux E t B sont orthogonaux L vctur d Poynting n st pas parallèl à k 3. Structur d l ond luminus 65

66 3. Structur d l ond luminus t vctur d Poynting l plan t plan d polarisation dirction d propagation d l ond sont colinéairs (quand l miliu n st pas magnétiqu) st l plan d ond dirction d propagation du rayon luminux formnt l plan d polarisation (propagation d la lumièr) 66

67 3. Structur d l ond luminus H B D On a donc : E Ainsi, dans un rpèr qulconqu par xmpl : R k La disposition rlativ d D t E dépnd du miliu d propagation t d la dirction pris par k dans c miliu. D t E sont n fft liés par l tnsur ds prmittivités diélctriqus du miliu : où st un tnsur d rang, on a 67

68 3. Structur d l ond luminus D un point d vu mathématiqu, plutôt qu d choisir un rpèr qulconqu, il st préférabl d choisir un rpèr (un autr bas) dans lqul on puiss xprimr : dans la bas 1, t 3 sont alors applés «prmittivités diélctriqus principals». Rmarqu : st applé «bas principal». Typiqumnt, ls dirctions d la bas principal corrspondnt aux axs d symétri du cristal dans lqul l ond luminus s propag. Si l miliu st non-absorbant, l tnsur d prmittivité st symétriqu 68

69 3. Structur d l ond luminus Rmarqu : Si on considèr l cas particulir d un miliu isotrop (par x. l vrr), touts ls dirctions d l spac sont équivalnts, donc : t t sont colinéairs sont aussi colinéairs Dans un miliu isotrop, l on d t son rayon luminux s propagnt dans la mêm dirction. 69

70 4. Mods proprs d propagation 4.1. Vitss d phas t vitss radial Définitions Vitss d phas : vitss à laqull s déplac l plan d ond. Vitss radial : vitss d propagation du rayon luminux. instant t instant t Vitss d phas : Vitss radial : 4. Mods proprs d propagation 70

71 4. Mods proprs d propagation Equation ds vitsss d phas (équation d Frsnl) * Nous allons chrchr qulls sont ls onds plans qui sont suscptibls d s propagr dans l miliu anisotrop slon un dirction donné d la normal a lur plan d'ond. Plus précisémnt, nous chrchons avc qull vitss d phas v φ d tlls onds puvnt s propagr dans c miliu. * On choisit comm rpèr d l spac la bas principal * Si un ond présnt un dirction d propagation donné par,il st possibl d décomposr c vctur suivant ss 3 composants dans la bas principal : * Chrchons donc l équation donnant la vitss d propagation v suivant la dirction 71

72 4. Mods proprs d propagation k H D B D après l équation d Maxwll t on obtint : 1 D k H 1 0 k ( k E) k E 1 [ k.( E. k) k Introduisons l vctur unitair u d la normal au plan d'ond : u D k [ E 0 u.( E. u)] ² ² ² v [ E Avc, v st la vitss d phas dans la k dirction d propagation du plan d'ond. Or l un miliu st anisotrop 1 E [ E u.( E. u)] r v 0 0 c² [ E u.( E. u)] v 0 u.( E. u)] D 0 r E E] k k ( 1,, 3 ) 7

73 )]..( [ ² u E u E v c E r Ecrivant la rlation : dans la bas )]. ( [ ² E u E E E v c E E E ). ( ( ² ). ( ( ² ). ( ( ² E u E v c E E u E v c E E u E v c E ² ² ² v c n v c n v c n 4. Mods proprs d propagation avc ). ( ). ( ). ( E u v v v E E u v v v E E u v v v E 73

74 ). ( ). ( ). ( E u v v v E E u v v v E E u v v v E On somm ls trois équations On n déduit alors : 1 ² ² ² 0 ² ² ² 3 1 v v v v v v Equation d Frsnl il s agit d un équation du scond dgré n v Aprs simplification par, on rtranch 1 aux dux mmbrs n rmarquant qu ). ( u E 4. Mods proprs d propagation 74

