Chapitre 3 LE MOMENT CINÉTIQUE : UN EXEMPLE DE SYSTÈME QUANTIQUE

Transcription

1 Chapite 3 LE MOMENT CINÉTIQUE : UN EXEMPLE DE SYSTÈME QUANTIQUE Se epote à la bibliogaphie pou le détail des démonstations et la desciption de l expéience de Sten et Gelach. 3.1 Définitions a- Considéons une paticule décite pa une fonction d onde scalaie ψ( ) enepésentation position. On définit le moment cinétique obital pa appot à l oigine comme l ensemble des tois opéateus où p x = i~ x. On écit donc L x = yp z zp y ; L y = zp x xp z ; L z = xp y yp x L = i~ En utilisant les elations de commutation [p x,x]= i~; [p x,y]=[p x,z]=0ainsi que celles qui s en déduisent pa les pemutations de (x, y, z), onobtient: [L x,l y ]=i~l z ;[L y,l z ]=i~l x ;[L z,l x ]=i~l y En utilisant les popiétés du poduit vectoiel, cette elation s écit symboliquement sous la fome : L L = i~ L b- De façon généale on définit un moment cinétique J comme un ensemble de tois opéateus obsevables (J x,j y,j z ) satisfaisant la elation J J = i~ J Les opéateus J x,j y,j z sont des obsevables associées à la mesue de la pojection du moment cinétique su les tois axes Ox, Oy, Oz d un epèe othonomé galiléen. c- On définit également les tois opéateus J,J + et J J := J x + J y + J z,j ± := J x ± ij y = J

2 0 Le moment cinétique 3. Relations utiles On véifie les elations de commutation suivantes ente les opéateus quelconques A, B et C a- On démonte alos [AB, C] =A[B,C]+[A, C]B et [A, BC] =B[A, C]+[A, B]C b- On véifie également les elations [ J,J x ]=[ J,J y ]=[ J,J z ]=0, [ J,J ± ]=0 [J z,j ± ]=±~J ±, [J +,J ]=~J z J + J = J + ~J z Jz J J + = J ~J z Jz c- On démonte que les valeus popes, Λ, de l obsevable J sont éelles non négatives. Toute quantité Λ peut donc s écie sous la fome Λ = j(j +1)~ où j est une quantité non négative complètement déteminée (une fois que Λ est donné). Les valeus popes de J seont pises sous la fome j(j +1)~ avec j 0. LesvaleuspopesdeJ z sont éelles ca J z est une obsevable ; on les écit sous la fome m~ où m est éel. La quantité m ~ est le ésultat éventuel d une mesue de J z, elle est donc de mêmes dimensions physique qu un moment cinétique ; ~ s expime en Js, ses dimensions sont donc celles d un moment cinétique et, pa conséquent, m est un nombe sans dimensions (on véifie qu il en est de même de j). Les obsevables J et J z commutent. On choisit une base standad de l espace des états, { j, m, τi} constituée de vecteus popes de chacun de ces deux opéateus : J j, m, τi = j(j +1)~ j, m, τi et J z j, m, τi = m~ j, m, τi On peut considée l indice τ comme la valeu pope d une toisième obsevable, T, telle que T, J et J z foment un ECOC. Pou simplifie, nous supposons que T commute également avec J + et J. Nous considéons le sous-espace pope de T pou la valeu pope τ, noté E τ. Dans ces conditions, les opéateus J x,j y et J z sontdesopéateusintenesàe τ.ilen est de même de tous les polynômes que l on fome à pati de ces opéateus, tels J ± et J. 3.3 Bases standads Nous considéons le sous-espace E j,τ, espace pope des obsevables T et J pou les valeus popes τ et ~ j (j +1). Considéons un ket ψi de E j,τ. Fomons le ket K ψi où K est une combinaison linéaie de J x,j y et J z (pa exemple K = J + ). Les elations hk, i J =0=[K, T] impliquent que K ψi estégalementunketdee j,τ. En effet, T(K ψi) = K(T ψi) = τk ψi. Le ket K ψi est vecteu pope de T pou la valeu pope τ. De même on démonte qu il est également vecteu pope de J pou la valeu pope ~ j (j +1). Le ket K ψi appatient donc à E j,τ.

