Variations. mercredi 20 mars, lundi 25 mars. 1 Vocabulaire fonctionnel 2

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1 Vritions mercredi 0 mrs, lundi 5 mrs Tble des mtières Vocbulire fonctionnel Tendnces & limites 3. Convergence (vers 0, vers un sclire donné) Tendnces vers Résumé, limites, convergence, divergence Propriétés Continuité 7 3. Dé nitions & propriétés Théorèmes fondmentux (cs réel) Dérivbilité 9 4. Rppels Théorèmes fondmentux (cs réel) Dns tout le chpitre, l lettre K désigner l un des corps R ou C. Rppels (églité fonctionnelle, polynôme de fonctions). fonctions de K I et un sclire. On rppelle l églité entre les fonctions et : = déf. () 8t I; (t) = (t). On dé nit l ction des fonctions +, et sur tout réel t I pr [ + ] (t) := (t) + (t), [] (t) := (t) (t) et [] (t) := (t). Soient I un intervlle de R, et deux Nottion (intérieur et dhérence d un intervlle) : pour tout intervlle J non vide de R, on noter J := ]inf J; sup J[ (ppelé l intérieur de J) et J := [inf J; sup J] (ppelé l dhérence de J). Ainsi l intérieur et l dhérence d un intervlle sont respectivement un intervlle ouvert et un segment (de R). Introduction. Le chpitre sur les suites étudiit les fonctions de N vers K et tout prticulièrement ce qui se pssit à prtir d un certin rng su smment élevé, i. e. ce qui se pssit "u voisinge de". En remplçnt l intervlle "discret" N = [0; [\ Z pr l intervlle "continu" [0; [, nous pouvons encore étudier les fonctions de [0; [ vers K insi que leur comportement "u voisinge de" mis nous pourrons églement les étudier "u voisinge de" tout point du segment [0; ]. Et plus générlement en remplçnt l intervlle [0; [ pr n importe quel intervlle in ni de R. Pour tout le chpitre, on xe un intervlle I in ni de R et une fonction f : I K. (nlogue discret : l intervlle N et une suite : N K)

2 Vocbulire fonctionnel Vocbulire topologique ("u voisinge de", locl, globl). Avec les suites, souvent seul importit le comportement "u voisinge de". Avec les fonctions, il ser églement pertinent de ne regrder que ce qui se psse "utour d "un point dhérent à I (comme étit dhérent à [0; [). Pour ce fire, il ser commode, lorsque E est un énoncé à un symbole libre tel que E (t) fsse sens pour tout t I, de dire que :. (si I) E est vri u voisinge de si E est vri sur l intersection ]A; [ \ I pour un certin A > 0 ;. (si I) E est vri u voisinge de si E est vri sur l intersection ] ; A[ \ I pour un certin A > 0 ; 3. (où est un réel donné) E est vri u voisinge de si E est vri sur l intersection ] "; + "[ \ I pour un certin " > 0. Dns ces trois cs, on dir que E est vri loclement (u voisinge du point considéré). De mnière très di érente, on dir que E est vri globlement (sur tout I) si E est véri é en tout point de I. Toutes les dé nitions des suites sont à reprendre en remplçnt l intervlle source N pr I (et l suite concernée pr f). Il n y donc rien de nouveu à pprendre dns l liste ppremment indigeste suivnte, à l exception des notions locles décrites en toute n. f est constnte si 9C K; 8t I; f (t) = C. f est bornée si 9M > 0; 8t I; jf (t)j M. f est T -périodique (où T > 0 est un réel donné) si I = R et si 8t R, f (t + T ) = f (t). On suppose à présent K = R. Si g est une utre fonction de R I, on noter f g déf. () 8t I; f (t) g (t), f < g déf. () 8t I; f (t) < g (t) (F l négtion de f g n est ps f < g). f est mjorée si 9M > 0; 8t I; f (t) M. f est minorée si 9m < 0; 8t I; f (t) m. f est croissnte