75 4. Mods proprs d propagation 0 ² ² ² 3 1 v v v v v v Réduction au mêm dénominatur : Equation vérifié si l numératur st nul, soit : En dévloppant, on a : L équation st alors d la form : 75

76 4. Mods proprs d propagation avc Il xist donc vitsss d phas possibls dans un mêm dirction d propagation Rmarqu : Prnons l cas particulir d un propagation suivant 3 on a alors : dans la dirction l ond put s propagr à la vitss v 1 t à la vitss v 76

77 4. Mods proprs d propagation Rmarqu : cas trivial d un miliu isotrop Dans un miliu isotrop, la vitss d phas (t la vitss radial) st la mêm dans touts ls dirctions d l spac Equation ds vitsss radials L énrgi luminus (l rayon) s propag dans la dirction du vctur d Poynting à la vitss v r. D la mêm façon qu l on a décomposé l vctur d ond, on put décomposr l vctur d Poynting dans la bas principal 77

78 4. Mods proprs d propagation L rayon luminux, suivant la dirction s propag à la vitss v r, dvant vérifir l équation : équation ds vitsss radials Il s agit ncor d un équation du scond dgré n v r. Sa résolution conduit donc au résultat suivant : Dans un mêm dirction, l énrgi luminus s propag avc vitsss radials différnts. 78

79 4. Mods proprs d propagation 4.. Dirctions privilégiés L analys d la structur d l ond nous a prmis d voir qu :, t formnt un trièdr dirct l plan d ond st à Mais (t a fortiori ) put prndr a priori n import qull orintation dans l plan d ond. Ls lois d l élctromagnétism lèvnt l indétrmination d la façon suivant : «pour un vitss d phas donné, dans un dirction d donné, un sul orintation d st possibl» 79

80 4. Mods proprs d propagation Ls conséquncs sont ls suivants : Slon un dirction, on a vu qu il xist vitsss d phas possibls : v t v A chacun d cs vitsss doit êtr associé un sul orintation possibl du vctur dans l plan d ond : où l on doit toujours vérifir qu D' D' Ls dirctions priss par t sont applés «dirctions privilégiés» L vctur s propag donc suivant à la vitss v, alors qu l vctur s propag aussi suivant mais à la vitss v. ' 80

81 4. Mods proprs d propagation air miliu anisotrop Dans l air, avant l ntré dans l matériau anisotrop, l vctur vibr suivant un dirction constant : on dit qu la «polarisation st rctilign». La vitss d propagation st c ; donc la longuur d ond vaut : 81

82 4. Mods proprs d propagation air Dans l matériau anisotrop, s décompos n t. s propag à la vitss v s propag à la vitss v miliu anisotrop La différnc d longuur d ond génèr un déphasag ds composants 8

83 4. Mods proprs d propagation Bilan : Dans un plan d ond, la somm ds composants st un vctur qui tourn t décrit un llips : on dit alors qu la polarisation st «lliptiqu». Au cours d la propagation, ctt llips s déform t tourn. A la sorti du matériau anisotrop, l ond consrv la polarisation qu ll a dans l plan d sorti. Rmarqu : Comm appartint au plan d polarisation défini par, il s n suit qu tourn d la mêm façon qu. 83

84 4. Mods proprs d propagation plan d polarisation dirction d propagation du rayon luminux dirction d propagation d l ond 84

85 5. Rprésntations géométriqus 5. Rprésntations géométriqus 5.1. Différnts surfacs caractéristiqus Ellipsoïd ds indics: On port dans la dirction d D (dirction d polarisation pouvant s propagr dans l miliu) la valur d indic associé. C st la surfac la plus simpl (un sul napp par plan) pour rprésntr ls caractéristiqus diélctriqus du miliu Surfac d ond (surfac ds vitsss (radials): On port dans la dirction d un rayon (dirction d propagation d l énrgi, dirction du vctur d Poynting) ls dux valurs d vitss d propagation corrspondant aux dux polarisations proprs pouvant s propagr l long d c rayon. C st un surfac plus complx, à dux napps, util pour construir la réfraction ou la réflxion ds rayons dans un matériau anisotrop Surfac ds indics: On port dans la dirction d un vctur d ond (prpndiculair à la surfac d ond) ls dux valurs d indic corrspondant aux dux polarisations proprs pouvant s propagr dans ctt dirction. C st aussi un surfac à dux napps, util pour calculr ls différncs d march dans un miliu anisotrop 85

