Automates temporisés

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1 Automtes temporisés introdution pr un néophyte Prtie I / II Mots et utomtes temporisés Merredi 30 otore ÉNS Lyon Jérôme DURAND-LOSE jerome.durnd-lose@ens-lyon.fr MC2 LIP - ÉNS Lyon Automtes temporisés p.1/18

2 Pln 1. Automtes (non temporisés) () Mots / lngges / Automtes finis () Extensions non temporisées (mots infinis) 2. Mots et lngges temporisés () Définitions () Opértions, propriétés 3. Automtes temporisés () Définitions, exemple () Automte des régions 4. Quelques omplexités () Non los pr omplémentire () Vuité est PSPACE-omplet () Universlité est o-r.e.-omplet Automtes temporisés p.2/18

3 Automtes Finis (non temporisés) 1. Mots / lngges 2. Automtes finis 3. Utilités Automtes temporisés p.3/18

4 Mots, lngges et leurs opértions Alphet : ensemle fini Σ Mot : suite finie de lettre Opértion : onténtion (e.g. {,, }) (e.g. ) (e.g. d = d) (monoïde lire) Lngge : ensemle de mots Opértions ensemlistes : L, L 1 L 2, L 1 L 2,... Opértions prtiulières : L 1 L 2, L,... Lngges rtionnels (regulr), expression rtionnelle... Lemme et Théorème de l étoile Automtes temporisés p.4/18

5 Automtes finis A = (Σ, Q, I, F, ) Q : ensemle fini d étts (I : initiux, F : eptnts) : ensemle des trnsitions 0... ε Reonnissne... L(A) Théorème de Kleene Construtions pour L(A 1 ) L(A 2 ), L(A 1 ) L(A 2 ), L(A), L(A 1 ) L(A 2 ),... Déterministion, minimistion, L(A),... Automtes temporisés p.5/18

6 Utilités Lngge Reonnissne de motif, d informtion Compiltion, éléments lexiogrphiques Automtisme Modélistion de systèmes Vérifition Extensions néessires Comportement sns fin? Temporistion? Automtes temporisés p.6/18

7 ω-lngges ω-mot : suite infinie de lettres ω-lngge : ensemle d ω-mots ω-utomte (seule l longueur du prours hnge) Inf : étts infiniment visités pr un prours Bühi Muller F Q F P(Q) Aepté ssi Inf F Inf F Bühi déterministe Bühi = Muller (déter. ou non) ω-expression régulière : (< e.r.>) ( < e.r.>) ω (M.Nuton) équivlent Muller Automtes temporisés p.7/18

8 Lngges sur les ordinux Mot / ordinux : suite infinie de lettres indexée pr des ordinux 0, 1,... ω, ω+1,... 2ω, 2ω+1,... 3ω... ω 2, ω 2 +1,... ω 2 +ω, ω 2 +ω+1,... ω 2 +2ω, ω 2 +2ω+1,... ω 3, ω 6 + 5ω 3... Définition de lngges, d utomtes, d é.r.... Ps ml étudiés u sièle dernier : Bühi, Chouek, Hermmer & Volper, Kleene, Wojiehowski Automtes temporisés p.8/18

9 Mots temporisés Mot non temporisé : Automtes temporisés p.9/18

10 Mots temporisés Séquentiel Mot non temporisé : Automtes temporisés p.9/18

11 Mots temporisés Séquentiel Mot non temporisé : Dte-évènement (time-event) (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) Automtes temporisés p.9/18

12 Mots temporisés Séquentiel Mot non temporisé : Dte-évènement (time-event) Signl (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) Automtes temporisés p.9/18

13 Mots temporisés Séquentiel Mot non temporisé : Dte-évènement (time-event) Signl (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) = Automtes temporisés p.9/18

14 Mots temporisés Mot non temporisé : Séquentiel Dte-évènement (time-event) Signl un utre jour (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) = Automtes temporisés p.9/18

15 Lngges temporisés et opértions Durée d un mot (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) = 3.5 Conténtion lssique (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) = (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5)(, 4)(, 4.5)(, 6.5)(, 7) Conténtion superposition si onséutive / disjointe (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) indéfini (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5) (, 4)(, 4.5)(, 6.5)(, 7) = (, 0.5)(, 1)(, 3)(, 3.5)(, 4)(, 4.5)(, 6.5)(, 7) Lngge temporisé : ensemle de mots temporisés Opértions, et deux étoiles de KLEENE : et Filtre sur durée : L I = {m l m I} Aspets lgériques [Asrin et l., 2002] Automtes temporisés p.10/18