si 8 (x; y) I ; x y =) f (x) f (y). f est décroissnte si 8 (x; y) I ; x y =) f (x) f (y). f est monotone si f est croissnte ou si f est décroissnte. f est strictement croissnte si 8 (x; y) I ; x < y =) f (x) < f (y). f est strictement décroissnte si 8 (x; y) I ; x < y =) f (x) > f (y). f est strictement monotone si f est strictement croissnte ou si f est strictement décroissnte. On note supi f := sup ff (t) ; t Ig inf I f := inf ff (t) ; t Ig (dns R) et (s ils font sens) mxi f := mx ff (t) ; t Ig min I f := min ff (t) ; t Ig. Soit t 0 I. On dit que : f est mximle en t 0 (ou que t 0 est un mximum de f) si 8t I; f (t) f (t 0 ) ; f est minimle en t 0 (ou que t 0 est un minimum de f) si 8t I; f (t) f (t 0 ) ; f est extrémle en t 0 si f est mximle en t 0 ou si f est minimle en t 0 ; (F nouveu) t 0 est un mximum locl de f si on l comprison f (t) f (t 0 ) u voisinge de t 0 (ici t est un symbole libre) ; (F nouveu) t 0 est un minimum locl de f si on l comprison f (t) f (t 0 ) u voisinge de t 0 (ici t est un symbole libre) ; (F nouveu) t 0 est un extremum locl de f si t 0 est un mximum locl ou si t 0 est un minimum locl. Prfois, on prler d extremum globl pour désigner un extremum n de bien di érencier ce dernier d un extremum locl. Exemples. [pleins de dessins] On les comprisons jcosj, jsinj, jrctnj <, jthj <, exp > 0 et ch.

3 Les fonctions cos, sin, rctn et th sont bornées. tn est bornée u voisinge de 0 mis n est ps bornée u voisinge de. exp est bornée u voisinge de mis n est ps bornée u voisinge de. Id décroît strictement sur chque intervlle où elle est dé nie, est bornée u voisinge de mis n est ps bornée u voisinge de 0. cos et sin ne sont ps monotones. ln croît strictement, n est ps bornée u voisinge de 0 ni u voisinge de. sin et cos dmettent une in nité d extrem locux (qui sont ussi des extrem globux) sin Id (prolongée pr en 0) dmet un in nité d extrem locux mis un seul extremum globl (qui est un mximum). Tendnces & limites Avec les suites, on pouvit regrder l limite en un point "limite" de l intervlle source N, à svoir en exclusivement. Avec les fonctions, il y ur trois sortes de points "limites" (tous dns I) :, un réel donné,. De plus, lorsque le point limite est réel, on distinguer deux cs supplémentires selon le côté de où se trouve l rgument : à guche, à droite. En croisnt vec les trois sortes de tendnces possibles (vers, vers un sclire donné, vers ), nous obtiendrons u totl (3 + ) 3 =quinze dé nitions, récpitulées dns un tbleu en n de section. Au lieu de les lister une pr une, voyons plutôt comment les retrouver.. Convergence (vers 0, vers un sclire donné) (point limite ) Commençons pr rendre "continue" l convergence d une suite en reprennt l dé - nition séquentielle et en y remplçnt l intervlle N pr I (et l suite (u n ) pr l fonction f). [dessin] Encore une fois, il n y bsolument rien de nouveu à pprendre. Dé nition-propriété (convergence en ). Supposons I. On dit que f tend vers 0 en si 8" > 0; 9A > 0; 8t {z I } ; t A =) jf (t)j 0. très souvent sous-entendu On note lors f 0 ou f (t) t 0. (nlogue discret : n 0 si 8" > 0; 9N > 0; n N =) ju n j 0) t Soit K. On dit que f tend vers en si jf j 0. On note lors f ou f (t). (nlogue discret : n si j n j 0) Exemples. [dessins] On les tendnces e t t 0, t t 0 et (ln t) t 0 pour tout réel > 0. (point limite 0 ou réel) l convergence vers 0 : Reprenons à présent dns le cours des suites l motivtion de l dé nition de "u n tend vers 0 si, étnt donnée une précision " > 0 ussi petite que voulu, on ju n j " pour n ssez grnd". Cherchons à l dpter en se demndnt comment formliser "f (t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0" (et non plus lorsque t tend vers ). Clquons : "f (t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0 si, étnt donnée une précision " > 0 ussi petite que voulu, on jf (t)j " pour t ssez proche de 0". 3

