Analyse 1 L1-mathématiques

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1 Anlyse L-mthémtiques Renud Leplideur Année 3-4 UBO

2 Tble des mtières Inéglités et clculs 3. Nombres Les ensembles N, Z, Q et R Les intervlles et voisinges Clculs Mnipultion des inéglités Vleurs bsolues Puissnces et identités remrqubles Quelques stuces et pièges techniques Exercices Clculs de limites. Rppels sur le logrithme et l exponentielle Rppels sur le logrithme népérien Exponentielle Clculs de limites Combinisons de limites Formes indéterminées Le théorème des gendrmes Exercices Fonctions d une vrible réelle. Dérivtion. Fonctions usuelles 6 3. Fonctions Notion de fonction et vocbulire é r e n t Vritions et bijections Dérivtion Définition et règles de clcul Lien dérivtion et grphe Dérivtion de l bijection réciproque Fonctions inverses clssiques Fonctions hyperboliques Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques réciproques Exercices

3 TABLE DES MATIÈRES 4 Intégrles 9 4. Définition et premières propriétés grphe et surfce Primitives et intégrles Primitives usuelles et exemple Méthodes de clculs Intégrtion pr prtie Chngement de vribles Primitives des frctions rtionnelles Décomposition en éléments simples Clculs des primitives des frctions rtionnelles Exercices Fonctions de plusieurs vribles 4 5. Introduction et rppels Exemples de fonctions de plusieurs vribles Rppels sur l géométrie de R n Grphe. Dérivées prtielles. Sous-espce tngent Motivtions Grphe d une ppliction de plusieurs vribles Définitions des dérivées prtielles. Di é r e n t i e l l e Lien entre di érentielle et dérivée. Retour sur l tngente Grdient. Di érentielles totles. Chmps de vecteurs Courbes de niveu. Théorème de l fonction implicite (cs de deux vribles) Exemples de courbes de niveu Théorème de l fonction implicite. Retour sur le grdient Exercices Intégrle double 5 6. Définition de l intégrle double Intégrle double sur un pvé Clcul de surfce et de volumes Chngement de vribles : coordonnées polires Équtions di érentielles Équtions di é r e n t i e l l e s h o m o g è n e s Éqution y y = Éqution y + y = Éqution y + py + qy = Équtions non-homogènes éqution du type y y = F éqution du type y + py + qy = F D utres équtions di é r e n t i e l l e s Équtions à coe cients non constnts Équtions à vribles séprbles Exercices

4 Chpitre Inéglités et clculs. Nombres.. Les ensembles N, Z, Q et R On ser mené à considérer qutre ensembles de nombres.. L ensemble N des entiers nturels,,, 3,... C est l ensemble qui sert à indexer les suites. Tout élément y un successeur (n! n + ), tous les éléments suf y ont un prédécesseur. L reltion d ordre est n<n+. Pr exemple, si p et q sont deux entiers tels que p>q,lorsp q +.. L ensemble Z des entiers reltifs,...,,,,,, 3. Tout élément y un successeur et un prédécesseur. L reltion d ordre étend celle de N. L di érence entre N et Z est essentiellement de nture lgébrique. 3. L ensemble Q des rtionnels. Un nombre x est un rtionnel s il s écrit sous l forme x = p q, vec p Z et q N := N \{}. Notez que 8, 56 8m et plus générlement vec 5 5 5m m N représentent le même nombre rtionnel. On préfèrer l forme 8 cr le 5 dénominteur et le numérteur n ont ps de diviseur commun. On rppelle l dditions e deux rtionnels, et donc l reltion d ordre est donnée pr p q p q + p q = pq + qp qq, pple p q () p q pq. Àldi érence de Z et N, un rtionnel n ps de successeur ni de prédécesseur comptible vec l reltion d ordre.

5 .. Clculs 4 L ensemble Q est dense dns R, c est à dire qu entre deux réels di érent, il y toujours u moins un rtionnel (et en fit une infinité). Même si cel défie un peut l intuition, les trois ensembles N, Z et Q ont le même nombre d éléments, ou plus exctement, l même infinité d éléments. On dit qu ils sont dénombrbles. Tout comme pour Z, l pssge de Z à Q se justifie essentiellement pr des rguments lgébriques. 4. L ensemble des réels R. C est un ensemble bien plus gros que Q puisqu on ne peut ps compter ses éléments (contrirement à Q). Pr exemple,,e ou encore p sont des irrtionnels, c est à dire des réels qui ne sont ps rtionnels. Dns ce cours, nous n évoquerons ps l ensemble D des décimux prfois utilisés. Nous rppelons les inclusions N Z Q R... Les intervlles et voisinges L reltion d ordre entre les réels, permet de définir les intervlles :. ], b[= {x R, <x<b} est l intervlle ouvert d extrémités et b.. [, b[= {x R, pple x < b} est l intervlle ouvert en b et fermé en. Il vut ], b[[{}. 3. ], b] ={x R, < x pple b} est l intervlle ouvert en et fermé en b. Il vut ], b[[{b}. 4. [, b] ={x R, pple x pple b} est l intervlle fermé d extrémité et b. Il vut ], b[[{, b}. Un intervlle d extrémités et b comme ci-dessus est dit borné. Les intervlles non bornés sont du type (, +[ vec (= [ ou ], ou du type ],b)vec(=[ou]ouencore ], [= R. Pr exemple [, +[ est l ensemble des réels x vérifint x. Un intervlle se crctérise pr l bsence de trou entre ses extrémités. Définition... Si est un réel, on ppelle voisinge de tout intervlle qui contient un intervlle de l forme ] ",+ "[ vec " >. On utiliser cette notion de voisinge de l mnière suivnte : L fonction sinus est strictement positive sur un voisinge de.. Clculs.. Mnipultion des inéglités Inéglités strictes ou lrges? Il fut bien distinguer l inéglité stricte < de l inéglité lrge pple. Si < blors on ussi pple b mis l impliction contrire est fusse. Pr exemple <k<permet d rmer lim n!+ kn =misl rmtion pple k pple nelepermetps. Un nombre x ne vérifie ps x<xmis il vérifie x pple x.

6 .. Clculs 5 Opértions sur les inéglités Addition d inéglité. On peut toujours dditionner deux inéglités (dns le même sens) : <bet c<d=) + c<b+ d. Si les deux inéglités de guche sont lrges, l inéglité de droite est lrge ussi. Si l une des inéglités de guche est stricte, lors celle de droite ussi est stricte. Addition d un terme, chngement de côté. <b () + c<b+ c. On en déduit que <best équivlent à b<. Multipliction d inéglités On peut multiplier des inéglités si les nombres sont tous strictement positifs : <<bet <c<d=) < c < bd. En e et, bd c = (d c)+ d(b ) est le somme de nombres positifs. Multipliction pr un nombre négtif Si on chnge les signes dns une inéglité, on chnge de sens. Rppelons que chnger de signe signifie multiplier pr - : <b=) > b. Plus générlement, si c<, <bentrine c > cb. Élévtion u crré. Si et b sont tous les deux positifs lors et b sont dns le même ordre que et b. Pour le voir, il su t de se souvenir de l identité remrquble b =( b)( + b). Ceci permet ussi de voir que si et b sont négtifs, lors et b sont dns l ordre contrire de et b. Si et b sont de signe di é r e n t, o n n e p e u t r i e n d i r e s u r l o r d r e r e l t i etf be. n t r e Exemples = etb =3, <b. Au contrire, = 3etb =donnent >b. pssge à l inverse. Si et b sont de même signe (et non nuls) <b () > b. En e et, < b. b = b. Pr contre si et b sont de signes contrires <bentrine b

7 .. Clculs 6.. Vleurs bsolues Si x est un réel, le réel x n est ps nécessirement négtif. C est l opposé de x, u sens ou x +( x) =. Exemples Si x =, x =. Mis si x =, x =. Définition... Si x est un réel, x désigne celui des deux nombres x et positif (ou nul). x qui est Ainsi, si x =, x =,six>, x = x et si x<, x = x. L vleur bsolue est utile pour exprimer de fçons condensée certins encdrements. Exemples x < signifiex ], [ ou encore <x<. x x < " signifie x ]x ",x + "[, ce qui est équivlent à dire que x est dns l intervlle ouvert de centre x et de ryon " (voir déf...). On rppelle l inéglité tringulire On ussi rppelle l églité p x = x (et non ps x!). b pple b. (.) Exemple. On veut donner une expression simplifier de f(x) := p x +x ++ p x 6x +9. On obtient f(x) = p (x +) + p (x 3) = x + + x 3. x - 3 x + x x + x + On dresse le tbleu de signe et on dditionne : x 3 x +3 x +3 x 3 f(x) x + x Les opértions fites précédemment sur les inéglités montrent q u on ne peut ps comprer et b à p r t i r d <b. e..3 Puissnces et identités remrqubles Puissnces rtionnelles Nous reverrons ces notions u chpitre suivnt. Nous rppelons cependnt certines définitions et formules utilise pour le clculs. L quntité p x n est définie que pour x positif. Elle vérifie ( p x) = x (à ne ps confondre vec p x = x!). Pr contre l quntité 3p x est définie pour tout x réel. q Plus générlement, si q est un entier strictement positif, p x est définie pour x positif (ou nul) si q est pir, et pour tout x si q est impir. Elle vérifie ( qp x) q = x.

8 .. Clculs 7 L quntité qp x se noter ussi x q. On rppelle que si p est un entier strictement positif, x p = (définie pour x 6= ). xp Pr convention (u moins pour le moment), x =six 6=. Comme x 7! x p (vec p entier strictement positif) trnsforme un réel positif en un réel positif, on montre l églité : x p p q = q x p =( qp x) p. On donne ici les règles de clculs et de mnipultions des puissnces. Elles sont données pour x et y strictement positifs, on peut dns certins cs (en fonction des vleurs de r et r )lesétendreucsx et/ou y non nuls. Le cs nul étnt toujours délict à gérer à cuse des puissnces négtives : 8 x R +, 8 y R +, 8 r Q et 8 r Q, (xy) r = x r.y r, x r+r = x r.x r et (x r ) r = x rr =(x r ) r. Binôme de Newton n n! n.(n )...(n (k )) Les coe cients du binôme de Newton sont = =. k k!(n k)! k! Ce sont des entiers (même si leur expression est cour forme de frction). Ils permettent d obtenir nx n ( + b) n = k b n k. k En prticulier on ur ( + b) = +b + b et ( b) = b + b. On ussi b =( b)( + b)...4 Quelques stuces et pièges techniques Diviser ou soustrire? k= Si on veut étudier ou résoudre une (in)éqution de l forme = b ou <b, on peut toujours se rmener à b =ou b<. Exemple. On veut étudier x = x +oux <x+. Pour ce fire on v étudier l inéglité lrge x pple x +quipermetdetriterlesdeux problèmes en même temps. Or x pple x + () x x pple. On cherche les rcines du polynôme X X. Le discriminnt est =+4=5,et les rcines sont donc = +p 5 et b = p 5. Les solutions de l éqution sont donc x = ou x = b, celles de l inéqution sont x ]b, [. Il est prfois utile de diviser! Au lieu de psser de = b ou <bà ( r e s p e c t i v e m e n t ) b =ou b<onvoudritvoir b =et b <.

9 .3. Exercices 8 Pour l églité, les deux équtions sont équivlentes si et seulement si b n est ps nul. Pour l inéqution, on se réfèrer ux mnipultions des inéglités. Il fut donc que l on it b>, sinon l inéglité chnge de sens. Exemple. Étudier x + pple Quntité conjugué x x. On rppelle que l quntité conjugué de +b et b. Il est prfois utile de multiplier et diviser une expression pr se quntité conjugué pour obtenir une expression plus prtique. p p Exemple. Si on veut étudier n + n, on peut écrire lim n!+ p p ( p n ++ p n)( p p n + n) n + n = p p n ++ n noter que l on multiplie et divise pr une quntité non nulle si n est un entier nturel = (p n +) ( p n) p p n ++ n = n + n p p = n ++ n p n ++ p n. p p Cette dernière expression permet d rmer lim n + n =. n!+.3 Exercices Exercice Développer les expressions suivntes : / 7(5 +3b 5) (8 +b) / (3x )(5x +) 3/ 4 x x / (x +) 5/ (x 5)(x +5) 6/ (5x 3) 7/ (x p 3) 5 (x + p 3). 5 Exercice Fctoriser les expressions suivntes : / (x )(x 3) + (x ) (4x +5)(x ) / (4x ) (4x ) + x(8x 4) + x 6 3/ x x ++x. Exercice 3 Résoudre dns R, x / x + p 3 =.

10 .3. Exercices 9 (x +3) / (x )(3x 4) =. 3/ x + < x x, 4/ x = p x, 5/ x pple p x. Exercice 4 Développer ( + 3x) 4 Exercice 5 On pose S =+x x n. / Clculer x.s et S x.s. / Donner une utre expression de S en fonction de et de x. 3/ En déduire une fctoristion de n b n. Exercice 6 / Montrer b pple + b pple + b. / dire qund il y églités ou inéglités strictes. Exercice 7 Simplifier / / 3/ + x x+ 3x +4 x+ 4 x + x. y x+3 y Exercice 8. / A-t-on pour tout x dns R x + x + = x + x +? / Résoudre dns R, x + x + = x + x +.