86 5.. Ellipsoïd ds indics : Il st possibl d construir géométriqumnt ls dux vcturs proprs d polarisations linéairs D t D, n introduisant la notion d'llipsoïd ds indics. a. Equation On considèr Considérons l produit scalair d l équation Or k u D u. D 0 k Dans la bas Or nk ( ) 1 1 E D D i i i 0i 0ni v c ( k) l équation s écrit: 1 D [ E u.( E. u)] 1 D. D E. D D 0v 1 ( E 1. D 1 E. D E 3. D 3 ) D 0v v 0n1 0n 0n3 0v ( D D D D D D ) D 5. Rprésntations géométriqus l indic pour un dirction d propagation k donné par D 86

87 5. Rprésntations géométriqus C 1 D 1 D 1 D ( ) 1 v n D n D n D nd nd nd x1 ; x ; x3 D D D Posons D 1 D 1 D n ( ) 1 n D n D n D x x x 1 C'st l'équation d'un llipsoïd d'axs principaux n 1, n n n n, n 3 : l'llipsoïd ds indics. Ou, x 1,x t x 3 rprésntnt ls coordonnés d un point M dans la bas tl qu : OM D n D OM x x x n

88 b. Construction 5. Rprésntations géométriqus * Pour construir ls llipsoïds ds indics, On port sur la droit colinéair à D, un distanc n à partir d l'origin tll qu OM n * On trac ls llipss par plan, n utilisant l équation d llipsoïds ds indics: O M x n Dans l plan x 3 =0 x n x 1 équation d un llips 1 1 n d dmi-axs Dans l plan x =0 x n x n3 équation d un llips d dmi-axs Dans l plan x 1 =0 x 1 équation d un llips 3 3 n d dmi-axs n n suivant n 3 3 suivant n n n suivant 1 1 suivant suivant 1 1 suivant

89 c. cas d un miliu uniax Un miliu uniax (n = n 3 = n o : indic ordinair t n 1 = n : indic xtraordinair) O x n Dans l plan x 3 =0 x 1 1 no x n équation d un llips d dmi-axs Dans l plan x =0 x no Dans l plan x 1 =0 x x n 3 o équation d un llips d dmi-axs n suivant n suivant o équation d un crcl d rayon 1 n suivant n suivant o n o

90 d. Propriétés Pour un dirction D fixé par un point M sur l llipsoïd: E st normal à l llipsoïd au point M H st tangnt à l llipsoïd n M L plan (H,R ) st tangnt à la surfac d l'llipsoïd n M. 5. Rprésntations géométriqus l llipsoïd ds indics prmt d détrminr l orintation rlativ d t. 90

91 On utilis aussi l'llipsoïd ds indic pour détrminr ls dirctions proprs d vibrations D t D. Pour simplifir l raisonnmnt (t l schéma ), on s plac dans l cas particulir d'un miliu uniax Ls dux suls dirctions d polarisation linéairs D t D physiqumnt possibls, sont donnés par ls dmi axs d l'llips, défini par l'intrsction d l'llipsoïd ds indics t du plan d'ond associ a la dirction d propagation k considéré. H E 91

92 5.3. Surfac d ond ( surfac ds vitsss radials): a. définition A partir d un sourc luminus ponctull qui émt dans touts ls dirctions d l spac, tous ls points attints par ls rayons luminux au mêm instant définissnt la surfac d ond. M à t=1 M à t= M à t=3 La détrmination d la surfac d ond nécssit donc la connaissanc d la vitss radial dans touts ls dirctions d l spac. Tout point M(x 1,x,x 3 ) appartnant à la surfac d ond doit alors vérifir l équation ds vitsss radials : Rmarqu 1: On a vu qu il xist vitsss radials possibls dans un mêm dirction. Il xist surfacs d ond. Rmarqu : Si l miliu st isotrop, la vitss vaut v r = v i dans touts ls dirctions d l spac. La surfac d ond st uniqu t sphériqu. 5. Rprésntations géométriqus 9

