Droits d auteur, licence et restrictions. 2 Notes Catherine Brison Projections Orthogonales v.01.1

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2 Péace - v.01.1 e live est un manuel scolaie qui epend toute la matièe ayant tait aux pojections otogonales suivant la métode de Monge. En pincipe, cela epend la matièe des 4 ème, 5 ème et 6 ème années du secondaie (tecnique de tansition ou tecnique de qualiication) La plupat des dessins sont en pespective cavalièe pou donne une idée pécise des éléments situés dans l espace. Les conventions du dessin tecnique sont données dans le ascicule d Intoduction. oits d auteu, licence et estictions ien que ces notes de cous soient d accès public, elles sont potégées pa les doits d auteu légaux et le doit moal econnaissant la patenité de l œuve à son auteu sans limite de duée. Les notes estent donc la popiété intellectuelle de leu auteu. Tout utilisateu, tant public que pivé, est entièement libe d'impime des copies de ces notes de cous, sous cetaines éseves : - elles-ci doivent ête destinées à un usage puement pesonnel ou à des ins d'éducation, et non commecial - elles-ci doivent pote une mention y indiquant leu souce, le nom de l auteu, et une copie de la pésente licence - elles-ci ne peuvent pas ête modiiées ou démantelées sans une autoisation écite de l auteu. 2 Notes ateine ison Pojections Otogonales v.01.1

3 Table des matièes Table des matièes...3 I. Intoduction Un peu d istoie Le but de la pojection otogonale onventions de pojection eux ou tois plans de pojections? Mise en oeuve...7 II. Les éléments Repésentation du point...8 1a. Les coodonnées...8 1b. Mace à suive Repésentation de doites...9 2a. Les doites quelconques...9 2b. Les doites emaquables...9 1) La doite oizontale...9 2) La doite ontale ) La doite paallèle à ou onto-oizontale ) La doite veticale ) La doite de bout ) La doite de poil c. Les doites ente-elles ) Les doites paallèles ) Les doites sécantes Repésentation de plans et de suaces planes a. Les plans quelconques b. Les plans emaquables ) Le plan oizontal ) Le plan ontal ) Le plan paallèle à ) Le plan vetical ) Le plan de bout ) Le plan de poil c. Les suaces planes Repésentation de volumes a. Les vus et cacés b. Les polyèdes ) Le pisme ) La pyamide c. Les cops de évolution ) Le cylinde ) Le cône...20 III. Les sections Les points de pecée a. L intesection d une doite et d un plan (ou suace) pojetant b. L intesection d une doite et d une suace quelconque Les sections planes de polyèdes a. ection plane dans un pisme b. ection plane dans une pyamide Les sections planes de cops onds a. iveses constuctions : ) Métode des généatices ) Métode des plans auxiliaies b. ection plane dans un cylinde ) ection ciculaie ) ection elliptique ) ection paabolique ) ection doite c. ection plane dans un cône ) ection ciculaie ) ection elliptique ) ection paabolique ) ection ypebolique...29 Notes ateine ison Pojections Otogonales v

4 1. Vaies gandeus pa abattement a. Métode du tiangle ectangle Vaies gandeus pa otation éveloppement de volume tonqué Le elèvement...38 V. Les intepénétations Intepénétation de deux volumes à axes conondus ou paallèles Intepénétation de deux volumes à axes non paallèles Notes ateine ison Pojections Otogonales v.01.1

5 I. Intoduction Les pojections otogonales s appellent aussi la géométie desciptive ou le dessin géométal. elles-ci epennent le dessin en plan, de ace et de poil de l objet à epésente. Géométiquement palant, ce sont des pojections otogonales su au moins deux plans de pojections (un plan oizontal et un ou plusieus plans veticaux). 1. Un peu d istoie La pojection otogonale a été ébaucée pa üe dès le XVI ème siècle à l usage des peintes. est au XVIII ème siècle que G. Monge en a développé la téoie et ixé les pincipes. Gaspad Monge Il naît à eaune en mai En 1764, Gaspad Monge dessine un plan de eaune qui attie l attention des poesseus. Plus tad, il devient poesseu de matématiques et de pysique. Il développe de nouvelles métodes gapiques et constuctives pou les otiications : la géométie desciptive. Il ait ses pemièes publications et pend contact avec d lembet (académicien et matématicien célèbe). Il ut également membe de l cadémie des sciences. pès la évolution, il écit encoe de nombeux aticles su la géométie desciptive, destinés notamment aux ingénieus. Il meut en juillet 1818 à Pais. 2. Le but de la pojection otogonale La pojection otogonale (ou métode de Monge) est une epésentation des igues de l espace en plans à l aide de pojections. On pavient ainsi à détemine les dimensions et les omes exactes de l objet. La tansposition d une igue de l espace en dessin plan demande un eot de élexion soutenu. l eue du dessin et de la conception assistée pa odinateu, cette métode est toujous enseignée. Elle pemet d entaîne l espit à la vision dans l espace. ette capacité de jongle avec les tois dimensions est pimodiale pou le céateu devant son odinateu. ette métode pemet également d acquéi une gande igueu dans le dessin au taves des épues. ette igueu est également essentielle dans le tavail su odinateu. La pojection otogonale se base su une séie de conventions tant dans la açon de pojete que dans le paacèvement du dessin. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

