Unité 4: Logique combinatoire

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1 Ojectifs : À l fin de cette unité, vous comprendrez le fonctionnement des principux éléments d'un ordinteur : décleur, dditionneur, unité logique et rithmétique. Pour y rriver, vous devrez voir tteint les ojectifs suivnts : - décrire le fonctionnement et les propriétés des portes logiques, de circuits comintoires simples tels que le décodeur, le multiplexeur et le démultiplexeur; - utiliser les théorèmes et les identités de l'lgère de Boole pour synthétiser un circuit à prtir de s tle de vérité et simplifier le résultt otenu. Pierre Mrchnd, Digitl Works Pour mieux profiter des unités 4 à 6, nous vous encourgeons à utiliser le logiciel Digitl Works, disponile grtuitement à l dresse : Le logiciel est églement disponile dns les lortoires 3910 et Ce logiciel permet non seulement de dessiner les circuits, mis églement de les fire fonctionner. Vous trouverez sur le site du cours à l pge : des fichiers implntnt prtiquement tous les circuits du cours insi que quelques utres. Pierre Mrchnd,

2 5.1 Notion de circuit logique Fonctions logiques Une fonction logique est une fonction qui git sur une ou plusieurs vriles logiques. Une vrile logique est une vrile qui peut prendre l une de deux vleurs : vri ou fux, 1 ou 0. Pierre Mrchnd, Notion de circuits logiques Les circuits logiques sont des circuits électroniques servnt à effectuer physiquement des fonctions logiques. Circuits comintoires Les signux de sortie ne dépendent que des signux d entrée présents. Circuits séquentiels Circuits dns lesquels les signux de sortie dépendent des signux d entrée ppliqués ntérieurement en plus des signux d entrée présents. Pierre Mrchnd,

3 5.2 Circuits comintoires Algère ooléenne Georges Boole, en 1847, défini une lgère qui s pplique à des fonctions logiques de vriles logiques. Nous verrons que toute fonction logique peut être rélisée à l ide d un petit nomre de fonctions logiques de se ussi ppelées opérteurs logiques ou portes (gtes). L fonction logique d un circuit comintoire peut se définir pr le tleu de correspondnce entre les étts d entrée et les étts de sortie. Un tel tleu est ppelé tle de vérité. Pierre Mrchnd, Algère ooléenne L tle de vérité d une fonction de n vriles utnt de lignes que d étts d entrée possiles, soit 2 n. Pour chcun de ces étts, l sortie peut prendre l vleur 0 ou 1. Donc, pour n vriles, on 2 2n fonctions possiles. Pierre Mrchnd,

4 5.2.2 Fonctions d une vrile oit une vrile logique. On qutre fonctions possiles : Z 0 Z 1 Z 2 Z Z 0 = 0 : constnte Z 1 = : identité Z 2 = : complément Z 3 = 1 : constnte L seule fonction non trivile est le complément, qu on rélise u moyen de l opérteur NON ou inverseur Z =. Pierre Mrchnd, Fonctions d une vrile L opérteur NON ou inverseur Tle de vérité : Pierre Mrchnd,

5 5.2.3 Fonctions de deux vriles Il y 16 fonctions possiles de deux vriles F 0 = 0 Constnte F 1 =. Fonction ET F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6 = Fonction XOR F 7 = + Fonction OU Pierre Mrchnd, Fonctions de deux vriles F 8 = + =. Fonction NOR F 9 = Fonction églité F 10 = F 11 = F 12 = F 13 = F 14 =. = + Fonction NAND F 15 = 1 Constnte 1 Pierre Mrchnd,

6 5.2.3 Fonctions de deux vriles Fonction ET (AND) ET. Tle de vérité Pierre Mrchnd, Fonctions de deux vriles Fonction OU (OR) OU + Tle de vérité Pierre Mrchnd,