4 Il reste à formliser l n "pour t ssez proche de 0", ce qui ser isé en dptnt l formlistion "9N > 0; :::; n N =)" de "pour n ssez grnd" en "9 > 0; :::; jtj =)". [dessin] En n, on pourr remplcer le 0 source pr n importe quel utre réel de I à l ide d une trnsltion de l rgument, comme on déjà plus hut remplcé le 0 but pr un sclire quelconque à l ide d une trnsltion de l imge. [dessin] Dé nition (convergence en un réel). Supposons 0 I. On dit que f tend vers 0 en 0 si 8" > 0; 9 > 0; 8t {z I } ; jtj =) jf (t)j ". très souvent sous-entendu Soient I \ R et K. On dit que f tend vers en si t 7 f (t ) tend vers 0 en 0, i. e. si 8" > 0; 9 > 0; jt j =) jf (t) j ". On note lors f ou f (t) t. Mnémo (ordre -source "-but). Le choix de comme symbole muet n est ps nodin. En e et, l comprison jf (t) j " concerne les imges (donc l ensemble but) et celle jt j concerne les rguments (donc l ensemble source) : en vertu de l ordre cnonique "source->but", il serit confusnt de ne ps choisir pour une lettre vennt vnt " (ce qui est bien le cs) (et non comme on le trouve dns certins mnuels). Pr illeurs, fer penser à "di érence" (su smment petite) tout comme " fer penser à "erreur" (ussi petite que voulue). Exemples. [dessin] On les tendnces t n t0 0 pour tout entier n > 0, sin t t0 0, jtj t0 0 pour tout réel > 0, th t t0 0, tn t t0 0, t ln t t0 0 et t (ln t) t0 0 pour tout (; ) R +. Soit I réel. Il rrive que le comportement locl de f en ne soit ps le même des deux côtés de, pr exemple si f est l prtie entière. On distinguer lors volontiers deux éventuelles tendnces en restreignnt f à droite de ou à guche de. [dessin] Dé nition (convergence à droite, à guche). On dit que f tend vers en à droite si f j[;[\i Soit un réel dns I et un sclire., i. e. si 8" > 0; 9 > 0; t + =) jf (t) j ". On note lors f + ou f (t) t+. On dit que f tend vers en à guche si f j] ;]\I, i. e. si On note lors f ou f (t) t. 8" > 0; 9 > 0; t =) jf (t) j ". Exemple. [dessin] On les tendnces btc t0+ 0 et btc t0 :. Tendnces vers Pssons à présent ux tendnces vers. Cel impose d voir K = R. Lorsque le point limite vut, il su t de recopier l dé nition de l tendnce d une suite réelle vers en remplçnt N pr I. Pr exemple, on noter f déf. () 8B < 0; 9A > 0; t A =) f (t) B. Des exemples usuels sont les tendnces t t pour tout réel > 0, e t t et ln t t. Qund le point limite vut, on dpte isément le symbolisme "9A > 0; t A" codnt le frnçis "pour t ssez proche de " en "9A < 0; t A" pour signi er "pour t ssez proche de ". Pr exemple, on écrir f () déf. 8B > 0; 9A < 0; t A =) f (t) B. 4

