TD: Ondes électromagnétiques stationnaires

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1 TD: Ondes életromgnétiques sttionnires 1 Position du prolème On onsidère une vité prllélépipèdique, de ôtés,, à prois prfitement ondutries Dns ette vité règne un hmp életromgnétique ( E, B) sinusoïdl, de fréquene ν et de pulstion ω Un repère Oxyz est lié à ette vité, O étnt un sommet du prllélépipède, le sommet opposé ynt les oordonnées x =, y =, z = 1 Rppeler l éqution vérifiée pr le hmp E seul Rppeler les onditions que doivent vérifier E et B sur les prois, supposées prfitement ondutries 3 On montre pr le théorème de Fourier, que toute onde életromgnétique peut être onsidéré omme une superposition d ondes plnes sinusoïdles, est-à-dire s érire: E = (k, k, k )e j(ωt kx k y k z) 1 Montrer que l onde monohromtique l plus simple E = (k, k, k )e j(ωt kx k y k z) (k, k et k étnt à hoisir) n est ps omptile ve les onditions ux limites sur les prois Pr ontre l ominison suivnte: E x = E 1 os(k 1 x + φ 1 ) sin(k y + φ ) sin(k 3 z + φ 3 E y = E sin(k 1 x + φ 1 ) os(k y + φ ) sin(k 3 z + φ 3 E z = E 3 sin(k 1 x + φ 1 ) sin(k y + φ ) os(k 3 z + φ 3 est l plus simple qui puisse stisfire ux onditions ux limites Trouver les reltions vérifiées pr k 1, k, k 3, φ 1, φ, φ 3, E 1, E et E 3 pour qu il en soit insi Quelle ondition doivent vérifier les fréquenes de résonne? Montrer que hque solution peut être rtérisée pr trois nomres entiers n 1, n et n 3 L vité pour dimension = m, = m, = m 1 Quelle est l plus sse fréquene de résonne qui y soit possile? Quel est le triplet (n 1, n, n 3 ) orrespondnt? Trouver les deux fréquenes suivntes et les triplets ssoiés Montrer que plusieurs triplets peuvent prfois orrespondre à l même fréquene (1,,1)+(1,1,) 5 On se propose de visuliser l réprtition de l omposnte E x du hmp életrique dns le pln x = Visuliser les triplets (1, 1, 1); (1,, 1) et (1, 1, ) Remrquer que es deux derniers triplets orrespondent à un hmp de même fréquene et de même énergie Visuliser le hmp E x dns le s de l onde orrespondnt à l ominison de es deux triplets: NB Toute ominison de l forme λ(1,, 1) + µ(1, 1, ) est églement omptile ve les onditions limites Visuliser les triplets (1,, ); (1,, ) et (1,,)+(1,,) Solution 1 div E =, div B =, rote = B t et rotb = 1 E L éqution de d Alemert pour E s otient à prtir de rot rote et on l on : E = ε µ E (de même pour B) t À l intérieur d un métl, on E int = et B int = Soit n le veteur norml à l proi Les reltions de pssge imposent: t 1

2 ISEN-Brest Kny TD: Ondes életromgnétiques sttionnires E = σ ε n: le veteur E est norml à l proi B = µ j s n: le veteur B est tngent à l proi 3 1 On : E y = E e j(ωt kx k y k z) Or, on doit voir: E y (x = ) = et E y (x = ) = D où: E = On : E y = E sin(k 1 x + φ 1 ) os(k y + φ ) sin(k 3 z + φ 3 On impose E y (x = ) = et E y (x = ) = D où: φ 1 = et k 1 = n1π De même: φ = et k = nπ ; φ 3 = et k 3 = n3π L éqution de d Alemert E = ε µ E t donne l reltion de dispersion: ω = π ( n 1 + n + n 3 ) div E = impose: E 1 n1 + E n + E 3 n3 = E x = E 1 os( n1πx ) sin( nπy ) sin( n3πz Finlement, on : E y = E sin( n1πx ) os( nπy ) sin( n3πz E z = E 3 sin( n1πx ) sin( nπy ) os( n3πz Ainsi, le triplet (n 1, n, n 3 ) donne le hmp dns l vité 1 Fréquene l plus sse: (n 1, n, n 3 ) = (1, 1, 1) d où: f = ω π = =, 5 GHz (1, 1, 1) donne f=,59 GHz; (1,, 1) donne f=3, GHz; (1, 1, ) donne f=3, GHz Remrque: (n 1, n, n 3 ) et (n 1, n 3, n ) ont l même fréquene r = 5 Le triplet (1,,1) donne: E x = E 1 sin( πy ) sin( πz ); Ex s nnule pour y = / Pour (1,,1)+(1,1,), on : E x = E1 ( sin( πy ) sin( πz πy πz ) + sin( ) sin( ) ) E x = E 1 sin( πy πz ) sin( ) [ os( πy πz ) + os( )] = E 1 sin( πy πz π(y+z) ) sin( ) os( ) os( π(y z) ) Ex s nnule pour y + z = (deuxième digonle) et y z = (impossile) Pour le triplet (1,,), on extrem sur l xe y et extrem sur l xe z Pour (1,,)+(1,,), on rrés qui sont hun nlogues à (1,,1)+(1,1,) Code ve Mthemti Ondes életromgnétiques sttionnires In[1]:= Ymx=; Zmx=; f[y,z ]:=N[Sin[Pi y/ymx] Sin[Pi z/zmx]]; Trer[Fontion,Niveux ]:=( ContourPlot[Fontion,{y,,Ymx},{z,,Zmx}, ContourShding->Flse,Contours->Niveux]); In[]:= Trer[f[y,z],Tle[i/,{i,,}]] Out[]= -ContourGrphis- % % In[5]:= Trer[f[ y,z],tle[i/,{i,-,}]]

3 ISEN-Brest Kny TD: Ondes életromgnétiques sttionnires Out[5]= -ContourGrphis- In[]:= Trer[f[y, z],tle[i/,{i,-,}]] Out[]= -ContourGrphis- In[7]:= Trer[(f[ y,z]+f[y, z])/,tle[i/,{i,-,}]] Out[7]= -ContourGrphis- In[]:= Trer[f[ y, z],tle[i/,{i,-,}]] 3

4 ISEN-Brest Kny TD: Ondes életromgnétiques sttionnires Out[]= -ContourGrphis- In[9]:= Trer[f[ y, z],tle[i/,{i,-,}]] Out[9]= -ContourGrphis- In[]:= Trer[(f[ y, z]+f[ y, z])/,tle[i/,{i,-,}]] Out[]= -ContourGrphis- % + % 3 Code ve Python # -*- oding: ltin-1 -*- import mth import numpy s np import sipy s sp from pyl import * import mtplotlipyplot s plt from mpl toolkitsmplot3d import Axes3D

5 ISEN-Brest Kny TD: Ondes életromgnétiques sttionnires 9 7 5