11 Chpitre Clculs de limites. Rppels sur le logrithme et l exponentielle On se contenter ici de rppeler quelques propriétés utiles pour les clculs de limite... Rppels sur le logrithme népérien Il y plusieurs fçons de définir le logrithme :. C est l bijection réciproque de exp,. c est l primitive de x 7! x sur R + qui s nnule en, 3. c est une solution de l éqution fonctionnelle 8, b > f(b) =f()+f(b). (.) Nous nous focliserons, dns un premier termes, sur l dernière propriété (éqution fonctionnelle). Cette éqution montre qu ucune solution (di érente de l fonction nulle prtout) ne peut être définie en puisqu on devrit voir, 8 x, f() = f() + f(x). Elle montre ussi que nécessirement f() =, puis que f ne peut s nnuler que en. Ceci implique ussi que f est monotone (strictement croissnte ou strictement décroissnte). On construit insi une solution, qui est crctérisée pr s vleur en un point, c est à dire, que si on on se fixe un point 6= et> et une vleur c = f(), lors on peut construire une (unique) fonction continue f vérifint l éqution fonctionnelle. L fonction ln est une solution de ce type. Elle est définie sur ], +[= R + L éqution fonctionnelle permet d voir : 8 p, 8x >, q On ussi les limites suivntes : ln(x p q )= p q ln(x). lim ln x =+ et lim x!+ ln x =. x! +

12 .. Rppels sur le logrithme et l exponentielle Si on cherche l solution en se fixnt l condition f() =, on trouve le logrithme déciml souvent noté Log. Il est proportionnel à ln u sens où pour tout x, Log (x) = ln(x) ln(). Si n est un entier strictement positif, [Log (n)] + est le nombre de chi res nécessires pour écrire n en bse. Cel signifie que [Log (n)] psse de à lorsque n psse de 99 à, et psse de 4 à 5 lorsque n psse de 9999 à. C est donc une fonction qui croît très lentement. On retiendr que ln est plus fible que les puissnces. Cel donne donc pour p q > (vec q impir pour l limite en ) lim x p ln x q ln x = lim x! + x!+ x p q =. Pour les clculs de limites on retiendr ussi lim x! ln( + x) x.. Exponentielle =. Comme pour le logrithme, il y (u moins) trois mnières di érentes d introduire l exponentielle :. exp est l bijection réciproque de ln.. Pr l étude des solutions de l éqution di é r e n t i e l yl e = y vec l condition initile y() =. 3. Pr l étude des solutions de l éqution fonctionnelle 8, b f( + b) =f()f(b). (.) Nous nous foclisons, dns un premier temps, sur l éqution fonctionnelle. Si f est une solution on trouve f() = f( + ) = f().f(). Il y donc deux solutions possibles pour l vleur f() : f() = ou f() =. Si on retient l solution f() =, lors pour tout x, f(x) =f(x +)=f(x)f() =. Pour obtenir une solution de l éqution fonctionnelle non nulle, il fut donc choisir f() =. L éqution montre ussi que pour tout x, f(x) estnécessirementstrictementpositif, puis que f est strictement croissnte ou strictement décroissnte. Tout comme pour ln, une solution de l éqution fonctionnelle est entièrement déterminé pr s vleur en un point 6=.Lfonctionexpestunesolutiondecetteéqution.Elle est définie sur R et à vleurs dns R +.

13 .. Clculs de limites On retiendr : Limites en ±. lim exp(x) =+ lim x!+ exp(x) =. x! exp(x) Limite du tux de vrition en : lim =. x! x Croissnce comprée : exp est toujours plus forte que n importe qu elle puissnce x n.pourtout p >, q exp(x) lim x!+ x p q. Clculs de limites.. Combinisons de limites = lim x! x p q exp(x) =. Si lim f(x) =l et lim g(x) =l lors lim(f + g)(x) =l + l. x!y x!y x!y Si lim f(x) =l et lim g(x) =l lors lim f(x).g(x) =l.l. x!y x!y x!y Si lim f(x) =l et lim g(x) =l g(x) et l 6= lorslim x!y x!y x!y f(x) = l l. Si lim f(x) =+ et lim g(x) =+ lors lim(f + g)(x) =+. x!y x!y x!y Si lim f(x) = et lim g(x) = lors lim(f + g)(x) =. x!y x!y x!y.. Formes indéterminées Les opértions sur les limites rppelée précédemment ne permettent ps de toujours conclure. Il y des formes dites indéterminées : Si lim f(x) = + et lim g(x) = x!y x!y lors lim(f + g)(x) est x!y indéterminée. Si lim f(x) x!y = + et lim g(x) x!y = lors limf(x).g(x) est x!y indéterminée. g(x) Si lim f(x) = ± et lim g(x) = ± lors lim x!y x!y x!y f(x) est indéterminée. g(x) Si lim f(x) =etlimg(x) =lorslim est indéterminée. x!y x!y x!y f(x) Il y une méthode qui permet très souvent de trouver les limites (lorsqu elles existent) : il s git d identifier les termes dominnts (en vleur bsolue) et de les mettre en fcteur. Décomposition Lorsqu on veut clculer une limite, on est souvent rmener à une expression du type A + B C + D,

14 .. Clculs de limites 3 chque expression A, B, C et D pouvnt être du même genre. exp(x) x3 Exemple. Clculer les limites lorsque x tends vers ± de f(x) = ln( x )+x x.on peut écrire A =exp(x), B = x 3, C =ln( x ) etd = x x. Ensuite on redécoupe D en ( + b)/(c + d) enposntprexemple = x, b = x, c =etd =. Clcul de chque terme On détermine pour chque terme de l décomposition s limite (éventuelle). On identifie les formes indéterminées. Ensuite, on met en fcteurs les termes dominnts. Voici trité l exemple f(x) donnéci-dessus. En +. Au numérteur, A est dominnt. Pour le dénominteur, est dominnt puis D est dominnt. On trouve donc L quntité donc à étudier lim x!+ f(x) = exp(x)( x 3 exp(x) ) x ( ln x x + ). x ln x x 3 tend vers si x tend vers +. De même exp(x) x +. Il reste x exp(x), limite dont on sit qu elle existe et vut +. x En. Au numérteur, le terme dominnt devient x 3 puisqu il tend vers (si x! ), lors que exp(x) tendvers.letermedominntpourledénominteurest encore x.ontrouvedonc f(x) = Cel permet d en déduire x 3 ( + exp(x) x 3 ) = x ln x ( x + ) x lim f(x) =+ x! exp(x) x x 3 ). ln x x + x En. Si on veut étudier l limite en, à ce moment le numérteur tend vers une quntité finie. Le dénominteur tend vers. L limite existe donc et vut...3 Le théorème des gendrmes Théorème... Soient f, g et h trois fonctions telles que pour tout xf(x) pple g(x) pple h(x). Si lim x!y f(x) =l =lim x!y h(x) lors lim x!y g(x) =l. Ce théorème est souvent utile lorsqu il y des quntités dont on ne peut ps estimer fcilement les limites ou si on sit qu il n y ps de limites. Exemple. Donner, si elle existe l limite lim x! x sin x.

15 .3. Exercices 4 Si x! +, tend vers + et on sit que sinus n ps de limite en +. On sit x ussi que l on pour tout y, pple sin(y) pple. Cel donne pour tout x 6=, x pple x sin pple x. Les termes extrémux convergent vers, x le terme du milieu ussi, en vertu du théorème....3 Exercices Exercice 9 Résoudre les équtions suivntes : / ln(x +3)+ln(x +5)=ln5. / ln(x ) + ln(x +)=ln45. 3/ ln(x 3) + ln(x +)=ln(x +5). x + y =65 4/ ln x +lny =ln. x 5/ + y =69 ln x +lny =ln6. Exercice Déterminer les limites en des fonctions en x suivntes : / p x(ln x) 3. / 5p x(ln x) 8. Exercice Résoudre exp(4x + ) exp() exp(4x +) =exp(). Exercice Étudier les limites éventuelles des expressions suivntes : / p x +3qundx tend vers, / x +7 qund x tend vers, x 3/ qund x tend vers, x x 4/ qund x tend vers, xp x n x 5/ qund x tend vers, + ou, x 6/ x sin qund x tend vers, x 7/ sin x qund x tend vers + ou, rx 8/ + r qund x tend vers, x x 9/ 4x3 x + x 3x +x qund x tend vers et +,

16 .3. Exercices 5 / ( + x)3 3 qund x tend vers et, x / p x qund x tend vers. x

17 Chpitre 3 Fonctions d une vrible réelle. Dérivtion. Fonctions usuelles 3. Fonctions 3.. Notion de fonction et vocbulire érent Définition d une fonction Définition 3... Une fonction est un objet qui à tout point d un ensemble de déprt ssocie une (et une seule) imge f : x 7! f(x). Si y = f(x), y est l imge de x pr f et x est un ntécédent de y. Une fonction se crctérise pr son grphe Si une fonction est donnée pr une expression de f(x), pr exemple f(x) =e x +lnx + x, c est ussi vlble pour f(y) =e y +lny + y ou f() =e +ln +... On peut voir une fonction comme une sorte de boite noire. On lui entre une donnée (le x!), elle rend une réponse ( le f(x)). Cette boite noire donne toujours l même réponse si on lui rentre l même donnée. Pr exemple, l opértion :. Pour un entier n on lui ssocie s il est pir, s il est impir est une fonction.. Pour un entier n, on lui ssocie s il est pir et s il est multiple de 3 n est ps une fonction cr les multiples de 6 ont plusieurs réponses possibles! 3. lncer un pièce et regrder le résultt, n est ps une fonction, cr on plusieurs résultts possibles. Il fut donc voir une fonction comme étnt une opértion dynmique : à une entrée correspond une sortie. L entrée s ppelle l vrible. C est pour cel qu une fonction se note x 7! f(x), signifint qu à l vrible x (l donnée d entrée) on ssocie l vleur f(x) (l sortie de l boite). Remrque. Il est cournt de commettre un bus de lngge et de nottion en prlnt de l fonction f(x). On prle insi de l fonction sin x, ou encore de e x ou ussi de x.

18 3.. Fonctions 7 On devrit en fit dire x 7! sin x (ou l ppeler sinus), x 7! e x (ou exponentielle) ou enfin x 7! x (élévtion u crré). Dns un premier temps, nous conseillons vivement de s interdire cet bus de lngge et de s e orcer de toujours écrire et dire x 7! f(x). Nous nous intéresserons, dns un première temps ux fonctions d une vrible réelle, puis, dns un utre chpitre ux fonctions de plusieurs vribles réelles. En physique, l pluprt des fonctions dépendent de plusieurs vribles. m Exemple. L théorie de l reltivité donne l msse d une prticule m := p c v, où v est l vitesse de l prticule. L msse m s exprime comme une fonction de v. Elle s exprime ussi comme une fonction de l msse initile m ou encore comme une fonction de l vitesse de l lumière. Ensemble de définition. Grphe Lorsqu on dispose d une fonction sous l forme 7! f( ) ilfutvntétudierson ensemble de définition, c est à dire décrire l ensemble des pour lesquels f( ) peutêtre défini. Pr exemple p :x 7! p x est définie sur R + et x 7! x est définie sur R. Il fut noter que R + est un intervlle lors que R est une union de deux intervlle. L pluprt du temps, les fonctions que nous rencontrerons seront définies sur une union d intervlle. Définition 3... Considérons une fonction définie sur un intervlle I. Pour chque x I on peut donc définir l vleur f(x). L ensemble des points du pln de l forme (x, f(x)) vec x I s ppelle le grphe de f. Si on y = f(x), lors y est l imge de x pr f et x est un ntécédent de y pr f. L ensemble des points y de l forme f(x) pour x quelconque dns I s ppelle l imge de I pr f. On le note f(i). L ppliction f est dite injective si pour tout y dns f(i) il existe un unique x tel que y = f(x). Une fonction définit donc un grphe, et réciproquement, un grphe définit une fonction. Une prtie de l nlyse consiste à donner des résultts sur l llure du grphe d une fonction : s il est continu, régulier, convexe, etc. Exemples grphes de x 7! x ou x 7! p x. L nottion f(i) veci intervlle est une nottion. Il ne fut ps comprendre que c est l imge de I u sens où on ne rentre ps un intervlle comme donnée à l fonction f mis des réels. Il s git donc d un ensemble qui s écrit ussi f(i) :={y R, 9 x I, f(x) =y}. Si f(x) estuniquelorsquex est déterminé, il se peut que pour y R il existe plusieurs x di érents tels que y = f(x). Cel explique/justifie l définition de l injection qui crctérise l unicité. Définition 3..3 (intuitive). Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On dit qu elle est continue si son grphe grph(f) est en un seul morceu.

19 3.. Fonctions 8 Cette définition de l continuité n est ps rigoureuse mis elle évite trop de technique. Pour l comprendre, il est préférble de voir des exemples de fonctions non continues : Exemples x 7! [x] (prtie entière) ou tout utre truc bricolé. Théorème Soit I un intervlle et f une fonction continue sur I. Alors l imge f(i) est ussi un intervlle. Ce théorème s ppelle le théorème des vleurs intermédiires. Une version équivlente est de dire qu vec les mêmes hypothèses, s il existe x et x dns I tels que f(x)f(x ) < (les imges sont de signe contrire), lors il existe x entre x et x tel que f(x )=. Opértions sur les fonctions Lorsqu on dispose de deux fonctions f et g on peut définir l fonction f + g pr x 7! f(x) +g(x), plus générlement l fonction.f + b.g pr x 7!.f(x) +b.g(x). L fonction f.g est définie pr x 7! f(x).g(x). L fonction f f(x) pr x 7!, définie là où g g g(x) ne s nnule ps. L fonction f g pr x 7! f(g(x)) définie là où les imges de g sont dns le domine de définition de f. 3.. Vritions et bijections Sens de vrition Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On dit qu elle est croissnte, si pour tout x et x dns I, x pple x =) f(x) pple f(x ), strictement croissnte si pour tout x et x dns I, x<x =) f(x) <f(x ), décroissnte, si pour tout x et x dns I, x pple x =) f(x) f(x ), strictement décroissnte, si pour tout x et x dns I, x<x =) f(x) >f(x ), Une fonction est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissnte ou décroissnte Exemples x 7! x est (strictement) croissnte sur R + et (strictement) décroissnte sur R. x 7! [x] est croissnte mis ps strictement croissnte. Une fonction constnte est à l fois croissnte et décroissnte. x 7! x est (strictement) croissnte sur R + et sur R n est ps globlement croissnte sur son ensemble de définition. mis elle Remrque. L contrire de l proposition f est croissnte n est ps f est décroissnte. Pr exemple x 7! x n est ni croissnte ni décroissnte sur R. Il serit tout ussi fux de penser qu une fonction est nécessirement monotone sur un intervlle. Pr exemple l fonction définie pr f : x 7! x sin si x 6= etf() = est x continue et n est monotone sur ucun voisinge de (le tester vec les mchines).