5 Des exemples usuels sont les tendnces t n t ( ) n pour tout entier n > 0 Lorsque, en n, le point limite est un réel, on "copie-coller" les symboles "9 > 0; jt plce de "9A > 0; t A" ou "9A < 0; t A". Ainsi, on pourr écrire j " en lieu et f 8 déf. () 8B < 0; 9 > 0; jt 8j =) f (t) B. Si l on souhite préciser une ltérlité dns l tendnce vers, on remplcer l comprison "jt l encdrement " t " ou " t ", ce qui permettr pr exemple de noter 8j " pr f 4 déf. () 8B > 0; 9 > 0; 4 t 4 =) f (t) B. Des exemples usuels sont les tendnces t t0 + +, tn t t, ln t t0, rgth t t. Remrque (ordre A-source B-but). Pour décrire ce qui se pssit dns un voisinge de 0 (à l source comme u but), nous vions utilisé les lettres (source) et " (but) dns l ordre lphbétique. Suivnt l même cohérence, pour décrire ce qui se psse dns un voisinge de (à l source comme u but), nous vons utilisé ici les lettres A (source) et B (but) dns le même ordre lphbétique. Nous n vons ps explicité les quinze dé nitions ttendues. Le résumé suivnt, exempli é pr ce qui précède, devrit cependnt su re pour les reconstituer.3 Résumé, limites, convergence, divergence Soient un sclire et un réel. On note l un des cinq symboles "source",,, + ou (étnt entendu que I dns les trois premiers cs et que I \ R dns les trois derniers). On note l un des trois symboles "but", ou (étnt entendu que K = R si = ). On souhite expliciter l dé nition de l tendnce f suivnt les vleurs de (; ), ce qui revient à remplir le tbleu suivnt : but source + Selon l ligne, l dé nition cherchée est de l forme suivnte :. 9A > 0; t A =) 9A < 0; t < A =) 9 > 0; jt j =) ligne dé nition 8" > 0; jf (t) j " 8B > 0; f (t) B 8B < 0; f (t) B où les sont à remplcer selon l colonne (l qunti- ction "8t I" est omise) + 9 > 0; t + =) 9 > 0; t =). Lorsque f, le symbole est ppelée l (on dmet son unicité) limite de f en et est noté lim f ou lim t f (t). Si f dmet une limite nie en, i. e. si lim f fit sens et est un sclire (ni ni ), on dit que f converge en ; dns le cs contrire, on dit que f diverge en. Exemples. exp, sin et ln divergent en, Id diverge en 0+ comme en 0, bidc diverge en tout entier et converge prtout illeurs, t 7 sin t diverge en 0+ comme en 0. 5

6 .4 Propriétés Nous llons reprendre toutes les propriétés des suites en remplçnt le point limite "source" pr n importe point de I, vec pour seule nouveuté l "composition des limites". Le lecteur est donc encourgé à lire ce qui suit à l lumière du cours sur les suites. Fixons un point I et un élément dns K [ f ; g. Propriétés (opértions usuelles sur les limites). Soient g : I K et M K [ f ; g. Sous f réserve que les limites suivntes fssent sens dns R, on ur les tendnces suivntes dès que g M :. jfj. f jj ; ; 3. f + g + M ; 4. fg M ; f 5. g M. (F nouveu) Propriété (composition des limites). Soient un point de R et g une fonction dé nie sur un intervlle dont l dhérence contient. On lors l impliction ( f g =) g f. Exemple. Soit " 6= 0. On les églités et tendnce cos " " = sin " " "0 () = (déjà trité dns le cours de clcul di érentiel simple en bs de pge ). Remrque (bus d écriture). Dns cet exemple, on invoqué un " R mis on écrit ensuite "0, ce qui suppose de "désinvoquer" " n de pouvoir le considérer comme symbole muet dns l tendnce "0. Comme pour les suites, cette bus est monnie cournte. Propriétés (lien entre fonctions convergentes, bornées, tendnt vers 0).. Si f converge en, lors f est bornée u voisinge de.. Le produit d une fonction convergente pr une fonction tendnt vers 0 (en un même point) tend vers Si f et si est non nul, lors f reste non nulle u voisinge de (et, plus précisément, est minorée u voisinge de en module pr un certin réel strictement positif). Exemples. Les fonctions t 7 sin t t et t 7 t ln t dmettent une limite nie en 0, donc sont bornées u voisinge de 0. L fonction t 7 e it (t 7) 4 est le produit d une fonction bornée (on 8t R; e it = ) pr une