6 3. onventions de pojection Quelques conventions de bases sont impotantes Il existe deux ou tois plans de pojections : le plan oizontal de pojection () le plan ontal de pojection () le plan de poil de pojection (PP) (acultati) e base, on exécute une double pojection (, ). Le plan oizontal est pependiculaie au plan ontal. Ils patagent l espace en quate égions, appelées «dièdes». ans cet ouvage, seul le pemie diède, au dessus du et devant le sea étudié. L intesection ente ces deux plans de pojection (oizontal et ontal) s appelle l axe de pojection ou la ligne de tee (). elle-ci est toujous oizontale et paallèle au bas du cade de l épue. (N. : elle peut aussi se note «X Y») Voici la epésentation dans l espace IVèm e diède IIIèm e diède gauce doite Position Iediède IIèm e diède devant Eloignem ent PP 90 au-dessus H auteu en-dessous Les plans de pojection (, et PP) et la ligne de tee () sont illimités. Pou aive à epésente en 2 des plans situés dans un espace 3, on ait pivote le plan oizontal autou de la ligne de tee jusqu à ce qu il soit su le même plan que le plan ontal. e la même manièe, on ait pivote le plan de poil autou de la canièe (intesection ente et PP) pou aive dans le même plan que le plan ontal. Voici la epésentation en épue PP 4. eux ou tois plans de pojections? eaucoup de sujets sont epésentés en deux plans de pojections. Il existe cependant cetains sujets qui doivent aie appel à un toisième plan de pojection ain d ête totalement documentés. i dessous, quelques exemples de sujets pou lesquels deux plans de pojections (, ) ne suisent pas à les enseigne dans leu ensemble, seule leu pojection dans PP dièe. PP PP PP 6 Notes ateine ison Pojections Otogonales v.01.1

7 5. Mise en oeuve Penons un objet quelconque situé dans l espace. Voici la epésentation isométique de l objet Pojection de l objet 3 su deux plans de pojections On pojette tous les points (sommets) de l objet pependiculaiement au plan oizontal. On ait ensuite de même pependiculaiement au plan ontal. Nous obtenons alos les deux pojections de l objet : une dans le et une dans le. tois plans de pojections : Pojection su tois plans : le (plan oizontal), le (plan ontal) et le PP (plan de poil). PP Passage ves la 2 : in de pouvoi ête dessiné su une même épue, le plan oizontal doit aie une otation autou de la ligne de tee jusqu à veni su le même plan que le plan ontal. anièe PP Repésentation 2 su une épue : iède de pojection (2 pojections de l objet) Tiède de pojection (3 pojections de l objet) PP N : i les pojections des sommets se ont pependiculaiement aux plans de pojection, elles se ont donc aussi pependiculaiement à la ligne de tee dans la epésentation en épue. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

8 II. Les éléments 1. Repésentation du point 1a. Les coodonnées Les coodonnées d un point dans l espace contiennent tois valeus, ce sont les tois dimensions (3) : a position : position oizontale ou latéale de l objet (su l épue : distance ente l objet et le bod du cade, côté gauce) = l abscisse. on éloignement : distance ente l objet et le (su l épue : distance veticale su le, à pati de ) = l odonnée. a auteu : distance ente l objet et le (su l épue : distance veticale su le, à pati de ) = la cote. Les coodonnées dans les énoncés et les execices sont toujous données dans cet ode (abscisse, odonnée, cote). Le point (0, 0, 0) d une épue se touve à l intesection de et du cade à gauce. Position / bscisse ( 0,0,0) Eloignem ent/ H auteu / O donnée ote L annotation d un point se ait avec une majuscule (,,,.) ette lette majuscule est lanquée d un exposant dans le et d un exposant dans le. 1b. Mace à suive Pou dessine la pojection d un point P, on abaisse une doite pojetante pependiculaie au et on tace une doite pojetante pependiculaie au. L intesection de ces doites et des plans de pojections donne espectivement les points de pojections P dans le plan oizontal et P dans le plan ontal. P P P P P P Le plan oizontal ait alos une otation autou de la ligne de tee pou veni su le même plan que le plan ontal. u l épue, les doites de pojections se dessinent en lignes de appel. Les deux pojections du point P (P et P ) se touvent donc su la même ligne de appel, pependiculaie à la ligne de tee. 8 Notes ateine ison Pojections Otogonales v.01.1

9 2. Repésentation de doites Une doite étant une liaison ente deux points et estant une doite apès pojection, il est acile de la dessine. On peut également ne situe qu un point de la doite (point de passage), il aut alos mentionne ses caactéistiques emaquables (paallélisme, pependiculaité, ) ain de pouvoi la dessine. ans mention de sa longueu, une doite est ininie. L annotation d une doite se ait avec une minuscule (a, b, c,.) ette lette minuscule est lanquée d un exposant dans le et d un exposant dans le. 2a. Les doites quelconques Une doite quelconque est une doite qui n est ni paallèle, ni pependiculaie à aucun plan de pojection. i-dessous, un exemple de doite quelconque Elle est oblique aux tois plans de pojection. q q q q q 2b. Les doites emaquables Les doites qui ne sont pas quelconques sont emaquables. Elles pésentent une paticulaité au niveau du paallélisme ou de la pependiculaité qu elles pésentent pa appot à un ou aux deux plans de pojection. Il est impotant de savoi que la vaie gandeu d une doite est toujous su le plan de pojection auquel elle est paallèle. (Ex : la vaie gandeu d une doite ontale se touve su le plan ontal.) 1) La doite oizontale Elle est paallèle au et oblique au. Tous les points d une doite oizontale se situent à la même auteu mais pas au même éloignement. La vaie gandeu d une doite oizontale se situe dans le. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

10 2) La doite ontale Elle est paallèle au et oblique au. Tous les points d une doite ontale se situent au même éloignement, mais pas à la même auteu. La vaie gandeu d une doite ontale se situe dans le. 3) La doite paallèle à ou onto-oizontale Elle est paallèle au et au. Tous les points d une doite paallèle à se situent au même éloignement et à la même auteu. (Une doite onto-oizontale est pojetante au PP.) l l l l l La vaie gandeu d une doite onto-oizontale se situe dans le et dans le. 4) La doite veticale Elle est pependiculaie au. Tous les points d une doite veticale se situent à la même position (latéalement) su et au même éloignement. Une doite veticale est pojetante au. v v v v v La vaie gandeu d une doite veticale se situe dans le. v Notes ateine ison Pojections Otogonales

