Propriétés de l'intégrale.

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Antoinette Pruneau
il y a 6 ans
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1 Propriétés de l'intégrle. I Résultts sur l'intégrle. Interversion des bornes. { et b des réels, Soit f une fonction continue sur un intervlle contennt et b. = b Linérité de l'intégrle. {, b, α et β des réels, Soit f et g des fonctions continues sur un intervlle contennt et b. Remrques. αf(t) + βg(t) dt = α + β g(t) dt. Il s'git de l notion de linérité u sens de celle d'ppliction linéire. 2. Du point de vue lgébrique on dit que l'intégrle est un opérteur linéire. Reltion de Chsles. {, b, et c des réels, Soit f une fonction continue sur un intervlle contennt, b et c. + c b = c Intégrer des inéglités. { et b des réels vec b, Soit f et g des fonctions continues sur [,b]. f -

2 f g g(t) dt "Inéglité tringulire". { et b des réels, Soit f une fonction continue sur un intervlle contennt et b. f(t) dt Théorème fondmentl de l'nlyse. et b des réels, f une fonction continue sur un intervlle contennt Soit et b, F une primitive de f sur un intervlle contennt et b. = F (b) F () Inéglité de l moyenne. { et b des réels vec b, Soit f une fonction continue et dérivble sur sur [,b]. S'il existe m et M des réels tel que pour tout x [; b], m f (x) M, lors m(b ) M(b ) - 2

3 Inéglité des ccroissements nis. { et b des réels vec b, Soit f une fonction continue et dérivble sur sur [,b]. S'il existe M un réel tel que pour tout x [; b], f (x) M, lors f(b) f() b M Remrques.. Nous l'utiliserons souvent sous l forme f(b) f() M b. II Applictions. Exercice L' objectif est de clculer les intégrles suivntes : I =. Clcul de I. x2 + 2 dx; J = x 2 x2 + 2 dx; K = Soit l fonction f dénie sur [; ] pr ( f(x) = ln x + ) x () Clculer l dérivée de l fonction g(x) = x (b) En déduire l dérivée f de f. (c) Clculer l vleur de I. 2. Clcul de J et de K. x2 + 2 dt. () Sns clculer explicitement J et K, vérier que : J + 2I = K. (b) À l'ide d'une intégrtion pr prties portnt sur l'intégrle K, montrer que : K = 3 J. (c) En déduire les vleurs de J et de K. Exercice 2 Soit I = (2t 2 3t 4 )e t2 dt + 2 3t 4 e t2 dt t 4 e t2 dt. - 3

4 . Démontrez I = 2t 2 e t2 dt 2. Démontrez que quelque soit le réel x de l'intervlle [; ] 2x 2 e x2 2 puis déduisez-en que I Clculez I. Exercice 3 Étude de l suite numérique u dénie pr u = 2 et, pour tout entier nturel n, pr. Étude théorique : On désigne pr I l'intervlle u n+ = 2 2e un. [ ] 3 2 ; 2. () Étudier les vritions de l fonction g dénie sur I pr g(x) = 2 2e x. Montrer que g(i) I et que pour tout x I, g (x) 2. (b) Montrer, pr récurrence, que pour tout entier nturel n, u n pprtient à I puis que l suite u est croissnte. En déduire que l suite est convergente vers un réel l tel que g(l) = l. (c) En utilisnt l'inéglité des ccroissements nis, montrer que, pour tout entier nturel n, on : u n+ l un l 2 puis que : u n l ( ) n Étude numérique : soit p un entier strictement positif. () Utiliser l'inéglité précédente pour déterminer un entier n tel que, pour tout entier n supérieur ou égle à n, on it u n l p. Préciser n pour p = 3. (b) Écrire l vleur pprochée pr défut vec 3 décimles de u, u 2, u 3, u 4 et u 7 que permet de trouver votre clcultrice. - 4

5 Exercice 4. () Étudier les vritions de l fonction f dénie pour tout x réel de l'intervlle ] ; + [, pr : f(x) = 2 ln(x + ) (b) Déterminez grphiquement les nombre de solutions de l'éqution 2 ln(x+ ) = x. On noter λ l solution non nulle de cette éqution. Déterminer grphiquement une vleur pprochée de λ à près. 2. On considère l suite numérique (u n) n N dénie pr : u = 5 et, pour tout entier nturel n, u n+ = 2 ln(u n + ). 3. () Montrer que, pour tout réel x de l'intervlle [2; + [, on : f (x) 2 3. (b) En déduire que, pour tout entier nturel n, on : u n+ λ 2 un λ 3 puis et que l suite converge vers λ. u n λ 3 ( ) n 2 3 Exercice 5 Pour chque entier nturel n, on pose u n = x n + 2x + 4x 2 dt. Montrer que l'on dénit insi une suite (u n), chque terme étnt positif ou nul. 2. Étudier le sens de vrition de l suite (u n). En déduire qu'elle converge. 3. Déterminer un réel vérint : [; ]. En déduire l limite de l suite (u n). pour tout réel x de l'intervlle + 2x + 4x2 Exercice 6 On désigne pr N l'ensemble des entiers nturels. - 5

6 On considère l suite numérique (u p) p N dénie, pour tout entier nturel p de N pr : u p = ( ) p (3p + )(3p + 2), puis l suite (S n) n dénie, pour tout n N, pr S n = u + u + + u p + + u n.. Montrer que pour tout entier nturel p, on 2. () Montrer que (b) On pose Montrer que t 3p ( t) dt = S n = (3p + )(3p + 2). ( t) ( t3 ) n+ + t 3 dt. I = I S n = ( ) n+ Donner sur [; ] un mjornt de t + t 3 dt. t 3 + t 3 [t3n ( t)] dt. t 3 +t 3 et en déduire, en utilisnt le B., que I S n 9n Montrer que l suite (S n) n N est convergente et que s limite est I. 4. On considère l fonction numérique f dénie sur [; ] pr : f(x) = x + x 3 () Déterminer trois réels, b et c, tels que pour tout x dns l'ensemble de dénition de f on it : f(x) = x + + bx + c x 2 x +. (b) x étnt un nombre réel positif, justier l'existence de l'intégrle : et l clculer. F (x) = x (c) Clculer F () puis conclure qund à l suite (S n) n N. - 6

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