L interaction gravitationnelle

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1 L inteaction gavitationnelle Ce coigé est poposé pa Cédic Gange. Si vous voyez des eeus, envoyez un mail à agegationchimie#fee.f. J essaieai de les coige le plus vite possible. Pou contacte l auteu, vous pouvez envoye un mail à cedic.gange#laposte.net. avec un à la place du #) Cette coection est mise à disposition selon les temes de la Licence Ceative Commons Attibution - Pas d Utilisation Commeciale - Pas de Modification 3. non tansposé. 1. La gavitation teeste 1.1. Le champ de pesanteu La Tee est plus aplatie aux pôles. Cet aplatissement est dû à la otation de la Tee su elle-même et à la foce centifuge qui en ésulte. Le champ de gavitation est plus faible à l équateu ; à l équateu un point de la suface étant plus loin du cente, les masses en sont en moyenne plus éloignées et céent une attaction légèement plus faible Pa application du théoème de Gauss : donc Fg = G N M T m e R 2 T g = G N M T e R 2 T avec e le vecteu unitaie des coodonnées sphéiques diigé du cente de la Tee au point considéé A.N. : ω T = 2π T = 2π = 7, ad.s Influence du caactèe non galiléen du éféentiel teeste : a. Le éféentiel géocentique est le éféentiel en tanslation pa appot au éféentiel de Keple et dont l oigine est confondue avec le cente de la Tee b. Dans le éféentiel géocentique, le point M décit un cecle de ayon = R T cos λ) le long d un paallèle teeste Cf. schéma ci-dessous) c. v = RT cos λ) ω T u2 a = RT cos λ) ωt 2 u1

2 CORRIGÉ 2 212B R T cosλ H M u 2 O λ H M u d. L expession généale de la foce centifuge est F ie = m a e, c est à die dans ce cas paticulie : Fie = mr T ω 2 T cos λ u 1 Pou une latitude fançaise λ 45, A.N. F ie 6, , ) 2 / 2, 2 N Il ne faut pas oublie que M est soumis à la foce gavitationnelle attactive d intensité nettement plus impotante 1 N pou une masse de 1 kg) que la foce centifuge e. On s intéesse à l écat α ente la veticale diection donnée pa le fil à plomb) et la diection donnée pa le champ de gavitation. veticale z H GM T u TM R 2 T α M g ω 2 HM x λ T g = Ce qui donne pou l angle α : g x = ω 2 T R T cos λ sin λ g z = ω 2 T R T cos 2 λ G N M T R 2 T tan α = g x g z = ω2 T R T cos λ sin λ g G N M T R 2 T

3 212B 3 CORRIGÉ On évalue alos l angle α via sa tangente pou une latitude de 45 : α 1, ad, f. La foce supplémentaie est la foce d inetie de Coiolis. Elle se manifeste dans des expéiences histoiques : déviation ves l est, pendule de Foucault, comme dans des situations couantes : sens de otation des masses d ai dans l atmosphèe S échappe de la suface de la Tee On considèe la consevation de l énegie mécanique ente l état initial paticule à la suface teeste lancée avec la vitesse v l ) et l état final paticule à l infini sans vitesse) : donc v l = E M = 1 2 mv2 l G N M T m R T = 2G N M T R T = 2g R T = 11, 2 km.s Du fait de l identité «masse gave» / «masse inetielle», v l ne dépend pas de la masse de l objet ; il n en seait pas de même si l on tenait compte des fottements dans l atmosphèe teeste C est bien la pésence de la foce gavitationnelle qui explique la tajectoie de la station spatiale autou de la Tee, la station est donc bien soumise à l attaction teeste. L astonaute et la station spatiale situés au même point subissent la même accéléation et tombent de concet su la Tee, ce qui cée pou l astonaute l effet d apesanteu Tajectoies : a. Il faut suppose que la masse de la Tee est tès supéieue à celle du satellite ce qui est une hypothèse véifiée avec une excellente appoximation b. Dans le éféentiel géocentique, le point M est soumis à la seule foce de gavitation execée pa la Tee su l objet : m a = m d2 dt 2 = G N M T m c. La foce étant centale, le théoème du moment cinétique assue que σ, le moment cinétique, est une constante du mouvement. Comme L = L est une constante, que. L = et v. L = : le mouvement a nécessaiement lieu dans le plan contenant le cente de la Tee et pependiculaie à L à condition que L = ) d. v = ṙ e + θ e θ et a = θ 2) e + θ + 2ṙ θ ) eθ e. L = v = e ṙ e + θ ) e θ = 2 θ e z 1) comme L est une constante, sa nome L = 2 θ est aussi une constante.