93 b. construction * Surfac d ond d un miliu uniax Dans un miliu anisotrop qulconqu, l équation d la surfac d ond s écrit : C qui, après réduction au mêm dénominatur, s résum à : On suppos alors l miliu uniax, tl qu : D où : 93

94 5. Rprésntations géométriqus On a donc solutions possibls : Dans touts ls dirction d l spac, la vitss radial vaut v. La surfac d ond corrspondant st un sphèr d rayon v. soit ncor : La surfac d ond corrspondant st un llipsoïd d révolution d dimnsions : v suivant v 1 suivant t 94

95 Dans l plan x 3 =0 x v x 1 v1 1 équation d un llips d dmi-axs Dans l plan x =0 x v x 1 3 v1 1 Dans l plan x 1 =0 x x v 3 1 disqu d rayon v disqu d rayon v équation d un llips d dmi-axs v Disqu d rayon v v v suivant 1 1 suivant suivant 1 suivant 1 3 disqu d rayon v v 1 95

96 5. Rprésntations géométriqus Il xist donc surfacs d ond : un sphèr + un llipsoïd Un rayon luminux d dirction coup alors ls surfacs d ond n points qui donnnt ls vitsss d propagations possibls pour c rayon. 96

97 5. Rprésntations géométriqus On put rmarqur qu si un rayon s propag dans la dirction, alors il n a qu un sul vitss d propagation possibl : v. Ctt dirction st donc particulièr t st applé «ax optiqu». L ax optiqu d un miliu uniax st la dirction dans laqull il n xist qu un sul vitss d propagation possibl. La surfac d ond sphériqu st applé «napp ordinair» La surfac d ond llipsoïdal st applé «napp xtraordinair» Qull qu soit la dirction d l ond, ll coup la napp ordinair n un point qui donn toujours la mêm vitss : la «vitss ordinair». L ond qui s propag à la vitss ordinair st applé «ond ordinair». 97

98 En rvanch, suivant la dirction d l ond, l intrsction avc la napp xtraordinair donn liu à différnts valurs possibls pour la vitss (allant d v à v 1 ) : ctt ond st applé «ond xtraordinair». Dans l cas étudié ici, la vitss maximum v 1 st applé «vitss xtraordinair». Dans un miliu uniax, pour un dirction d propagation qulconqu, il s cré : un ond ordinair dont la vitss n dépnd pas d l orintation t vaut v o. un ond xtraordinair dont la vitss dépnd d l orintation t st compris ntr v o t v. Rmarqu : L ax optiqu put égalmnt êtr défini comm la dirction suivant laqull ls napps ordinair t xtraordinair coïncidnt. 98

99 5. Rprésntations géométriqus Rmarqu : Un miliu uniax put êtr soit positif soit négatif. l miliu st positif si v o >v ou n o <n Quartz (SiO ) l miliu st négatif si v o <v ou n o >n Calcit (CaCO 3 ) 99

100 * Surfac d ond d un miliu biax 5. Rprésntations géométriqus Dans un miliu anisotrop qulconqu, l équation d la surfac d ond s écrit : C qui, après réduction au mêm dénominatur, s résum à : On suppos alors l miliu biax, tl qu : Dans l plan x 3 =0 Dans l plan x =0 Dans l plan x 1 =0 100

101 5. Rprésntations géométriqus Dans l plan x 3 =0 x v x 1 v1 1 équation d un llips d dmi-axs Dans l plan x =0 x v x v1 1 Dans l plan x 1 =0 x v x 3 v3 1 disqu d rayon v3 disqu d rayon v équation d un llips d dmi-axs disqu d rayon v1 équation d un llips d dmi-axs v v v v suivant 1 suivant 1 v v suivant 3 1 suivant 1 3 suivant 3 suivant 3 101

