Chapitre 3: le Théorème de Gauss. Plan et problèmes classés. 3. Principales applications au calcul du champ électrique par le théorème de Gauss.

Transcription

1 Chapite : le Théoème de Gauss Plan et poblèmes classés. Définition du flu du champ électique ene. Théoème de Gauss :. Pincipales applications au calcul du champ électique pa le théoème de Gauss.. Cas à symétie sphéique : Chage ponctuelle Sphèe pleine Sphèe ceuse (coquille sphéique) Plusieus sphèes concentiques Les sphèes sont soit conductices soit isolantes ecices et poblèmes : : 9 à, à, 8,, ; P:,, 6, 9.. Cas à symétie cylindique : Fil infini Cylinde plein infini. Cylinde ceu infini (coquille cylindique). Plusieus cylindes infinis coaiau. Les cylindes sont soit conducteus soit isolants ecices et poblèmes: : 7 à, 6; P: 5,.. Cas à symétie plane : Plan Plusieus plans Plaque Plusieus plaques Les plaques sont soit conductices soit isolantes ecices et poblèmes: :,, 5.. Champ électique dans les conducteus

2 Chapite - Le théoème de Gauss.. Flu du champ électique. Flu d un champ électique unifome à taves une suface.. Vecteu suface, vecteu nomale A b A b A a Figue Figue Même situation que la figue mais vue de côté Soit une suface, ici un ectangle, le vecteu suface est un vecteu pependiculaie à la suface et de module(ou gandeu) égale à l aie de la suface. A On appelle n le vecteu unitaie de l ae pependiculaie à la suface. A A n avec A=ab A emaque : Pou une suface ouvete comme le ectangle, on peut défini deu vecteus sufaces; la figue monte les deu possibilités de vecteus suface : A et A... Flu d un champ unifome à taves une suface plane(figues et ). A A cos L unité du flu est le N.m /C est donc le poduit scalaie ente le champ électique et le vecteu suface. est l angle ente le champ et le vecteu suface... Flu d un champ électique quelconque à taves une suface femée quelconque(figue ) Suface femée : toute suface dont on peut défini un éieu et etéieu. emple :boîte ectangulaie, sphèe, cylinde femé au deu etémités. Pou ce type de suface, on penda toujous un vecteu suface sotant. La figue epésente un champ électique quelconque dont on veut calcule le flu à taves une suface quelconque. Comme le champ n est pas unifome, on ne peut pas utilise diectement la fomule du champ unifome. On pocède en découpant la suface en petits éléments de suface tès petits(infinitésimau) da i. À taves ces sufaces da i tès petites d A on peut considée le champ comme unifome. Donc le flu d à taves la suface vaut : d da da cos N est le nombe total de petites sufaces Le flu total à taves la suface vaut : N d Comme N est tès gand, se calcule pa une égale. i i A i da i (N est tès gand et tend ves l infini) ()

3 La fomule () s écit sous la fome d une égale : d A N N da N d A Le symbole veut die que l égale est étendue à toute la suface femée. n généal l égale () est difficile à calcule sauf dans les cas suivants où elle est au contaie tès simple : cas (i) : si = 9 o, cos9 o =, donc l égale est nulle donc le flu est nul et ce même si le champ vaie de façon quelconque. cas (ii) : A si = o ou 8 o et que la gandeu du champ est constante su la suface. n effet, cos, donc Ca A B z C G da y I H emple de calcul de flu (eecice 6) : a b Face : IDHJ Face : BCGF Face : FGHJ Face : BIDC Face 5 : BIFJ Face 6 : CDGH 5 6 Le côté du cube vaut L donc chaque face a pou aie A=L. F J Figue D A da a bll o da cos da A L. Le champ est unifome su la face : pou L o da cos8 da A L al. a bl Le champ est unifome su la face : pou a