7 5.2.3 Fonctions de deux vriles Appliction. Msquge d un registre : Avec des portes ET, on peut mettre des its à 0 de fçon sélective. Avec des portes OU, on pourrit mettre des its à 1 de fçon sélective. Pierre Mrchnd, Registre Msque Fonctions de deux vriles On peut générliser les fonctions logiques à trois vriles ou dvntge : c..c c ++c Pierre Mrchnd,

8 5.2.3 Fonctions de deux vriles Théorèmes fondmentux de l lgère de Boole Identités + 0 =. 0 = = 1. 1 = Commuttivité + = +. =. Distriutivité +(.c) = (+).(+c).(+c) =. +.c Associtivité +(+c) = (+)+c = ++c.(.c) = (.).c =..c Idempotence + =. = Complémenttion + = 1. = 0 De Morgn. = + + =. Autres = Asorption + (. ) =.( + ) = + (. ) = + ( + ).( + ) = Pierre Mrchnd, Fonctions de deux vriles L fonction XOR (OU-exclusif ou OU-disjonctif) ou fonction inéglité Tle de vérité Pierre Mrchnd,

9 5.2.3 Fonctions de deux vriles L fonction XOR. Propriétés : =. +. = = = 0 1 = = 1 = ( ) c = ( c) Rélistion : Pierre Mrchnd, Fonctions de deux vriles Minterm Un minterm est le produit logique de toutes les vriles d entrée pprissnt chcune sous l forme vrie (si l vrile vut 1) ou sous l forme complémentée (si l vrile vut 0). Ainsi, dns l tle de vérité suivnte, il y qutre minterms : Pierre Mrchnd,

10 5.2.3 Fonctions de deux vriles Mxterm Un mxterm est l somme logique de toutes les vriles d entrée pprissnt chcune sous l forme vrie (si l vrile vut 0) ou sous l forme complémentée (si l vrile vut 1). Ainsi, dns l tle de vérité suivnte, il y qutre mxterms : Pierre Mrchnd, Fonctions de deux vriles Théorème Un circuit logique peut être représenté pr l somme logique de tous les minterms pour lesquels l sortie est 1 ou pr le produit logique de tous les mxterms pour lesquels l sortie est 0. Exemple : Le XOR peut être exprimé pr =. +. ou = ( + ).( + ) Pierre Mrchnd,

11 5.2.3 Fonctions de deux vriles Les fonctions NAND et NOR Le théorème précédent montre que tout circuit logique peut être rélisé vec trois types de portes : ET, OU et NON. On peut ussi les réliser vec un seul type de porte si on utilise les portes complètes NAND ou NOR. NAND NOR Pierre Mrchnd, Fonctions de deux vriles Les fonctions NAND et NOR En effet :. =. = + et + = + =. = = Aussi, puisque. = et + = = = Pierre Mrchnd,

12 5.2.4 ynthèse d un circuit comintoire Pour effectuer l synthèse d un circuit comintoire, on prt de s tle de vérité. On en extrit les minterms des vleurs pour lesquelles l fonction est vrie (1) et on rélise cette fonction en fisnt l somme logique de ces minterms, ou encore, on en extrit les mxterms des vleurs pour lesquelles l fonction est fusse (0) et on rélise cette fonction en fisnt le produit logique de ces mxterms. Cette rélistion n est ps toujours optimle. On ur donc l pluprt du temps à simplifier les expressions u moyen de l lgère ooléenne. Pierre Mrchnd, ynthèse d un circuit comintoire Exemple : soit l tle de vérité suivnte : c f minterms c c c c f =..c +..c +..c +..c Pierre Mrchnd,

13 5.2.4 ynthèse d un circuit comintoire implifiction f = ( + )..c +..(c + c) =.c +. Circuit c f Pierre Mrchnd, ynthèse d un circuit comintoire implifiction L simplifiction des équtions logiques u moyen de l lgère ooléenne n est ps toujours simple, et on ne sit ps toujours si on tteint une solution optimle. Les tles de Krnugh permettent de systémtiser ce processus. Pierre Mrchnd,