11 5) La doite de bout Elle est pependiculaie au. Tous les points d une doite de bout se situent à la même position (latéalement) su et à la même auteu. Une doite de bout est pojetante au. b b b b b La vaie gandeu d une doite debout se situe dans le. On peut écie «de bout» en 1 ou 2 mots (de bout ou debout) p pp PP 6) La doite de poil Elle se touve dans un plan pependiculaie au et au. Tous les points d une doite de poil se situent à la même position (oizontalement) su, mais ils ont tous des éloignements et auteus diéents. p PP p pp p p La vaie gandeu d une doite de poil se situe dans le PP (plan de pojection de poil). 2c. Les doites ente-elles 1) Les doites paallèles eux doites paallèles dans l espace donnent des pojections paallèles également. a 2) Les doites sécantes eux doites sécantes se coupent en un point. Les pojections de ce point doivent donc se situe su la même ligne de appel. a b P b b b P a les doites a, b sont paallèles ente elles les doites a et b se coisent au point P a Notes ateine ison Pojections Otogonales v

12 3. Repésentation de plans et de suaces planes Un plan est plus diicile à situe. i le plan est quelconque, on peut le situe de plusieus manièes : Pa tois points non alignés. Pa une doite et un point situé à l extéieu de cette doite. Pa deux doites sécantes. Pa deux doites paallèles il est en position emaquable, on donne alos un de ses points (point de passage), il aut alos mentionne ses caactéistiques emaquables ain de pouvoi le dessine (ex. pependiculaie au, paallèle au, ). L annotation d un plan se ait avec une lette gecque (α, β, γ, δ, ) (Voi dans l intoduction au point 3d). ette lette gecque est lanquée d un exposant dans le et d un exposant dans le ans mention de son contou ou péimète, un plan est inini. On dessine su l épue la tace pojetante du plan. 3a. Les plans quelconques Un plan quelconque est un plan qui n est ni paallèle ni pependiculaie à aucun plan de pojection. Exemple d un plan alpa déini pa le point et la doite b. b b b b b 3b. Les plans emaquables Les plans qui ne sont pas quelconques, sont emaquables. Ils pésentent une paticulaité au niveau du paallélisme ou de la pependiculaité qu ils opèent pa appot à un ou des deux plans de pojections. Un plan emaquable est epésenté pa sa tace su un ou deux des plans de pojection. 1) Le plan oizontal Il est paallèle au (et donc aussi pependiculaie au ). Tous les points d un plan oizontal se situent à la même auteu mais pas tous au même éloignement. Une igue située su un plan oizontal sea pojetée en vaie gandeu dans le. La tace d un plan oizontal se dessine su le. v Notes ateine ison Pojections Otogonales

13 2) Le plan ontal Il est paallèle au (et donc aussi pependiculaie au ). Tous les points d un plan ontal se situent au même éloignement, mais pas tous à la même auteu. Une igue située su un plan ontal sea pojetée en vaie gandeu dans le. La tace d un plan ontal se dessine su le. p PP 3) Le plan paallèle à Un plan paallèle à la ligne de tee a ses taces oizontales et ontales paallèles à la ligne de tee. e plan est également pependiculaie au PP (plan de pojection de poil) et est oblique pa appot au et au. PP p 4) Le plan vetical Il est pependiculaie au. Une igue située su un plan vetical ne sea pojetée en vaie gandeu ni dans le, ni dans le (sau s il est ontal). La tace d un plan vetical se dessine su le. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

14 5) Le plan de bout Il est pependiculaie au. Une igue située su un plan de bout ne sea pojetée en vaie gandeu ni dans le, ni dans le (sau s il est oizontal). La tace d un plan de bout se dessine su le. P : On peut écie de bout en 1 ou 2 mots (de bout ou debout) 6) Le plan de poil Il est pependiculaie au et au et est paallèle au PP (plan de pojection de poil). Tous les points d un plan de poil se situent au même endoit (oizontalement) su, mais ils ont tous un éloignement et une auteu diéente. Une igue située su un plan de poil sea pojetée en vaie gandeu dans le PP. La tace d un plan debout se dessine su le et su le. PP v Notes ateine ison Pojections Otogonales

15 3c. Les suaces planes Une suace plane est un polyède sans épaisseu ou une section de plan délimitée. Une suace plane «égulièe» compote un cetain nombe de côtés égaux, un tiangle, un caé, un pentagone, un exagone, etc. eux exemples : uace plane tiangulaie paallèle au plan oizontal uace plane pentagonale paallèle au plan ontal E E E E E Une igue plane paallèle à un des plans de pojection se pojettea toujous en vaie gandeu su ce plan. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

16 4. Repésentation de volumes 4a. Les vus et cacés ans la epésentation des pojections, on considèe que tous les volumes sont des cops opaques. Il aut epésente en taits pleins les aêtes vues et en taits pointillés les aêtes cacées. Tout ce qui est à l avant (vu du bas de l épue) et au dessus (vu du aut de l épue) du volume est vu ; ce qui est deièe un élément vu est un élément cacé. La vue de aut donne la solution des éléments de pojection qui se touvent dans le. La vue de ace donne la solution des éléments de pojection qui se touvent dans le. Une pyamide avec une base oizontale : Remaque : L aête est à l aièe-plan, elle est donc cacée dans le. Une pyamide envesée su son sommet : Remaque : Les aêtes qui patent de la base ves le sommet sont toutes en dessous, elles sont donc toutes cacées dans le. L aête est à l aièe-plan, elle est donc cacée dans le.. Quelques pincipes : Il aut savoi que le contou appaent de la pojection d un solide est toujous vu. eux aêtes vues ou deux aêtes cacées peuvent se ejoinde (pa exemple en ) mais ne se coisent jamais. v Notes ateine ison Pojections Otogonales