20 3.. Fonctions 9 Extrem Les extrem, c est à dire là où l fonction tteint un mximum ou un minimum, sont souvent importnts à déterminer. Pr exemple, en physique, ils correspondent à des sitution d équilibre (possibles), stble s il s git d un minimum, instble s il s git d un mximum. On imgine le minimum comme le creux de l vgue et le mximum comme le sommet de l montgne. Toutefois, cette description imgée des extrem n est ps é q u i v l e n t e à l à o ù l f o n c t i o n e s t l e p l u s b s o u l à o ù l f o n c t i o n e s t l e p l u s h u t Dns un premier temps, nous n étudierons ps cet spect, et nous y reviendrons plus trd. bijection et bijection réciproque Théorème 3..6 (et définition). Soit f une ppliction continue et strictement monotone définie sur un intervlle I. Alors f est injective. On peut définir l bijection réciproque, notée f qui ssocie à y J := f(i) l unique x tel que y = f(x). De plus f l même stricte monotonie que f et son grphe est obtenu en fisnt l symétrie pr rpport à l première bissectrice (l droite d éqution y = x) du grphe de f. Remrque 3. Il ne fut ps confondre l nottion f vec l fonction f.lnottion est prfois mbiguë, il fut voir quelques notions d lgèbre pour l comprendre. L bijection réciproque f est l inverse de f pour l loi de composition, l inverse pour l multipliction étnt /f. En théorie, une bijection est une ppliction qui est à l fois injective et surjective. Nous vons défini l notion d injection ps celle de surjection. Il est implicitement cché dns le théorème que f : I 7! J := f(i) est surjective. Nous n insisterons cependnt ps sur cette notion. Exemples L ppliction x 7! x est strictement croissnte sur l intervlle R + =[, +[ et continue. S bijection réciproque est une fonction définie sur R + à v l e u r s d n sr +. c est en fit x 7! p x. De même x 7! x 3 est continue et strictement croissnte sur R. L bijection réciproque est x 7! 3p x. Plus générlement, q p est l bijection réciproque de x 7! x q définie sur R + si q est pir et R si q est impir. Il fut donc retenir les églités 8 y J, f f (y) =y et 8 x I, f f(x) =x. (3.) On peut retenir l définition sous forme de phrse : si f est injective de I dns f(i) =J, pour y J, f (y) estlex de I tel que y = f(x).

21 3.. Dérivtion 3. Dérivtion 3.. Définition et règles de clcul Définition 3... Une fonction f est dite dérivble en si lim h! f( + h) h existe. On ppelle lors ce nombre nombre dérivé de f en. Il se note f (). Si f : I! R est dérivble sur tout l intervlle I, on définit lors une nouvelle fonction f de I dns R pr f : x 7! f (x). Cette nouvelle fonction s ppelle fonction dérivée de f sur I. On dmettr que si f est dérivble en lors elle est continue en. Sif est dérivble sur un intervlle, elle est donc continue sur ce-même intervlle. Exemple. À l ide de l formule de Newton, développer (x + h)n et en déduire l dérivée de x 7! x n. l dérivée est linéire : ( f + µg) = f + µg. f() L dérivée d un produit n est ps le produit des dérivées mis (fg) = f.g + g.f. Dérivtion d un produit de composition : (f g) = f g.g. Si f et g sont deux fonctions dérivbles, vec g qui ne s nnule ps, f = f g g + g.g.f = f g Tbleu récpitultif pour les fonctions usuelles : g f. g Fonction x 7! f(x) Dérivée f (x) sin(u(x)) u (x)cos(u(x)) cos(u(x)) u (x)sin(u(x)) u n (x), n nu (x)u n (x) u n (x), n nu (x) u n+ (x) u n (x) n u (x)u n (x) u (x) ln(u(x)) u(x) exp(u(x)) u (x)e u(x) tn(u(x)) u (x)( + tn (u(x))) Remrque 4. On souvent tendnce à écrire (x) =ouencore(x ) =x. Il s git d une erreur due à l bus de nottion x pour x 7! x ou x pour x 7! x. Cet bus est source d erreurs.

22 3.. Dérivtion 3.. Lien dérivtion et grphe Sens de vrition Théorème 3... Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I. Si f est (strictement) positive sur cet intervlle (c est à dire pour tout x I, f (x) ) lors l fonction f est (strictement) croissnte sur l intervlle I. Si l dérivée est (strictement) négtive sur l intervlle, l fonction f est (strictement) décroissnte. On obtient insi un joli corollire des deux théorèmes 3..6 et 3.. : Corollire Soit f une fonction dérivble sur I. Si f est strictement positive sur I lors f est une bijection de I sur l intervlle imge J := f(i). Exemple. On redémontre insi que x 7! x p est une bijection de R! R si p est impir ou de R +! R + si p est pir. Tngente Si f est dérivble en un point de I lors le grphe de f dmet en (, f()) une tngente. Elle pour éqution y f() =f ()(x ). Il y plusieurs fçons de voir l tngente en un point. L une d elle consiste à dire que l tngente est l meilleur pproximtion ne de f u voisinge du point, c est à dire que pour x proche de, f(x) f()+f ()(x ). Cette dernière expression est ne en x. Extrem Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R. Soit x un point de I tel qu il existe un voisinge ]x ",x+ "[ contenu dns I. On dit que f dmet un minimum locl en x s il existe un voisinge J =]x ",x+ " [ contenu dns I tel que pour tout point y de J on it f(y) f(x). f dmet un mximum locl en x s il existe un voisinge J =]x ",x+ " [ contenu dns I tel que pour tout point y de J on it f(y) pple f(x). Exemple. Montrer que x 7! x dmet un minimum en. Théorème Soit f une fonction définie et dérivble sur un intervlle I de R. Si l dérivée f s nnule et chnge de signe en x lors f dmet un extremum en x.

23 3.. Dérivtion Convexité Définition Soit I un intervlle. Une fonction f : I! R est dite convexe si pour tout et b dns I et pour tout [, ], f( +( )b) pple f()+( )f(b). En d utre termes, l imge d un brycentre (positif) est plus bsse que le brycentre des imges. Exemple. x 7! x est convexe. Proposition Une ppliction convexe sur un intervlle ouvert est continue sur cet intervlle. On dmettr des crctéristion plus prtique de l convexité : Théorème Soit f une ppliction définie sur l intervlle I.. Si f est dérivble sur I, lors f est convexe si et seulement si f est croissnte.. Si f est deux fois dérivble, lors f est convexe si et seulement si f est positive. Exemple. x 7! x vec ces critères! 3..3 Dérivtion de l bijection réciproque Considérons f de I dns R. On suppose que c est une bijection de I sur l intervlle imge J = f(i). On rppelle que f est donc strictement monotone sur cet intervlle. L bijection réciproque vérifie l éqution f f (x) =x. Supposons mintennt que f est dérivble et essyons de clculer ce que pourrit être l dérivée de f. L formule de dérivtion du produit de composition donne f (f (x)) f (x) =, soit f (x) = f (f (x)) Ceci se trduit pr : si cel un sens, c est à dire si f (f (x)) n est ps nul. Théorème Si f est une bijection de I dns J = f(i) dérivble, lors f est dérivble en tout point y = f(x) où f (x) 6= et on f (y) = f(x).. ceci signifie que f est elle-même dérivble, l dérivée se notnt f.

24 3.3. Fonctions inverses clssiques 3 Applictions. x 7! x pourdérivéex 7! x, qui ne s nnule qu en zéro. Ainsi l bijection réciproque y 7! p y est dérivble pour tout y 6== et p y = x = p y, cr on y = x ou encore x = p y. Plus générlement, l dérivée de q p est donnée pr p q (y) = qx q = q x x = p q y q q y = q y q y = q y q. 3.3 Fonctions inverses clssiques 3.3. Fonctions hyperboliques Exponentielle et logrithme exp(x) Nous rppelons l limite dmise :lim =.Cettelimitepeutussis écrire x! x sous l forme exp(x) exp() lim =. x! x L éqution fonctionnelle montre lors que exp est dérivble puis que pour tout x, exp = exp. En d utres termes, exp est désoltion de l éqution di é r e n t i e l l e y = y. On voit lors que exp est strictement croissnte puisque s dérivée est strictement positive. c est donc une bijection de R sur exp(r). l imge de cet intervlle est l intervlle R +. Comme exp vérifie exp( + b) =exp()exp(b), l bijection réciproque vérifie f(cd) =f(c)+f(d). On reconnit l éqution fonctionnelle crctéristique des logrithmes. On dmettr : Théorème Les deux fonctions exp et ln sont des bijections réciproques. Le théorème 3..9 permet de vérifier que ln est dérivble sur R + de dérivée ln (x) = x. ln(x) En prticulier l limite dmise lim x! x =s écritjuste lim x! ln(x) ln() x = =.. en posnt c =exp() etd =exp(b).

25 3.3. Fonctions inverses clssiques 4 Trigonométrie hyperbolique Soient cosh et sinh définies pr cosh(x) = exp(x)+exp( x) sinh(x) = exp(x) exp( x). Il est immédit que cosh est strictement positive, insi que sinh est positive sur R + et négtive sur R. De plus cosh et sinh sont dérivbles comme combinisons de fonctions dérivbles. Le clcul montre que cosh =sinhetsinh =cosh.onendéduitquesinhest strictement croissnte. On montre que c est une bijection de R sur R. L fonction cosh est strictement croissnte sur R + et c est une bijection de R + sur [, +[. Les bijection réciproques se notent respectivement rgsinh et rgcosh. En posnt X =exp(x) puisenrésolvntleséqutions on trouve une expression explicite y =cosh(x) ouy =sinh(x), rgcosh (y) =ln(y + p y ) et rgsinh (y) = ln(y + p y +). Les dérivtion en utilisnt les formules de fonctions composées ou le théorème 3..9 donnent 8x >, rgcosh (x) = Appliction : longueur d une prbole. Fonctions puissnces p x et 8 x R, rgsinh (x) = p x +. Si x est un réel strictement positif et q un entier nturel non nul, on vu l nottion qp x = x q. Nous llons mintennt justifier cette nottion. Pr définition de l bijection réciproque, on ( qp x) q = x. D où ln(x) = ln(( qp x) q )=q ln( qp x). Cel donne ln( qp x)= q ln(x) etceljustifiedonc qp x = x q. Si mintennt p est un entier reltif (non nul), on exp( p q ln(x)) = exp(ln(x p q )) = x p q. Comme Q est dense dns R, cel justifie l définition : Pour tout >etpourtout R on pose =exp( ln ). Posons e =exp(),c estàdireln(e) =.Ondonc e x =exp(x).

26 3.3. Fonctions inverses clssiques Fonctions trigonométriques On rppelle que sin et cos sont fonctions définies sur R. Elle sont -périodiques, c est à dire que pour tout x, cos(x + ) =cos(x) et sin(x + ) =sin(x). Elles sont toutes les dérivbles et cos = sin et sin =cos. De plus cos est pire, c est à dire que pour tout x, cos( x) =cos(x). L fonction sin est elle impire (sin( x) = sin(x)). Il y ussi une propriété de ces fonctions : cos (x)+sin (x) =. Ceci se trduit géométriquement sur le cercle unité. Cel permet de déduire des symétries des vleurs du type sin( x) oucos(x + ) à p r t i r d e s xi et n cos x. On rppelle dns le tbleu suivnt quelques vleurs essentielles : cos x sin x p6 3 p4 p On rppelle ussi que l fonction tn est définie sur R \{ + k, k Z} pr 3 p 3 Elle est impire et -périodique. tn(x) = sin x cos x Fonctions trigonométriques réciproques. L fonction tn définie pr tn(x) = sin(x) vérifie que s limite est en cos(x) en +. Elle est dérivble comme rpport de fonctions dérivbles et, et + tn (x) = cos (x)+sin (x) cos (x) = cos (x) =+tn (x). L dérivée est donc strictement positive, ce qui montre que tn est une bijection de ] sur R S bijection réciproque se note rctn. Pour x dns R, rctn(x) estleréely dns ], [ tel que tn(y) =x. On donc imméditement l reltion, [ tn rctn(x) =x.