102 5. Rprésntations géométriqus D mêm qu un miliu uniax, un miliu biax présnt surfacs d ond : *Un surfac d ond sphériqu «napp ordinair» * Un surfac d ond llipsoïdal «napp xtraordinair» Un rayon luminux d dirction coup alors ls surfacs d ond n points qui donnnt ls vitsss d propagations possibls pour c rayon. 10

103 5. Rprésntations géométriqus On put rmarqur qu si un rayon s propag dans ls dux dirctions t, alors il n a qu un sul vitss d propagation possibl : v. On rmarqu aussi qu cs dux dirctions appartnant au mêm plan Or par définition, l ax optiqu d un miliu anisotrop st la dirction dans laqull il n xist qu un sul vitss d propagation possibl. Un miliu biax put égalmnt êtr défini comm un miliu anisotrop qui possèd dux axs optiqu t Un miliu uniax st un miliu anisotrop qui n possèd qu un sul ax optiqu. 103

104 5.4. Surfac ds indics : a. définition La surfac ds indics st l équivalnt d la surfac d ond pour rprésntr la vitss d phas suivant la dirction pris par. Mais, plutôt qu d raisonnr n trm d vitss d phas, on préfèr utilisr la notion d indic : O M 5. Rprésntations géométriqus A chaqu dirction pris par st associé un vitss d phas v. On put alors égalmnt y associr un valur d l indic : Donc, si on définit l point M(x 1,x,x 3 ) tl qu : t Alors la surfac ds indics st constitué par l nsmbl ds points M vérifiant : 104

105 Rmarqu : 5. Rprésntations géométriqus Puisqu suivant un mêm dirction il xist vitsss d phas possibls, on n déduit qu il xist aussi valurs possibl d l indic Rmarqu : Il xist surfacs ds indics. Dans un miliu isotrop, vitss d phas t vitss radial sont idntiqus : la surfac ds indics st uniqu t sphériqu, d rayon 105

106 b. construction * Surfac ds indics d un miliu uniax Dans un miliu anisotrop qulconqu, l équation d la surfac d ond s écrit : C qui, après réduction au mêm dénominatur, s résum à : On suppos alors l miliu uniax, tl qu : Par un raisonnmnt simulabl à c lui ffctué pour la détrmination du surfac d ond on obtint solutions possibls : Dans touts ls dirction d l spac, l indic vaut n. La surfac ds indics corrspondant st un sphèr d rayon n. 5. Rprésntations géométriqus 106

107 La surfac ds indics corrspondant st un llipsoïd d révolution d dimnsions : n suivant n 1 suivant k Pour un mêm dirction il xist vitsss d phas possibls ; sauf dans un dirction particulièr qui présnt la dirction d l ax optiqu. 5. Rprésntations géométriqus t * Surfac ds indics d un miliu biax (voir TD) 107

108 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs 6.1. Rappl Nous rprnons ici l nsmbl ds propriétés démontrés dans ls sctions précédnts dans l cas particulir du miliu uniax, qui st l cas l plus courant. C miliu st défini par : n = n 3 = n o : indic ordinair t n 1 = n : indic xtraordinair; Où par: v = v 3 = v o : vitss ordinair t v 1 = v : vitss xtraordinair Avc dux cas possibls: - n > n o v < v o défini un miliu uniax positif. - n < n o v > v o défini un miliu uniax négatif. 108

109 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs L équation d la surfac ds indics s factoris n dux équations : x ² x ² x ² 1 Surfac xtraordinair: un llipsoïd d n n n 3 1 o x x x n dmi-axs n t n o ² 3² 1² o Surfac ordinair : un sphèr d rayon n o Calcit(CaCO 3 ) uniax négatif Quartz (SiO ) uniax positif 109

110 Miliu uniax négatif n n n n n 1 3 o 3 n o n n n n n o n n o n o n o n o n o n n o 1 3 n o 1 n n n Miliu uniax positif n 1 3 n 1 n o n o n n o n o n n n n n 3 o 1 n n o n o n n o n n o n n o n n n o 3 n n o n o n o n o n n o n n n n 110