17 4b. Les polyèdes Un polyède est un cops solide à plusieus aces. (Ex. : le cube, 6 aces, est un polyède égulie) Il existe les pismes et les pyamides. 1) Le pisme Un pisme est un volume dont la suace de la base est égale à la suace du sommet et paallèle à celle-ci. La base et le sommet peuvent ête des suaces à 3, 4, 5, 6, côtés. Un pisme «doit» a des aces latéales pependiculaies à la base et au sommet. i la base du pisme est un polygone égulie, les aces latéales sont toutes identiques (dans le pisme doit). La base est annotée de lettes, les sommets coespondants sont annotés des mêmes lettes suivies d un pime. Un «pisme oblique» est un pisme dont le sommet et la base ne sont pas alignés, les aces latéales sont inégales. Exemple d un pisme doit : ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' éveloppement : om m et ' ' ' ' ' ' ' H auteu ase Quelques exemples d utilisation dans les domaines publicitaies (le packaging) : Notes ateine ison Pojections Otogonales v

18 2) La pyamide La pyamide est un volume dont la base est une suace et le sommet est un point. La base peut ête une suace à 3, 4, 5, 6, côtés. Une pyamide «doite» a toujous son sommet aligné (pependiculaiement) avec le cente de la base. i la base de la pyamide est un polygone égulie, les aces latéales sont toutes identiques. La base est annotée de lettes, l unique sommet est annoté de la lette pou «sommet». Une pyamide «oblique» est une pyamide dont le sommet est décalé pa appot à la base. Exemple d une pyamide doite : éveloppement : potèm e ase Exemple d utilisation dans le domaine publicitaie : v Notes ateine ison Pojections Otogonales

19 4c. Les cops de évolution Un cops de évolution est le ésultat d une évolution de suace autou d un axe. Il existe ente autes le cylinde et le cône. 1) Le cylinde Le cylinde de évolution est un solide engendé pa un ectangle tounant autou d un de ses côtés (OO = l axe). Le côté qui décit la suace cylindique s appelle «généatice». e sont toutes les positions de ce côté los de la évolution qui céent la suace du cylinde. La suace de la base et celle du sommet sont deux cecles identiques et paallèles. Un cylinde «doit» a sa base et son sommet alignés. Un cylinde «oblique» est un cylinde dont la base et le sommet sont désaxés. Exemple d un cylinde doit : ' O ' ' ' ' O ' ' éveloppement : om m et ' ' ' H auteu 2 R ase ' ' Quelques exemples d utilisation dans les domaines publicitaies : Notes ateine ison Pojections Otogonales v

20 2) Le cône Le cône de évolution est un solide engendé pa un tiangle ectangle tounant autou d un de ses côtés de l angle doit (O = l axe). Le côté qui décit la suace conique s appelle «généatice». e sont toutes les positions de ce côté los de la évolution qui céent la suace du cône. La suace de la base est un cecle et le sommet est un point. Un cône «doit» a son sommet aligné su le cente de sa base. Un cône «oblique» est un cône dont le sommet est décalé pa appot à la base. Exemple d un cône doit : O éveloppement : potèm e ase R ayon = 360 x ayon apotèm e v Notes ateine ison Pojections Otogonales

21 III. Les sections 1. Les points de pecée Les points de pecée sont les intesections d une doite avec une suace. Un point de pecée est annoté à l aide d une lette (,,,, P, ) 1a. L intesection d une doite et d un plan (ou suace) pojetant Elle se touve acilement su un des plans de pojections ( ou ) suivant le type du plan. ex : Un plan vetical et une doite quelconque donneont d abod leu intesection su le ca le plan vetical est pojetant au. ette intesection sea ensuite epotée veticalement dans le, su la doite. ex : Un plan de bout et une doite quelconque donneont d abod leu intesection su le ca le plan de bout est pojetant au. ette intesection sea ensuite epotée veticalement dans le, su la doite. Exemple d une suace pojetante de bout tavesée pa une doite quelconque a : P P P a P P a On touve d abod le point de pecée P su le (coisement visible des deux éléments pojetés et a ). e point sea ensuite pojeté dans le pou touve P, su la doite a coespondante. 1b. L intesection d une doite et d une suace quelconque ans ce cas, on ait passe un «plan auxiliaie» pa la doite. Un plan auxiliaie est un plan de constuction qui doit ête pojetant. e plan auxiliaie va coupe la suace et donne une doite comme intesection. L intesection de cette doite obtenue de la doite donnée donne le point de pecée. Exemple d une suace quelconque tavesée pa une doite a quelconque : a P a a P a a ans cet exemple, on coisit un plan vetical alpa contenant la doite a comme plan auxiliaie. α est conondu dans le avec a. On touve d abod l intesection de α et de la suace quelconque dans le, puis dans le en emontant les lignes de appel. ans le, cette intesection coupe la doite a au point P, qui est aussi le point de pecée de a dans. Il suit alos de epote veticalement le point P dans le, su la doite a coespondante. P.. : Il est également possible de ésoude le poblème en utilisant un plan de bout comme plan auxiliaie. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

22 2. Les sections planes de polyèdes Une section plane dans un volume est povoquée pa un plan qui vient coupe ce volume en deux paties. La suace de coupe s appelle la «section». est l intesection ente le plan de coupe et le volume. ans la epésentation en pojection la section est acuée. est la patie la plus «stable» des deux moceaux de volume qui est dessinée en tant que solution. L aute patie, celle qui dispaaît, est dessinée en taits de constuction. Les points céés pa la section plane ente le plan de section et les aêtes du volume, doivent ête annotés sous ome de cies (1, 2, 3,.) 2a. ection plane dans un pisme Un pisme coupé pa un plan paallèle à la base donne deux pismes. Un pisme dont tous les côtés latéaux sont coupés pa un plan non paallèle à la base donne deux pismes tonqués. ' ' ' ' 1 ' 4 2 ' ' 2 ' 3 Un pisme dont la base et cetains côtés latéaux sont coupés pa un plan oblique (pa appot à la base et aux côtés) donne deux volumes quelconques ' 1 ' 2 4 ' ' 3 Exemple d un pisme paallèle au, coupé pa un plan de bout lpa. ' ' ' ' ' ' ' 4 ' 3 v Notes ateine ison Pojections Otogonales