27 3.4. Exercices 6 Pr contre l reltion rctn tn(x) =x n est vlble que pour x dns ], [. L fonction rctn est très importnte pour clculer les intégrles. On se souviendr que rctn (x) = +x. L bijection réciproque est ussi importnte pour les pssge de coordonnées crtésiennes ux coordonnées polires : si M pourcoordonnéescrtésiennes(x, y), ses coordonnées polires (, ) sont données pr x = cos et y = sin. Cel permet d obtenir y x =tn( ) etdonc =rctnx y ou +rctnx y. Dns l même fmille, on trouve les bijections réciproques de sin et cos. Elles sont un peu moins utiles. L fonction sin est une bijection de [, ] sur [, ]. L bijection réciproque se note rcsin. Elle v donc de [, ] sur [, ]. Ainsi pour x dns [, ], rcsin(x) estleréel y de [, ] tel que sin(y) =x. On donc l reltion sin rcsin(x) =x. Attention, l formule rcsin sin(x) = x n est ps toujours vrie. Elle n est vlble que pour x dns l intervlle [, ]. On ussi rcsin (x) = p x. De fçon similire, cos est une bijection de [, ] dns[ se note rccos. On ussi, ]. L bijection réciproque 8 x [, ] cos rccos(x) =x et 8 x [, ], rccos cos(x) =x. Le clcul de l dérivée donne rccos x = p x. 3.4 Exercices Exercice 3 Donner les ensembles de définitions des fonctions suivntes : / t 7! t + t +3. / x 7! p (x )(x ). 3/ y 7! y 4y 6. p 4 6 4/ 7!. 3

28 3.4. Exercices 7 Exercice 4 Former les fonctions f g à l i d e d e s 3 p r e m i è r e s f o n c t i o n s d e l e x e r c i c e p r é c é d e n t. D o les ensembles de définition. Exercice 5 Résoudre les équtions suivntes : / e 4x+ e e = 4x+ e. / 3x+ =8 5x 3. 3/ e ln( x) = x +. 4/ (x )e ln(x ) =lne x+. Exercice 6 L fonction y 7! p y est-elle dérivble? Exercice 7 Clculer les dérivées de / f(x) = sin((x +) (x +)), / ln(ln x), 3/ +tnx, Exercice 8 Clculer l dérivée f en fonction de g lorsque / f(x) =g(x)+g(), / f(x) =(x )g(x), Exercice 9 Soit f une fonction définie et dérivble sur R. SoitP le polynôme P (X) =X +3X +4. / Que vut P f(x)? / Clculer l dérivée de P f de deux mnières di érentes : à l ide des formules de produits de composition et à l ide de l question précédente. Exercice Montrer que x 7! x dmet un minimum en. Exercice / Trouver le rectngle de périmètre fixé P qui l plus grnde surfce possible. Exercice Soit p un entier positif. / Montrer que l fonction f :[, +[! R définie pr f(x) = p. / Montrer que pour tout et b réels positifs on ( + x)p +x p pourmximum ( + b) p pple p ( p + b p ).

29 3.4. Exercices 8 Exercice 3 x 3 Soit f l fonction définie pr f(x) = (x ). / Donner son ensemble de définition. Justifier qu elle y est dérivble. / Étudier les vritions de f. 3/ * Donner les limites de f(x) uxbornesdesonensemblededéfinition. 4/ Donner les extrem de f. Résumer le tout dns un tbleu. 5/ Donner, en fonction de l vleur du prmètre m, le nombre de solutions (on ne demnde ps LES solutions) de f(x) =m.

30 Chpitre 4 Intégrles 4. Définition et premières propriétés 4.. grphe et surfce On considère un intervlle I =[, b] (vec pple b) der et une fonction f de I dns R. On rppelle que le grphe de f est l ensemble des points (x, y) der qui vérifient x [, b] et y = f(x). Définition 4... On ppelle intégrle de f sur l intervlle [, b] l surfce comprise entre le grphe de f et l xe des bsisses, cette surfce étnt comptée positivement si le grphe est u-dessus de l xe et négtivement sinon. On l noter On pose ussi Z b f(t)dt déf = Z b f(t)dt Z b f(t)dt. On comprend, vec cette définition qu on ne peut ps clculer l intégrle de n importe quelle fonction, et qu il fut que son grphe soit su sment joli. En prticulier on dmettr qu on peut clculer Z b f(t)dt pour n importe quelle fonction continue f. On déduit de cette définition une propriété importnt de l intégrle : Proposition 4... Si f est positive sur [, b] lors Z b f(t)dt. Démonstrtion. Si f est positive, son grphe est toujours u-dessus de l xe des bscisses et donc l surfce est positive. De cette proposition découle deux corolires utiles : Corollire Si f g (i.e. si pour tout t de [, b], f(t) g(t)) lors Z b g(t)dt. Il su td utiliserlpropositionvecf g. Corollire Z b f(t)dt pple Z b f(t) dt. Il su td utiliserlepremiercorollireenremrquntque f pple f pple f. Z b f(t)dt

31 4.. Définition et premières propriétés Primitives et intégrles. Commençons pr donner quelques propriétés de l intégrle : Proposition Soient f et g deux fonction (continues) définies sur [, b]. Alors : Z b (f + g)(t)dt = Z b Pour tout dns R, f(t)dt + Z b Z b f(t)dt = g(t)dt. Z b f(t)dt. Pour tout c dns [, b] (et même illeur si f est définie en dehors de [, b]) on l reltion de Chsles Z b f(t)dt = Z c f(t)dt + Z b c f(t)dt. Définition On dit que l fonction F :[, b]! R est une primitive de f sur [, b] si et seulement si F est dérivble de dérivée f. Le théorème fondmentle en clcul di érentiel est le lien entre primitive et intégrle : Théorème Si f est continue lors l fonction définie sur [, b] pr F (x) = Z x f(t)dt est une primitive de f. Si F et G sont deux primitives de f sur [, b] lorsf G est dérivble de dérivée nulle. C est donc une fonction constnte. Ainsi, deux primitives d une même fonction sur un intervlle di èrent seulement d une constnte. On peut donc dire que x 7! F (x) déf R = x f(t)dt est l primitive de f sur [, b] qui s nnule en. Ceci permet ussi de clculer une intégrle à l ide d une primitive quelconque : Proposition Si G est une primitive quelconque de f sur [, b], lors Z b f(t)dt = G(b) G().

32 4.. Méthodes de clculs Primitives usuelles et exemple. f(t) F (t) f(t) F (t) n 6=, (t + ) n (t + ) n+ t + cos( t) sin( t) cosh( t) sinh( t) n + ln t + sin( t) cos( t) sinh( t) cosh( t) t pour >, 6= cos t =+tn t sin t t + p t p t t ln tn t cotnt rctn t rcsin t rgcosh t e t e t p t + rgsinh t Exemple. On souhite clculer I = Z I =.3 si nous posons u(x) =+3x,lorsI = 6 On trouve u finl I = ln(3) Méthodes de clculs. 4.. Intégrtion pr prtie t dt. On remrque que I s écrit +3t Z Z.3t +3t dt. I = 6 [ln u(t) ]. Si f et g sont dérivbles sur [, b], on rppelle l formule (fg) = f g + fg. Ceci permet d écrire l formule d intégrtion pr prtie : u (t) dt, ce qui signifie que u(t) Z b f (t)g(t)dt =[f(t)g(t)] b Z b g (t)f(t)dt

33 4.. Méthodes de clculs. 3 Cette formule est très utile pour clculer des intégrles compliquées. Plutôt que de fire une longue théorie voici quelques exemples. Exemples Clcul de I = Z 3 t ln tdt. On mnipule mieux l dérivée de ln que l fonction ln. On v donc fire une IPP pour se débrrsser du ln. Posons v (t) =t,onv(t) = 3 t3. Posons u(t) =lnt, onu (t) = t.ontrouvedonc I = Z 3 ce qui donne I = 7 3 ln 3 3 v (t)u(t)dt =[v(t)u(t)] 3 Z 3 Z 3 v(t)u (t)dt, t dt. OntrouvedoncI =9ln3 Clcul de I = R rctn tdt. On pose v (t) =,etu(t) =rctnt. On trouve v(t) =t et u (t) =. Ceci donne +t et donc I = 4 ln. I =[t rctn t] Z t +t dt, Clcul de J n = R dt. On pose encore v (t) =etu(t) = (+t ) n v(t) =t et u nt (t) =, et donc ( + t ) n+ J n = n + Z nt dt, ( + t ) n ( + t ) n.ondonc ce qui donne ussi J n = n +nj n nj n+. On donc pour tout n, nj n+ = n +(n J n pour tout n. )J n. Comme on connit J, on peut clculer 4.. Chngement de vribles L formule du chngement de vrible déjà été vue sns être évoquée explicitement. considéronsunebijection dérivble u de [, b] sur l intervlle [c, d](u est doncstrictement monotone), et une primitive F de f (définie sur [c, d]). On ur Le terme de guche de (4.) s écrit ussi u.f u. F u(b) F u() =F (u(b)) F (u()). (4.) Z b u (t)f u(t)dt puisque l dérivée de F u est

34 4.. Méthodes de clculs. 33 Le terme de droite de (4.) s écrit ussi Z b Z u(b) u() u (t)f u(t)dt = f(t)dt. Ainsi (4.) s écrit ussi Z u(b) u() f( )d. Cette formule s ppelle l formule du chngement de vrible. E ectuer un chngement de vrible dns l intégrle Z b f(t)dt c est : * Soit écrire t = u(x) oùu est une ppliction strictement monotone et dérivble de [c, d] sur [, b], * Soit poser x = u(t) oùu est une ppliction strictement monotone et dérivble de [, b] sur [c, d]. Exemples Aire d une ellipse : L éqution d une ellipse est x + y b =. On souhite connître son ire. On remrque que l symétrie permet de ne clculer que l surfce comprise dns le qurt-de-pln supérieur, c est à dire là où x et y sont positifs. L éqution devient lors r y = b ce qui signifie que l surfce de l ellipse est S =4b dx. On pose lors x = sin t, pourt entre et (on remrquer que sin est bien bijective et dérivble sur cet intervlle) ce qui donne dx = cos(t)dt.on donc Z p Z S =4b sin t cos(t)dt =4b cos tdt, (puisqu entre O et cos t est positif). cette dernière intégrle se clcule en utilisnt l formule cos t = +cos(t).ontrouveufinls = b. Z Clcul de I = x + x + dx. On écrit x + x +=(x + ) +, soit 4 I = Z x, Z r (x + ) + 3 dx. 4 on pose lors t = x + (ce qui définit bien une bijection dérivble entre [, ] et [, 3 ]) et on donc dt = dx, ce qui donne I = Z 3 t dt = 4 3 Z 3 x p 3 ) + dt. ( t

35 4.3. Primitives des frctions rtionnelles 34 On e ectue le chngement de vrible u = t p 3 (ce qui donne du = p 3 dt) pourobtenir I = p Z p 3 3 u + du. p 3 On trouve donc I = 6 p 3. Pour clculer une primitive on se rmène donc à clculer une intégrle et on utilise les outils présentés (chngement de vrible et ou intégrtion pr prtie). Si on veut clculer un primitive prticulière, vlnt b en on clculer donc F (x) =b + Z x f(t) dt et on prend bien soin de ne ps mettre l même vrible dns l intégrle qu à l extérieur : x pour F (x), t (pr exemple) pour l intégrle. Si on veut clculer les primitives, on se contenter de clculer Z x f(t) dt sur un intervlle où f est définie et on jouter une constnte quelconque. 4.3 Primitives des frctions rtionnelles 4.3. Décomposition en éléments simples Polynômes Définition On ppelle polynôme à coe P : x 7! + x n x n, cients dns R toute ppliction du type Si P n est ps l ppliction nulle on ppelle degré de P le plus grnd k tel que k soit non nul. Il se note deg(p ). Pr convention, et pour ne ps confondre l ppliction x 7! x n et s vleur en x, x n, le polynôme P : x 7! + x n x n se noter ussi P = P (X) = + X n X n. Exemple. Le polynôme P (X) =X 5 + X 4 + X +estdedegré5. Le polynôme P (X) =3estdedegré.C estlfonctionconstnteégleà3.lepolynôme nul (c est à dire l fonction constnte nulle) ser dit de degré. Définition Un polynôme P R[X] de degré forme 8 >< X vec R, P (X) = ou >: X + px + q vec p est dit irréductible s il est de l 4q<.

36 4.3. Primitives des frctions rtionnelles 35 Exemples X, X +oux + X + sont irréductibles. X X +etx 3 + X ne le sont ps. Théorème Tout polynôme non nul se décompose de fçon unique comme un produit de polynômes irréductibles et d un réel. Exemple. Décomposition en fcteurs irréductibles de X 4 +. c est un polynôme de degré 4 sns rcines dns R, qui s écrir donc comme produit de polynômes de degré irréductibles. On donc X 4 + = (X +) X =(X + p X)(X ++ p X) =(X p X+)(X + p X+) Les deux polynômes obtenus sont bien irréductibles. Le polynôme P (X) =X +X +s écritussip (X) =(X +). Proposition Soient P et Q dns R[X], vec Q 6=. Il existe deux polynômes uniques R et T, vec deg(r) < deg(q) tels que P = QT + R. Cette opértion s ppelle l division euclidienne de P pr Q ; R s ppelle le reste de l division et T le quotient. Exemple. On ur X 5 + X +=(X + X +)(X 3 X +) (X +);Lequotient de X 5 + X + pr X + X +estdoncx 3 X +etleresteest (X +). Si on e ectue l division euclidienne de X + X +prx 5 + X +,onpeutécrire X + X +=(X 5 + X +) +(X + X +), et < 5, ce qui signife que le quotient est et le reste X + X +. Proposition P est un multiple de Q si et seulement si le reste de l division euclidienne de P pr Q est nul. Exemple. E ectuons l division euclidienne de X 5 + X + pr X + X +: X 5 +X + X + X + X 5 X 4 X 3 X 4 X 3 +X + X 3 X + X 4 +X 3 +X X +X + X X Donc X 5 + X +estunmultipledex + X +.

