Existe-t-il des métaux à deux dimensions?

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1 Existe-t-i des métaux à deux dimensions? Geneviève Feury () et Xavier Wainta Service de physique de état condensé, DSM/IRAMIS, CEA/Saay, 99 Gif-sur-Yvette Cedex () Lauréate du prix de exposé de thèse au Congrès généra 29 de a SFP. Les propriétés de conduction des systèmes bidimensionnes d éectrons que on trouve par exempe dans es transistors de nos ordinateurs, font depuis pus de quinze ans objet d un débat qui divise es physiciens de a matière condensée. Aors que on pensait qu en dimension deux i ne pouvait exister que des isoants à cause du désordre inévitabe dans es échantions, des expériences, menées depuis 994 dans des transistors de nouvee génération, ont montré d étranges comportements métaiques. Par une approche numérique, nous montrons que es interactions couombiennes entre éectrons, considérabes dans ces nouveaux échantions, sont à origine de ces observations expérimentaes. * «I faut s abaisser à effectuer des simuations numériques pour résoudre même es pus simpes des questions concernant [a ocaisation].» Les concepts de méta et d isoant En physique de a matière condensée, es matériaux sont cassés en deux catégories, seon eurs propriétés de conduction éectrique : es métaux et es isoants. Dans es métaux, comme e cuivre ou or, des éectrons peuvent conduire e courant à température nue, si on appique au matériau un champ éectrique. En revanche, en absence d excitations thermiques, aucun courant ne peut traverser un isoant (diamant, PVC ). Ainsi, es métaux se distinguent des isoants par e fait qu à a imite théorique de température nue, eur résistivité éectrique est finie (par opposition à infinie). Attention toutefois : cette définition théorique peut parfois paraître contradictoire avec idée commune que on se fait d un méta. En effet, certains isoants au sens strict conduisent très bien e courant aux températures usuees (de sorte qu on es considère comme des métaux pour toute considération pratique) ; mais, à très basse température, is s arrêtent brusquement de conduire. Une raison à ce phénomène, d origine quantique, est a présence de désordre dans e matériau, boquant e passage des ondes éectroniques (voir encadré, p. 9). C est à cee-ci que nous aons nous intéresser dans a suite de cet artice. Avant d aer pus oin, précisons que pour sonder en pratique e caractère métaique ou isoant d un matériau, on mesure a dépendance en température de sa résistivité. Si cee-ci augmente orsque a température diminue, on dit que e matériau présente un comportement isoant, puisque on peut aors s attendre à une résistivité infinie à température nue (es semi-conducteurs cassiques, comme e siicium, rentrent dans cette catégorie). À inverse, si a résistivité diminue au cours du refroidissement on pare de comportement métaique. Dans un espace bidimensionne La question posée dans cet artice concerne e cas particuier de a dimension deux : est-ce que des éectrons confinés dans un pan peuvent conduire e courant à température nue en présence de désordre? La question n est pas seuement théorique car, depuis pusieurs décennies, es physiciens de a matière condensée sont capabes de fabriquer de tes systèmes. On peut citer, par exempe, es transistors Si-MOSFETs (Siicium metaoxide-semiconductor fied-effect transistor), composants de base des microprocesseurs de nos ordinateurs (fig. ), ou encore es Si Gaz 2 D d'éectrons SiO 2 Grie V g >. Schéma de principe d un Si-MOSFET. Les éectrons du siicium (Si) sont attirés vers a «droite» par appication d une tension positive V g sur a grie métaique, mais se retrouvent boqués par oxyde de siicium (SiO 2 ) isoant. À interface Si/SiO 2 se forme ainsi un système bidimensionne d éectrons, ocaisés (fonction d onde en beu cair) par a présence inévitabe d un potentie désordonné. Leur densité peut être modifiée en variant a tension sur a grie. 6 Refets de a Physique n 2 Artice disponibe sur e site ou