23 2b. ection plane dans une pyamide Une pyamide coupée pa un plan paallèle à sa base donnea une petite pyamide (patie qui contient le sommet) et un tonc de pyamide (patie qui contient la base). La section aua la même ome (caée, exagonale, ) que la base. N. : Une section plane paallèle à la base d une pyamide a la paticulaité de donne une section qui gade les mêmes popotions que la base. ela veut die également que tous les points de section sont pojetés à égale distance du cente de la pyamide. Une pyamide dont tous les côtés latéaux sont coupés pa un plan non paallèle à la base donne deux volumes quelconques Une pyamide dont la base et cetains côtés latéaux sont coupés pa un plan oblique (pa appot à la base et aux côtés) donne deux volumes quelconques. Exemple d une pyamide paallèle au, coupée pa un plan de bout lpa Notes ateine ison Pojections Otogonales v

24 as où il existe une aête de poil : omment pojete un point de section su un tait d axe ; où aête la doite de appel su l axe? Il aut avoi de nouveau ecous aux plans auxiliaies (plans de constuction) On pat du pincipe qu une pyamide, coupée pa un plan paallèle à sa base, donne une section dont tous les points sont situés à égale distance du cente de sa base. 1 2 X 1 2 O 3 3 F O E 2 O X 3 F O E ans l exemple ci-dessus à gauce : la pyamide à base tiangulaie est coupée pa le plan lpa mais l aête étant de poil, on ne peut détemine acilement la pojection 2 du point de pecée 2 de dans lpa. On tace alos un plan auxiliaie oizontal êta passant pa l intesection de lpa et de l axe du volume. On obtient le point de section 2 su l aête. Pende un point de section ente le plan oizontal êta et une aute aête de la pyamide (ici, l aête ), on obtient un point de section X su. escende ce point de section X su l aête coespondante dans l aute plan de pojection pou obteni le point X. Tace alos un cecle dont le cente est O et le ayon est la distance O X. L intesection de ce cecle avec l aête donne la pojection 2 ececée. ans l exemple ci-dessus à doite : la pyamide à base exagonale EF est coupée pa le plan lpa mais les aêtes et E sont de poil et on ne peut donc détemine acilement les pojections 2 et 5. ans ce cas-ci, on tace un plan auxiliaie ontal coupant les aêtes et, ce qui pemet de tace le cecle O 2 5 et de touve les pojections 2 et 5 pa intesection avec les aêtes et E. N. : e système ne onctionne que dans le cas de pyamides égulièes. v Notes ateine ison Pojections Otogonales

25 as de section pa un plan de poil : section de la pyamide caée pa le plan de poil lpa. Le pincipe généal este le même. La suace à acue se touvea dans le plan de pojection de poil (PP) PP p O 3 p 1 p p O p p p 3 p 1 2 O 3 Notes ateine ison Pojections Otogonales v

26 2 3 Quelques autes exemples : ection plane d un pisme et d une pyamide pa un plan oizontal. ' ' O ' ' ' O E P F G F 2 ' ' 1 6 O ' O E 5 P 3 ' 7 4 ' G ection plane d une pyamide pa un plan de bout. ection plane d une pyamide pa un plan vetical O E H 7 4 G F E 3 O 2 1 H G F E 8 O O E v Notes ateine ison Pojections Otogonales

27 3. Les sections planes de cops onds Un cops ond a l inconvénient d ête démuni d aête. Il auda donc use de plusieus constuctions pou aive à touve la section. Les annotations de section sont toujous des cies (1, 2, 3, ). La section sea dessinée à l aide des pistolets. 3a. iveses constuctions : 1) Métode des généatices ette métode consiste à tace des généatices* su le poutou du volume (celles-ci sont des sotes d «aêtes ictives», comme les aêtes d une pyamide). 1 2 acant qu un point situé su une doite dans un plan de pojection, se situe veticalement su la doite coespondante dans l aute plan de pojection, il est acile de touve les points su les généatices. X Y 4 O 3 ans l exemple de la section du cône pa le plan lpa ci-conte, on tace les généatices X et Y dans le et on touve les points 2 et 4 de la section. On epote ensuite ces généatices dans le pou situe les points 2 et 4. X 1 2 O 3 4 Y * Une généatice est une doite de constuction. elle-ci va du sommet à la base du volume en passant pa le point de section à touve. 2) Métode des plans auxiliaies ette métode consiste à cée des plans auxiliaies* paallèlement à la base du volume. eux-ci oment des sotes de tances de volume dont on dessine les taces en constuction. acant qu un point situé su une tace dans un plan de pojection, se situe veticalement su la tace coespondante dans l aute plan de pojection, il est acile de touve les points. X 1 O ans l exemple de la section du cône pa le plan lpa ci-conte, on coupe le volume avec le plan auxiliaie oizontal êta à la auteu des points 2 et 4. On pojette les points X et Y dans le pou touve la tace ciculaie de êta dans le (cecle de cente O et de ayon O X ). L intesection de cette tace ciculaie avec la ligne de appel de 2 et 4 pemet de touve 2 et 4, points de la section. X 1 O * Un plan auxiliaie est un plan de constuction qui doit ête pojetant. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

28 3b. ection plane dans un cylinde 1) ection ciculaie Un cylinde coupé pa un plan paallèle à sa base donnea deux cylindes. a section sea un cecle de la même gandeu que la base. 2) ection elliptique Un cylinde coupé de pat en pat pa un plan non - paallèle à sa base donnea deux cylindes tonqués. a section sea une ellipse. ' ' ' ' ) ection paabolique Un cylinde coupé pa un plan non-paallèle à sa base donnea deux volumes quelconques. a section sea une paabole. 4) ection doite Un cylinde coupé pa un plan pependiculaie à la base et au sommet donnea une coupe doite du cylinde. La section sea une suace ectangulaie. ' ' ' 2 ' 3 PP i le plan sécant est de poil, il aut ajoute la pojection de poil (su le PP) pou avoi la section acuée. v Notes ateine ison Pojections Otogonales