3 Bases standads 1 a- Soit un état ψi tel que J ψi = j(j +1)~ ψi et J z ψi = m~ ψi. L ensemble des états satisfaisant ces popiétés fome un sous-espace vectoiel, E j,m,τ de l espace des états, E. On démonte la elation m p j(j +1). b- On véifie quej + ψi E j,m+1,τ. En appliquant successivement J + on monte une échelle au dessus de ψi dont chaque nouveau baeau est un vecteu. La valeu de m s accoît d une unité à chaque baeau. La elation m p j(j +1)implique que cette échelle possède un nombe fini de baeaux au dessus de ψi. Il existe donc un vecteu de tête non nul ψ Max i tel que J + ψ Max i =0. c- De même J ψi E j,m 1,τ. On descend une échelle au dessous de ψi en appliquant successivement l opéateu J. La elation m p j(j +1) implique que cette échelle possède un nombe fini de baeaux au dessous de ψi. Le denie vecteu de l échelle non nul est le vecteu de queue ψ min i tel que J ψ min i =0. d- Les elations J J + ψi = ~ (j(j +1) m(m +1)) ψi et J + J ψi = ~ (j(j +1) m(m 1)) ψi assuent que c est la même échelle que l on monte et que l on descend dans E τ, au moyen de J + et J ca deux kets popotionnels décivent le même état physique. e- A ψ Max i et ψ min i coespondent la valeu maximale m Max et minimale m min de m. Pa conséquent m Max m min = N, un entie non négatif. L étude de hψ Max J J + ψ Max i et de hψ min J + J ψ min i conduisent aux elations m Max = j et m min = j. On obtient donc les elations j = N et m = j, j +1, j +,..., j 1, j Losque N est pai, j est entie ; losque N est impai j est dit demi entie. f- La base standad est obtenue en imposant les elations de nomalisation suivantes : J j, m, τi = ~ p j(j +1) m(m 1) j, m 1,τi (3.1) J + j, m, τi = ~ p j(j +1) m(m +1) j, m +1,τi En patant d un vecteu de tête j, j, τi nomalisé, tous les vecteus en dessous sont également nomalisés. En appliquant (J ) j sulevecteudetêteonobtientle vecteu de queue, j, j,τi. En emontant l échelle à pati du vecteu de queue on etouve su chaque baeau le vecteu ket déjà obtenu en descendant l échelle.

4 Le moment cinétique 3.4 Le spin 1/ Considéons le cas j =1/. Danscecasm = ±1/. Choisissons pou base de E les vecteus { j, mi}. Posons 1/, 1/i := +i et 1/; 1/i := i. Leselations pécédentes donnent J z ±i = ± ~ ±i J + +i =0 J +i = ~ i J + i = ~ +i J i =0 Dans ce cas le moment cinétique est noté S de péféence à J :Leselations ci-dessus founissent la epésentation de S dans la base standad considéée : 1 0 +i = ; i = = 0 1 S z = ~ On écit 1 0 ; S = ~ 0 1 ; S 0 0 = ~ S = ~ σ avec σ x = ; σ y = ; S x = S + + S ; S y = S + S i 0 i 1 0 ; σ i 0 z = 0 1 Les matices σ x,σ y,σ z sont les matices de Pauli. Remaquons que nous avons (pa abus d écitue) identifié les kets aux matices colonne qui les epésentent et les opéateus à leu epésentation. Cet abus d écitue est souvent patiqué losqu il n y a pas d ambiguïté. 3.5 Le moment cinétique obital a- On peut epée les point de l espace en coodonnées sphéiques, θ, ϕ : x = sin(θ)cos(φ); y = sin(θ)sin(φ); z = cos(θ) La fonction d onde scalaie d une paticule est alos une fonction de, θ, φ notée ψ(, θ, φ). Etant donné deux états Φi et Ψi, leu poduit scalaie s écit hφ Ψi = Z + Z π Z π =0 φ=0 θ=0 Φ (, θ, φ) Ψ(, θ, φ) sin θ ddθdφ b- Considéons le moment cinétique obital L. On obtient les expessions suivantes L z = i~ φ, L = ~ θ + 1 tan θ θ + 1 sin θ φ L + = ~ e iφ θ + i,l = ~ e iφ tan θ φ θ + i tan θ φ Supposons pou fixe les idées que la paticule possède une masse M et qu elle est soumise à une énegie potentielle V () (potentiel cental). Son hamitonien est alos H = p ~ ~ + V () = + V () = M M M d + + V ()+ 1 M L Dans tous les cas on peut intoduie une obsevable K, convenablement choisie, n agissant que su la vaiable, afin de fome l ECOC { L,L z,k}. Cependant pou étudie le poblème de la paticule soumise à un potentiel cental, il est intéessant de considée le cas où { L,L z ; H} foment un ECOC.

