Les critères d'une bonne régulation

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1 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) Correcteur PID - Synthèse des Correcteurs - Synthèse du PID Générlités Performnces d'un SB non mximles toutes ensembles : Dilemmes. Exemple : Dilemme entre précision et stbilité Certins processus tolèrent des dépssements, d utres non Correction de l commnde à effectuer Les critères d'une bonne régultion Le second ordre dominnt H( p) Modèle du 2nd ordre fondmentl : Exemple : Processus du 5ème ordre (5 pôles) : p 2 2 H 2ξ + p + p ξ.7 p o ϕ Im p Pôles p o et p o * : sous-réponse pseudo-oscillnte (dominnte) Pôle p 2 : sous-réponse périodique Pôles p et p * : sous-réponse pseudo-oscillnte ξ.7 p 2 Re p Pôles p o et p o * dominnts p * p o * Amortissement: sin ϕ ξ Pôle p i * : complexe conjugué de p i Ce système du 5ème ordre peut être pproché pr un 2nd ordre dont les pôles sont les pôles dominnts du processus du 5ème ordre, soit p et p * TR 3.

2 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) Le lieu des pôles du système trduit s stbilité et s rpidité :. Re ( p ) grnde et Re ( ) < meilleures sont l stbilité et l rpidité i p i. Re ( p i ) fible et Re ( ) < système lent et peu stble (pôles dominnts) p i Structure des différents correcteurs. Correcteurs stndrds. Réglges ε C(p) u y c + - ε Correcteur C(p) u Processus H(p) y Le correcteur proportionnel K C ( p) K précision du SB mis stbilité. stbilité du SB mis précision Module du Gin de l BO (db) Point critique si (K > ) [ ) ( ) ] ( ) C ( p H p K H p [ C ( p) H ( p) ] K db + H ( p) db db [ C ( p) H ( p) ] db 2 log( K ) + 2 log [ H ( p) ] Phse de l BO ( ) Réglge de K précision sttique voule : Ex : position : ε p Loi de commnde : ut () Kε () t FT : U( p) C( p) K E( p) Y + KH TR 3. 2

3 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) Le correcteur à vnce de phse K + Tp ( > ) + Tp stbilité et rpidité du SB Avnce de phse mximum pour T Module du Gin de l BO (db) Point critique T Phse de l BO ( ) Réglge : On choisit d'bord (fixé pr l'vnce de phse mximum requise) puis T pour que ffectée pr cette vnce vérifie : T Loi de commnde : ut () K[() ε t + T&( ε t)] Tut &( ) FT : U( p) + Tp C( p) K E( p) + Tp Gin Correcteur à vnce de phse 2 db 5 db (échelle log.) Phse Correcteur à vnce de phse ϕ T T T 5 (échelle log.) - 45 TR (moyenne géométrique) Réponse en fréquence du correcteur à vnce de phse (K )

4 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) «Algorithme» de réglge L vnce de phse mxi ϕ Module du Gin de l BO (db) Arc sin + se produit à T Point critique ϕ T Phse de l BO ( ). On détermine l vnce de phse nécessire ceci impose ϕ Arc sin ceci détermine + 2. On choisit T pour que l zone de fréquences concernée pr l vnce de phse mxi se situe utour du point critique On lors On en déduit T T 3. On trce l BO Corrigée () vec K ( db) dns le pln de Blck puis on règle K tel que l tngente le contour de l bque de gin désiré, décrit pr l mortissement m voulu pour l BF et obtenu pr le fcteur de résonnce Q TR 3. 4

5 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) Le correcteur à retrd de phse K + Tp + btp ( b > ) précision du SB Retrd de phse mximum pour T b Module du Gin de l BO (db) Point critique Phse de l BO ( ) Réglge : K b, pour ne ps ffecter les fréquences de l BO > T Loi de commnde : ut () K[ ε() t + T&( ε t)] btut &( ) FT : U( p) + Tp C( p) K E( p) + btp Gin Correcteur à retrd de phse 2 db db b 5 db (échelle log.) 2 T Phse Correcteur à retrd de phse + 45 bt 2 (moyenne géométrique) b 5 (échelle log.) ϕ - 45 Réponse en fréquence du correcteur à retrd de phse (K b > ) TR 3. 5

6 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) «Algorithme» de réglge Le retrd de phse mxi ϕ se produit à Retrd de phse nul pour > b ( b choisi égl à ) Module du Gin de l BO (db) ϕ Point critique Phse de l BO ( ). On détermine d bord b : Soit H le gin sttique de l. Soit KH le gin sttique de l (gin sttique désiré correspondnt à une précision sttique requise) On 2logb K H H KH 2log 2log K db db H b Le gin K du correcteur est choisi égl à b fin que les fréquences > b ne soient ps ffectées. K 2. On détermine T tel que à b ne se produise plus de retrd de phse TR 3. 6

7 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) Le correcteur P.I.D précision, rpidité et stbilité du SB Loi de commnde : ut () Kpε() t + Ki ε( τ) dτ + Kd &( ε t) t ou encore : ut () K ε() t + ( ) d + Td &( t) T ε τ τ ε i t FT : U( p) + Tp i + TT i d p C( p) K + + Td p K E( p) Tp T p i i 2 Réponse fréquentielle du correcteur P.I.D. Gin Correcteur PID +2 db + db db Phse Correcteur PID 2 Ti T TT T i i i d (échelle log.) + 9 (échelle log.) (moyenne géométrique) Réponse en fréquence du P.I.D. (K ) TR 3. 7

8 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) «Algorithme» de réglge On pose : Ti T Aux pulstions < Aux pulstions > A l pulstion d T i T i : le gin est ccru - il y retrd de phse : le gin est réduit - il y vnce de phse T i : invrince du gin et de l phse : Pulstion de pivot : Ti TT i d Il y rottion du lieu de l BO rpport u pivot lors de l correction Le correcteur PID de gin K possède un point neutre N qui v servir de pivot, pour lequel : gin, phse de l gin, phse de l Module du Gin de l BO (db) Pivot N Point critique -9 Phse de l BO ( ) TR 3. 8

9 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL). On choisit l pulstion, pulstion du pivot. On fixe provisoirement le gin K à. 2. On fixe T d : on insi un seul prmètre de réglge : 4 ssure en générl un degré de liberté suffisnt de réglge (vleur usuelle) On prend T d Ti (vleur typique, quitte à juster près) 4 2 Ti Ti T i 2 3. On juste, près bsculement, le gin K pour que l BO corrigée () tngente le contour de l bque de Blck de gin désiré, décrit pr l mortissement m voulu pour l BF et obtenu pr le fcteur de résonnce Q. (L vec K ( db) été u prélble trcée dns le pln de Blck) TR 3. 9

10 Automtique - Représenttion Externe 3. Correction d un Système Asservi Linéire (SAL) Synthèse des correcteurs Synthèse dns le domine fréquentiel - Modèle du 2nd ordre fondmentl On pproche le SB pr un 2nd ordre fondmentl Hi ( ) db (BO) Réponse indicielle (BF) db H 2 y(t) y c y c + - ε Processus H(p) y π r 3 Arg[ H( i)] y t ) H y c ( 3 t r ε p t : prmètre de gin sttique 2 : prmètre Q db m Dépssement 3 : r t r TR 3.