2 One has to resort to the indignity of numerica simuations to sette even the simpest questions about [ocaization].* Phiip Warren Anderson, prix Nobe de physique Avancées de a recherche hétérostructures semi-conductrices que on retrouve dans nos tééphones portabes. Dans ces dispositifs, idée est de piéger es éectrons dans un puits de potentie de très faibe épaisseur à interface entre deux semiconducteurs (ou entre un semi-conducteur et un isoant), de sorte que e mouvement des éectrons devienne strictement bidimensionne dans e pan de interface. En pratique, des impuretés et des défauts répartis aéatoirement dans e matériau sont à origine d un potentie désordonné dans eque évouent es éectrons, coupés entre eux par interaction couombienne. Dogme des années 98 : pas de méta à 2D Depuis es travaux de P. Anderson [], i est connu que e désordre peut conduire à a ocaisation des éectrons et ainsi inhiber a conduction éectrique du système (voir encadré). Pus précisément, a théorie d échee de a ocaisation (), éaborée en 979, prédit qu à deux dimensions un désordre infinitésima est suffisant pour ocaiser es éectrons, du moins tant que on négige eurs interactions couombiennes [2]. C est ainsi que a communauté s est convaincue qu un système bidimensionne d éectrons indépendants (i.e. sans interaction) doit nécessairement être isoant. Dans certaines imites extrêmes, es interactions ont pu être prises en compte et, à chaque fois, i s avérait qu ees n aidaient pas au transport, bien au contraire [2]. À a fin des années 8, fort de ces arguments théoriques, i était ainsi admis qu i ne pouvait exister d état métaique à deux dimensions. Les expériences de époque sembaient en outre confirmer ce paradigme puisque seus des comportements isoants, montrant une divergence de a résistivité à basse température, étaient observés. Réseau cristain bidimensionne avec une distribution désordonnée de puits de potentie sur chaque site (inspiré de A. Lagendijk et a., Physics Today 62, n 8 (29) 24). Révoution de 994 : observation de comportements métaiques à 2D Le débat sur a question de existence de métaux à deux dimensions a été reancé en 994 par des expériences réaisées par S. V. Kravchenko et ses coaborateurs, dans des Si-MOSFETs de nouvee génération [3]. En effet, contre toute attente, des comportements métaiques ont été observés dans ces nouveaux échantions (fig. 2) : au ieu de diverger orsque a température est diminuée, a résistivité du système chute d un ordre de grandeur sur une page de température aant de queques kevins à queques dizaines de miikevins, aissant ainsi présager une résistivité finie à température nue (i.e. un état métaique). À annonce de ce résutat, apparemment incompatibe avec es arguments physiques diffusés depuis pusieurs décennies, a communauté est d abord restée sceptique. Puis, après confirmation par différentes équipes, incréduité fit pace à a poémique : en queques années, des centaines de pubications parurent sur e sujet, es opinions s affrontèrent ors de mutipes conférences, et des modèes théoriques, pus ou moins saugrenus, affuèrent de toutes parts [4]. Quinze ans après, aucun consensus n a encore été trouvé quant à origine de ces comportements métaiques et eur persistance ou non à pus basse température. De a ittérature expérimentae se dégagent toutefois pusieurs observations majeures. Premièrement, es comportements métaiques ont tous été constatés à basse densité éectronique ( éectrons/cm 2 ), dans un régime où es interactions couombiennes sont trop importantes pour être négigées (voir encadré). En effet, e paramètre r s caractérisant importance des interactions dans e système, a pu atteindre dans es nouveaux échantions «métaiques» des vaeurs de ordre de (voire beaucoup pus), aors que dans es expériences simiaires des années 8, où a densité d éectrons était typiquement dix fois pus éevée, i ne dépassait pas 3 ou 4. I se pourrait donc bien que a cé du mystère des comportements métaiques réside dans es interactions éectron-éectron et eur effet sur a ocaisation d Anderson. Une autre observation est e rôe essentie du degré de iberté interne de spin (up ou down) des éectrons. I a en effet été montré que si on poarise tous es éectrons, en Résistivité (h/e 2 ),,7 e - /cm 2 Isoant Méta,37 e - /cm 2 Température (K) Données expérimentaes de résistivité d un système bidimensionne d éectrons formé dans un Si-MOSFET (en unité du quantum de résistance h/e 2 ) en fonction de a température (en kevin), pour différentes densités éectroniques aant de,7 à,37 (x éectrons/cm 2 ) [9]. En augmentant a densité (fèche), on passe d un comportement isoant (en haut) à un comportement métaique (en bas). Refets de a Physique n 2 7