111 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs L équation d la surfac ds vitsss s factoris d mêm n dux équations : x ² x ² x ² 1 Surfac xtraordinair: un llipsoïd d v v v 3 1 o x x x v dmi-axs v t v o ² 3² 1² o Surfac ordinair : un sphèr d rayon v o Quartz (SiO ) uniax positif Calcit(CaCO 3 ) uniax négatif 111

112 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs Un miliu uniax possèd ls propriétés suivants: * L miliu uniax, a un sul ax optiqu, dont la dirction pass par l intrsction d dux napps ordinair t xtraordinair. Exmpl: 11

113 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs * L xcitation ordinair (D o ), st orthogonal à l ax optiqu (ao) t st parallèl au champ élctriqu ordinair (E o ). * L xcitation ordinair (D o ), st orthogonal aussi au vctur d ond ordinair (k o ). * L rayon ordinair (R o ), st parallèl au vctur d ond ordinair (k o ). * L xcitation xtraordinair (D ), st dirigé slon la projction d l ax optiqu sur l plan d ond t st orthogonal à L xcitation ordinair (D o ) t au vctur d ond xtraordinair (k ). * L rayon xtraordinair (R ), st prpndiculair au champ élctriqu xtraordinair (E ) RQ: L champ élctriqu xtraordinair (E ) st tangnt à la napp xtraordinair d la surfac ds indics. 113

114 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs 6.. Construction ds rayons réfractés Pour tracr ls rayons réfractés on propos dux méthods d construction : -Construction d Snll-Dscarts : on utilis ls surfacs ds indics -Construction d Huygns : on utilis ls surfacs ds vitsss - Dans ls miliux anisotrops ls lois d Dscarts rstnt valabls pour ls normals aux onds t non pour ls rayons. - La construction d Huygns appliqué aux dux napps d la surfac d'ond, prmt d trouvr ls onds réfractés t ls rayons Construction d Snll-Dscarts Cas d un miliu isotrop Dans ls miliux isotrops, la loi d Snll-Dscarts prmt d détrminr l angl d réfraction à l intrfac d dux miliux : sini v sini v 1 1 avc v n sini c n n sini 1 1 n sini c n sini c 1 1 n 1 n i 1 i 114

115 Voyons l princip d construction pour miliux isotrops ( R k ) Prnons l xmpl d l intrfac air-vrr : n 1 = n air = 1 n = n vrr = 1,55 air vrr k 1, R 1 n n 1 i 1 i 1 1- On trac la surfac ds indics d chacun ds miliux - On trac la prolongation d rayon incidnt on obtint l point H 1 ( l intrsction ntr la prolongation du rayon incidnt t surfac incidnt 3- On trac la prpndiculair à la surfac d séparation (air/ vrr) t passant par H 1 on obtint l point H t H. i H H 1 H k,r 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs 4- On trac l rayon OH on obtint l rayon rfracté 115

116 Cas d un miliu anisotrop 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs On put n déduir la méthod d construction pour l intrfac ntr un miliu isotrop (l air) t un miliu anisotrop (l quartz) : n 1 = n air = 1 n o = 1,544 n = 1,553 k 1, R 1 quartz (uniax>0) 3 1 surfacs ds indics du quartz On choisit l ax optiqu à l intrfac 116

117 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs n i 1 k1, R 1 n 1 1 H E R H 1 D k D k D D o 117

118 6... Construction d Huygns - La construction d Huygns rpos sur l tracé ds surfacs d ond. - Ctt construction donn donc dirctmnt accès aux rayons luminux réfractés. Cas d un miliu isotrop Voyons l princip d construction pour miliux isotrops Prnons un nouvll fois l xmpl d l intrfac air-vrr : n 1 = n air = 1 n = n vrr = 1,55 Rmarqu : v 1 = v air = c v = v vrr = c/n vrr < c 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs Dans un miliu isotrop, la vitss radial st idntiqu à la vitss d phas ; ls vitsss v 1 t v sont aussi ls vitsss radials. 118

