PUZZLE QI.BLOCK 3

Transcription

1 PUZZLE QI.BLOCK Ce puzzle est édité sus le nm de "I-Q- BLOCK" par l'éditeur (anglais?) "HERCULES". Lrs d'un échange sclaire en Allemagne, il a été dnné en cadeau publicitaire à un élève meusien, et celui-ci l'a ffert à sn prfesseur de mathématiques amateur de casse-tête. Les membres du grupe "JEUX" de l'a.p.m.e.p. s'y snt intéressé et nt écrit dans la brchure "JEUX 5" des activités l'utilisant en curs de mathématiques. Depuis d'autres pistes de recherche snt apparues: Le créateur du jeu annnce plus de 60 façns différentes pur btenir un carré 8x8 avec les 10 pièces. Au cllège "La Plante Gribe" de Pagny sur Mselle, les membres du club mathématique nt recherché les rectangles qui puvaient être réalisés en utilisant 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 u 9 pièces. De sn côté, Claude Pagan (La Seyne sur Mer) a recherché des rectangles cnstruits avec les 10 pièces. Il devenait tentant de créer ce que nus avns appelé des «QI-Textes», en référence aux «Pentatextes» créés avec les duze Pentamins. Par ailleurs, il s est également intéressé aux rectangles dnt une dimensin est 8, réalisés avec certaines des pièces du jeu.

2 Le chapitre qui suit a été écrit par Richard Chéry lrsqu il enseignait au Cllège «La Plante Gribé» à Pagny sur Mselle. L ancien site de la réginale Lrraine n étant plus actif, les dcuments évqués par l auteur fnt partie de ce dcument, en particulier la présentatin du jeu nmmée «annexe 1» dans les pages qui suivent. Le puzzle Q.I. BLOCK (annexe 1) Je suhaite ici présenter quelques activités cmplémentaires à celles prpsées dans la brchure «JEUX 5» de l APMEP, activités que j ai prpsées aux élèves de mn cllège dans deux cadres différents : - club «Jeux mathématiques» (année sclaire ) avec des élèves de sixième et cinquième. - RAN : remise à niveau en mathématiques (année sclaire ) avec des élèves de sixième. On peut cnsulter, à prps du puzzle Q.I. BLOCK, le site de la Réginale (rubrique «Le cin Jeux»), ù ce travail est rapidement décrit, ainsi qu une autre piste d explitatin des pièces (cnstructin des pièces avec des cubes unité). Les activités que je prpse reprennent quelques idées déjà explitées autur des Pentamins (n purra lire à cet effet la récente brchure «D autres bjets mathématiques» de l APMEP Lrraine), les idées étant tutefis adaptées à la nature des pièces de ce puzzle. Bien sûr, le travail en RAN était beaucup plus cadré que celui du club ; en club, les élèves, tus vlntaires, réagissent avec décntractin, ils se sentent libres d échanger sur le cntenu des activités (u même parfis sur bien d autres sujets nn sclaires ). Mais cela fait partie d un cntrat implicite entre eux et mi. Partie I : la mise en rute Je mntre sur un transparent le puzzle (tel qu il apparaît à l annexe 1) et je le furnis aux élèves sur du bristl (n peut aussi le faire tracer). Après décupage, les élèves essaient de refaire le carré de départ pas si simple, même pur ceux qui se suviennent bien du puzzle cmplet vu au départ. Je ne dis rien de tut cela, les élèves cherchent librement, patiemment pur presque tus. Certains s énervent déjà : «j aime pas les puzzles». Partie II : cnslidatin des ntins d aire et de périmètre (uniquement en RAN) Je demande aux élèves de déterminer le périmètre et l aire de chaque pièce (l unité de lngueur étant le côté d un carré, l unité d aire l aire d un petit carré). Ce travail est quelque peu studieux, mais ces deux ntins snt fndamentales en classe de sixième ; les élèves dnt j avais la charge en RAN avaient, et nt tujurs d ailleurs, des difficultés en mathématiques. Je me devais dnc de les faire retravailler sur ces ntins, et ce supprt pédaggique me paraît tut à fait adapté à ce type de travail.

