Chapitre VIII : Trigonométrie

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1 hapire V : Trigonomérie Exrai du programme : Dans ce chapire, on muni le plan du repère orhonormé (; ;. Repérage sur le cercle rigonomérique Définiion Le cercle rigonomérique es le cercle de cenre e de rayon. l es muni d un sens de parcours appelé sens direc, qui es le sens inverse des aiguilles d une monre. Avec ce choix, on di que le plan es oriené. Enroulemen de la droie numérique : Soi d une droie numérique graduée don le zéro coïncide avec le poin. Quand on enroule, sur le cercle, la demi-droie supérieure des réels posiifs dans le sens direc, e celles inférieure des réels négaifs dans le sens indirec, chaque réel x vien s appliquer sur un poin unique du cercle. n di que es l image de x sur le cercle. Tou poin du cercle rigonomérique es l image d une infinié de réels. Si un poin es associé au réel x sur, alors les réels noés x +k où k es un enier relaif, on aussi pour poin-image le poin. Le radian Préliminaire : Soi un cercle de cenre e de rayon R. Soien A e deux poins du cercle. La longueur l de l arc A es proporionnelle à la mesure en degrés de l angle au cenre A qui inercepe ce arc. β A l

2 Définiion A e éan deux poins du cercle de rayon R, l angle A a pour mesure un radian lorsque la longueur de l arc géomérique A inercepé par ce angle es égal au rayon R. Le radian es noé rad. Ainsi, si le rayon du cercle es égal à, alors la longueur de l arc es égale à la mesure de l angle en radian. es pour cee raison que nous ravaillerons dans ce chapire avec un cercle rigonomérique, de rayon. angle A A A AD A arc sur cercle demi-cercle quar de cercle A mesure de l angle 60 rad 80 rad 90 longueur de l arc* R R rad β α rad l = αr = β 80 R (* la longueur de l arc es exprimée dans la même unié que le rayon du cercle. Formule de conversion : Si α es un angle exprimé en radian e β sa mesure correspondane en degré, on a alors la relaion : α = β 80 esure des angles orienés Poins sur le cercle rigonomérique Définiion Un couple de poins (; N du cercle rigonomérique déermine un angle oriené ( ; N. + N Si l arc N de longueur l es parcouru dans le sens direc, alors la mesure en radians de l angle oriené es posiive e vau α = l Si l arc N de longueur l es parcouru dans le sens indirec, alors la mesure en radians de l angle oriené es négaive e vau α = l α α N y y x Si es le poin-image du réel x e N le poin-image du réel y sur le cercle rigonomérique, l angle oriené ( ; N aura pour mesure en radian y x N x Remarque : Tous les nombres α 4, α, α +, α + 4,..., α + k (k Z son alors d aures mesures du même angle oriené (chacun correspond à un raje de vers N effecué sans changer de sens.

3 Si α es une mesure en radians d un angle oriené, alors oues les mesures en radian de ce angle son ous les nombres de la forme α + k où k Z. Si x = α + k, on noe x = α[] e on li «x es égal à α modulo». Définiion 4 Parmi oues les mesures d un angle oriené, il n en exise qu une seule apparenan à l inervalle ] ;]. ee mesure es appelée mesure principale de l angle oriené. Remarques : La mesure en radian de l angle géomérique N es égale à la valeur absolue de la mesure principale de l angle oriené ( ; N. Soien x e y deux réels associés aux poins e N du cercle rigonomérique dans un repère orhonormé (; ı; j. Alors les mesures en radians de l angle oriené ( ; son ous les nombres x + k (k Z. De même, les mesures en radians de l angle oriené ( ; N son ous les nombres y + k (k Z. Poin-méhode 7 : D une mesure à la mesure principale Donner la mesure principale α d un angle oriené de mesure 7 4, 9, 4 e 7 5. Soluion Pour déerminer la mesure principale d un angle, on cherche le muliple de le plus proche de la mesure donnée. Relaion de hasles pour les angles : soien u, v e w rois veceurs non nuls, alors ( u + v + ( v + x = ( u + w. aracérisaion de la colinéarié de deux veceurs : u e v son colinéaires si e seulemen si ( u + v = 0 ou ( u + v =. Soien u e v deux veceurs non nuls.. ( v, u = ( u, v. ( u, v = ( u, v. ( u, v = ( u, v + 4. ( u, v = ( u, v + Poin-méhode 8 : Lire graphiquemen des mesures d angles orienés. AB D es un carré direc de cenre. Faure une figure e lire graphiquemen : (a deux mesures de l angle ( AB, AD. (b les mesures principales de (, B, (, A e ( D A,.

4 . N P es un riangle équilaéral direc e es le milieu de [N ]. Lire graphiquemen les mesures principales des angles ( N, N P e ( P N, P Soluion Pour lire sur une figure la mesure d un angle oriené de veceurs : S ils on la même origine : on déermine l angle géomérique puis on ien compe de l orienaion. S ils n on pas la même origine : on les rerace à parir d une même origine. V osinus e Sinus d un réel e d un angle oriené Définiions e propriéés Définiion 5 Soi l image d un réel sur le cercle rigonomérique. Le cosinus de, noé cos, es l abscisse du poin. Le sinus de, noé sin, es l ordonnée du poin. sin cos n en dédui les propriéés suivanes : s Pour ou réel e ou enier relaif k, (cos + (sin = cos e sin cos( + k = cos e sin( + k = sin Définiion 6 Le cosinus e le sinus d un angle oriené son le cosinus e le sinus d une quelconque de ses mesures. Valeurs pariculières : 0 cos sin Angles associés Pour ou réel on a : 4

5 cos( = cos( cos( + = cos( cos( = cos( sin( = sin( sin( + = sin( sin( = sin( + ( ( cos + = sin( cos = sin( ( ( sin + = cos( sin = cos( + Poin-méhode 9 : Résoudre une équaion rigonomérique Résoudre dans R puis dans ] ;] chacune des équaions suivanes : (a cos x = (b sin x =. Formules d addiion e de duplicaion Formules d addiion Quels que soien les réels a e b, cos(a + b = cos a cosb sin a sinb sin(a + b = sin a cosb + cos a sinb cos(a b = cos a cosb + sin a sinb sin(a b = sin a cosb cos a sinb Formules de duplicaion Quel que soi le réel a, cos(a = cos a sin a = cos a = sin a sin(a = sin a cos a 5

6 Poin-méhode 0 : Uiliser les formules d addiion. Ecrire en foncion de e de 4, puis en déduire la valeur exace de cos.. alculer cos en uilisan les formules de duplicaion. Quelle remarque peu-on faire? 6