37 4.3. Primitives des frctions rtionnelles 36 Frctions rtionnelles Définition On ppelle frction rtionnelle toute ppliction du type T : x 7! P (x) Q(x) où P et Q sont deux polynômes, Q étnt non nul. P s ppelle le numérteur et Q le dénominteur. On ppelle degré de l frction le terme deg(p ) deg(q). On noter R(X) l ensemble des frctions rtionnelles réelles. Tout comme pour les polynômes on noter (souvent) T = T (X) = P (X) l frction pour ne ps l confondre vec s vleur en x. Une frction rtionnelle n est ps Q(X) nécessirement définie sur R à cuse du dénominteur. On ppelle pôle de l frction tout point où le dénominteur s nnule. On fer toutefois ttention de ne ps jouter de fux pôles : Exemple. l frction X présente un pôle en sous cette forme mis elle vut X 3 X + ussi qui n ucun pôles. Il fut donc retirer tous les fcteurs irréductibles X + X + communs u dénominteur et u numérteur. Si P est une frction rtionnelle, on peut toujours e ectuer le division euclidienne de Q P pr Q pour obtenir P = QT + R vec deg(r) < deg(q). On ur donc P Q = T + R Q. On considèrer que toute frction rtionnelle est de degré < et s écrit P Q vec P et Q sns terme irréductibles commun dns leur décomposition respective. Définition On ppelle élément simple de R(X) une frction rtionnelle ynt l une des formes suivntes : (X b),où est dns n R, b est dns R et n est un entier. X + b où et b sont deux réels non tous les deux nuls et p et q deux réels tels (X + px + q) n que p 4q soit < et n est un entier. Le principle résultt sur les frction rtionnelles est le suivnt ; ilest utile pour l intégrtion et/ou l recherche de primitives. Théorème Toute frction (de degré < ) se décompose de fçon unique comme une somme d éléments simples de R(X). On peut ussi préciser sous quelle forme il fut recherche les éléments simples, mis l formultion est ssez lourde : Prenons P une frction rtionnelle vec P et Q premiers entre eux. Les fcteurs premiers Q de Q sont notés T,...,T k et S,...,S l sns fire intervenir l multiplicité, où T i est du type T i = X i et S j est du type S j = X + p j X + Q j (vec p j 4q j < ). Cel signifie que Q s écrit Q = ky ly (T i ) m i (S j ) m j, i= j=

38 4.3. Primitives des frctions rtionnelles 37 où les m n sont les multiplicités des fcteurs irréductibles. Alors les fcteurs premiers dns l décomposition de P sont de deux types : Q des termes en i,n (T i ) pour pple i pple k et pple n pple m i, n des termes en j,n X + j,n (S j ) n pour pple j pple l et pple n pple m i. Exemples X T =. Le numérteur et le dénominteurs sont sns terme irréductible (X )(X ) commun. Le degré est = <. Les fcteurs irréductibles du dénominteurs sont X demultiplicitéetx demultiplicité.lformeserdonc T = X + b X ( + b)x (b +) =. (X )(X ) Pr identifiction on trouve + b =etb + =,soit = T = X X. etb =.Donc Une utre méthode est possible : On multiplie pr X etonfitx =.Celdonne. On fit preil vec X. On trouve = = etb = =. X + X + T =. Le numérteur et le dénominteurs sont bien premiers entre eux. (X +) (X ) Le degré est 6= 4 <. Les fcteurs irréductilbes du dénominteurs sont X +de multiplicité et X demultiplicitééglement.lformeserdonc T = X + b (X ) + cx + d X + + ex + f (X +). Il fut mintennt trouver les vleurs des constntes. Si on multiplie pr (X ) en fisnt X =ontrouvelvleurdeb, soit b = ++ = 3. (+) 4 De plus X 3 +X + 4 (X +) vut X 4 (X )(3X +5), ce qui permet d obtenir en multiplint pr X etenfisntx =:ontrouve = 3.Sionmultipliepr 4 X et on fit tendre X vers l infini, ontrouve= + c, doncc = 3. Si on fit X = 4 on trouve d + f + b =,cequidonned + f =.Sionmultipliepr(X +) en fisnt X = ontrouve X = ex + f, X ce qui donne ex + f =. Une telle éqution n est possible que si e =crucunréel ne donne x =. Donc e =etf =. Ainsi d =;Ondonc X + X + (X +) (X ) = 3 4. X (X ) X X + On vérifie que l formule est juste.. (X +) Clculs des primitives des frctions rtionnelles. Nous vons vu que les frctions rtionnelles se décomposent en éléments simples. Cel permet en prticulier de les intégrer fcilement :

39 4.3. Primitives des frctions rtionnelles 38 Éléments simples du premier degré. Tout élément simple du type dmet comme primitive (là où il est défini) (bx + c) n /b n (bx + c) si n est di é r e n t d e e n t ln bx + c si n =. b Exemples Clcul de I = Z Z (x +)(x +) dx. L frction R(x) = (x +)(x +) Z R(x) = x + x +, s écrit ussi et donc I = x + dx x + dx. Z 4 Clcul de I = (x ) (x ) dx. L frction R(x) = (x ) (x ) s écrit 3 R(x) = (x ) x + x, ce qui donne I = Z 4 3 (x ) dx Z 4 3 Z 4 (x ) dx + 3 I =ln x dx, et donc u finl Éléments simples du second degré. Un élément simple du second degré est de l forme Z x X + b (X + px + q) n. t + b On souhite donc clculer (t + pt + q) dt. Comme cel déjà été vu on écrit n t + pt + q =(t + p )+q p et on commence pr fire le chngement de vrible u = t + p. 4 On se rmène à clculer Z x+ p u + b (u + c) du n u vec c>. Le terme se clcule sns problème (il s intègre à vue ). Reste le (u + c) n b terme en. On met c en fcteur dns le dénominteur et on e ectue le nouveu (u + c) n chngement de vrible v := p u c. On est rmené à une intégrle du type Z x+ p p b c. (v +) dv. n Ce type d intégrle été vu en exemple, on sit donc comment les clculer.

40 4.4. Exercices Exercices Exercice 4 / Trouver l primitive de f : x 7! x 3 +x définiesurr et qui s nnule en -. / Trouver les primitives de f : x 7! x 3 +5x x ++ x définie sur R et qui s nnulent en. 3/ Trouver les primitives des fonctions définies pr f(x) = Exercice 5 (x +) (x 3), À l ide d une IPP clculer Exercice 6 x 3 + (x 4 +4x +), x p, p x ++ p. 5+x 3 x +5 Z / À l ide d une IPP clculer Z xe x dx. x sin xdx, Z x cos xdx, Z x sin xdx, / Plus générlement, trouver une formule de récurrence entre I n = J n = Z x n cos xdx Z Z x cos xdx. x n sin xdx et Exercice 7 Clculer les intégrles suivntes en e ectunt les chngements de vrible donnés (on penser Z à les justifier) : p / x dx, et x =sint. / 3/ 4/ 5/ Z Z Z Z 3 p +x dx, et x =sht. x p +x dx, et t = p +x. cosh x dx, et t = ex. log( 3p x )dx, et t = 3p x. Exercice 8 Clculer l intégrle R cos5 xdx en e ectunt un bon chngement de vrible. Exercice 9 Trouver des primitives de l fonction f définie pr x + / f(x) = x +x +5. / f(x) = x x +. x

41 4.4. Exercices 4 3/ f(x) = x3 +4x +6x +4. (x +) x 4/ f(x) = (x 4x +3)(x ). Exercice 3 Trouver une primitive de x 7! e3x à l ide d un bon chngement de vrible. +e x

42 Chpitre 5 Fonctions de plusieurs vribles 5. Introduction et rppels 5.. Exemples de fonctions de plusieurs vribles L fonction impédnce est définie pr f(r, L, C,!) = de 4 vribles. s R + L! dépend C! Comme nous l vons dit plus hut, l théorie de l reltivité donne l msse d une m prticule m := p,oùv est l vitesse de l prticule. L msse m s exprime comme c v une fonction de v, de l msse initile m et de l vitesse de l lumière. En mthémtiques, nous prlerons d une fonction de vribles ou 3 vribles (ou plus). Une fonction de vribles est une fonction d un domine de R dns R. Une fonction de 3 vribles est une fonction d un domine de R 3 dns R, etc. Exemples x y sin x f(x, y) = p x y est une fonction de vribles, x et y, définie lorsque x +y <. x +3z f(x, y, z) = y 4z d éqution y = 4z. est une fonction des 3 vribles, x, y et z définies hors du pln 5.. Rppels sur l géométrie de R n vecteurs et produit sclire On munit R et R 3 d une repère orthonormé (O,~i,~j) et(o,~i,~j, ~ k). Un point M est repéré pr ses coordonnées crtésiennes (x, y) ou(x, y, z).! Le vecteur OM est l flèche relint O et M. Ses coordonnées sont ussi (x, y) ou (x, y, z). Si M pourcoordonnées(x,y )ou(x,y,z ), le vecteur MM ~ pourcoordonnées (x x, y y)ou(x x, y y, z z). Étnt donné deux vecteurs ~u et ~v, de coordonnées (, )et(, )(ou(,, )et (,, )) le produit sclire ~u.~v vut + (ou + + ).

43 5.. Grphe. Dérivées prtielles. Sous-espce tngent 4 Théorème 5... Deux vecteurs ~u et ~v sont orthogonux si et seulement si ~u.~v =. Si M =(x, y) estunpointet~u =(, ) un vecteur non nul, l droite pssnt pr M et engendrée pr ~u est l ensemble des points de coordonnées (x + t,y+ t )lorsquet décrit R. Dns le cs de R 3 il fut jouter à chque fois une troisième coordonnée z, et z + t. On rppelle qu une droite est déterminée pr un vecteur directeur et un point pr lequel elle psse. Proposition 5... Soient ~u =(, ) un vecteur de R, A =(x, y) un point de R et! un réel. L ensemble des points M vérifint ~u. AM = est une droite D perpendiculire à ~u. Plus précisément, si D est l droite pssnt pr A et de vecteur directeur ~u, on note A le point de D donné pr l vleur t = x y +. Alors D est l droite perpendiculire à D et pssnt pr A. Pour R 3, on commence pr rppeler qu un pln définit ussi une direction (une droite ) perpendiculire. Réciproquement, une droite dns R 3 définit ussi un pln perpendiculire. Proposition Soient ~u =(,, ) un vecteur de R 3, A =(x, y, z) un point de R 3! et un réel. L ensemble des points M vérifint ~u. AM = est un pln P perpendiculire à ~u. Plus précisément, si D est l droite pssnt pr A et de vecteur directeur ~u, on note A le point de D donné pr l vleur t = x y z + + g. Alors P est le pln perpendiculire à D et pssnt pr A. L espce R n Un point de R n est un n-uplet de l forme (x,...,x n )oùlesx i sont des réels. 5. Grphe. Dérivées prtielles. Sous-espce tngent 5.. Motivtions En physique, thermodynmique, biologie, etc, les fonctions qui pprissent seront presque toutes des fonctions de plusieurs vribles. Nous vons vu précédemment comment le clcul di érentiel permet d obtenir des informtions sur les fonctions d une seule vrible réelle Le but de ce chpitre est donc de construire et d utiliser les mêmes outils et méthodes mis pour des fonctions de plusieurs vribles réelles. L di culté est ccrue, surtout du fit que l géométrie dns une droite est beucoup plus simple que l géométrie dns un pln ou dns l espce.. En fit il y une infinité de pln tous prllèles qui ont cette droite comme perpendiculire.

44 5.. Grphe. Dérivées prtielles. Sous-espce tngent Grphe d une ppliction de plusieurs vribles Si f est une fonction de R n dns R p, elle s écrir f(x,...,x n )=(y,...y p ). Chque coordonnée y j ser une fonction à vleurs réelles de n vribles y j = y j (x,...,x n ). Définition 5... On ppelle grphe de l ppliction f l ensemble des points de R n+p de l forme (x,...x n,y,...,y p ). Exemple. Si f est une ppliction de R dns R, on retrouve le grphe déjà vu dns l définition 3... Si f est une ppliction de R dns R, le grphe est une surfce (ou une nppe) dns R 3. Comme on peut étudier une fonction à vleurs dns R p en étudint chcune de ses p-coordonnées imges (y,...,y p ), on v se restreindre u cs des fonctions de R n dns R. En outre, nous nous restreindrons ux fonctions de R ou R 3 dns R. Le cs plus générl se déduit ssez fcilement du cs R 3. Dns le cs d une fonction de R dns R, une courbe de niveu est l intersection du grphe vec le pln d éqution z = Définitions des dérivées prtielles. Di érentielle Pr soucis de simplicité nous llons essentiellement nous contenter des fonctions de ou 3 vribles réelles. Si f(x, y) est une fonction en x et y et si on gèle l vrible y (on l considère comme une constnte), on récupère juste une fonction clssique x 7! f(x, y). Si on peut dériver cette fonction, l dérivée se note Elle s ppelle dérivée première pr rpport à x. En gelnt l vrible x et en dérivnt pr rpport à y on ur (qui s ppelle donc l dérivée prtielle première pr rpport à y). Souvent oublier de signifier qu il s git des dérivées premières. Exemple. Soit f(x, y) =x + y sin(x)+y (x, y) =x + y cos x et (x, sin(x)+7y 6. Il fut fire ttention, les x et les y n ont ps tous l même significtion. Les nottions sont ssez mbigües, mis vec l hbitude et un peu de réflexion, on ne se trompe ps est l fonction de vribles, X et Y (X, Y )=X + Y Définition 5.. (Cs de deux vribles). On ppelle di érentielle de f u point (X, Y ), et on l note df (X,Y ) l fonction df (X,Y (X, Y )dx + (X,

45 5.. Grphe. Dérivées prtielles. Sous-espce tngent 44 définie pr df (X,Y ) (h, (X, Y ).h + (X, On ppelle lors di érentielle de f, l ppliction (X, Y ) 7! df (X,Y ). On noter prfois fonction vec l quntité df (X,Y ) (h, @f dx+ dy, mis on fer ttention de ne ps (X, Y ).h + (X, Y Exemple. L di érentielle de l fonction donnée f(x, pr y) =x + y sin(x) +y 7 est df =(x + y cos x)dx +(sin(x)+7y 6 )dy. Définition 5..3 (Cs de trois vribles). On ppelle di érentielle de f u point (X, Y, Z), et on l note df (X,Y,Z) l fonction df (X, Y, @f (X, Y, Z)dy + (X, Y, définie pr df (X,Y,Z) (h, k, @f (X, Y ).h + (X, Y ).k + (X, @z On ppelle lors di érentielle de f, l ppliction (X, Y, Z) 7! df (X,Y,Z) Lien entre di érentielle et dérivée. Retour sur l tngente Donnons nous une ppliction de une vrible à vleur dns R. On peut ussi vouloir déterminer l di érentielle de f en un point x. L définition s dpte, l dérivée prtielle en x ser, dns ce cs l dérivée f (x). Donc l di é r e n t i e l l e e s t l p p l i c t i o n d é fi n i e p r df x h 7! f (x).h. On vit dit que l tngente donne l meilleure pproximtion de x. f(x + ") f(x)+f (x).". ne de f u voisinge Dns le cs de deux ou trois vribles, l di érentielle permet ussi de trouver une pproximtion ne loclement. Supposons que f soit une fonction de x et de y, Siupoint (X, Y )oncommetunepetiteerreur( x, y) onurlors f(x + x, Y + y) f(x, Y ) df (X,Y ) ( X, Y (X, Y ) x (X, Y ) Définition Soit f une fonction de deux vribles di érentible sur un ouvert U R. Soit S l grphe de f On ppelle pln tngent à S en (x,y ) le pln d éqution (X (x,y )+(Y (x,y ) (Z f(x,y )) =.. C est donc une surfce donnée pr les points de l forme (x, y, f(x, y)).