3 Par cntre, les élèves du club, suvent plus à l aise dans la matière, auraient je pense mal accepté ce travail trp répétitif pur eux. Je les en ai dnc dispensés, d autant que la suite leur a permis de réinvestir ces ntins Partie III : recherche de petits rectangles Cmme il est relativement difficile de refaire le carré, même en l ayant vu au départ de l activité, et très difficile si n ne l a pas vu initialement, j ai demandé aux élèves de frmer des rectangles avec quelques pièces du puzzle. L idée est la suivante : si un jeu, un puzzle, est trp difficile pur les élèves, n essaie d en extraire un mrceau pur qu il sit d abrd accessible par tus, et que l n puisse ensuite augmenter la difficulté. Je précise dnc la cnsigne : «Prendre un nmbre crissant de pièces pur frmer des rectangles.» Les élèves cherchent en autnmie, truvent vite un premier rectangle (frmé d une seule pièce), puis des rectangles avec deux, tris pièces u plus. Ils snt tus, même le plus faible des sixièmes en RAN, en situatin de travail mathématique (qui n est pas que du jeu ). Tus nt truvé en une demi-heure envirn au mins 3 u 4 rectangles. Je fais en fin de séance circuler un tableau pur cllecter les slutins truvées par les élèves (vir annexe 2, sans les deux dernières clnnes du tableau). Au début de la séance suivante, je rednne aux élèves ce même tableau (avec les deux dernières clnnes : aire du rectangle périmètre du rectangle), dans lequel j ai rdnné tutes les slutins que m nt dnnées les élèves précédemment (par rdre crissant du nmbre de pièces). Les élèves retruvent alrs leurs slutins (et snt par là même cntents de la prise en cmpte de leur précédente recherche). Ils calculent alrs l aire et le périmètre de chaque rectangle. Ce travail n est à faire en club que seln l envie des élèves, disns que seuls quelques exemples suffisent. Ensuite, je mntre aux élèves que l n peut juxtapser de «petits» rectangles pur en frmer de plus grands. Deux exemples : - un rectangle 2 pièces (n 2 et 8) de dimensins 3 4 et un rectangle 3 pièces (n 3, 4, 6) de dimensins 4 4 se juxtapsent pur frmer un rectangle 5 pièces de dimensins 4 7 (premier exemple truvé en RAN) - un rectangle 2 pièces (n 8 et 9) de dimensins 2 5 et un rectangle 3 pièces (n 2, 4, 7) de dimensins 4 5 se juxtapsent pur frmer un rectangle 5 pièces de dimensins 5 6 (deuxième exemple truvé en club) Je demande dnc aux élèves de rechercher, à partir des slutins truvées à la première séance, d autres rectangles plus grands, btenus par juxtapsitin. Quelques remarques : - Il me semble particulièrement imprtant de baser ce travail sur les slutins truvées par les élèves lrs de la première séance. Ils apprécient frtement la cnsidératin que je leur dnne en ntant leurs slutins pur tut le grupe, c est un myen frt de les valriser et quelques élèves en difficulté en nt bien besin. Cela apprte aussi une dynamique de grupe («j ai classé les slutins truvées par tut le grupe pur cntinuer ntre travail»).