4 CORRIGÉ 4 212B f. La composante adiale de l accéléation vaut θ 2, on combine à l équation du mouvement 1) pou obteni : θ 2 = G N M T ) L 2 = 2 G N M T g. L équation pécédente peut se éécie : m = ml 3 G N M T m 2 et donc pou l énegie potentielle : V) = ml = L 3 G N M T 2 = f) = d V) G N M T m h. L énegie mécanique est la somme de l énegie cinétique et de l énegie potentielle gavitationnelle : E = E c + E p = 1 2 m ṙ θ 2) G N M T m = 1 ) 2 m ṙ L2 4 G N M T m E = 1 2 mṙ2 + ml2 2 2 G N M T m = 1 2 mṙ2 + V) La seule foce pésente étant consevative, l énegie mécanique se conseve i. On peut écie l énegie potentielle V) : V) = G NmM T m L2 2 = G NmM T L 2 ) 2G N M T 1 = G NmM T 1 ) L avec = 2 qui véifie V 2G ) =. N M T Étude de la fonction d V = G NmM T ) ; la fonction admet un minimum pou = 2. Repésentation gaphique E p,eff) min min 2 max E 1 m E 3 m E 2 m

5 212B 5 CORRIGÉ États liés Si E = E 1 m, il y a une seule position adiale accessible = 2 pou laquelle V2 ) = E et ṙ =, la paticule toune su un cecle de ayon 2. Si E = E 2 m avec E 1 m < E 2 m <, le mouvement est boné, la paticule ne peut s échappe à l infini et oscille adialement ente deux positions extêmes min et max points pou lesquels V) = E et ṙ = ; notons, qu en ces deux points, la paticule n est pas à l aêt ca la vitesse othoadiale n est pas nulle ; la paticule décit une tajectoie elliptique. États de diffusion Si E, le mouvement n est pas boné, la paticule possède une distance minimale d appoche et finit pa s éloigne à l infini j. Posons k = G N mm T ; pou les positions limites ṙ =, ce qui impose : V) = k ) 1 = E E 2 + k k = Les solutions de cette équation sont : On en déduit : = k ± k 2 + 4Ek 2E = k ) 1 ± 1 + 4E 2E k min = k ) E 2E k et max = k ) E 2E k Remaque : Notons que, pou une tajectoie elliptique cf. étude gaphique), k 4 < E <, ce qui assue la positivité des deux acines et leu existence k. L = R T v sin α et E M = GM Tm R T mv2. On considèe la situation éaliste d un lance pou lequel α π 2. 2GN M Si v v l = T : R T on sait que la paticule s échappe à l infini quel que soit α ; le cas limite est un peu paticulie mais il fauda déjà un temps infini à la paticule pou atteinde l infini donc elle ne isque pas de etombe su Tee. 2GN M Si v < v l = T : R T la tajectoie est femée et le mouvement péiodique ; on cheche les situations pou lesquelles il n y a pas écasement. Si α = π/2, il y aua claiement collision avec la Tee. La seule solution à envisage est le