4 o da cos9. Dans ce cas, le champ n est pas unifome su la face mais l égale est nulle en aison de l oientation. Su les faces,5 et 6 le aisonnement est le même que pou la face : le flu est nul en aison de l angle de 9 o ante le champ et le vecteu suface. Donc bl. Théoème de Gauss Le flu du champ électique à taves une suface femée quelconque est égal à la chage contenue à l éieu de la suface femée divisée pa la constante k où k est la constante de Coulomb. On appelle la chage ene. La suface choisie pou calcule le flu s appelle suface de Gauss.. Applications du théoème de Gauss au calcul du champ électique.. Distibutions continues de chages à symétie sphéique. Le champ d une distibution à symétie sphéique possède lui-même la symétie sphéique. Choi de la suface de Gauss: une sphèe de ayon centée su le cente de distibution. Le champ sea toujous oienté selon le ayon de cette sphèe, entant pou une distibution négative, sotant pou une distibution positive. Distibutions sphéiques étudiées dans la théoie ou dans les poblèmes. Chage ponctuelle Sphèe pleine Isolantes ou Coquilles sphéiques. conductices Sphèes concentiques... Chage ponctuelle. (i)choi de la suface de Gauss : sphèe de ayon centée su la chage. (ii)dessin de la suface de Gauss et des vecteus et d A. (iii)calcul du flu à taves la suface de Gauss (en poillés) : Figue 5 d A d A d A Suface de Gauss Le champ a le même module su toute la suface, c est pouquoi on peut le soti de l égale. A est l aie de la suface de Gauss qui est ici une sphèe de ayon. (iv)calcul de la chage ene : ici c est un cas tivial : = (v)application du théoème de Gauss : d A

5 5 k Pou les cas à symétie adiale (sphéique et cylindique) le champ est toujous fonction de la distance. L eemple pécédent monte la méthode généale pou calcule le champ pa la méthode du théoème de Gauss... Sphèe isolante pleine. C est le P du live (chap.) Considéons une sphèe pleine isolante de ayon, de chage et de densité volumique de chage (unité :C/m ).Dans le cas pésent, Volume. On doit considée deu zones : > (etéieu)et < (éieu). Zone I : etéieu(>) : Les pos (i), (ii) et (iii) sont les mêmes d A Suface de Gauss d A que pou la chage ponctuelle, c est le même type de symétie (voi la figue 6). On a : (iv) la chage ene ; ici est la chage totale de la sphèe. (v) k On a ici un ésultat supenant : à l etéieu d une distibution sphéique, le champ est le même que celui d une chage ponctuelle égale à la chage totale de la distibution et située au cente de celle-ci. Analogie gavitationnelle :si le soleil était un tou noi (masse égale à celle de l étoile mais éduite à un po), son effet gavitationnel su les planètes seait le même, et donc la Tee ne subiait aucun changement dans son obite. Zone II : éieue (<) : Les pos (i) à (iii) sont les mêmes. La suface de Gauss est maenant à l éieu de la sphèe chagée. d A Figue 6 d A Figue 7 Suface de Gauss d A d A d A d A

6 (iv) : chage ene : V (v) : n emplaçant pa V V est le volume contenu à l éieu de la sphèe de Gauss k et on obtient k Gaphique qualitatif du champ en fonction de k k k = dans la zone II donne : emaques : (i)on voit que le champ est nul pou = et qu il coît avec jusqu à =. La coissance du champ n est possible qu à l éieu des distibutions de chages. À l etéieu, le champ décoît toujous avec la distance. (ii)le champ est continu à l eface ente deu zones. Ceci est toujous vai pou les isolants. n effet : k = dans la zone I donne : On vea que pou les conducteus le champ est discontinu au efaces.. Distibutions continues de chages à symétie cylindique. Le champ d une distibution à symétie cylindique possède lui-même la symétie cylindique. Choi de la suface de Gauss: un cylinde de ayon dont l ae de symétie est le même que celui de la distibution. Le champ sea toujous oienté selon le ayon de ce cylinde, entant pou une distibution négative, sotant pou une distibution positive. Distibutions cylindique étudiées dans la théoie ou dans les poblèmes. Fil infini Cylinde plein Coquille cylindique Cylindes coaiau Figue 8 Isolants ou conducteus 6