3 appiquant un champ magnétique Zeeman de sorte qu is soient tous up, par exempe, es comportements métaiques sont supprimés et on retrouve un comportement isoant. Enfin, e degré de iberté interne de «vaée» des éectrons joue aussi un rôe. I correspond à a possibiité pour chaque éectron d occuper pusieurs puits de potentie de même énergie, centrés autour de vecteurs d onde différents. Pour simpifier, on pourra voir ce degré de iberté de vaée comme une coueur (disons beu ou vert) associée à chaque éectron. Dans es Si-MOSFETs où i y a autant d éectrons beus que verts, es comportements métaiques sont beaucoup pus importants que dans es hétérostructures GaAs/AGaAs où tous es éectrons sont de a même coueur. Une approche numérique ourde, mais efficace L anayse des données expérimentaes montre que a compréhension des comportements métaiques passe par étude du régime quantique où désordre et interactions sont tous deux importants. Or ce régime résiste à toute approche anaytique. Nous avons ainsi mis au point une méthode numérique pour exporer [5]. Partant d un modèe simpe, mais réaiste, contenant comme ingrédients e désordre, es interactions couombiennes, e spin éectronique et e degré de iberté de vaée, on cacue à température nue état fondamenta du système bidimensionne d éectrons, à aide d une méthode stochastique, dite Monte Caro Quantique (2). Le degré de ocaisation du système est ensuite «mesuré» via a conductance de Thouess (3). Cette conductance n est pas directement cee mesurée dans es expériences décrites ci-dessus ; mais ee est sensibe aux propriétés de ocaisation du système éectronique et, en outre, ee présente énorme avantage d être faciement cacuabe par notre méthode numérique. La dernière étape consiste enfin à rechercher a oi d échee reiant nos données de conductance à a taie du système, de façon à extraire a imite thermodynamique (affranchie des effets de taie finie). En pratique, pour effectuer ces simuations numériques compexes, nous avons bénéficié des supercacuateurs du CCRT (ogés au CEA/Bruyères-e-Châte), permettant de cacuer sur pusieurs centaines de processeurs en paraèe. Au tota, près d un miion d heures de cacu ont ainsi été dépensées pour mener à bien notre projet! Logarithme de a conductance de Thouess,5 -,5 - -, Interaction r s 3. Effet des interactions couombiennes sur a conductance de Thouess d un système bidimensionne d éectrons désordonné (de désordre et taie fixés), d après nos données numériques. Seon a poarisation en spin (up ou down) et en vaée (beue ou verte) des éectrons, es interactions sont soit favorabes (carrés rouges et cerces beus), soit défavorabes (osanges verts) au transport. Locaisation d Anderson et interactions éectroniques Nos résutats, iustrés par a figure 3, montrent que effet des interactions couombiennes sur a ocaisation d Anderson dépend fortement du spin des éectrons et du nombre de vaées qu is occupent [6], comme e suggèrent es expériences discutées pus haut. Lorsque tous es éectrons sont poarisés en spin et en vaée (tous up et beus par exempe), es interactions font décroître a conductance de Thouess du système (diamants verts) et sont donc nuisibes au transport. À inverse, si on ajoute un degré de iberté interne, a conductance de Thouess se met à croître orsque es interactions sont branchées (carrés rouges) et si on en ajoute encore un, augmentation de conductance est encore pus marquée (cerces beus). Les interactions aident aors grandement au transport éectronique. Dans une vision effective à un corps (Hartree-Fock), ces résutats peuvent quaitativement s expiquer par une compétition entre deux effets opposés des interactions. Le premier effet, assez intuitif, faciite a conduction éectronique en écrantant e désordre : es éectrons, pacés de préférence aux puits du potentie désordonné, induisent un potentie couombien moyen qui «bouche» es puits, si bien que e potentie ou désordonné effectif s en retrouve issé. L effet est d autant pus efficace que es éectrons ont un nombre éevé de degrés de iberté internes car, en vertu du principe de Paui, is peuvent aors peuper en pus grand nombre es puits de potentie. Le second effet, à inverse, renforce a ocaisation des éectrons et cea, indépendamment du nombre de degrés de iberté internes éectroniques. Son origine, pus compexe, est iée à a nécessité d antisymétriser a fonction d onde des éectrons. Lorsque tous ceux-ci sont poarisés en spin et en vaée, ce second terme emporte sur e premier (diamants verts), mais orsque on ajoute un degré de iberté interne, a situation s inverse (carrés rouges puis cerces beus). Origine des comportements métaiques expérimentaux À partir de notre modèe très simpe et de notre méthode numérique, nous avons finaement réussi à proposer un mécanisme qui rend bien compte des comportements métaiques expérimentaux. Son énoncé précis, expicité et justifié aieurs [8], dépasse e cadre de cet artice ; mais idée sous-jacente est déjà essentieement suggérée par effet drastique de déocaisation par es interactions, que nous avons observé numériquement dans es systèmes bidimensionnes d éectrons non poarisés en spin 8 Refets de a Physique n 2