6 CORRIGÉ 6 212B cas d un lance avec α = π/2. La tajectoie doit au minimum ête un cecle de ayon R T, ce qui impose E M = GM Tm 2R T soit :. v 2 GM T R T 2. Les lois de la Gavitation 2.1. La gavitation univeselle 2.1.a. Généalités 2.1.a. 1. Il y a quate inteactions fondamentales : La gavitation, l inteaction ente les masses ; l inteaction électomagnétique qui explique en paticulie la cohésion de l atome ; l inteaction fote qui explique la stabilité des noyaux et en paticulie l attaction ente les nucléons ; l inteaction faible qui explique pa exemple la adioactivité β. 2.1.a. 2. Elles ont vécu au XVII e siècle. 2.1.a. 3. La masse «inete» est la masse qui appaaît au pemie membe de la deuxième loi de Newton et qui caactéise l inetie des cops ; la masse pesante est l équivalent de la chage électique, c est la masse qui appaaît dans la loi d attaction univeselle ente deux cops massifs. 2.1.a. 4. En l absence de fottement pa exemple su la Lune ou dans un long tube dans lequel on a fait le vide), deux cops difféents mais de même masse chutent à l identique. On peut epense à l astonaute évoqué dans la pemièe patie de l énoncé qui chute avec la navette. 2.1.b. Champ, potentiel et énegie gavitationnels 2.1.b. 1. F = m G. 2.1.b. 2. Analogie avec les équations du champ électostatique : E ) div = ρ e ε et E ) ot = avec ρ e la chage volumique. La difféence essentielle vient du signe des chages ; les masses sont toujous positives alos que les chages électiques peuvent ête positives ou négatives. 2.1.b. 3. Équations de la magnétostatique : B ) div = et B ) ot = µ j avec j le vecteu densité de couant. Les équations ne sont pas équivalentes aux équations de la gavitation, en paticulie il n existe pas de monopôle magnétique qui seait l équivalent de la masse.

7 212B 7 CORRIGÉ 2.1.b. 4. G ) ot = donc il existe un potentiel Φ tel que G = gad Φ). On epote dans la pemièe fomule de l équation 4) de l énoncé pou en déduie : donc G ) ) div = div gad Φ) = Φ = 4πG N ρ Φ = 4πG N ρ 2.1.b. 5. Si la distance est tès gande devant la taille l de la distibution, alos à l ode en /l, on peut pose PM OM = et on en déduit : ΦM) G N M tot Vu de loin, tout se passe comme si la masse était concentée su l oigine et on etouve l expession du potentiel céé pa une masse ponctuelle située à l oigine. 2.1.b. 6. Pou simplifie considéons le cas d une distibution discète de paticules de masse m i situées en P i. G N m ipi M P i M 3 la foce subit pa la paticule s écit : f = m i elle pend aussi la fome : f = m gadφm) avec ΦM) = Ceci pouve que cette fome déive d une énegie potentielle qui vaut : e p M) = mφm) i G N m i P i M Tavail nécessaie à founi : La paticule étant amenée de façon infiniment lente, il y a équilibe à chaque instant et f op = f g avec f op la foce execée pa l opéateu et f g la foce gavitationnelle essentie pa la paticule. Ce qui donne pa intégation : δw op = f op. dl = f g. dl = m gad Φ). dl W op = m M gad Φ) dl = mφm) = e p M) La paticule de masse m est attiée pa les masses de la distibution, l opéateu doit la eteni pou l empêche d accélée ce qui explique le caactèe négatif de l expession. Dit autement, il faudait appote de l énegie pou extaie la masse du puits de potentiel gavitationnelle et l amene à l infini choisi comme le zéo de l énegie potentielle. 2.1.b. 7. À chaque appot d une masse δm en un potentiel gavitationnel Φ, le tavail a founi vaut : δ 2 W = δm Φ

8 CORRIGÉ 8 212B Il faut cependant faie attention que le potentiel se cée en même temps que l on positionne les masses. Le tavail total à founi pou effectue une modification de la densité de chage de δρ s écit : δw = Φ)δρ) dv Comme Φ) = G N intégales que : ρ ) dv, on peut monte en pemutant deux δw = Φ)δρ) dv = ρ)δφ) dv = 1 2 ρδφ + Φδρ) dv = 1 2 δ ρφ) dv = δ 1 2 ) ρφ dv Et finalement pou la constuction de la totalité de la distibution de chages : E p = W = 1 2 ρφ dv Le facteu 1/2 coige le fait que l on compte deux fois l inteaction de chaque couple de masses. Remaque : La démonstation ci-dessous s inspie de "Électomagnétisme 2, Dunod Univesité, Betin, Faoux, Renault". 2.1.c. Le théoème de Gauss pou la gavitation 2.1.c. 1. Théoème de Gauss électostatique : Le flux du champ électostatique à taves une suface Σ) femée et oientée ves l extéieu est égal à la chage totale Q int contenue à l intéieu de cette suface divisée pa ε : Q Φ Σ = E. ds = int avec Q ε int = ρ e dv Σ 2.1.c. 2. En compaant les expessions des foces électostatique et gavitationnelle, on constate qu il faut emplace Q int /ε pa 4πG M int, ce qui donne : int Σ Le flux du champ de gavitation à taves une suface Σ) femée et oientée ves l extéieu est égal à la masse totale M int contenue à l intéieu de cette suface multipliée pa 4πG N : Φ Σ = G. ds = 4πGN M int avec M int = Σ 2.1.c. 3. On applique le théoème d Ostogadski : G. ds = Σ G ) div dv = 4πG N int Σ ρ dv ρ dv = 4πG N M int