14 5.2.4 ynthèse d un circuit comintoire Tles de Krnugh c f c c Donc f =. +.c Pierre Mrchnd, ynthèse d un circuit comintoire Chque oucle doit être rectngulire et doit contenir le mximum possile de 1 qui soit une puissnce de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, etc. et ne contenir ucun 0. L oucle est crctérisée pr les cominisons qui sont vries pour tous les éléments de l oucle. Les recouvrements sont possiles. c c Pierre Mrchnd, cd c.d.d..c 14

15 5.2.4 ynthèse d un circuit comintoire Les oucles peuvent «fire le tour» de l tle c f c c Donc f =.c Pierre Mrchnd, ynthèse d un circuit comintoire Les oucles peuvent «fire le tour» de l tle cd d cd d.d Pierre Mrchnd,

16 5.2.4 ynthèse d un circuit comintoire Étts indifférents Dns certins cs, l sortie pour un étt d entrée donné est indifférente, soit prce que cet étt d entrée ne peut jmis se produire, soit prce que l sortie correspondnte ne nous intéresse ps. On inscrit lors un x dns l tle de Krnugh. On peut s en servir pour minimiser le circuit comme si c étient des 1. cd x x x 10 x 0 1 x. +.c u lieu de..c.d +..c.d Pierre Mrchnd, ynthèse d un circuit comintoire ynthèse d un demi-dditionneur inire Tle de vérité du demi-dditionneur (qui ne tient ps compte d une retenue ntérieure) R R = =. +. = R Pierre Mrchnd,

17 5.2.4 ynthèse d un circuit comintoire ynthèse d un dditionneur inire de 1 it Tle de vérité de l dditionneur 1 it R R R =..R +..R +..R +..R =..R +..R +..R +..R On simplifie : R = (. +.).R R = ( ).R = (. +.).R + (. +.).R = ( ).R + ( ).R = ( ) R Pierre Mrchnd, R ynthèse d un circuit comintoire ynthèse d un dditionneur inire Rélistion u moyen de 2 demi-dditionneurs R. R R ( )R R Rélistion complète d un dditionneur 1 it R R ( )R Pierre Mrchnd, R 17

18 5.2.4 ynthèse d un circuit comintoire Additionneur à plusieurs its A 3 B 3 A 2 B 2 A 1 B 1 A 0 B 0 0 Additionneur 1 it R R R R R R R R Pierre Mrchnd, ynthèse d un circuit comintoire Additionneur/soustrcteur 4 its 1 = soustrction 0 = ddition B 3 B 2 B 1 B 0 A 3 A 2 A 1 A 0 Additionneur 1 it R R R R R R R R Pierre Mrchnd,

19 5.2.6 Multiplexeurs et démultiplexeurs Démultiplexeur 4 its ou 1 vers 4 Ce circuit est utile pour choisir l destintion d un signl. x..x..x..x..x Pierre Mrchnd, Multiplexeurs et démultiplexeurs Multiplexeur 2 its ou 2 vers 1 Ce circuit est utile pour choisir l source d un signl... z z =. +. Pierre Mrchnd,

20 5.2.6 Multiplexeurs et démultiplexeurs Multiplexeur 4 its ou 4 vers 1 x 0..x 0 x 1 x 2..x 1..x 2 z x 3..x 3 Pierre Mrchnd, Multiplexeurs et démultiplexeurs Décleur de 1 it vers l guche D 7 D 6 D 6 D 5 D 5 D 4 D 4 D 3 D 3 D 2 D 1 D 2 D 0 D 1 D 0 0 C z z z z z z z z Pierre Mrchnd,

21 5.2.6 Multiplexeurs et démultiplexeurs Décleur à rillet D 0 -D 31 Décleur 1 it Décleur 2 its Décleur 4 its Décleur 8 its N. de déclges Registre de commnde Pierre Mrchnd, Multiplexeurs et démultiplexeurs Utilistion d un multiplexeur pour réliser n importe quelle fonction logique. Exemple : Tle de vérité c f c 0 1 c 0 1 MUX 2 3 f Pierre Mrchnd,