119 air vrr k 1, R 1 v 1 v i 1 O i 1 i H 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs 1- On trac la surfac ds vitsss d chacun ds miliux - On trac la prolongation d rayon incidnt on obtint l point H 1 ( l intrsction ntr la prolongation du rayon incidnt t surfac incidnt). 3- On trac la tangnt à la surfac incidnt (air) passant par H 1 on obtint l point H. H 1 3- On trac la tangnt à la surfac réfringnt (vrr) passant par H on obtint l point H. 4- On trac l rayon OH on obtint l rayon réfracté H k,r 119

120 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs Cas d un miliu anisotrop On put n déduir la méthod d construction pour l intrfac ntr un miliu isotrop (l air) t un miliu anisotrop (l quartz) : n 1 = n air = 1 n o = 1,544 n = 1,553 k 1, R v 1 = v air = c v o = c/n o v = c/n quartz (uniax>0) v < v o < c On choisit l ax optiqu à l intrfac 10

121 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs c i 1 k1, R 1 v O H E R D H o k H 1 H D k D D o 11

122 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs Exrcic d application Construir ls rayons réfractés à travrs l intrfac ntr un miliu isotrop (l air) t un miliu anisotrop (l quartz) n indiquant, ls champs D, E t la dirction du vctur d ond K, pour ls différnts cas suivants : a- angl d incidnc i 1 0, A.O au plan d construction t non à l intrfac. b- angl d incidnc i 1 0, A.O au plan d construction t // à l intrfac. c- angl d incidnc i 1 0, A.O au plan d construction. d- angl d incidnc i 1 = 0, A.O au plan d construction t à l intrfac. - angl d incidnc i 1 = 0, A.O au plan d construction t non à l intrfac. f- angl d incidnc i 1 = 0, A.O au plan d construction t // à l intrfac. g- angl d incidnc i 1 = 0, A.O au plan d construction. 1

123 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs a- angl d incidnc i 1 0, A.O au plan d construction t non à l intrfac. c i 1 k1, R 1 v R E H O H H o 1 H D k D k D D o 16 13

124 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs b- angl d incidnc i 1 0, A.O au plan d construction t // à l intrfac. A.O c i 1 k1, R 1 v O H H o k D H 1 E 17 H R D k D D o 17 14

125 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs c- angl d incidnc i 1 0, A.O au plan d construction. c A.O i 1 k1, R 1 v O H E D R k H o H 1 18 H D k D D o 18 15

126 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs d- angl d incidnc i 1 = 0, A.O au plan d construction t à l intrfac. H c v E k 1, R i D k H 1 R O H o H D k D D o 16

127 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs - angl d incidnc i 1 = 0, A.O au plan d construction t non à l intrfac. H c R E v H k 1, R 1 D O H o H 1 k D k D D o 0 17

128 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs f- angl d incidnc i 1 = 0, A.O au plan d construction t // à l intrfac. A.O H c v D k 1, R 1 E i 1 O H 1 H H o R k D k D D o 1 18

129 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs g- angl d incidnc i 1 = 0, A.O au plan d construction. c v k 1, R 1 H H 1 A.O E H o i 1 O H D k R D k D D o 19

130 6.3. Application 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs Pour d nombruss applications dans l domain d l optiqu, on st amné à travaillr avc d la lumièr polarisé. La lumièr naturll n l st pas : on y trouv touts ls orintations possibls du vctur. Dans l but d obtnir un faiscau d lumièr polarisé dans un dirction souhaité, on a alors rcours à l utilisation d polarisurs, dont l princip général st l suivant : Un miliu anisotrop prmt la création d rayons (ordinair t xtraordinair) polarisés prpndiculairmnt l un par rapport à l autr t suivant un dirction précis qui st fonction d l orintation d l ax optiqu. Un polarisur st alors un dispositif basé sur l utilisation d un miliu anisotrop qui va prmttr (i) d éliminr un ds dux rayons t (ii) d choisir la dirction d polarisation du rayon consrvé par un orintation approprié d l ax optiqu. 130