fonction tendnt vers 0 en 7, d où l tendnce e ix 4 x7 (x 7) 0: Propriété (limite des "suites extrites"). Supposons f. On lors l tendnce f ( n ) pour toute suite ( n ) tendnt vers. (on pourr retenir "lim f ( n ) = f (lim n )") Exemple. Montrer que sin n ps de limite en. (nlogue discret : l suite ( ) n diverge) Supposons pr l bsurde que sin tende vers quelque chose en. Puisque les suites (n) et (n + ) (nlogue des extrctions (n) et (n + ) tendent toutes deux vers, les "suites extrites" (sin (n)) et sin (n + ) tendent églement vers lim sin ; or l première vut constmment et tend donc vers, tndis que l seconde tend vers. Propriétés (limites et ordre). On suppose ici K = R. [trois dessins] 6

7 . (les comprisons prennent le lrge) Soient g : I K et M K [ f ; g. Si on les f tendnces g et l comprison f g, on ur lors l comprison M (dns R). M. (théorème d encdrement) Soient ' et deux fonction de K I telles que ' f. Alors les tendnces de ' et vers impliquent celle de f vers le même. 3. (tendences et monotonie) Si f croît u voisinge à guche (resp. droite) de, on ur lors l tendnce f sup f (resp. f inf f). ] ;[\I ];[\I Exemple. L comprison sin t t tn t pour tout t 0; permet de montrer l tendnce sin (déjà trité dns le cours de clcul di érentiel simple en milieu de pge ). 0 3 Continuité Étnt donnés deux points situés de prt et d utre d une droite xée reliés pr une "courbe continue", peuton rmer que l courbe rencontrer l droite? [dessin] Le bon sens nous dit que cel est évident. Chercher à formliser mthémtiquement "courbe continue" puis à démontrer cette "évidence" (F théorème centrl de ce cours F) doit nous éveiller à l di érence entre le bon sens prtique et l mthémtique. 3. Dé nitions & propriétés Intuitivement, l continuité peut être conçue comme l bsence de discontinuités. Sns vouloir jouer sur les mots, nous pensons ces dernières plus élémentires que leur opposé et d bord plus intuitif : visuliser à un "sut", une "cssure". Au niveu du grphe d une fonction, on penser pr exemple les "mrches" du grphe de t 7 btc comme utnt de discontinuités : l fonction ne tend ps vers l même "vleur" des deux côtés. Mis il existe des discontinuités plus "chotiques" : visuliser un signl qui oscille de plus en plus vite et de plus en plus mplement (à l instr de t 7 t sin t u voisinge de 0). Une fçon de pllier ces discontinuités, i. e. d empêcher les suts ou les oscilltions trop mples, serit de forcer notre fonction à "converger" en le point considéré, i. e. à y dmettre une limite, ce qui est l dé nition d usge. (exercice : montrer que, si f dmet une limite en un point donné I, lors cette limite vut nécessirement f ()) Dé nition (continuité). Soit I : on dit que f est continue en si f f (). On dit que f est continue (sur I) si f est continue en tout point de I. L ensemble des fonctions continues sur I à vleurs dns K ser noté C (I; K) ou C 0 (I; K). Exemples. Les polynômes, jidj, les fonctions trnscendnte et leurs réciproques. Contre-exemple. Les prties entières bidc et dide. Propriété. Toute fonction continue en un point est bornée u voisinge de ce point. Exemple. Id prolongée pr n importe quoi en 0 ne ser jmis continue en 0. F L continuité globle n ssure ps d être globlement bornée : penser ux fonctions tn et rgth. En prtique, l continuité sert surtout à légitimer une chose que l on très souvent envie de fire (et que l on n ps toujours droit de fire ), à svoir intervertir deux limites : pour justi er une tendnce f ( n ) f () lorsque n, il su t de montrer que f est continue en. 7