5 Le moment cinétique obital 3 c- Dans le cas du moment cinétique obital, on utilise la notation de péféence à j. Considéons une base standad dont on note ψ E,,m (, θ, φ) la fonction d onde des kets qui la constituent. Hψ E,,m = Eψ E,,m, L ψ E,,m = ~ ( +1)ψ E,,m (3.) L z ψ E,,m = ~mψ E,,m = i~ φ ψ E,,m (3.3) La elation (3.3) donne ψ E,,m = e imφ u E,,m (, θ). Les points (, θ, φ) et (, θ, φ +π) sont confondus, ce qui implique ψ E,,m (, θ, φ) =ψ E,,m (, θ, φ +π), soite imπ =1 m est un entie elatif. Ainsi m Max = est un entie non négatif. d- On détemine la fonction d onde du vecteu de tête, ψ E,, = e i φ u E,, (, θ) au moyen de la elation L + e i φ u E,, (, θ) =0 u E,, cos θ θ sin θ u E,, =0 En intégant cette équation difféentielle on touve u E,, = c sin θ R E, () où R E, () est une fonction de (déteminée pa la pemièe des elations (3.) et c une constante abitaie. On choisit c = ( 1) ( +1)!! 4π et on pose Y := c e i φ sin θ e- On obtient ψ E,,m en appliquant les elations de écuences (3.1). L opéateul n agit pas su la vaiable ;ontouve: ψ E,,m = R E, (, θ) Y m (θ, φ) avec Y m = s Y m ( 1) +1 (θ, φ) =! 4π = ( 1) +m! ER E, () = ~ R E, () M + s ( + m)! ( )!( m)! L ~ m Y (θ, φ) (3.4) ( + m)! ( m)! eimφ sin m θ d m 1 x dx m x=cos θ s +1 ( m)! 4π ( + m)! eimφ sin m θ d +m dx +m 1 x x=cos θ R E, () +V () R E, ()+ ~ ( +1) M R E, () (3.5) Le choix de c assue les conditions d othonomalisation : Z π θ=0 Z π φ=0 (Y m ) Y m0 sin θ dθdφ = δ 0 0δ mm 0 Les fonctions Y m (θ, φ) sont les hamoniques sphéiques, elles sont indépendantes de la façon dont on a complété l ECOC (au moyen de H ou d un aute opéateu). On donne dans la figue ci-dessous la epésentation polaie des fonctions θ 7 Y m pou =0, 1, :