16 Disret ontinu Suessions simultnées (, 0.5)(, 1)(, 1)(, 1)(, 2)... on peut l exlure ou non Mots infinis pour omportement sns fin ω-mots temporisés Possiilité d umultion(s) (, 0.9)(,.99)(,.999)(,.9999)(,.99999)... Interdition des onfigurtions Zénon sinon mots temporisés sur des ordinux [Bérrd nd Pironny, 2000] Automtes temporisés p.11/18

17 Automte temporisé A = (Σ, Q, I, F, Z, ) Z : ensemle fini d horloges, : ensemle fini de trnsitions q / φ / ρ r Lettre lue Horloges remises à zéro Condition sur les horloges z, z <, φ 1 φ 2, φ R, Q, N (luses plus omplexes) Automtes temporisés p.12/18

18 Exemple Z = {z 1, z 2 } q 0 /z 1 2/{z 2 } q /1 z 2 3 /z 1 2 /{z 2 } /z 1 2 /{z 2 } /z 2 1 q 3 q 2 q 1 q 0 z /1 z 2 3 q 2 q 3 ε// z 1 2 Automtes temporisés p.13/18

19 Exemple Z = {z 1, z 2 } q 0 /z 1 2/{z 2 } q /1 z 2 3 /z 1 2 /{z 2 } /z 1 2 /{z 2 } /z 2 1 q 3 q 2 q 1 q 0 z /1 z 2 3 q 2 q 3 ε// z 1 2 Automtes temporisés p.13/18

20 Exemple Z = {z 1, z 2 } q 0 /z 1 2/{z 2 } q /1 z 2 3 /z 1 2 /{z 2 } /z 1 2 /{z 2 } /z 2 1 q 3 q 2 q 1 q 0 z /1 z 2 3 q 2 q 3 ε// z 1 2 Automtes temporisés p.13/18

21 Exemple Z = {z 1, z 2 } q 0 /z 1 2/{z 2 } q /1 z 2 3 /z 1 2 /{z 2 } /z 1 2 /{z 2 } /z 2 1 q 3 q 2 q 1 q 0 z /1 z 2 3 q 2 q 3 ε// z 1 2 Automtes temporisés p.13/18

22 Exemple Z = {z 1, z 2 } q 0 /z 1 2/{z 2 } q /1 z 2 3 /z 1 2 /{z 2 } /z 1 2 /{z 2 } /z 2 1 q 3 q 2 q 1 q 0 z /1 z 2 3 q 2 q 3 ε// z 1 2 Automtes temporisés p.13/18

23 Exemple Z = {z 1, z 2 } q 0 /z 1 2/{z 2 } q /1 z 2 3 /z 1 2 /{z 2 } /z 1 2 /{z 2 } /z 2 1 q 3 q 2 q 1 q 0 z /1 z 2 3 q 2 q 3 ε// z 1 2 Automtes temporisés p.13/18

24 Exemple Z = {z 1, z 2 } q 0 /z 1 2/{z 2 } q /1 z 2 3 /z 1 2 /{z 2 } /z 1 2 /{z 2 } /z 2 1 q 3 q 2 q 1 q 0 z /1 z 2 3 q 2 q 3 ε// z 1 2 Automtes temporisés p.13/18

25 Lngge temporisé orrespondnt? En oulint toute l prtie temporistion : ( () + + ) ( ( () + + ) ) Existe-t-il une temporistion pour hun de ses mots? Automtes temporisés p.14/18

26 Lngge temporisé orrespondnt? En oulint toute l prtie temporistion : ( () + + ) ( ( () + + ) ) Existe-t-il une temporistion pour hun de ses mots? Oui, ve des onditions du type : out est u plus à 2 unités de temps près le dernier ou prééden tout est u plus à 1 unité de temps près le dernier préédent tout est entre 1 et 3 unités de temps près le dernier préédent Liens ve l logique temporelle Automtes temporisés p.14/18