8 Appliction (limite de suites récurrentes et points xes). Soit ( n ) une suite de I N telle que 8n N; n+ = f ( n ). Si ( n ) converge et si f est continue en lim n, lors cette dernière limite est un point xe de f. Exemple. Soit (u n ) R N u une suite telle que 0 = 8 8n N; u n+ = u. Montrer qu elle tend vers n + u n. (bonus : l fonction t 7 t + t stbilise R + qui contient 8, d où l existence de (u n).) Vu que u n+ u n = u n 0 pour tout n N, l suite (u n ) croît ; ou bien elle tend vers (et on terminé), ou bien elle converge. Dns ce dernier cs, s limite ` est point xe de l fonction polynomile (donc continue sur tout R) t 7 t + t, d où l églité ` = ` + `, i. e. ` = 0 ; or l comprison (u n ) (u 0 ) (découlnt de l croissnce de (u n )) donne pr pssge à l limite ` 8, ce qui est une contrdiction. Propriétés usuelles (stbilité de l continuité). Soit g : I K. Supposons f et g continues. Alors sont continues les fonctions :. f jj (pour tout intervlle in ni J I) ;. jfj ; 3. f (pour tout sclire ) ; 4. f g ; 5. fg ; 6. f g (si g ne s nnule ps) ; 7. mx ff; gg et min ff; gg. Corollire (structure de C (I; K)). L ensemble C (I; K) est un s.-e. v. de K I stble pr multipliction (et pr pssge ux module, minimum et mximum). J Propriété (continuité & composition). Soit J un intervlle in ni réel contennt Im f. Soit g : K. Si f et g sont continues, lors l composée g f l est ussi. Exemple. L fonction ejsinj + p sh+rgth 4 (ln( cos)) 8 est continue sur R + nz (i. e. là où elle est dé nie). Lorsque l on prolonge une fonction continue en levnt une indétermintion, il est pertinent de se demnder si le prolongement obtenu reste continu. Le théorème suivnt donne une condition simple (c est l dé nition de l continuité en remplçnt le point I pr un point de I). Théorème (prolongement continu). dmet une limite nie en. Exemples. Les fonctions t 7 sin t t chcune continûment en 0. Soit I. Alors f dmet un prolongement continu en ssi f (continue sur R ) et t 7 t ln t (continue sur R +) se prolongent 3. Théorèmes fondmentux (cs réel) On suppose à présent K = R. Les deux théorèmes qui suivent sont sns doute les plus importnts de l nlyse de sup, vec l inéglité des ccroissements nis de l section suivnte. FFF Théorème (des vleurs intermédiires). Soit (; b) I. Alors :. si f () f (b) < 0, lors f s nnule sur ]; b[ ; [dessin]. l imge continue d un intervlle est un intervlle ( i. e. f (I) est un intervlle) ; 3. l imge continue d un segement est un segment ( i. e. f ([; b]) est un segment). 8

9 Exemple. On suppose Im f [0; ] = I et f continue. Montrer que f dmet un point xe. [dessin] On cherche un zéro de l fonction := f Id, qui est continue (comme di érence de fonctions continues). Puisque (0) = f (0) 0 0 et () = f () 0, le premier point ci-dessus conclut dès que les comprisons précédentes sont strictes ; sinon l une est une églité et on directement terminé (0 ou est xe). Exemple. Montrer que t 7 8 t + 4 t s nnule sur ]0; [. L fonction donnée tend vers en 0 +, donc prend des vleurs strictement positives u voisinge de 0. De même, elle tend en vers, donc prend des vleurs strictement négtives u voisinge de. Cette fonction étnt pr illeurs continue sur ]0; [, le théorème des vleurs intermédiires (point ) permet de conclure. FFF Corollire. Toute fonction continue sur un segment y est bornée. Exemple. Supposons I = R et f 8-périodique. Montrer que f est bornée. Le corollire nous dit que f est bornée sur [0; 8] : notons M un mjornt de f j[0;8]. Soit t I. Montrons jf (t)j M, ce qui conclur. Notons k := t 8 (qui est un entier reltif). 