Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes

Transcription

1 Petit supplément sur les fonctions à vleurs complexes Jen-Pul Vincent 2008

2 1 Fonctions à vleurs complexes

3 Limites et continuité Definition Une fonction à vleurs complexes est une fonction dont l imge est contenue dns C. En prticulier, une suite complexe est une suite (u n ) n 0 où pour tout n : u n C.

4 Definition L conjuguée d une fonction f à vleurs complexes est l fonction f définie pr f (x) = f (x). L prtie réelle d une fonction f à vleurs complexes est l fonction Re f := 1 2 (f + f ) et s prtie imginire, Im f, est définie pr Im f = 1 2i (f f ).

5 Limites et continuité Definition Une prtie A de C est bornée s il existe un réel M tel que tout élément z de A soit tel que : z M. Autrement dit, A est contenue dns le disque de centre 0 de ryon M.

6 Limites et continuité Definition Une prtie A de C est ouverte, si tout élément de A est le centre d un disque contenu dns A. Une prtie A est dite fermée si l prtie complémentire C \ A est ouverte.

7 Limites et continuité L somme et le produit de deux fonctions complexes se définissent de l même mnière que pour les fonctions réelles. Theorem L ensemble des fonctions complexes bornées est muni de structures d espce vectoriel et d nneu (lgèbre). Les notions de limite, de convergence, sont nlogues ux notions réelles, le module remplçnt l vleur bsolue.

8 Limites et continuité Definition Nous dirons que l fonction complexe f dmet une limite en si pour toute suite (réelle) (u n ) n 0 qui tend vers, l suite (complexe) (f (u n )) n 0 dmet une limite (cette limite étnt un (unique) complexe si f est bornée ou sinon). L fonction complexe f est continue en, élément de C, si elle est définie en et si elle dmet une limite finie (lim f C) en. Ces définitions peuvent s écrire vec l notion de voisinge et C = C { }.

9 Limites et continuité Theorem Une fonction complexe dmet une limite l dns C si et seulement si ses prties réelle et imginire dmettent une limite. Remrque f une limite infinie si et seulement si s prtie réelle ou s prtie imginire dmet une limite infinie. Theorem Une fonction complexe dmettnt une limite finie en un point est bornée u voisinge de ce point.

10 Limites et continuité Opértions lgébriques sur les limites de fonctions Hormis ce qui concerne ± toutes les reltions réelles se récrivent telles quelles. D prés ce qui précède, il est toujours possible de se rmener u cs réel. Theorem Soit I un intervlle de R, l ensemble C(I) est muni de structures d espce vectoriel et nneu.

11 Dérivtion des fonctions à vleurs complexes Tous les résultts concernnt les fonctions à vleurs complexes ont leurs équivlents pour les fonctions à vleurs dns R 2, suf exception. Les notions de fonctions dominntes, négligebles se trnscrivent u cs complexe, pr exemple : Soient f et g deux fonctions définies sur un intervlle I et à vleurs complexes, on dit que g = o(f ) en ( R) si et seulement si pour tout ɛ > 0 il existe un voisinge V de tel que x V implique g(x) ɛ f (x). Pr suite Definition f fonction définie u voisinge de et à vleurs complexes est dérivble en, de dérivée égle à f () si et seulement si, pour tout x u voisinge de : f (x) f () f ()(x ) = o( x )

12 Dérivtion des fonctions à vleurs complexes Theorem f, fonction complexe, est dérivble en si et seulement si Re f et Im f sont dérivbles en. Dns ce cs : f () = Re f () + iim f () Démonstrtion. L opértion qui à une fonction ssocie son développement limité est linéire. Nous définirions de même une fonction dérivble sur un intervlle, une fonction n fois dérivble, une fonction de clsse C k (k N { }). L formule de Leibniz est vlble pour les fonctions à vleurs complexes (les fonctions de clsse C k forment une lgèbre).

13 Dérivtion des fonctions à vleurs complexes Remrque Le théorème de Rolle est fux. En effet, soit f (x) = e ix, on f (0) = 1 et f (2π) = 1 pourtnt, pour tout x : f (x) = 1.

14 Dérivtion des fonctions à vleurs complexes Theorem Soit f, fonction complexe définie et continue sur [, b], dérivble sur ], b[ (et à dérivée bornée), lors : f (b) f () b sup f (t) t ],b[

15 Dérivtion des fonctions à vleurs complexes Preuve Soient f 1 = Re(f ) et f 2 = Im(f ), α et β deux réels quelconques, on pose g(x) = αf 1 (x) + βf 2 (x), on peut ppliquer le théorème des ccroissement finis, version réelle, à g : il existe c dns ], b[ tel que g(b) g() = g (c)(b ), d où : α(f 1 (b) f 1 ()) + β(f 2 (b) f 2 ()) = (αf 1(c) + βf 2(c))(b ) Posons α = f 1 (b) f 1 () et β = f 2 (b) f 2 (), lors : f (b) f () 2 = (αf 1(c) + βf 2(c))(b )

16 Dérivtion des fonctions à vleurs complexes (suite). D près Cuchy-Schwrz-Bounikovsky : f (b) f () 2 α 2 + β 2 f (c) b L inéglité ttendue est obtenue cr : α 2 + β 2 = f (b) f (). (si l dérivée n est ps bornée, l conclusion reste vlide mis ps très utile.)

17 Intégrtion L définition de l intégrle s étend nturellement u cs d une fonction f définie sur un intervlle [, b] et à vleurs complexes. Definition Soit f, définie sur [, b] à vleurs complexes, continue pr morceux (telle que Re f et Im f soient continues pr morceux). Alors l intégrle de f sur [, b] est : b f (t) dt = b Re (f )(t) dt + i b Im (f )(t) dt

18 Intégrtion Theorem (Propriétés) Soit f une fonction complexe définie et continue pr morceux sur [, b] où b : b f (t) dt b f (t) dt b f (t) dt b sup[,b] f

19 Intégrtion Démonstrtion. Soient f 1 = Re(f ) et f 2 = Im(f ), α et β deux réels quelconques ( b) : b b α b b f 1 + β f 2 = αf 1 + βf 2 αf 1 + βf 2 Intégrons αf 1 + βf 2 α 2 + β 2 f en posnt : il vient : α = b b f 2 f 1, β = b f b f 2 b f

20 Primitives Theorem Soit f, définie et continue sur [, b] à vleurs complexes, lors l fonction F : x x f (t) dt est l unique primitive de f, nulle pour x =.

21 Formules de Tylor Theorem Les formules de Tylor-Young et de Tylor vec reste intégrl sont vlbles pour les fonctions complexes. Il n y ps d églité pour l formule de Tylor-Lgrnge mis l inéglité est vlide (et utile lorsque l dérivée d ordre n + 1 est bornée). Theorem Soit f, définie, de clsse C n sur [, b], n + 1 fois dérivble sur ], b[, à vleurs complexes. Alors : f (b) f (k) (b )k () k! sup f (n+1) b n+1 (t) (n + 1)! 0 k n t ],b[