EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. Le sujet comporte 6 pages.

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1 SESSION 2 PSIM2 C O N C O U R S C O M M U N S P O LY T E C H N I Q U E S EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES Durée : 4 heures NB : Le candida aachera la plus rande imporance à la claré, à la précision e à la concision de la rédacion Si un candida es amené à repérer ce qui peu lui sembler êre une erreur d énoncé, il le sinalera sur sa copie e devra poursuivre sa composion en epliquan les raisons des iniaives qu il a éé amené à prendre Les calcularices son auorisées Noaions On noe : z le module du nombre complee z, Le suje compore 6 paes J un inervalle de,, f une foncion définie sur J à valeurs dans ou, une foncion définie sur, à valeurs dans ou pour, Sous réserve de son eisence on noe : f ( ) f ( ) ( ) d J Chaque fois qu aucune confusion ne sera possible, on noera f ( ) au lieu de f ( ) Objecifs Pour différenes hypohèses sur la foncion f, sur l inervalle J e pour deu choi de la foncion, on se propose de déerminer la lime de f ( ) lorsque le nombre réel end vers Dans la parie I, on éudie un eemple eplice avec applicaion à des calculs de sommes de séries Dans la parie II, on considère une foncion f définie sur, à valeurs réelles e l objecif es d obenir la lime en de f ( ) lorsque ( ) sin( ), lorsque f es de classe C ou lorsque f es coninue par morceau /6

2 PARTIE I Une éude de séries I Éude de la foncion L Pour ou réel el que la série enière ( ) convere, on noe ( ) sa L = somme I Préciser le rayon de converence de cee série enière, monrer que la foncion L es définie sur l inervalle, e eplicer L ( ) pour apparenan à, I2 Monrer, avec soin, que la foncion L es coninue sur l inervalle, En déduire que L() = ln(2) (où ln désine la foncion loarhme népérien) I2 Éude de la série 2 cos 3 On considère la sue ( ) * définie par : Pour ou p * : a3 p a 2 3p e pour ou p : a 3 p e a 3p2 3p 3p 2 I2 Monrer que : 3p 3p 2p a h p p h p I22 Déerminer la lime de la somme considérer la foncion qui à associe converence de la série a 3 p a e préciser sa somme lorsque p end vers (on pourra sur un inervalle convenable) En déduire la I23 En déduire que la série ln 3 2 cos 3 convere e monrer que sa somme es éale à 2/6

3 I3 Éude des séries cos( ) e sin( ) n * e n, on noe : () e S n() e e On désine par un nombre réel fié dans l inervalle,2 Pour simplifier l écrure des Pour,2 démonsraions, on supposera que 2 I3 Monrer que S n i( n) e e I32 Monrer que la foncion es de classe C sur le semen, i( n) e ( ) I33 Monrer que l inérale d end vers zéro lorsque l enier n end vers (on pourra uiliser une inéraion par paries) I34 Eplicer S () d Déduire de ce qui précède la converence de la série Eplicer la somme n e i en foncion de ln(2) e de e ( d ) I35 Eprimer e ( ) en foncion de où apparien à, sin 2 e 2 e i I36 En déduire la converence des séries cos( ) e sin( ) Eplicer leur somme respecive Le résula es-il conforme avec celui obenu en I23? PARTIE II Lime d une inérale Dans cee parie, on désine par f une foncion coninue par morceau sur l inervalle, valeurs réelles e elle que l inérale énéralisée + une foncion définie e coninue sur l inervalle, d eisence) on noe pour, f ( ) ( ) ( ) f d f() d so converene On désine par à valeurs complees e (sous réserve à 3/6

4 II Eisence de f ( ) On suppose que la foncion es bornée sur l inervalle, Jusifier l eisence de f ( ) pour ou réel sricemen posif Monrer que la foncion f es coninue e bornée sur l inervalle, II2 Lime de f ( ) lorsque () e On suppose que la foncion f es de classe C sur l inervalle, e à valeur réelle So f ( ) f( )e d II2 Jusifier l affirmaion : Pour ou, il eise un réel posif A el que f() d II22 Le nombre réel A éan fié, monrer que l inérale f()e d end vers zéro lorsque le nombre réel end vers (on pourra uiliser une inéraion par paries) A A II23 En déduire la lime de vers f ( ) f( )e d lorsque le nombre réel end Dans oue la sue du problème, on suppose que () sin() e on noe simplemen : f ( ) f( )sin( ) d II3 Éude pour une foncion f pariculière On suppose (dans ce eemple) que f désine la foncion E définie par E () e pour, e donc E ( ) e sin( ) d pour, II3 Pour, calculer l inérale ( ) e y sinydy 4/6

5 II32 Monrer que pour, : u E ( ) e sinudu II33 Eprimer pour ou e pour ou foncion de e e de ( ) pour un convenable, l inérale ( ) u e sin u du en II34 Jusifier, pour, préciser sa somme e, la converence de la série e ; II35 Eplicer E ( ) pour, Déerminer la lime de E ( ) vers lorsque end II4 Éude énérale On désine de nouveau par f une foncion quelconque coninue par morceau sur l inervalle, elle que l inérale énéralisée f () d convere e on noe : f ( ) = f ()sin( ) d pour, II4 Lemme préliminaire cos(2 ) cos(2 ) Pour ou réel el que la série convere, on pose h () Monrer 4 que la foncion h es définie e coninue sur Jusifier l éalé : 2 4,sin() h() II42 Lime de f ( ) dans le cas C On suppose de plus que f es une foncion de classe C sur l inervalle, En uilisan les résulas obenus en II2 e II4, déerminer la lime de f ( ) lorsque le réel end vers Le résula es-il conforme avec celui obenu pour la foncion E? 5/6

6 II43 Cas d une foncion coninue par morceau II43 Une lime Éan donnés deu nombres réels e els que, on considère l inérale pour, Monrer que F( ) sin F( ) sin( ) d u du On pose p la parie enière de e q la parie enière de Pour, donner un encadremen de F() en foncion de p, q e En déduire que F() end vers 2 lorsque le nombre réel end vers II432 Lime de f ( ) dans le cas d une foncion coninue par morceau Si J es un inervalle de, e si f es une foncion coninue par morceau sur J à valeurs réelles e elle que l inérale f() d eise, on noe oujours : J f ( ) f( ) sin( ) d Quelle es la lime de f ( ) lorsque le réel end vers : - lorsque J es un semen de, e f une foncion en escalier? J - lorsque J es un semen de, e f une foncion coninue par morceau? - lorsque J =, e f es une foncion coninue par morceau? Fin de l énoncé 6/6