4 - Il existe de très nmbreux assemblages pssibles de pièces pur frmer des rectangles, d ù l intérêt d un tel travail avec les élèves. Mes listes ne snt sûrement pas exhaustives, disns simplement que mes élèves du club nt truvé 20 rectangles différents la première séance, mes élèves en RAN en nt truvé 25 (et la liste s est encre allngée par la suite). Il ne me semble pas pertinent de dnner ici ces slutins, à chacun (élève, enseignant u autre) de se lancer dans la manipulatin des pièces. - Cmme je l ai déjà dit, même les plus faibles d entre eux truvent des rectangles, peuvent nter leurs slutins En Remise à Niveau, il peut être imprtant de remettre les élèves en situatin de réussite, qu ils puissent parfis, même si ce n est que pnctuellement, retruver un peu de cnfiance en eux. Partie IV : recherche de rectangles frmés avec 9 pièces (annexe 3) Les élèves nt vite réalisé, avec le travail précédent, qu il est bien plus difficile de frmer des rectangles avec un «grand» nmbre de pièces qu avec peu de pièces. Je leur prpse de chercher des rectangles avec 9 pièces, mais de façn «réfléchie» : n peut prévir, avant tute manipulatin, que certains assemblages sernt impssibles. Il ne sera dnc utile de ne rechercher que ceux que l n pense pssibles. L existence d un rectangle n est pas démntrée avec cette fiche, c est seulement la nn existence de certains que l n démntre. Cela n enlève dnc rien à la manipulatin On remarquera : - La présence du nmbre premier 59, d ù l impssibilité de faire un rectangle de 9 pièces en ayant enlevé la pièce 3 u la pièce 4 (c est peut-être une ccasin de définir ces nmbres avec les élèves). - L impssibilité de frmer un rectangle ayant enlevé la pièce 6 u la pièce 9, car 58 = 1 58 (cas évqué ci-dessus) et 58 = 2 29, mais les pièces restantes ne peuvent se ranger dans une bîte de largeur 2. - Il existe (au mins) deux slutins d aire 57, 57 = 3 19 (pièce 7 u pièce 10 enlevée), une slutin qui s btient cmme juxtapsitin de 2 rectangles (pièce 7 enlevée) et une slutin qui s btient cmme juxtapsitin de 3 rectangles (pièce 10 enlevée). - Plusieurs slutins nt été truvées avec la pièce 8 enlevée (60 se décmpse de plusieurs manières ), par exemple 3 rectangles différents de largeur 5 et lngueur 12 (d autres encre ). - Il existe de même plusieurs rectangles de dimensins différentes avec les pièces 1 u 2 u 5 enlevées («u» deux fis exclusif). Je reprendrai simplement en cnclusin quelques prps déjà évqués plus haut : - Ce travail m a attiré par le fait que manipulatin et réflexin snt cmplémentaires ; si n démntre qu n ne peut pas frmer tel rectangle avec 9 pièces (u pur un autre nmbre de pièces) avec la smme des aires des pièces chisies, n ne démntre pas pur autant qu un rectangle peut-être «faisable» existe réellement sans l avir fait. - Il a aussi particulièrement intéressé les élèves par sn aspect ludique, mais je ne cacherai pas que parfis la recherche de la décmpsitin d un nmbre cmme prduit de facteurs fut lngue Les élèves nt bien du mal a accepté le travail «intellectuel» après la manipulatin des pièces.

5 - Ils ressentent aussi tut l intérêt de n avir pas besin de chercher un rectangle dnné de 9 pièces pur ceux dnt n peut démntrer la nn existence. Certes ils n y auraient pas pensé seuls Annexe 1 Le puzzle QI Blck sur le site de la réginale rubrique «le cin Jeux» (Le dcument cité crrespnd Annexe 2 Nmbre de pièces Numér des pièces Dimensins du rectangle Aire du rectangle Périmètre du rectangle Annexe 3 : slutins pssibles de rectangles avec 9 pièces Aire ttale des 10 pièces : 64 unités d aire (répnse à faire cmpléter par les élèves) Numér de la pièce enlevée Aire restante Dimensin(s) du(des) rectangle(s) que l n peut éventuellement frmer ; ; ; 3 20 ; 4 15 ; 5 12 ;

6 Q-I BLOCK : LES RECTANGLES DE CLAUDE PAGANO Avec les dix pièces du jeu, il est pssible de réaliser un rectangle Vici un certain nmbre de slutins truvées par Claude Pagan (La Seyne sur Mer). En faisant pivter ces slutins (ce sera plus facile d y écrire des phrases) et en les redessinant de manière éclatée, nus btiendrns des grilles de cnstructin de futurs QI-Textes, cmme celles figurant dans ce dssier.