9 212B 9 CORRIGÉ 2.1.c. 4. En un point d un plan de symétie de la distibution de masse, le champ gavitationnel est contenu dans ce plan. En un point d un axe de symétie de évolution de la distibution de masse, le champ gavitationnel est aligné avec cet axe. 2.1.d. Étude d une distibution sphéique homogène 2.1.d. 1. Tout axe adial [O, e ) est un axe de symétie de évolution de la distibution de masse, le champ gavitationnel s écit donc G = G, θ, ϕ) e la foce est bien sû attactive d où le signe ). La distibution étant invaiante pa toute otation d angle θ et ϕ, la nome G ne peut dépende que de, donc G = G) e 2.1.d. 2. On applique le théoème de Gauss su une sphèe de ayon : > R : G) 4π 2 = 4πG N ρ 4πR3 donc G) = G Nρ 4πR < R : G) 4π 2 = 4πG N ρ 4π3 donc G) = G Nρ 4π. 3 3 À la suface de l aste, le champ de gavitation vaut : avec M tot la masse de l aste. Allue de la coube : g = GR) = G Nρ 4πR 3 G) = G N M tot R 2 g O R 2.1.d. 3. À l extéieu, tout se passe comme si la totalité de la masse était au cente, le champ est identique au champ céé pa une masse ponctuelle. 2.1.d. 4. Le potentiel gavitationnel est tel que : G ) = G) e = d Φ e, on en déduit : R : Φ) = G N M tot ; R : Φ) = G N M tot 2 2R 3 3R 2). La constante d intégation a été déteminée en utilisant la continuité du potentiel en = R. 2.1.d. 5. On calcule l énegie potentielle de la distibution sachant qu il n y a pas de chage pou > R : E p = 1 2 R G N M tot 2R 3 2 3R 2) M tot 4πR 3 /3 4π2 d = 3 GMint 2 5 R

10 CORRIGÉ 1 212B 2.1.e. Étude d une distibution sphéique non homogène 2.1.e. 1. En utilisant l élément de volume en coodonnées sphéiques : M) = ρ ) 2 d π 2π sin θ dθ dϕ = 4π 2 ρ ) d On en déduit : pou < R : d M) = 4πρ) 2 ; pou > R : d M) =, la masse n augmente plus avec. 2.1.e. 2. Pou une symétie sphéique, l énegie potentielle a pou expession : E p = 1 2 = 4π 2 ρ)φ) d = 1 2 = d M) Φ) d E p = 1 2 [M)Φ)] = 1 2 = 1 2 M totφ 1 2 M)Φ) 1 2 M) d Φ) d M) d Φ) Comme M) = et pou une masse totale finie, on en déduit la fomule poposée dans l énoncé. 2.1.e. 3. Pa définition G = G) e = d Φ l énegie potentielle : E p = 1 2 e M)G) d d donc G) = d Φ et pou 2.1.e. 4. Pa application du théoème de Gauss su une sphèe de ayon contenant une masse M) : G) 4π 2 = 4πG N M) donc G) = G N M) e. 5. Patons de l expession de l énegie potentielle, on intège à nouveau pa paties avec d M = 4π2 ρ)) : E p = 1 2 G N 2 M2 ) d = 1 [ G ] N 2 M2 ) 1 G N 2M)M ) d 2 Pou le teme ente cochets : Pou : G N M) M) G N Mtot 2 ; Pou : G N M) M) = Φ) M) =.