27 Lngge temporisé orrespondnt? En oulint toute l prtie temporistion : ( () + + ) ( ( () + + ) ) Existe-t-il une temporistion pour hun de ses mots? Oui, ve des onditions du type : out est u plus à 2 unités de temps près le dernier ou prééden tout est u plus à 1 unité de temps près le dernier préédent tout est entre 1 et 3 unités de temps près le dernier préédent Liens ve l logique temporelle <<Expressions rtionnelles>> [Asrin et l., 2002] [Bouyer nd Petit, 2002] Automtes temporisés p.14/18

28 Clos pr... Union (file r non déterministe) Intersetion (produit hituel d utomte) Conténtion (reoller en remettnt les horloges à 0) Superposition onséutive (reoller sns remise à 0) Itértions finies ( et ) Restrition sur l durée (une horloge en plus) Complément (?) Déterministion (?) Automte miniml (?) Automtes temporisés p.15/18

29 Se dérrsser du temps On suppose les onstntes des ontrintes dns Q En hngent d éhelle elles sont dns N (dns [[1, C]]) Déoupge de l espe des temps en Clok regions Lieux où les ontrintes sont onstntes Être sur un entier ou entre 2 z 2 {0}, (0, 1), {1}, (1, 2), {2}, (2, ) z 1 Augmenttion exponentielle de l tille des données nomre de séprtions de l ordre de l plus grnde onstnte... érite en inire Automtes temporisés p.16/18

30 Se dérrsser du temps On suppose les onstntes des ontrintes dns Q En hngent d éhelle elles sont dns N (dns [[1, C]]) Déoupge de l espe des temps en Clok regions Lieux où les ontrintes sont onstntes Être sur un entier ou entre 2 z 2 {0}, (0, 1), {1}, (1, 2), {2}, (2, ) Mouvements utorisés : projetion(s) (remise(s) à 0) 2 le temps vne suivnt z 1 Augmenttion exponentielle de l tille des données nomre de séprtions de l ordre de l plus grnde onstnte... érite en inire Automtes temporisés p.16/18

31 Se dérrsser du temps On suppose les onstntes des ontrintes dns Q En hngent d éhelle elles sont dns N (dns [[1, C]]) Déoupge de l espe des temps en Clok regions Lieux où les ontrintes sont onstntes Être sur un entier ou entre 2 z 2 {0}, (0, 1), {1}, (1, 2), {2}, (2, ) Mouvements utorisés : projetion(s) (remise(s) à 0) 2 le temps vne suivnt 1 Prolème suivnt 1! z 1 Augmenttion exponentielle de l tille des données nomre de séprtions de l ordre de l plus grnde onstnte... érite en inire Automtes temporisés p.16/18

32 Se dérrsser du temps On suppose les onstntes des ontrintes dns Q En hngent d éhelle elles sont dns N (dns [[1, C]]) Déoupge de l espe des temps en Clok regions Lieux où les ontrintes sont onstntes Être sur un entier ou entre 2 z 2 {0}, (0, 1), {1}, (1, 2), {2}, (2, ) Mouvements utorisés : projetion(s) (remise(s) à 0) 2 le temps vne suivnt 1 Prolème suivnt 1! 1 Pré-ordre totl sur les prties frtionnires 0 F r(z 1 ) = F r(z 2 ) z 1 Augmenttion exponentielle de l tille des données nomre de séprtions de l ordre de l plus grnde onstnte... érite en inire Automtes temporisés p.16/18

33 Region utomton Soit R, l ensemle des régions Les régions α et β se suèdent α β ssi α + λ1 β ve λ positif Q = Q R I = I = {0} F = F = R (q, α) (r, β) ssi /φ/ρ q { r φ vri sur γ γ R Reset(γ, ρ) = β Reonnît extement le lngge dé-temporisé qui est don rtionnel Automtes temporisés p.17/18

34 Référenes [Alur nd Dill, 1994] Alur, R. nd Dill, D. L. (1994). A Theory of timed utomt. Theoretil Computer Siene, 126(2): [Asrin et l., 2002] Asrin, E., Cspi, P., nd Mler, O. (2002). Timed regulr expressions. Journl of the ACM, 49(2): [Bérrd nd Pironny, 2000] Bérrd, B. nd Pironny, C. (2000). Aepting zeno words: wy towrds timed refinements. At Informti, 37(1): [Bouyer nd Petit, 2002] Bouyer, P. nd Petit, A. (2002). A Kleene/Bühi-like theorem for lok lnguges. Journl of Automt, Lnguges nd Comintoris. To pper. Automtes temporisés p.18/18