29 3c. ection plane dans un cône 1) ection ciculaie Un cône coupé pa un plan paallèle à sa base donnea un plus petit cône (patie qui contient le sommet) et un tonc de cône (patie qui contient la base). a section sea un cecle. N. : Une section plane paallèle à la base d un cône a la paticulaité de donne une section qui gade les mêmes popotions que la base. ela veut die également que tous les points de section sont pojetés à égale distance du cente du cône ) ection elliptique Un cône coupé de pat en pat pa un plan non - paallèle à sa base sea une coupe elliptique de cône. a section sea une ellipse ) ection paabolique Un cône dont la base est coupée pa un plan non pependiculaie à celle-ci donnea une coupe paabolique de cône (sa section sea une paabole). 4) ection ypebolique eux cônes invesés (de sommet commun et dans le même axe), coupés pa un plan pependiculaie ou non aux bases donneont une coupe ypebolique. Leu section sea une ypebole. 2 PP 1 3 ' 1' 3' ' 2' i le plan sécant est de poil, Il aut ajoute la pojection de poil (su le PP) pou avoi la section acuée. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

30 IV. Les vaies gandeus Pou aie le développement d un volume tonqué, il aut ecece toutes les vaies gandeus des diéentes aces de ce volume. Les éléments à ecece en vaies gandeus sont des doites ou des suaces. En pojection paallèle, tout élément paallèle à un plan de pojection est en vaie gandeu. Les éléments non paallèles à un des plans de pojections ont une epésentation biaisée pa appot à la éalité de leus dimensions. Un abattement ou une otation va pemette de aie pivote les éléments, non paallèles au plan de pojection, pou qu ils deviennent paallèles à un plan de pojection. On poua alos mesue les vaies gandeus des éléments. 1. Vaies gandeus pa abattement Un abattement simple consiste à abatte un plan pojetant su son plan de pojection : les plans veticaux seont abattus su le et les plans de bout seont abattus su le. Les plans de poil seont abattus su l un ou su l aute, au coix. Les plans sont abattus autou de leu «tace» de pojection. elle-ci est appelée «canièe» (). Une canièe étant une doite, elle doit ête annotée dans les deux plans de pojection. Les points situés su la canièe pivotent su eux-mêmes. Le sens du abattement est indiqué pa une lèce pependiculaie à la canièe. Il est au coix suivant la place disponible su l épue. En patique, caque point à abatte décit un ac de cecle autou de la canièe dans un plan appelé «plan de mouvement». Une doite de abattement est une doite pependiculaie à la canièe (su l épue) ans ces deux exemples, les points et ont une otation dans le plan de mouvement autou de la canièe. i les éléments à abatte sont situés su un plan vetical à abatte su le : Le ésultat, su l épue, ait que la auteu de caque point devient la valeu des «doites de abattement» de ces points. PLN VER TI L R TTR E PLN E M O U VEM EN T HRNIER E R O ITE E R TTEM EN T i les éléments à abatte sont situés su un plan de bout à abatte su le : Le ésultat, su l épue, ait que l éloignement de caque point devient la valeu des «doites de abattement» de ces points. R O ITE E R TTEM EN T H R N IER E PLN E M O U VEM EN T PLN E O U T R TTR E N. : Il existe des abattements plus complexes : dans le cas d un élément quelconque, il auda aie deux abattements successis pou en touve la vaie gandeu. v Notes ateine ison Pojections Otogonales

31 Rabattement su le d une suace (située dans un plan vetical): Rabattement su le d une suace (située dans un plan de bout): Rabattement su le ou su le d une suace (située dans un plan de poil): Que l on coisisse de abatte une suace de poil su le ou su le, le ésultat des vaies gandeus est identique comme on peut le voi ci-conte Le abattement su le = n 1 Le abattement su le = n 2 Notes ateine ison Pojections Otogonales v

32 Quelques exemples de abattements : ection d un pisme pa un plan de bout, abattue su le. 5 4 ection d une pyamide pa un plan vetical, abattue su le ' ' O ' ' ' 4 3 c 1 O 5 2 F 6 5 E 2 1 c F 3 E 5 4 O c ' 2 3 ' c O ' O ' ' 2 3 ection d une pyamide pa un plan de poil, abattue su le. ection elliptique d un cône pa un plan de bout, abattue su le p c Ep p 2 p 3p O p F p 1p p p p F E O c 1 1 L K J O K 11 J 10 E I F H G I F O 2 2 L H O 6 7 G E c E v Notes ateine ison Pojections Otogonales

33 1a. Métode du tiangle ectangle Pou appel, tout élément non paallèle à un plan de pojection est aussé au niveau de ses dimensions. i l on a une pyamide, les aêtes qui vont ves le sommet sont, en généal, aussées dans les pojections au niveau de leus dimensions éelles. 1 La métode du tiangle ectangle evient à aie un abattement de caque aête latéale de la pyamide pou touve les vaies gandeus de ces aêtes. 2 Pa exemple, penons une pyamide à base tiangulaie : concètement, on ait passe un plan qui doit inclue l aête latéale à ecece () et ête pependiculaie à la base de la pyamide. Ici, le plan de bout lpa compend la suace O. On ait pivote ce plan autou d une canièe (O) ain de abatte l aête su le plan de pojection. On obtient alos la vaie gandeu de l aête. i la pyamide est coupée un plan de bout avec une section 123, on abat le point 1 et on obtient la vaie gandeu 1 et 1 des aêtes 1 et 1. c c 1 O 3 O Notes ateine ison Pojections Otogonales v