4 F,5,4,3,2, Expérimenta Expérimenta,5,4,3,2, Numérique Numérique Interaction Interaction r s r s Interaction Interaction r s r s 4. Comparaison des diagrammes de phase désordre/interaction obtenus expérimentaement (à gauche) et numériquement (à droite), pour e système bidimensionne d éectrons formé dans un Si-MOSFET. Les unités des axes des ordonnées et des abscisses sont respectivement es paramètres sans dimension de désordre (k F ) -/2 et d interaction r s (r s défini dans e texte, k F vecteur d onde des éectrons au niveau de Fermi et ibre parcours moyen d un éectron entre deux chocs éastiques, qui diminue quand e désordre augmente). Les régions en beu cair (où se situent es expériences des années 8) correspondent à une phase isoante et es régions en beu foncé (où se situent es expériences de Kravchenko 994) à un méta apparent. Dans e diagramme expérimenta, à chaque échantion de a ittérature correspond une droite, sur aquee on se dépace en variant a densité d éectrons (en modifiant a tension de grie). Les paramètres d interaction et de désordre diminuent quand on augmente a densité éectronique. Le caractère métaique ou isoant est donné par a dépendance en température de a résistivité du système. Désordre versus interactions dans affaire 4 du transport d éectrons Tant que es éectrons peuvent être vus comme de petites bies, a résistivité éectrique d un méta s expique correctement par a présence d impuretés (et, à température finie, de vibrations atomiques) déviant es éectrons de eur course à travers e réseau d atomes : pus es éectrons sont «baottés», pus a résistivité est éevée, mais is finissent toujours par passer. À très basse température, cette vision simpiste n est pus vaabe, car es éectrons se comportent aors aussi comme des ondes. Réféchies par e potentie de désordre dû aux impuretés, ces ondes peuvent interférer de manière destructrice de sorte que, finaement, es éectrons se retrouvent ocaisés dans une région finie de espace. L effet est particuièrement fort à une et deux dimensions où un petit désordre, même infinitésima, est suffisant à a ocaisation (aors qu en dimension trois, un désordre pus éevé est nécessaire). Ce phénomène quantique, connu sous e nom de ocaisation d Anderson [], expique comment e désordre peut empêcher a propagation du courant dans un matériau, en boquant ittéraement es éectrons. On doit sa découverte à Phiip Anderson, qui e suggéra en 958 et obtint pour cea e prix Nobe en 977. Mais histoire ne s arrête pas à! En effet, es interactions couombiennes, qui repoussent es éectrons (chargés négativement) es uns des autres, peuvent venir perturber action du désordre en brouiant a cohérence de phase des ondes, absoument nécessaire aux interférences dans e processus de ocaisation d Anderson. Désordre et interaction sont ainsi intimement mêés orsqu i s agit de discuter du transport éectronique à basse température. En pratique, importance des interactions dans e système caractérisée par e paramètre r s, rapport de énergie potentiee de Couomb sur énergie cinétique des éectrons peut être modifiée expérimentaement en variant a densité éectronique. Lorsque cee-ci est diminuée, e paramètre r s augmente (car si énergie couombienne diminue, énergie cinétique diminue encore pus vite). Ce faisant, c est aussi e désordre effectif vu par es éectrons qui est modifié, même si a quantité d impuretés dans e matériau est fixée au moment de son éaboration.,5,5,5,5 et en vaée (cerces beus de a figure 3). Sur a figure 4, nous comparons pour es Absence Absence Si-MOSFETs e diagramme de phase de donnéesde données désordre/interaction prédit numériquement d après ce mécanisme, à ceui obtenu expérimentaement. Manifestement, accord entre ces deux diagrammes est pus que bon, d autant qu i a été obtenu sans paramètre ajustabe. En particuier, nous prédisons des comportements métaiques au centre du diagramme, à désordre et