46 5.. Grphe. Dérivées prtielles. Sous-espce tngent 45 Exemple d ppliction. Un tringle côtés b et c de longueur b =cm et c =cm. L ngle A est. L surfce est donnée pr S = bc sin A. Cel donne une surfce de 3 86, 6cm. Si b et c restent fixes, mis qu on commet une petite erreur sur A,, en première pproximtion, l surfce v vrier d une (soit environ, 87 Pour reprendre l exemple précédent, si on commet ussi une erreur b et c sur les mesures de b et c, l erreur globle ser de l ordre de... Définition 5..5 (Cs de 3 vribles). Soit f une fonction de deux vribles di érentible sur un ouvert U R 3. Soit G l grphe de f 3 On ppelle espce tngent à G en (x,y,z ) l hyperpln d éqution (X (x,y,z )+(Y (x,y,z )+(Z (x,y,z ) (T f(x,y,z )) = Grdient. Di érentielles totles. Chmps de vecteurs Di érentielle totle Comme nous l vons vu, l di érentielle d une fonction s écrit sous df l = forme P (x, y)dx + Q(x, y)dy où P et Q sontles dérivées prtielles premières. Réciproquement, é t n t d o n n é u n e f o r m e! = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, peut-on trouver une fonction f telle que! soit l di érentielle de cette fonction? Le théorème suivnt donne une réponse : Théorème L forme! = P (x, y)dx + Q(x, y)dy vec P et Q deux fonctions qui dmettent des dérivées premières continues est l di érentielle d une fonction f si et @x. Si P, Q et R sont des fonctions de 3 vribles, x, y, et z, dmettnt chcune des dérivées premières continues, l forme! = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz est l di érentielle d une fonction de trois vribles xyet z si et @x, On dit lors que l forme! est une di érentielle totle (ou encore qu elle est excte). Lorsqu on montré que l forme! étit excte, on peut chercher l fonction f dont elle est l di érentielle. Il s git ici d une sorte de recherche de primitive, et tout comme dns le cs d une vrible, on ne trouver l solution que modulo une constnte (dditive). Nénmoins le problème revient à chercher une fonction = Q = R). Exemple. L forme! =cosx cos ydx sin x sin ydy est excte. C est l di é r e n t i e l l e d e l fonction définie pr f(x, y) =sin(x)cos(y). 3. C est donc une hyper-surfce donnée pr les points de l forme (x, y, z, f(x, y, z)).

47 5.. Grphe. Dérivées prtielles. Sous-espce tngent 46 Exemple. On cherche une fonction h(z) telleque! = h(z)(xzdx yzdy (x y )dz) soit excte. Posons P (x, y, z) =h(z)xz, Q(x, y, z) = h(z)yz et R(x, y, z) = (x y )h(z). Les conditions de Schwrz vont donner xh(z)+xzh (z) = xh(z), =, yh(z) yzh (z) =yh(z). Ceci donne comme éqution h (z) h(z) =,cequidonneh(z) = + Cste. z z Admettons que les conditions ux limites nous permettent de fixer l constnte à. L forme! = z (xzdx yzdy (x y )dz) estldi é r e n t i e l l e d u n e f o n f. c t i Ondoit o n = = = y x z. En intégrnt l dernière reltion on trouve f(x, y, z) = x y + g(x, y), où g est une z certine fonction inconnue qui joue le rôle de l constnte dns l intégrtion à une vrible. Si on dérive cette dernière églité pr rpport à x et y =et@g =. l fonction f est l fonction f(x, y, z) = x y. z Grdient Considérons une ppliction de deux vribles f(x, y)di é r e n t i b l e. O n v u q u e q u e n un point (x,y,f(x,y )) le pln tngent est donné pr l éqution (X (x,y )+(Y (x,y ) (Z f(x,y )) =. Il s git bien de l éqution d un pln puisque cette éqution est (x,y )X (x,y ) (x,y (x,y )y f(x,y )). Ce pln est orthogonl à l (x,y ), un vecteur prticulier, dns R : ). On voit donc pprître Définition Si f dépend de vribles, x et y, le vecteur grdient u point (x,y ) est le (x,y )). Si f dépend de 3 vribles, x, y et z, le vecteur grdient u point (x,y,z ) est le (x,y,z )).! On le note (dns tous les cs) Grd(f)(x,y,...) Chmps de vecteurs (et rottionnel?) Se donner un chmp de vecteurs dns le pln ou dns l espce, c est se donner en chque point un vecteur dont les coordonnées dépendent des coordonnées du point : V (x, y, z) =P (x, y, z)! i + Q(x, y, z)! j + R(x, y, z)! k.

48 5.3. Courbes de niveu. Théorème de l fonction implicite (cs de deux vribles) 47 L question qu on se pose générlement en physique, c est de svoir si ce chmp de vecteur dérive d un potentiel (cel intervient pr exemple en mécnique des fluides...). On cherche! donc une fonction f (ici de trois vribles) telle que V (M) = Grd(f)(M). Il s git en fit du même problème que celui de l di érentielle totle : Le chmp de vecteur V (x, y, z) = P (x, y, z)! i + Q(x, y, z)! j + R(x, y, z)! k dérive d un potentiel si et seulement si l forme! = Pdx+ Qdy + Rdz est excte. On ur lors V = Grd(f)! oùf est une fonction telle que df =!. 5.3 Courbes de niveu. Théorème de l fonction implicite (cs de deux vribles) 5.3. Exemples de courbes de niveu On rencontre ussi des fonctions de plusieurs vribles ppelées équipotentielles. Lorsqu on émet un chmps électrique ou mgnétique, etc. En géogrphie, les équipotentielles sont prfois ppelées courbes de niveu sur une crte. Elles représentent les points situés à une même ltitude, et donc ynt l même énergie potentielle. Une telle courbe se représente souvent pr l formule f(x, y) =, où représente le potentiel. Inversement, si on une éqution du type f(x, y) =,peuton être sûr-e que cel représente une courbe? Si on dispose d une fmille de courbes de ce type, f z (x, y) =(z), peut-on être sûr-e que ces courbes sont toutes les équipotentielles d un même phénomène? Exemple y x =. On sit que cel représente une prbole : x Figure 5. y = x C est donc bien une courbe, et on peut fcilement écrire y en fonction de x.

49 5.3. Courbes de niveu. Théorème de l fonction implicite (cs de deux vribles) Figure 5. y + x = Exemple x + y =. On sit que cel représente le cercle de centre et de ryon : Pourtnt il n est ps fcile d écrire y en fonction de x. Bien sûr on peut voir pour (x, y) dnslequdrntsupérieurdroit,y = p x mis u voisinge du point (, ) il est impossible d écrire y en fonction de x. Cependnt on peut écrire x en fonction de y (x = p y ) Théorème de l fonction implicite. Retour sur le grdient. L objectif est de trouver une condition su snte (et non ps nécessire) pour être sûr-e qu une éqution du type f(x, y) = donne une courbe. Le théorème donne une condition locle : Théorème Soit f(x, y) une fonction de vribles réelles. Si u point (X, Y ) l dérivée (X, Y ) n est ps nulle, lors, il existe une ppliction, définie un voisinge ]X ",X + "[, telle que (X) =Y et pour tout u dns ]X ",X + (u, v) f(u, (u)) = f(x, Y ). De plus est dérivble (u) =. (u, v) En d utres termes, Exemple. l éqution x + y sin(x) +y 7 = 3 définit-elle une courbe? On pose g(x, y) = x + y sin(x)+y =sin(x)+7y6. le point M =(, 7p 3) vérifie l éqution, et en ce point l dérivée prtielle en y n est ps nulle. Donc on peut trouver un petit voisinge ] ", "[ et une fonction telle que dns l boule B(M,") l équtiondéfinitunecourbed équtiony = (x). Ce théorème porte bien son nom ; l fonction est implicite ce qui signifie qu elle est donnée pr l éqution mis qu elle est cchée (c est à dire ps

50 5.3. Courbes de niveu. Théorème de l fonction implicite (cs de deux vribles) 49 Définition Soit f une fonction de vribles. Le point M =(X, Y ) est dit point critique de l fonction si l di érentielle df M est l ppliction nulle. Un point qui n est ps critique est dit régulier. Les points critiques jouent le même rôle que les points où l dérivée s nnule pour les fonction d une vrible réelle. L définition stipule qu un point est critique si et seulement si toutes les dérivées prtielles s nnulent en ce point. Exemple. Pour l fonction f(x, y) =x + y, le seul point critique est le point de coordonnées (, ). L intérêt de cette définition, est qu il permet de reformuler le théorème de l fonction implicite : L éqution f(x, y) = définit une courbe en dehors de ses points critiques. Cette courbe est éventuellement vide. Considérons donc une courbe de niveu donnée pr f(x, y) =.PrenonsunpointM = (X, Y forme y = (x), vec Y = (X) (X) = (X, Y ). L tngente à l courbe u (X, Y M pouréqution y = (X)(x X)+Y, ce qui s écrit ussi (x (X, Y Y )@f (X, Y )=.Supposonsque@f on doit lors (M) 6= (crm est régulier) et donc courbe s (X, Y x = (y), vec X = (Y )et (Y )= en M ur pour (x (X, Y Y (X, Y ). Une fois encore l tngente à l courbe )@f (X, Y On peut interpréter cette quntité comme un produit sclire dns R. On déduit : Théorème (et définition). Soit f une fonction de vribles. l courbe d éqution f(x, y) = une tngente en chcun de ses points (x,y ) qui n est ps critique. Elle! est perpendiculire u grdient (x,y )). L éqution de l tngente est lors (x (x,y )+(y (x,y )=. Exemple. Une prticule électrique q génère un chmp électrique! E. On sit que ce chmp dérive d un potentiel, c est à dire que le vecteur! E (x, y) estlgrdientdupotentiel V (x, y). On sit ussi que chque équipotentielle, c est à dire chque courbe d éqution V (x, y) = Cste est un cercle centré u point q. Le chmp électrique est donc perpendiculire ux équipotentielles, c est à dire rdil.

51 5.4. Exercices Exercices. Exercice 3 Clculer les dérivées prtielles premières et former les di érentielles des fonctions suivntes : / u(x, y, z) =xy z 3. / u(x, y) =x cos(y 3xy). 3/ u(x, y, z) = p x + y + z. Exercice 3 Deux côtés d un gâteu tringulire ont pour longueur 63 et 78 cm. L ngle correspondnt vut 6 degrés. les erreurs mximles commises sont de mm pour chque côté et degré pour l ngle. Trouver une estimtion de l erreur commise sur l surfce du tringle (=gâteu). Exercice 33 L densité d un corps est donnée pr l formule d = A,oùA est le poids dns l ir A P et P celui dns l eu. Clculer d et l erreur commise lorsque A =9kg, P =6kg et l erreur commise sur chque mesure est u plus de g. Exercice 34 / On rppelle que l éqution crtésienne d une ellipse est donnée pr x + y b =. Donner l éqution de l tngent à une ellipse en un point (x,y ). / Même question vec une hyperbole d éqution crtésienne est x y b =. Exercice 35 Trouver toutes les fonctions de vribles =. Exercice 36 Montrer que les fonctions de l forme u(x, y) =xf = x vec f su y smment régulière, Exercice 37 On cherche les solutions de l @x = f. / En posnt F (r, ) =f(r cos,rsin ), trouver une éqution vérifée pr F. / En déduire une expression F puis de f. Exercice 38 / Dire si le chmp de vecteurs (x + y + z)! i +(x +y + z)! j +(x + y +z)! k dérive

52 5.4. Exercices. 5 d un potentiel. Le clculer le cs échént. / Même question vec ln y! i ln x! j.