7 .. Fil infini de densité linéaie de chage (i),(ii) : suface de Gauss : cylinde de hauteu L (iii) Calcul du flu :Il faut calcule le flu en tois paties : base inféieue, base supéieue et suface latéale. Base inféieue : Su la base inféieue le champ n est pas unifome mais son flu est nul à cause de l angle. Base supéieue : idem : Suface latéale : L d A fil d A d A d A Figue : vue de côté Le champ a une gandeu constante su la suface latéale et l angle ente le champ et le vecteu suface est nul. La suface latéale du cylinde de Gauss vaut : L. (iv) chage ene : (v) Théoème de Gauss : A latéale l L L L k en emplaçant k fil d A Figue 9 :vue de haut d A d A d A 7

8 . Symétie plane Plan de densité > A d A = A d A A Figue Dans le cas d un plan chagé, on sait (chap. ) que le champ est unifome et pependiculaie au plan; la suface de Gauss est un cylinde pependiculaie au plan et de base A. Le flu latéal est nul à cause de l angle de 9 ente le champ et le vecteu suface. On a : A Théoème de Gauss : A ou en emplaçant, k k Autes cas à symétie plane: plusieus plans, une plaque, plusieus plaques. Dans ces cas, le théoème de Gauss ne pemet pas de solution complète; on utilisea alos le pincipe de supeposition.. Champ électique dans les conducteus à l équilibe électostatique. uate popiétés: (i) Le champ électique est nul à l éieu d un conducteu à l équilibe électostatique. (ii) La chage nette est nulle à l éieu d un conducteu à l équilibe électostatique. (iii) La chage nette est en suface seulement. (iv) Le champ est pependiculaie à la suface d un conducteu et 8

9 Démonstation des popiétés. Figue conducteu (i) les chages de polaisation positives et négatives sont induites pa le champ. Des électons s accumulent su la face gauche du conducteu; il este des ions positifs su la face de doite. Ces chages induites poduisent à leu tou un champ électique qui est opposé à. Comme les chages s accumulent de plus en plus, est de plus en plus gand et devient obligatoiement égal à.le champ total à l éieu du conducteu est alos nul ca =. Le mouvement des chages de polaisation s aête à ce moment et l équilibe électostatique est atte. Donc, on a bien à l éieu d un conducteu à l équilibe électostatique. (ii) Figue La figue epésente un conducteu à l équilibe électostatique: une suface de Gauss a été dessinée tès poche de la suface du conducteu. Comme le champ est nul dans le conducteu, alos le flu est nul aussi et donc la chage nette est nulle aussi(théoème de Gauss). (iii) Si les chages sont eclues de l éieu, elles sont efoulées à la suface du conducteu. 9

10 Figue Conducteu (iv)supposons que le champ ne soit pas pependiculaie à la suface; il eiste alos une composante qui est paallèle à la suface; ce champ entaîne des électons du côté gauche de la suface et laisse des ions positifs à doite. Ces chages de polaisation poduisent un champ qui s oppose à. apidement, les chages de polaisation augmentant, devient égal à en valeu absolue;à ce moment, le champ total paallèle à la suface est nul, les chages de polaisation aêtent de s accumule et l équilibe électostatique est atte. Seul subsiste. Donc, à l équilibe électostatique, le champ est pependiculaie à la suface d un conducteu. Calcul du champ à la suface d un conducteu : Densité supeficielle Conducteu A A d A Figue basesup A baseinf le champ est nul dans le conducteu. latéal le champ est pependiculaie au vecteu suface. Théoème de Gauss : A A Donc :