0 Alors le réel t 8k d une prt t t (pr 8-périodicité de f) même imge pr f que t, d utre prt se réécrit 8 B C et tombe donc 8 8 A {z } [0;] [0; 8], d où l comprison jf (t)j = jf (t 8k)j M, c. q. f. d.. FFF Théorème (de l "bijection monotone"). Supposons f continue et strictement monotone. Alors f induit une bijection f : I f (I) de réciproque continue, strictement montone et de même sens de vrition. Applictions. Nous vons utilisé ce théorème à mintes reprises pour dé nir les réciproques des fonctions trigonométriques (circulires & hyperboliques). Appliction. Montrer que l éqution P 8 n= xn = d inconnue x R + dmet une unique solution. L fonction Id étnt continue, strictement croissnte et strictement positive, ses puissnces le sont églement, donc l somme de ses 8 premières puissnces stisfit les hypothèses du théorème précédent. Puisque cette somme envoit 0 sur 0 et tend en vers, elle induit une bijection de [0; [ sur [0; [, donc tteint une unique fois sur R + le réel. 4 Dérivbilité 4. Rppels On renvoit u cours de clcul di érentiel simple pour l motivtion de l dé nition suivnte, les dérivées usuelles et l dérivée logrithmique. f(t) f() t Dé nition (dérivbilité). Soit I. On dit que f est dérivble en si l fonction t 7 converge en. Comme pour les tendnces, on pourr distinguer dérivbilité à droite et dérivbilité à droite. Pr exemple, l vleur bsolue n est ps dérivble en 0 mis l y est à droite et à guche. On noter, si cel fit sens, fd 0 () (resp. fg 0 ()) l dérivée de f en à droite (resp. à guche). Propriété (dérivbilité et continuité). Toute fonction dérivble est continue. Théorème (de l "limite de l dérivée"). Soient I et K [ f ; g. Supposons f 0 dé nie sur I nfg et tendnt en vers. On lors l tendnce f(t) f() t t. En prticulier, si est ni, lors f est dérivble en et f 0 () = lim f 0. (prolongée continûment) dmet une tngente horizontle en l ori- Exemple. Montrer que t 7 t 3 sin t gine. 9

10 Notre fonction étnt bornée pr jidj 3 qui tend en 0 vers 0, son prolongement envoit 0 sur 0. Vu pr illeurs l tendnce lorsque t 0 (où t 6= 0 est un réel t 3 sin = t {z} sin + t 3 t 0 {z } t cos 0, t {z } {z } borné 0 borné le théorème précédent permet de conclure. Rppel (fonctions de clsse C k ). Soit k N. On dit que f est de clsse C k si les dérivées f; f 0 ; f 00 ; :::; f (k) sont dé nies sur tout I et sont C 0. On dit que f est C si f est C n pour tout n N. Propriété (stbilité de l continuité d ordre supérieur). Soit k N [ fg. L ensemble C k (I; K) est un s.-e. v. de K I stble pr produit. L composée de deux fonctions C k chcune sur un intervlle reste C k (si elle fit sens). F Contrirement à l continuité, être C k (pour un certin k ) n est ps stble pr pssge u module, ni pr min ou mx : l fonction Id est C mis jidj est n est ps dérivble en Théorèmes fondmentux (cs réel) On suppose ici K = R. Comme le théorème des vleurs intermédiires, les théorèmes qui suivent sont des "évidences" grphiques (qui nénmoins nécessiterient chcun une preuve en bonne et due forme). Lemme (dérivée et extrem). Soit I où f est dérivble et loclement extrémle. Alors f 0 () = 0. [dessin] F le point doit être intérieur à I : pour un contre-exemple, prendre f = Id dé nie sur I = [8; 4] et f8; 4g. F l réciproque est fusse, comme le montre l fonction t 7 t 3 en l origine. FFF Théorème (de Rolle). Soient et b distincts dns I. On suppose Alors f 0 s nnule sur l intervlle (non ordonné) ]; b[. [dessin] (Intuitivement, l présence d une corde horizontle ssure celle d une tngente horizontle.) 