interaction intermédiaires, exactement à où des comportements métaiques ont été observés expérimentaement. À faibe interaction, nous trouvons, à inverse, des comportements isoants, en accord avec es expériences. La région isoante, à fort désordre et forte interaction, échappe en revanche à notre description, en absence de données de cacu dans ce régime extrême. Le comportement à O K Les résutats présentés ci-dessus ne permettent toutefois pas de concure à a stabiisation d un vrai méta par es interactions, au sens strict de température nue. En effet, pour traiter proprement e probème théorique de température nue, i est nécessaire d extrapoer nos résutats à a imite thermodynamique, c est-à-dire à un système de taie infinie (4). Or, une anayse poussée de nos données en théorie d échee montre que a conductance de Thouess du système décroît inévitabement orsque ceui-ci est agrandi, que on prenne en compte ou non es interactions entre éectrons. Ainsi, même si a conductance du système est augmentée par es interactions, ee finit toujours par s annuer à a imite thermodynamique, si bien qu à température nue e système reste en fait rigoureusement isoant. Souignons-e, cette concusion seon aquee i ne peut exister de méta en dimension deux n est pas contradictoire avec es expériences où des comportements métaiques ont été observés. En effet, dans ces expériences, ce n est pas a imite théorique de température nue qui est exporée, mais une physique de beaucoup pus haute énergie, qui impique es états excités du système [7]. On comprend aors que effet de déocaisation par es interactions puisse suffire à observation d un méta apparent à ces température expérimentaes «éevées», bien qu i soit insuffisant pour stabiiser un vrai méta à K. 4Avancées de a recherche Refets de a Physique n 2 9

5 Bibiographie A. Lagendijk et a., Fifty years of Anderson ocaization, Physics Today 62 (29) P. A. Lee et T. V. Ramakrishnan, Disordered eectronic systems, Rev. Mod. Phys. 57 (985) S. V. Kravchenko et a., Phys. Rev. B 5 (994) E. Abrahams et a., Rev. Mod. Phys. 73 (2) G. Feury et X. Wainta, A numerica finite size scaing approach to many-body ocaization, Phys. Rev. Lett. (28) G. Feury et X. Wainta, Many-body ocaization study in ow-density eectron gases: Do metas exist in two dimensions? Phys. Rev. Lett. (28) G. Brunthaer et a., Phys. Rev. Lett. 87 (2) G. Feury et X. Wainta, Energy scae behind the metaic behaviors in ow-density Si-MOSFETs. Phys. Rev. B 8 (2) S. V. Kravchenko et a., Phys. Rev. B 5 (995) 738. Concusion À a question de existence de métaux à deux dimensions, nous apportons finaement une réponse nuancée. Nous affirmons qu i ne peut exister d état métaique en dimension deux au sens théorique de température nue, en accord avec e paradigme d Anderson ; ceci signifie que si on était capabe d abaisser davantage a température dans es expériences, a résistivité devrait finaement diverger. Toutefois, nous attribuons es comportements métaiques observés expérimentaement à température finie, non pas à un artefact expérimenta ou à un ingrédient ad hoc, mais à un effet intrinsèque des interactions éectronéectron. En déocaisant a fonction d onde éectronique, ces interactions favorisent e transport d éectrons, sans pour autant stabiiser une vraie phase métaique. z () L idée de cette théorie d échee est d étudier a conductance du système orsque on varie a taie de ceui-ci. I est ainsi possibe de déduire es propriétés de conduction du système de taie infinie. (2) Cette méthode permet de résoudre équation de Schrödinger à température nue dans espace bidimensionne (discrétisé et de taie finie, pour es besoins du numérique). Nous avons ainsi étudié des systèmes contenant typiquement une trentaine d éectrons dans un miier de sites. Les paramètres physiques réaistes du siicium ont été utiisés comme paramètres d entrée. (3) Lorsque e système bidimensionne est repié sur un tore et qu un fux magnétique e traverse en son centre, un courant d éectrons apparaît dans e système. La conductance de Thouess est e coefficient de proportionnaité qui reie e courant au fux qui ui a donné naissance (à bas fux). (4) Cea se comprend en remarquant que pus a température est basse dans e système, pus es ondes éectroniques gardent eur capacité d interférer entre ees sur une grande distance. C est à cette distance que correspond a ongueur de notre système dans nos simuations numériques. Refets de a Physique n 2