7 POUR CONSTRUIRE UN "QI-TEXTES" Avec les dix pièces du puzzle QI-Blck, il est pssible de réaliser un rectangle Vici une slutin prpsée par Claude Pagan (La Seyne-sur-Mer). En écrivant une lettre par case, nus puvns y placer une phrase. Il reste à replacer les lettres dans la slutin "éclatée" dessinée ci-dessus. Le jeu est prêt à être prpsé à d'autres.

8 QI-TEXTES (1) Pur chaque jeu, les dix pièces snt à décuper et à assembler pur frmer un rectangle. Lrsque le rectangle est recnstitué, une phrase apparaît. N C U A E E M E M E T R E E A L O Q E S C T U E U R U S Q U N N G R E S T S C O T A R R E U I D E A N G L A P P R R E L E C H I S E I V E R B E E S (P R O O I N S) P L U G E N E N V L E L ' S N E M A I T D E M N O I

9 QI-TEXTES Pur chaque jeu, les dix pièces snt à décuper et à assembler pur frmer un rectangle. Lrsque le rectangle est recnstitué, une phrase apparaît. E F A U T U R. I I N A R T T A D E L A R I C O E R T D E N A P O P L I F O N (J N E S I R T R I N E L E N O P M B R E X R R E E T S R E S P A U N N O L I R D E D E U C A I A I R M B P A S G A N ' E S A M

10 PUZZLE QI-BLOCK : DES RECTANGLES DONT UNE DIMENSION EST 8 Les rectangles ci-dessus nt été truvés par Claude Pagan (La Seyne-sur-Mer). La recherche des sixante-quatre carrés 8 8 annncés par le créateur du jeu n est pas abrdée ici et seuls figurent dnc des rectangles nn carrés.

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12 Au cllège "Les Avrils" de Saint-Mihiel, les élèves du Club Mathématique nt dnné de l'épaisseur aux pièces. Les pièces ne crrespndent plus à un ttal de 64 carrés unitaires mais à un ttal de 64 cubes unitaires (ci jint deux fiches d'utilisatin en classe des dessins des pièces). Cependant les pièces «7» u «10» empêchent la réalisatin d'un cube En utilisant 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 u 9 pièces est-il pssible de réaliser des parallélépipèdes? Les élèves de Pagny sur Mselle nt cmmencé la recherche pur les parallélépipèdes de hauteur 1, les pièces 2, 3, 5, 6 et 8 permettent la réalisatin d'un parallélépipède Existe-il d'autres slutins? Claude Pagan a quant à lui cmmencé la recherche de parallélépipèdes réalisés avec les dix pièces.

13 LES PIÈCES DU PUZZLE "QI BLOCK" PIVOTENT (1) Vici une des pièces du jeu. Je l'ai fait pivter le lng de la drite en pintillés et je l'ai redessinée. Ci-dessus, j'ai dessiné les autres pièces du jeu. En utilisant les carreaux de tn quadrillage, dessine les autres pièces lrsqu'elles aurnt pivté autur de la drite en pintillés. Le dessin d'un petit cube sera

14 LES PIÈCES DU PUZZLE "QI BLOCK" PIVOTENT (2) Vici une des pièces du jeu. Je l'ai fait pivter le lng de la drite en pintillés et je l'ai redessinée. Ci-dessus, j'ai dessiné les autres pièces du jeu. En utilisant les carreaux de tn quadrillage, dessine les autres pièces lrsqu'elles aurnt pivté autur de la drite en pintillés. Le dessin d'un petit cube sera

15 QI-BLOCK ET PARALLELEPIPEDES En cnstruisant le jeu avec des cubes acclés par une face entière (au lieu de carrés acclés par un côté entier), nus btenns un nuveau jeu permettant d envisager la réalisatin de parallélépipèdes. Vici ce qu a truvé Claude Pagan (La Seyne sur Mer) cmme slutins pur un parallélépipède Les dessins représentent les deux «cuches» de cubes, les indiquent les endrits ù les pièces se prlngent vers le bas et les indiquent les endrits ù les pièces se prlngent vers le haut.

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