131 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs Séparatur biréfringnt n incidnc normal L séparatur délivr dux faiscaux parallèls linéairmnt polarisés t d polarisations orthogonals (il st n c sns équivalnt à un nsmbl d dux polarisurs orthogonaux) La calcit st utilisé n raison d sa biréfringnc élvé (n o -n ) qui prmt un séparation ds dux onds plus aisé. Exmpl ; lam à fac parallèl Considérons un lam à fac parallèl, n calcit, d épaissur t dont l ax optiqu n st ni parallèl ni prpndiculair à la fac d ntré. Soit un rayon incidnt continu dans l plan d la sction principal ( plan formé par la dirction incidnt, la normal à la surfac d ntré t l ax optiqu d la lam). k 1, R 1 A.O Miliux uniax négatif ( n < n o ) 131

132 c Tracés d rayons dans un lam à facs parallèls 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs k 1, R 1 v o v A.O A.O H o H H H 1 E D Miliux uniax négatif ( n < n o ) k R 13

133 c Tracés d rayons dans un lam à facs parallèls 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs k 1, R 1 v o v A.O A.O R i v o v H i H D s s E s H oi H os k,r s k,r os s os Miliux uniax négatif ( n < n o ) 133

134 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs Ls dux rayons (ordinair t xtraordinair) sortnt d la lam parallèlmnt au rayon incidnt séparés par un distanc t ayant un déphasag Tl qu: * tan( ) où dépnd d l orintation d l ax optiqu n * R i A.O R i Miliux uniax négatif ( n < n o ) R s R os 134

135 c Variation d n fonction d l orintation d l ax optiqu 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs k 1, R 1 v o A.O R i k,r os os k,r s s Miliux uniax négatif ( n < n o ) 135

136 c Variation d n fonction d l orintation d l ax optiqu 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs k 1, R 1 v o A.O A.O R i k,r os os k,r s s Miliux uniax négatif ( n < n o ) 136

137 c Variation d n fonction d l orintation d l ax optiqu 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs k 1, R 1 v o v A.O A.O R i k,r os os k,r s s Miliux uniax négatif ( n < n o ) 137

138 c Variation d n fonction d l orintation d l ax optiqu 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs k 1, R 1 v o A.O A.O R i k,r os os k,r s s Miliux uniax négatif ( n < n o ) 138

139 c Variation d n fonction d l orintation d l ax optiqu 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs k 1, R 1 v o A.O A.O R i k,r os os k,r s s Miliux uniax négatif ( n < n o ) 139

140 6.3.. : Prisms polarisants 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs C sont ds polarisurs linéairs : sul l rayon xtraordinair st transmis, l rayon ordinair subit un réflxion total. On distingu: Polarisur d Glan Thomson : prisms d spath, axs optiqus // séparés par un fin lam d coll nc d indic voisin d 1.55 Polarisur d Glan Taylor : prisms d spath, axs optiqus // séparés par un fin lam d air Glan-Thomson (coll: n=1,55) D k Glan-Taylor (air : n=1) a.o. D calcit k a.o. n 1,486 k En incidnc normal, la condition pour avoir réflxion du rayon ordinair t réfraction du rayon xtraordinair port sulmnt sur la valur d l angl. D D k 140

141 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs Glan-Taylor (air : n =1) a.o. Glan-Thomson (baum du C. : n =1,55) n 1, 486 a.o. D k k D D k Il faut n fft vérifir : pour un Glan-Taylor : pour un Glan-Thomson : calcit angl limit rayon ordinair: angl limit rayon xtraordinair: rayon xtraordinair toujours réfracté D k 141

142 : Prisms divisurs d faiscaux Dux faiscaux polarisés linéairmnt t dans ds dirctions orthogonals sortnt du prism d Wollaston t du prism d Rochon dans ls quls ls axs optiqus sont croisés. Prism d Wollaston : rayon incidnt à l ax optiqu rayon incidnt a.o. a.o. Prism d Rochon : rayon incidnt // à l ax optiqu rayon incidnt a.o. 6. Tracés d rayons luminux dans ls miliux uniaxs a.o. 14