34 2. Vaies gandeus pa otation Une otation simple consiste à aie toune un plan pojetant pou l amene à ête paallèle à un plan de pojection. insi, les plans veticaux pivoteont autou d une doite veticale, su le et les plans de bout pivoteont autou d une doite de bout, su le. Les plans de poil pivoteont su l un ou su l aute, au coix. Les plans ont une otation autou d une doite pojetante appatenant au même plan. elle-ci est appelée «doite de otation». Une doite de otation est annotée comme une doite simple (en généal, on utilise la lette ). Le sens de otation est indiqué pa une lèce aondie, autou de la doite de otation. Il est au coix suivant la place disponible su l épue. En patique, caque point qui subit une otation décit un ac de cecle autou de la doite de otation dans un plan appelé «plan de mouvement». Le plan de mouvement, los d une otation, est toujous un des plans de pojection : Un plan de bout est pependiculaie au (pojetant au ), le plan de mouvement sea donc le. Un plan vetical est pependiculaie au (pojetant au ), le plan de mouvement sea donc le. Un plan de poil est pependiculaie au et au, on peut donc coisi le plan de mouvement. est su le plan de mouvement qu on dessine les acs de otation. ans les deux exemples ci-dessous, les points et ont une otation dans le plan de mouvement autou de la doite de otation : i les éléments à pivote sont situés su un plan de bout qui toune su le : PLN EO U T PIVO TER Le ésultat, su l épue, ait que les acs de cecles se touveont su le. On touvea le ésultat su le au même éloignement. Le plan de mouvement est le. PLN E M O U VEM EN T ' R O ITE E R O TTIO N ' i les éléments à pivote sont situés su un plan vetical qui toune su le : Le ésultat, su l épue, ait que les acs de cecles se touveont su le. On touvea le ésultat su le, à la même auteu. Le plan de mouvement est le. PLN VER TI L PIVO TER R O ITE E R O TTIO N ' ' PLN E M O U VEM EN T * ** v Notes ateine ison Pojections Otogonales

35 Rotation su le d une suace (située dans un plan vetical): ' ' ' ' ' ' Rotation su le d une suace (située dans un plan de bout): ' ' ' ' ' ' Rotation su le ou su le d une suace (située dans un plan de poil): 2 ' ' ' 2 ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 2 ' ' ' 1 ' 1 ' 1 Le abattement su le = n 1 Le abattement su le = n 2 Que l on coisisse de abatte une suace de poil su le ou su le, le ésultat des vaies gandeus est identique comme on peut le voi Notes ateine ison Pojections Otogonales v

36 ci-conte. Exemples de otation : ection d un pisme pa un plan de bout, otation su le ection d un pisme pa un plan vetical, otation su le ' ' ' O ' ' 3 ' 4 2 ' ' 1 1 ' O O ' 4' 4 x 1 3 ' 3 O 2 ' 2 ' ' 3 ' 3 ' 1 4 O 4 ' O ' 20 4 O 1 ' ' 1 5 ' x ' 5 ' 2 3 O ' ' ' ection plane de poil d une pyamide* PP p ection paabolique d un cône pa un plan de bout, otation su le O O 3 p 1 p p O p p p 3 p ' 8 ' 7 ' 6 6 ' 5 O 5 ' 1 2 O ' 1 ' 3 ' 4 ' 3 *Une pojection su le plan de poil subit, lui aussi, une otation pou se etouve dans le même plan que le. v Notes ateine ison Pojections Otogonales

37 3. éveloppement de volume tonqué La ecece des vaies gandeus pemet de constuie le développement d un volume tonqué. Pou commence, il aut aie le développement du volume entie. Pou plus de acilité, il aut pende soin de bien annote le volume comme l épue. Pou obteni le développement du volume tonqué, il suit ensuite de epote tous les points de section su le développement du volume entie, c est pouquoi, il est pimodial de bien annote l épue au dépat! Il ne aut pas oublie de epote la vaie gandeu de la section en mesuant les angles et les distances à pati d une aête déjà epotée aupaavant dans le développement**. Tout l at est de savoi où pende les mesues : dans le ou dans le? Il aut essaye d imagine le volume en éalité et bien ecoupe toutes les inomations d un plan à l aute. Une astuce qu il aut savoi : i vous avez 2 valeus diéentes pou un même segment, la vaie gandeu sea toujous la plus gande des deux*. Les distances ente les points de sections doivent toujous ête pises su la section en vaie gandeu. ans cet exemple : 5 d6 On a la section d un pisme ectangulaie à base caée pa un plan de bout lpa que l on abat su le. * La distance est plus gande que la distance. La vaie gandeu du segment se touve dans le, dans le elle est pojetée «de biais» et appaaît donc accoucie. Le développement du volume tonqué ci-conte est constuit en epotant espectivement les distances d1, d2 (mesuées en vaies gandeus dans le ) et d3 à d5 (mesuées en vaies gandeus dans le ) su le développement du volume entie. 1 d3 ' ' O ' ' 3 ' 4 ' d4 O ' 2 O ' O d ' d1 c c d2 ' ' La section en vaies gandeus dans le est epoduite su le développement en epotant les angles et les longueus des segments mesuées dans le. d6 ' ' 2 5 ' ' d2 3 3 ' 4 d1 ' 5 **La suace en vaies gandeus est attacée au este pa le segment de doite 5-1. d5 d3 1 2 d4 d5 i on veut colle le volume tonqué, il aut pévoi des pattes de collage. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

38 4. Le elèvement Le elèvement est un abattement (ou une otation) à l enves. On pat de la vaie gandeu pou touve les pojections. Exemple 1 : Une pyamide dont la base exagonale EF se situe su un plan vetical. On donne : Le plan vetical lpa Le point O Le ayon de la base de la pyamide Le nombe de côtés (6) et l oientation de ceux-ci (deux côtés paallèles au ) La auteu de la pyamide. On commence pa dessine la vaie gandeu de la base abattue dans le : E F, côtés et E F paallèles à c1 ). La distance O O est égale à la auteu du point O. L aête est paallèle à la canièe, donc le segment est paallèle à la ligne de tee dans le. On elève ensuite cette base dans le pou touve les pojections E F. vec la auteu de la pyamide (en vaie gandeu dans le ), on touve et donc enin. F E O c1 F O E F O c1 E v Notes ateine ison Pojections Otogonales