53 Chpitre 6 Intégrle double 6. Définition de l intégrle double. 6.. Intégrle double sur un pvé. On considère une foncion de deux vribles, f(x, y), définie pour x [, b] et y [c, d]. On souhite donner un sens à Z b Z d c f(x, y)dydx. Gelons l vrible x. L fonction y 7! f(x, y) estcontinue(umoinsprmorceux)sur [c, d] et on peut clculer son intégrle Z d n intervient plus (c est une vrible muette) ; on en e et Z d Ceci définit une fonction en x, x 7! c c Z d c f(x, y)dy = c f(x, y)dy. Dns cette intégrle l vrible y Z d f(x, )d. f(x, )d. On dmettr que cette fonction est encore continue (u moins pr morceux) sur [, b]. On peut donc en clculer son intégrle, ce qui définit Z b Z d c f(x, y)dydx. On peut de même clculer l intégrle double l intégrle en y. Z b Z d Z b c f(x, y)dxdy, en clculnt d bord f(x, y)dx, puis en clculnt l intégrle sur le segment [c, d] de cette fonction On noter donc l importnce et du sens des bornes et et du sens de dx et dy. Z Il fut risonner comme pour les prenthèses successives : l ouverture se fit en, et l fermeture se fit vec le d ssocié à l intervlle [, ]. De plus les prenthèses sont emboîtées et ne s enjmbent ps. Cependnt nous vons un théorème très prtique : Z b Z d c Théorème 6.. (Fubini). Si f est continue pr morceux, lors Z b Z d c f(x, y)dydx =

54 6.. Définition de l intégrle double. 53 Z d Z b c f(x, y)dxdy. Ce théorème signifie que le sens de l intégrtion ne compte ps, on obtient dns les méthodes le même résultt. Ceci donne lors un sens à l nottion ZZ f(x, y)dxdy, [,b] [c,d] qui précise que l première vrible vit dns l intervlle [, b] et l seconde dns l intervlle [c, d]. Exemple. Z Z 3 cos(x + y)dxdy = = = = Z Z Z [sin(x + y)] 3 dy sin( 3 + y) sin( Z + y) dy 3 h cos( 3 + y) i sin ydy [cos(y)] sin ydy = cos 3 cos 5 6 cos + cos = p 3. De même, le clcul en inversnt le sens d intégrtion donne Z 3 Z cos(x + y)dydx = = = = Z 3 Z 3 Z 3 [sin(x + y)] dy sin( + y) sin( Z + y) dy h cos( + y) i 3 sin ydy 3 [cos(y)] 3 sin ydy = cos cos 5 6 cos + cos 3 = p 3. Il fut nénmoins retenir l idée que si les clculszz donnent le résultt, prfois l un est plus fcile ou stucieux que l utre. Ainsi l intégrle e x dxdy où D est le domine défini pr pple y pple x pple seclculeplusfcilementdnsunsensquednsl utre. En e et,l intégrle Z e x dx se clcule di D cilement cr on ne connît pr de primitive à

55 6.. Définition de l intégrle double. 54 x 7! e x. Fisons donc l intégrtion dns l utre sens. À x fixé, y est dns l intervlle [,x] et donc on doit clculer Z x ZZ e x dy. Cel donne D e x dxdy = = = Z Z x Z xe x dx he xi 6.. Clcul de surfce et de volumes. e x dydx = e. le théorème de Fubini s interprète d une fçon géométrique. Tout comme l intégrle simple est un clcul de surfce, l intégrle double est un clcul de volume. Prenons l exemple simple de l fonction I [,]. Son grphe se représente dns R 3 comme étnt le nppe vlnt si le point de bse (x, y) estdnslecrré,illeurs.poury fixé, fire Z I [,] (x, y)dx, c est clculer l surfce entre l nppe et le pln Z =,restreinteu pln Y = y. Lorsqu on intègre cette vleur selon y, on clcule bien le volume du cube. Inversement si on intègre d bord en y pour x fixé, on clcule l surfce d une trnche puis on somme sur toutes les trnches lorsqu on intègre pr rpport à x. Une intégrle double est donc un clcul de volume, et le volume finl est le même, que l on clcule pr trnche ou pr pile. Clcul d une surfce d un domine. Si on se donne un domine simple, noté D, on peut utiliser les intégrles doubles ZZ pour clculer s surfce. L fonction I D est continue pr morceux, et l intégrle I D dxdy représente le volume compris entre le pln Z =etlegrphedelfonction.cevolume en fit l même vleur lgébrique que l surfce du domine, cr l huteur est nulle en dehors de D et constnte égle à sur D. Ainsi ZZ Surf ce(d) = I D dxdy. Exemple. Considérons une fonction d une vrible réelle, f(x) définiesurl intervlle [, b]. On sit que l surfce comprise entre l xe des X et le grphe de f est R b f(t)dt. Quitte à chnger f en f + C, pour une bonne constnte, on peut supposer que f est positive. L surfce définie un domine D donné pr D = {(x, y), pple x pple b, pple y pple f(x)}. Ainsi ZZ Z b Z f(x) Z b I D (x, y)dxdy = dydx = f(x)dx. On retrouve le résultt de l nnée dernière. D D D

56 6.. Chngement de vribles : coordonnées polires 55 Clcul du volume d un sphère. L sphère d éqution x +y +z = r, un volume double de demie-sphère supérieure (z ). Si z est positif, on donc z = p r x y lorsque (x, y, z) estsurlsphère. Posons f(x, y) = p r x y, définie sur le disque D d éqution x +y pple r. L intégrle double de cette fonction représente le volume compris entre son grphe et le pln Z =, c est à dire le volume de l demie-sphère. Le volume de l sphère est donc ZZ p V = r x y dxdy. D Z r Z p r y p Cette intégrle s écrit ussi. r y r pr x dxdy. E ectuons le chngement y de vrible x = p r y sin. Ontrouve Z p r y Pour dns [ vut (r y ) pr y p r y x dx = Z q (r y )( sin ) p r y cos d., ] cos est positif, et cos vut +cos ; donc l intégrle de droite Z cos d =(r V = y ).. On trouve donc pour le volume Z r r r y dy = 4 3 r3. 6. Chngement de vribles : coordonnées polires Le clcul précédent été un peu compliqué cr il fllut fire un chngement de vrible stucieux. Ce chngement s est fit pour une vrible réelle, mis on peut se demnder s il est possible de fire un chngement sur les vribles réelles en même temps. Ainsi, un point de coordonnées crtésiennes (x, y) peut ussi être vu vec les coordonnées polires (, ), définies pr l reltion x = cos, y= sin. Dns une intégrle double, dxdy peut être vu comme l élément de surfce élémentire. Il est obtenu comme le pvé dont les côtés sont les éléments de longueur élémentire dx et dy. Si on regrde le même élément d ire élémentire, mis d un point de vu polire, un petit chngement d et d créé un trpèze de côtés d et d, de surfce élémentire d d. Ainsi on s ttendrit à voir ZZ ZZ f(x, y)dxdy = F (, ) d d, D où F (, ) =f( cos, sin ) et est le domine décrit pr les coordonnées polires lorsque le point (x, y) décritd. En écrivnt les coordonnées crtésiennes comme fonctions

57 6.. Chngement de vribles : coordonnées polires 56 des coordonnées polires @ = On remrque lors que vut. Dns le cs d de vrible réelle, l formule étit Z Z f g(t)g (t)dt = f(u)du. [,b] Dns le cs présent, le rôle de l intervlle [c, d] est joué pr D et celui de l intervlle [, b] est joué pr le domine ;demêmeleg (t) esticiremplcéprle que l on vient de clculé et on remplce près simplement dxdy pr d d (pour retrouver pproximtivement le dxdy = d d ). ZZ Exemple. On veut clculer I = vec D le qurt de disque pple x pple, D +x + y pple y pple etpple x + y +. Le chngement en polires donne comme domine l ensemble [, ] [, ]. On donc ZZ I = + d d, qui se clcule fcilement. [c,d]

58 Chpitre 7 Équtions di érentielles 7. Équtions di érentielles homogènes 7.. Éqution y y = Soit dns R. Une solution de l éqution di érentielle y y = (7.) est une fonction dérivble f définie sur un intervlle I de R (on cherche générlement le plus grnd intervlle possible) telle que pour tout x de I, f (x) f(x) =. Résoudre l éqution di érentielle, c trouver est toutes les solutions de cette éqution. On constte fcilement que l fonction nulle (qui à tout x de R ssocie ) est solution de (7.) mis il y ussi l fonction f : x 7! e x. Cette fonction est en e et dérivble (comme exponentielle) et on pour tout x de R, f (x) =e x = f(x). Théorème 7... Les solutions de y y =sont les fonctions f : x 7! e x où décrit R. Ce théorème signifie choses : toutes les fonctions du type f : x 7! e x sont solutions de (7.) et il n y en ps d utres! Nous llons donner l preuve de ce théorème cr elle utilise ce qui est qusiment l seule méthode presque systémtique pour trouver les solutions d une éqution di é r e n t i e l l e. Démonstrtion. Notons u(x) =e x. Nous vons vu que u é t i t s o l u t i o n d e l é q u t i o n. D e plus elle ne s nnule jmis. Enfin, les formules de dérivtions montrent que pour tout réel, (.u) (x) =.u (x) =..u(x), ce qui montrer que toute fonction du type f(x) =.u(x) estsolutiondel éqution di érentielle. Réciproquement considérons une solution de l éqution f et posons g(x) = f(x) u(x) =

59 7.. Équtions di érentielles homogènes 58 f(x)e x (ce qui est possible cr u ne s nnule jmis). L fonction g est dérivble comme rpport de fonctions dérivbles et on g (x) =f (x)e x f(x)e x = e x (f (x) f(x)). Comme f est solution de (7.), on obtient, pour tout x de R, g (x) =,cequisignifie que g est une fonction constnte. On donc ce qui signifie que f est du type nnoncé. 8x R, f(x) =g()e x, Cette méthode s ppelle l méthode de l vrition de l constnte, puisque l idée est de démontrer que l constnte en est bien une en montrnt que s dérivée est nulle. Exemple. Résoudre y 3y =.Trouverlsolutionquivuten. Les solution de cette éqution sont du type f(x) = e 3x.Sif() =, on doit donc voir =.e 3 =, ce qui signifie qu il n y qu une seule solution u problème compte-tenu des contrintes ; c est l fonction définie pr f(x) =e 3x. 7.. Éqution y + y =. Soit dns R. Une solution de l éqution di érentielle y + y = (7.) est une fonction fois dérivble f définie sur un intervlle I de R (on cherche générlement le plus grnd intervlle possible) telle que pour tout x de I, f (x)+f(x) =. Résoudre l éqution di érentielle, c trouver est toutes les solutions de cette éqution. On constte fcilement que l fonction nulle (qui à tout x de R ssocie ) est solution de (7.). Exemples Les fonctions x 7! e x et x 7! e x sont des solutions de l éqution y y =, puisqu elles sont égles à leur dérivée seconde. Comme sin = sin et cos = cos, sinus et cosinus sont solutions de y + y =. Lemme 7... Si u et v sont deux solutions de y + y =(définies sur un même intervlle), lors l fonction x 7! u (x)v(x) v (x)u(x) est constnte.

60 7.. Équtions di érentielles homogènes 59 Démonstrtion. L fonction introduite s ppelle le Wronskien. Nous n en ferons ps l théorie générle mis il su t (fut?) de se souvenir que cel s étend à d utre type d équtions di érentielles et que c est un outil prtique. Posons h = u v v u ; h est dérivble comme composée de fonctions dérivbles, et on trouve h (x) =u (x)v(x)+u (x)v (x) v (x)u(x) v (x)u(x). On remplce lors u et v pr u et v, ce qui montre que h est nulle, donc h est constnte. Proposition Soient u et v deux solutions de y + y =telles que h := u v v u ne soit ps l fonction nulle. Alors les solutions de y + y =sont les fonctions du type f = u + µv, où et µ décrivent R. Démonstrtion. L fonction h est constnte et n est ps nulle ; Notons donc k s vleur. On montre fcilement que toute fonction du type f = u + µv est solution de y + y =. Réciproquement, soit f solution de cette éqution di é r e n t i e l l e. L e l e m m e p r é c é d e n t montre qu il existe deux constntes et telles que pour tout x de R u (x)f(x) f (x)u(x) =, v (x)f(x) v(x f (x) =. En multiplint l première églité pr v(x) etlsecondepru(x), puis en soustrynt on obtient pour tout x de R, (u (x)v(x) u(x)v (x))f(x) = v(x) u(x), ce qui s écrit ussi, compte-teu du fit que h est constnte et vut k, 8x R, f(x) = k u(x)+ k v(x). Théorème Soit dns R.. Si =, les solutions de y + y =sont les fonctions du type x 7! x + µ.. Si >, les solutions de y + y =sont les fonctions du type x 7! cos( p x)+ µ sin( p x). 3. Si <, les solutions de y + y =sont les fonctions du type x 7! e (p x) + µe ( p x). Démonstrtion. Il su t de vérifier pour chque cs que le h ssocié n est ps nul et d utiliser l proposition précédente. Exemple. Un mobile est ccroché à un ressort horizontl de rideur k>. On note x son bscisse, vec comme origine l position de repos (le ressort n est ni étiré ni contrcté). On tire le ressort pour plcer le mobile en position x = l et on le lche. On cherche l éqution du mouvement.