6 4 Le moment cinétique 3 1 = 15 Y0 0 = 1 Y ±1 4π 15 Y ± = 3π e±iφ sin θ Y ±1 = 3 8π e±iφ sin θ Y1 0 = 4π cos θ 8π e±iφ sin θ cos θ Y 0 = 5 16π 3cos θ 1 θ 7 Y 0 = ρ θ 7 0 ±1 Y 1 = ρ θ 7 Y 0 1 ± θ 7 Y ±1 θ 7 Y θ 7 Y 0 f- Pou les états liés, dont la pobabilité de pésence décoît ves zéo losqu on s éloigne ( ), les valeus popes de H sont discètes. La elation (3.5) monte qu elles dépendent de. L indice étant donné on intoduit l indice k (k =1,,...) destiné à numéote ces valeus popes, E k,, en ode coissant (E 1, <E, <...). Onposen = + k et on effectue le changement de notation R E, 7 R n, et E k, 7 E n, (avec n = k + > ). Dans le cas d une paticule de chage q e = e, demassem e, soumise au potentiel électostatique cental d une chage e = q e, l énegie E n, ne dépend que de n. On démonte E n = E 0 /n. L énegie fondamentale est E 0 = m e c α / ' 13, 6 ev.laconstanteα est la constante de stuctue fine : α := e 4π 0 ~c ' 1. Si les électons étaient dénués de spin, 137 un tel système pouait epésente un atome d hydogène sous cetaines appoximations (pas de coections : ni elativistes, ni isotopiques). g- Pou détemine les fonctions R n, (), on leu impose diveses conditions qui assuent la continuité de la épatition de la pobabilité de pésence dans l espace ainsi que la décoissance ves zéo de cette pobabilité losque (état lié). On impose aussi la condition de nomalisation Z =0 (R n, ) R n, d =1. Cette condition est posée pou des aisons de convenance et non pou des aisons physiques, à la difféence des conditions pécédentes.

7 L expéience de Sten et Gelach 5 Les fonctions ψ E,,m = R E, (, θ) Y m(θ, φ) sont notées ψ n,,m = R n, (, θ) Y m (θ, φ); elles constituent alos une base othonomée dicète de l espace des fonctions d ondes des états considéés. h- On utilise souvent les notations spectoscopique : état s p d f = Losque n et sont donnés, la dégénéescence est +1. Losque l énegie ne dépend que de n, la dégénéescence du niveau d énegie E n est n. i- Pou intepéte le sens des ésultats obtenus, considéons l état n,, mi décit pa la fonction d onde ψ n,,m. 1. La pobabilité de pésence de la paticule dans la coquille sphéique de ayon compis ente et + d est R n, d.. La pobabilité de pésence dans la diection (θ, ϕ), dans l angle solide dω =sinθdθdϕ est Y m(θ, ϕ) dω. Remaquons que Y m(θ,ϕ) est indépendant de ϕ : cette popiété signifie que ces pobabilités pésentent la symétie de évolution autou de l axe Oz. La pobabilité de l intevalle [ϕ, ϕ + dϕ] est donc dϕ, tandis que la pobabilité de l intevalle [θ, θ + dθ] est π Y m(θ, ϕ) sin π θdθ. 3.6 L expéience de Sten et Gelach (Voi cous de Licence et bibliogaphie) L expéience de Sten et Gelach mesue le moment magnétique d un atome. De façon généale, est popotionnel au moment cinétique : = g q e me J où g est le facteu de Landé (voi le modèle vectoiel de l atome dans le cous de licence ou ci-apès le théoème de Wigne-Eckat). Dans un fot gadient de champ magnétique, un jet d atomes est sépaé en plusieus jets coespondant chacun à une valeu du moment cinétique J z : chaque jet donne une tache su un écan. L expéience de Sten et Gelach confime la théoie de la mesue (nombe discet de taches coespondant aux valeus dicètes de J z, et non une seule tache qui coespondait à une épatition continue des valeus de J z ). Le nombe de taches est donc égal au nombe de valeus de m distinctes, soit j +1. On obseve un nombe impai de taches avec cetains atomes. Ce ésultat signifie que j est entie. Ce qui n est pas en contadiction avec l hypothèse que les moments cinétiques des atomes sont des moments obitaux. Pou d autes atomes, on obseve un nombe pai de taches. Ce qui implique que j est demi entie (j =N +1). L expéience de Sten et Gelach confime donc l existence des moments cinétiques demi-enties. Ceux-ci ne sont pas de simples objets mathématiques, conséquence d une définition abstaite du moment cinétique. Ce sont les outils de desciption d une popiété physique, le spin, que pésentent de nombeux atomes et paticules.