39 Exemple 2 : Une pyamide dont la base exagonale se situe su un plan vetical lpa, et coupée pa le plan êta. On donne : Le plan lpa et le plan êta Le point O Le ayon de la base de la pyamide Le nombe de côtés et l oientation de ceux-ci (deux côtés paallèles au ) La auteu de la pyamide. On pat de la même manièe que pou l exemple 1 pou touve les pojections de la base dans le E F et dans le E F, pa elèvement autou de c1. On place ensuite le plan êta et on situe les points de sections su le. En taçant les lignes de appel, on touve ceux-ci su le Pou touve la vaie gandeu de la section, on ait un abattement simple de la section autou de c2. F E O 2 3 c1 c2 F O E O 5 F c1 6 E c2 4 5 On peut aussi aie un elèvement pa abattement suivi d une otation de la section, pa exemple. Notes ateine ison Pojections Otogonales v

40 V. Les intepénétations Une intepénétation est une union ente deux volumes (pisme, pyamide, cylinde, cône ou spèe). La position de ces volumes va acilite ou pas la epésentation de ceux-ci. 1. Intepénétation de deux volumes à axes conondus ou paallèles Pou détemine l intesection ente deux volumes d axes paallèles, il aut touve les points de pecée ente les aêtes d un volume et les aces latéales de l aute. Petit appel : Pou touve le point de pecée d une doite su une suace, on ait passe un plan pojetant contenant cette doite (et passant pa un sommet). e plan est appelé «plan auxiliaie». Il va sevi en sote de plan de constuction pou aive à touve le point de pecée ececé. Voici ce que cela peut donne dans l espace Et en épue a a P P Q Q Q a P ans cet exemple : On cece le point de pecée de la doite veticale a dans la pyamide. Le plan vetical alpa est le plan auxiliaie. Il passe pa le sommet de la pyamide et contient la doite a. ans l espace, l intesection ente la ace de la pyamide et le plan alpa est la doite Q (aête de constuction). L intesection ente l aête Q et la doite a est le point P. ans l épue, on tace α en eliant et a. On touve Q comme intesection de α avec l aête (base de la pyamide). On epote ensuite le point Q veticalement dans le, su l aête équivalente, pou touve Q. P est l intesection de Q avec a. Les cops onds qui s intepénètent doivent ête géés de la même manièe, en utilisant les généatices plutôt que les aêtes. Plus on ajoute d aêtes de constuction, plus l intesection ente les deux volumes sea pécise. v Notes ateine ison Pojections Otogonales

41 Voici un exemple de deux pyamides, d axe conondus, qui s intepénètent : Pou touve le point 7 : On coisit un plan auxiliaie qui passe pa une aête connue () de la petite pyamide. ela génèe une doite de constuction su la gande pyamide (XT). L intesection de ces deux doites donne le point de section (7) ente les deux pyamides. T T 7 O J K X Pou touve le point 6 : On coisit un plan auxiliaie qui passe pa une aête connue (JT) de la gande pyamide. ela génèe une doite de constuction su la petite pyamide (Y). L intesection de ces deux doites donne le point de section (6) ente les deux pyamides. T F 12 G H L O E 4 8 I K J 6 H I 6 G O T J O J Y F 10 L 9 8 K est le même pincipe pou les volumes à axes communs ou paallèles. E Notes ateine ison Pojections Otogonales v

42 eux autes exemples : H ' G ' O ' I' J' F' P H ' G ' G H F O E J I E F O P 6 H G H I G 9 O O ' 8 J 7 6 F 8 F' O P P' G ' 3 G 4 F E E 6 5 H H ' v Notes ateine ison Pojections Otogonales

43 2. Intepénétation de deux volumes à axes non paallèles Pou détemine l intesection ente deux volumes, à axes non paallèles, il aut touve les points de pecée ente les aêtes d un volume et les aces latéales de l aute. Et oui, c est encoe la même istoie! Un peu de élexion et d oientation dans l espace sont indispensables. L ajout du plan de poil de pojection acilite la vision dans l espace. Il peut ête indispensable dans cetains cas. vant tout, il est tès impotant d identiie les diéents éléments (suace et aête) de caque point de pecée, l un apès l aute. N oubliez pas d utilise les plans auxiliaies. Pou appel, ceux-ci doivent ête pojetants et passe pa une aête d un des volumes pou laisse une tace su la suace de l aute. Voici un exemple de points de pecée ente une doite oizontale a et les aces d une pyamide. eux solutions sont possibles : olution 1 : Le plan auxiliaie coisi est un plan oizontal lpa contenant la doite a. La section de la pyamide pa ce plan lpa donnea un tiangle. L intesection des côtés de ce tiangle avec la doite a donnea les deux points de pecée de la doite a dans la pyamide. a 1 2 a 1 2 a 1 2 olution 2 : Le plan auxiliaie coisi est un plan vetical lpa contenant la doite a. Il aut touve la section de la pyamide pa lpa. L intesection des côtés de cette section avec la doite a donnea les deux points de pecée de la doite a dans la pyamide. a 1 2 a 1 2 a 1 2 Notes ateine ison Pojections Otogonales v

44 Voici un exemple : Intepénétation d une pyamide à base exagonale EF avec un pisme doit à base tiangulaie GHI. Pou avoi une idée complète de la situation, il aut dessine le plan de poil de pojection. p H ' G ' H G P GpG ' p 5p 2p 8 3p p P p H ' p Hp 4p 7 p I' 1 6 I 1p pi 6p pi' F O E p p p p Ep F O p p G ' G 2 5 I' 1 3 O 8 6 I P H ' 4 7 H F E Exemple d une spèe dans une boîte v Notes ateine ison Pojections Otogonales