61 7.. Équtions di érentielles homogènes 6 Le mobile ne subit (horizontlement) que l force de rppel du ressort de l dynmique donne donc mx (t) = kx(t), kx. Le principe ce qui signifie que l fonction x est solution de y + y =vec = k.doncx s écrit m x(t) = cos(!t)+µ sin(!t), r k en posnt! =. Il reste à déterminer et µ : m Pour t =onx() = l et x () =, ce qui donne mouvement est x(t) =l cos(!t). = l et µ =. Ainsi l éqution du 7..3 Éqution y + py + qy =. Soient p et q deux réels. Une solution de l éqution di érentielle y + py + qy = (7.3) est une fonction fois dérivble f définie sur un intervlle I de R (on cherche générlement le plus grnd intervlle possible) telle que pour tout x de I, f (x)+pf (x)+qf(x) =. Résoudre l éqution di érentielle, c trouver est toutes les solutions de cette éqution. On constte fcilement que l fonction nulle (qui à tout x de R ssocie ) est solution de (7.3). comme nous vons déjà trité le cs p =onsupposednstoutelsuitequep n est ps nul. On pose Soit R(X) =X + px + q, et on l ppelle polynôme crctéristique de l éqution (7.3). On lors = p 4q et on pose = p. Théorème Avec les nottions précédentes,. Si est >, P lors deux rcines distinctes r = p et s = p +, et les solutions de (7.3) sont les fonctions du type x 7!.e rx + µ.e sx.. Si =, P n qu une seule rcine, r = p et les solutions de (7.3) sont les fonctions du type x 7! (.x + µ)e rx. 3. Si est <, P n lors ucune rcine (dns R) ; on pose r = p et les solutions de (7.3) sont les fonctions du type x 7! e rx ( cos( x)+µ. sin( x)). Démonstrtion. Posons = p. Pour f deux fois dérivble sur R on pose g(x) = f(x)e x. L fonction g est deux fois dérivble et on trouve g (x) = e x (f x) f(x)) g (x) = e x (f (x) f (x) f (x)+ f(x)) d où g (x) = e x (f (x)+pf (x)+ f(x))

62 7.. Équtions non-homogènes 6 Cette dernière églité montre que g est solution de y y = (7.4) 4 si et seulement si f est solution de y + py + qy =, (7.3) puisque 4 = p 4 p 4 + q. On utilise lors le théorème 7..4 pour conclure. Exemple. Nous reprenons l exemple du mobile, mis nous supposons en outre qu il subit une force de frottement de l ir. Cette force est proportionnelle à s vitesse. L éqution du mouvement est donc mx = kx rx, vec r > puisque l force de frottement s oppose u mouvement. En posnt encore! = k et p = r le polynôme crctéristique de l éqution du mouvement est m m R(X) =X + px +!, dont le discriminnt vut = p 4! =(p!)(p +!). Il fut donc discuter en fonction de l vleur de. Si p>!, lors > etl équtiondumouvementestdutype x(t) =.e p t + µ.e p+ t. Si p =!, lors = et l éqution du mouvement est du type x(t) =e p t ( t + µ). Si p<!, lors < etl équtiondumouvementestdutype x(t) =e p t ( cos( t)+µ sin( t)). Ici s chève l prtie mthémtique de l résolution ; ce sont les conditions physiques qui ideront à déterminer l solution dns chcun des 3 cs. 7. Équtions non-homogènes 7.. éqution du type y y = F On considère toujours dns R et on se donne une fonction F continue définie sur R (ou un intervlle de R). On cherche à résoudre l éqution di é r e n t i e l l e y y = F (7.5) c est à dire qu on souhite trouver toutes les solutions de cette éqution. On commence pr remrque que si f et g sont deux solutions lors f g est solution de l éqution linéire homogène ssociée (7.), ce qui signifie que f g est du type x 7!.e x.

63 7.. Équtions non-homogènes 6 Réciproquement, si f est une solution de (7.5) et si g est une solution de (7.), lors f + g est encore solution de (7.5) : (f + g) (f + g) =f f + g g = F +=F. On retiendr donc l règle : une solution générle de (7.5) sécrit comme l somme d une solution prticulière de l éqution et d une solution générle de l éqution homogène ssociée y y =. Soit f une solution prticulière de y y = F. Alors, l ensemble solution de l éqution y y = F est l ensemble des fonctions du type x 7! f(x)+.e x Exemple. Un prchutiste subit l force dûe u poid et une force de résitence proportionnelle à s vitesse. L éqution est donc mz (t) =mg Kz, ce qui donne comme éqution di érentielle y y = g où = K/m et g est une constnte. Une solution générle de l éqution homogène ssociée est y(t) =.e Kt/m et une solution prticulière de l éqution est l constnte y = g. L vitesse du prchutiste est donc z (t) = g +.e Kt/m, où se détermine en fonction de l vitesse u temps t =(lorsqu ilouvresonprchute). On constte donc que ssez rpidement l vitesse de chute est constnte (K étnt supposé positif, lim e Kt/m =). t!+ Pour ce type d éqution, il existe une mnière systémtique de trouver les solutions. Nous llons utiliser l méthode de l vrition de l constnte : Soit f une solution de y y = F ; posons g(x) =f(x)e x.ondoncg (x) =e x (f (x) f(x)), ce qui donne g (x) =e x F (x). On doit donc voir g(x) =g() + R x g (t)dt = g() + R x e t F (t)dt. Comme on ne cherche Z x qu une solution, on peut imposer g() =, et donc f(x) =e x e t F (t)dt. On retiendr : y = F est l en- L ensemble solution de léqution y semble des fonctions du type x 7! e x ( + Z x e t F (t)dt).

64 7.. Équtions non-homogènes éqution du type y + py + qy = F On considère toujours p et q deux réels (p peut être nul) et F une fonction définie sur R. L méthode et les résultts de l prtie précédente s dptent encore u cs des équtions du second ordre, en un peu plus compliqué peut-être. Nous nous contenterons de donner quelques résultts : Soit f une solution prticulière de y + py + qy = F. Alors, l ensemble solution de l éqution y +py +qy = F est l ensemble des fonctions du type x 7! f(x) +g(x), où g est une solution générle de l éqution homogène ssociée y + py + qy =. On peut encore utiliser l méthode de l vrition de l constnte pour trouver une solution prticulière, mis une théorie générle est lourde à écrire du fit des 3 cs qu il fut considérer. Nous nons contenterons de donner des exemples : Cs où est positif. On ppelle r et s les deux rcines distinctes de R(X) =X +px +q. Soient f solution de y + py + qy = F et g l fonction définie pr g(x) =e rx f(x). On donc ce qui donne comme éqution en g : f (x) =e rx (g (x)+r.g(x)) et f (x) =e rx (g (x)+r.g (x)+r g(x)), 8x, g (x)+(r + p)g (x) =e rx F (x). On sit résoudre cette éqution, ce qui nous permet de trouver une solution prticulière. Cs où F est un polynôme. Si F (x) = + x n x n, on cherche l solution prticulière sous l forme d un polynôme b + b x b n x n. Exemple. Solutions de y + y + y =3+x + x. Le clcul donne = 3etdonclessolutionsgénérlessontdutypef(x) =e x ( cos( p 3 x)+ µ sin( p 3 x)). On cherche une solution prticulière sous l forme f(x) =x + bx + c. on donc f (x) =x + b et f (x) =, ce qui donne x +(b +)x +(b + + c) =3+x + x, ceci devnt être vri pour tout x. Pr identifiction on trouve =,b =etc =. Les solutions de l éqution sont les fonctions du type f(x) =x ++e x ( cos( p 3 µ sin( x)). p 3 x)+

65 7.. Équtions non-homogènes 64 Cs où F est une exponentielle. Si F (x) =e x on cherche une solution prticulière sous l f(x) =Ce x. Si une solution présente cette forme, elle doit vérifier : C.R()e x = f (x)+pf (x)+qf(x) =e x. Il fut donc considérer deux cs : Si n est ps rcine de R lors on choisit C = R(). Sinon on cherche l solution sous l forme P (x)e x où P est un polynôme (on commence pr chercher vec un degré ). Exemples L solution de y + y + y = e x qui vut en et vec une dérivée vllnt en. On cherhce l solution prticulière sou sl forme f(x) =Ce x.onurlors 3Ce x = e x, ce qui donne une solution générle de l forme g(x) = p p 3 ex + e 3 3 x ( cos( x)+µ sin( x)). Comme on veut g() = on doit voir =etcommeonveutg () = on doit voir p µ =. On trouve lors µ = 4 3 p. 3 l solution de y y = e x qui vut en et vec une dérivée nulle en. On cherche l solution prticulière sous l forme f(x) =Ce x, mis cel donne = e x qui est impossible comme éqution (ici R(x) =x etr() =!). On cherche donc l solution sous l forme f(x) =(x + b)e x et on trouve que xex convient. Les solutions générles sont donc du type g(x) = xex + e x + µe x. On veut g() = = g (), ce qui donne + µ =et µ =. Cs où F est trigonométrique Si F (x) estdutypecos(x) ousin(x) etsif n est ps solution de l éqution homogène, on, cherche une solution prticulière sous l forme f(x) = cos(x) + sin(x). Exemple. Solution prticulière de y + y + y =cos(x)? On l cherche sous l forme indiquée. On ur donc pour tout x, f (x) = sin(x) + cos(x) et f (x) = 4 cos(x) 4 sin(x), ce qui donne, une fois réinjecté dns l éqution, ( 3 + )cos(x)+( 3 )sin(x) =cos(x), (ceci devnt être vri pour tout x). L unique solution est obtenue pr le couple (, vérifie 3 + =et 3 =. )qui

66 7.3. D utres équtions di é r e n t i e l l e s D utres équtions di érentielles 7.3. Équtions à coe cients non constnts Équtions homogènes On cherche à résoudre l éqution y (x)y =, (7.6) où est une fonction continue définie sur un intervlle I de R. En tnt que fonction continue, dmet une primitive sur I, que nous noterons A. Nous llons utiliser l méthode de l vrition de l constnte pour montrer que les solutions de (7.6) sont les fonctions du type f : x 7! C.e A(x),oùC est une constnte réelle. Commençons pr montrer qu une fonction de ce type est solution de (7.6). L fonction f : x 7! C.e A(x) est dérivble et f (x) =A (x).c.e A(x) = (x).f(x). Donc f est bien solution de l éqution considérée. Réciproquement soit f une solution de l éqution (7.6) ; écrivons f(x) =C(x)e A(x), ce qui est possible cr une exponentielle ne s nnule jmis. On donc f (x) =C (x).e A(x) + (x)f(x). Ceci montre que C (x) =;pourtoutx de I, doncc est une constnte. Exemple. Les solutions de y 3xy =sontlesfonctionsdutypef(x) =C.e 3 x. Éqution vec second membre L même technique permet de résoudre des équtions du type y (x)y = b(x), (7.7) où et b sont des fonctions continues définies sur un intervlle I der. On retiendr Soit f une solution prticulière de y (x)y = b(x). Alors, l ensemble solution de l éqution y (x)y = b(x) est l ensemble des fonctions du type x 7! f(x)+.e A(x) où A est une primitive de Équtions à vribles séprbles On dit qu une éqution di érentielle du premier ordre est à vribles séprbles si ell peut s écrire sous l forme (x) =y b(y), (7.8) où et b sont deux fonctions continues. Exemple. L éqution ( + x ) y +x +xy =estàvribleséprblescrelles écrit ussi y +y = x ( + x ).

67 7.4. Exercices 66 Considérons une éqution di érentielle du premier ordre et à vribles séprbles écrite sous l forme (7.8). Soient A et B des primitives respectives de et b. Alors, il existe une constnte C telle que B(y) =A(x)+C. Si l fonction B est bijective, on peut lors en déduire l vleur de y(x), pr l formule y(x) =B (A(x)+C). Exemple. Dns l exemple précédent on ur rctn(y) = + C, d où +x y(x) =tn +x + C. 7.4 Exercices Exercice 39 Résoudre l éqution di érentielle y 3y =. Exercice 4 Résoudre les équtions di érentielles y y +4y =ety 4y +4y =. Exercice 4 Soient et b deux nombres réels fixés. Montrer qu il existe une unique solution f de l éqution di érentielle y +4y +3y =tellequef() = et f () = b. Expliciter cette solution Exercice 4 / Résoudre l éqution ( ) y + y = x (c est à dire qu on cherche y : x 7! y(x) telle que pour tout x, y (x)+y(x) =x). / Résoudre ussi y + y =8e x. Exercice 43 Résoudre les équtions suivntes et trouver dns chque cs l solution qui, pour x = s nnule insi que s dérivée. / y 4y =. / y 4y = e mx (on discuter en fonction de l vleur de m.) 3/ y 4y +4y = xe mx (on discuter en fonction de l vleur de m.) 4/ y + y + y =cos x. Exercice 44 On veut résoudre l éqution fonctionnelle E : f(x + y) =f(x)f(y), ce qui signifie qu on cherche les fonctions continues f telles que pour tout x et pour tout y, onit f(x + y) =f(x)f(y). / On suppose que f est solution de E. Montrer que f() vut ou.

68 7.4. Exercices 67 / Montrer que si f est solution et si f() = lors f est l fonction nulle. 3/ On suppose que f est solution et que f() =. On suppose ussi que f est dérivble en. Montrer que f est dérivble en tout point x de R. Trouver lors une éqution di érentielle vérifiée f pr et en déduire l forme de f. 4/ Donner l ensemble des solutions de E qui sont dérivbles en. Exercice 45 Le but est de chercher les fonctions f :], +[! R vérifint les conditions f est deux fois dérivble, ( ) x f (x) f(x) =pourtoutx>. / Soit f une fonction définie sur ], +[. Justifier qu on peut définir une fonction g sur R en posnt g(x) =f(e x ). Montrer que f vérifie les conditions ( ) si et seulement si g est solution de y y y =. / Trouver toutes les fonctions f :], +[! R vérifint les conditions ( ). Exercice 46 Résoudre les équtions suivntes : / y +(cosx)y =,vecconditioninitiley() = / y + x y = x 4. 3/ y + x y =. Exercice 47 Résoudre les équtions suivntes : / y p +x y y =. y / p e y =. +x