8 < : f continue sur [; b] f dérivble sur ]; b[ f () = f (b) F Le théorème de Rolle devient fux si K = C : considérer l fonction t 7 e it sur le segment [0; ]. Appliction. Supposons f dérivble sur I et s y nnulnt 8 fois. Montrer que f 0 s nnule 7 fois. L énoncé nous permet d invoquer dix-huit zéros de f : écrivons les dns l ordre usuel z 0 < z < < z 7. Soit i [; 7] entier. f véri er les hypothèses du théorème de Rolle sur [z i ; z i ], donc s nnule en un certin i ]z i ; z i [. Vu pr illeurs les comprisons "entrelcées" < z < < z < < z 6 < 7 < z 7, nous pouvons rmer que tous les i sont distincts, d où 7 zéros pour f 0 comme désiré. FFF Théorème (églité des ccroissements nis). Soient et b distincts dns I. On suppose f continue sur [; b]. Alors il y un c ]; b[ tel que f f dérivble sur ]; b[ 0 f(b) f() (c) = b. [dessin] (Comme pour Rolle, ucun des intervlles n est ordonné) (Intuitivement, il y une tngente prllèle à toute corde donnée.) FFF Corollire (inéglité des ccroissements nis). Soient et b distincts dns I. On suppose f continue sur [; b] f(b) f(). Alors l pente f dérivble sur ]; b[ b est mjorée pr sup ];b[ jf 0 j. (Comme pour Rolle, ucun des intervlles n est ordonné) Cette (in)églité est très utile pour étudier des suites récurrentes n+ = f ( n ) convergent vers un point xe de f où jf 0 j <.. 0

11 Exemple. [dessin] L fonction := p 6 + Id stbilise R + qui contient 4, d où l existence d une unique suite ( n ) positive telle que 0 = 4 8n N; n+ = p. Le dessin suggère que ( 6 + n ) décroît et tend vers 3. Ce n dernier réel est bien xe pr puisque (3) = p 9 = 3. Montrons que n 3. Soit n N. On l comprison j n+ 3j = j ( n ) (3)j j 0 (s n )j j n 3j pour un certin réel s n ]3; n [ ; or pour tout t 3 on j 0 (t)j = p 6+t p = 6+3 6, d où l on dire j n+ 3j 6 j n 3j, i. e. 6 n+ j n+ 3j 6 n j n 3j. Ceci montre l décroissnce de l suite 6 k j k 3j, d où l comprison 6 n j n 3j 6 0 j 0 3j et l tendnce j n 3j , ce qui conclut. n (bonus : montrer l décroissnce suggérée) q Id Exemple. [dessin] L fonction := 3 stbilise [0; 3] (elle décroît, envoie tout en-desous de 3 et q q 3 envoie 3 sur = 3 0) qui contient, d où l existence d une unique suite (b n) [0; 3] N ( b 0 = telle que q b 8n N; b n+ = 3 n. Le dessin suggère que (b n ) tend "en tournnt" vers. Ce dernier réel q est bien xe pr puisque () = 3 =. Montrons que b n. Soit n N. On l comprison jb n+ j = j (b n ) ()j j 0 (s n )j jb n j pour un certin réel s n ]; b n [ ; or pour tout t > 0 on j 0 (t)j = p p t mis cette grndeur n est ps bornée. A n de continuer comme p t dns l exemple, on v se restreindre à un intervlle plus petit où l on pourr mjorer j 0 j. Pr exemple, puisque envoie 3 sur et sur 3, s décroissnce montrer qu elle stbilise [; 3], d où s n et j 0 (s n )j p sn On en déduit les comprisons jb n+ j p jb n j, i. e. p n+ jb n+ j p n jb n j. Ceci montre p k l décroissnce de l suite jbk j, d où l comprison p n jb n j p 0 jb 0 j et l tendnce jb n j n 0, ce qui conclut. Remrque. L inéglité des ccroissements nis reste vlide lorsque K = C, ce qui permet d ppliquer l méthode précédente ux suites récurrentes complexes. p.

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