22 5.2.7 Décodeurs, codeurs, trnscodeurs Codeur : code en inire le numéro de l ligne ctivée Pierre Mrchnd, Décodeurs, codeurs, trnscodeurs Décodeur 3 vers 8 Une seule sortie à l fois est 0 et est choisie pr le code c...c = c c Pierre Mrchnd,

23 5.2.7 Décodeurs, codeurs, trnscodeurs Trnscodeur BCD-excédent-3 Tle de vérité: A B CD X Y Z T I A B CD X Y Z T I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 Pierre Mrchnd, Décodeurs, codeurs, trnscodeurs Trnscodeur BCD-excédent-3 CD CD CD x x x x x x T AB AB AB x x x x x x Z x x x x x x Y CD CD AB AB x x x x x x X I T = D Z = CD + CD = C D Y = BCD+BC +BD X = A + BC +BD I = AB + AC Pierre Mrchnd,

24 UAL élémentire A B A.B A+B B Unité logique ortie R F 0 F 1 A B Décodeur 2-4 Unité de commnde A B R R Additionneur Unité rithmétique R Pierre Mrchnd, Logique à trois étts Il fut souvent ppliquer à un même fil l sortie de l une ou l utre d un ensemle de sorties. Pour éviter l interférence entre les différents circuits, pr exemple une sortie qui tenterit d ppliquer 1 à une ligne lors qu une utre sortie tenterit d y ppliquer 0, on utilise l logique trois étts, dns lquelle l sortie peut être 0, 1, ou hute impédnce (comme si elle n étt ps connectée). On joute une entrée Output Enle (OE) à chque circuit et on n en ctive qu un à l fois. = OE OE Pierre Mrchnd,

25 Logique progrmmle Les circuits de logique progrmmle PLA (Progrmmle Logic Arry), PLD (Progrmmle Logic Devices), EPLD (Ersele PLD), etc. sont sés sur le fit que toute fonction logique peut être exprimée comme une somme de minterms. Le circuit contient un réseu de portes logiques ET à n vriles, et un réseu de portes logiques OU, suivi, le cs échént, d une couche de istles. Des ppreils spécilisés permettent l progrmmtion du réseu. Pierre Mrchnd, Logique progrmmle comintoire I 1 I 2 I n Les jonctions en rouge sont éliminées (rûlées) sélectivement lors de l progrmmtion. F 0 F 0 F 1 F 1 F 2 F 2 Pierre Mrchnd,

26 Logique vec ROM Il est possile de réliser des circuits logiques u moyen de mémoires ROM (Red-Only Memory). Aucune simplifiction n est nécessire. Les entrées de l tle de vérité servent d dresse dns l ROM et le contenu de chque dresse est l sortie désirée pour cette cominison de vriles d entrée, l sortie pouvnt voir un ou plusieurs its. Pierre Mrchnd, Logique vec ROM Exemple : trnscodeur inire à code Gry Tle de vérité ABCD EFGH ABCD EFGH A B C D ROM 16 x 4 E F G H Pierre Mrchnd,

27 Technologie des semiconducteurs Trnsistors Trnsistors ipolires NPN C PNP C + - B B E E Trnsistors unipolires (à effet de chmp) n-chnnel D + p-chnnel D - G G Pierre Mrchnd, MOFET ou MO, CMO Technologie des semiconducteurs Inverseur TTL Inverseur CMO +5 V +5 V à +15 V 5 kω entrée 10 kω sortie entrée sortie Pierre Mrchnd,

28 Unités 4 et 5 : Logique comintoire Technologie des semiconducteurs NAND TTL NOR CMO +5 V +5 V A +5 V à +15 V A B A.B B sortie Pierre Mrchnd,