11 212B 11 CORRIGÉ Finalement, comme ρ) = pou R et M ) = 4πρ 2 : E p = R G N M) R 4πρ 2 G d = N M) 4πρ 2 d 2.1.e. 6. 4π 2 ρd est la masse d une couonne sphéique située ente deux sphèes de ayon et + d ; on multiplie cette masse pa le potentiel à la distance pou en déduie l énegie potentielle gavitationnelle La mesue de la constante gavitationnelle G N Le poids du cops donne accès à l intensité de pesanteu teeste g = G N M T /R 2 T et non diectement à G N si on ne connaît pas M T ou R T Pendule de tosion a. L angle étant sans dimension, C est homogène à un moment de foce : ML 2 T 2, c est à die des N.m = kg.m 2.s 2 dans le système intenational d unités b. I, dimension ML 2 en N.m.s 2 donc en kg.m 2 ; λ, dimension ML 2 T 1 en kg.m 2.s 1. Le pemie teme est la pojection du moment cinétique le long de l axe de otation, I epésentant le moment d inetie de la balance ; λ est associé aux fottements fluides ; le denie teme est le couple de appel c. Le disciminant du polynôme caactéistique doit ête négatif : λ 2 4IC < Les acines du polynôme caactéistiques véifient : ± = λ 2I ± i 4IC λ 2 2I = 1 τ ± iω Temps caactéistique : τ = 2I/λ 4πI Pseudo-péiode T = 4IC λ 2 On obseve des oscillations amoties autou de la valeu d équilibe θ = Couple gavitationnel : a. Le toisième teme de l équation est modifié du fait de l attaction gavitationnelle ; à l équilibe le couple de appel et le couple gavitationnelle se compensent : b. Calcul de M g1 : M g θ eq ) = Cθ eq M g1 = 2 OA 1 F B1 A1 = 2d G NmM R 2

12 CORRIGÉ B Calcul de M g2 : Ce second teme tend à faie toune les masses dans l aute sens, il y aua donc un dans le ésultat final. De plus la distance ente les masses vaut R 2 + 4d 2 et finalement : M g2 = 2 OA 1 F B2 A1 = 2d G NmM R 2 + 4d 2 En tenant compte des deux contibutions, on obtient : M g = 2d G ) NmM R R R 2 + 4d 2 ) 3/2 R R 2 + 4d c. A.N. : θ eq = M g C = 1, ad, 7 Une obsevation diecte d une si faible déviation semble difficile à éalise Méthode actuelle : a. D apès la loi de la éflexion : α = 2θ e b. Comme α 1 ad, e Lα = 2Lθ e, ce qui impose : L e 2θ e = cm 2 1, La taille du dispositif este modeste c. Il faut dispose de l intensité de pesanteu g qui est eliée aux autes gandeus pa : g = G N M T R 2 T d. R T pouvait ête mesué pa tiangulation e. La gandeu g peut ête déteminée via la mesue de la péiode pope T = 2π L/g d un pendule simple. 3. La gavitation des les étoiles 3.1. Équilibe mécanique dans une étoile 3.1.a. Temps d effondement sous l effet de la gavitation 3.1.a. 1. Les paticules vont ête attiées ves le cente ; en pésence de la seule foce gavitationnelle, l équilibe coespond à toutes les paticules au cente. 3.1.a. 2. Le point M est soumis à une foce centale, le moment cinétique se conseve, comme il est initialement nul, il le este pou la suite du mouvement et la tajectoie du point M est ectiligne. 3.1.a. 3. Le point M est soumis à la foce de gavitation execée pa le este de l étoile : m d2 t) dt 2 = G N M s m 2 e donc d 2 dt 2 = G N M s 2

13 212B 13 CORRIGÉ 3.1.a. 4. Pou intége, on multiplie l équation scalaie pa ṙ : ṙ = G N M s ṙ 2 donc ṙ 2 2 = G N M s + cste La constante est déteminée sachant que ṙ) = et ) = R s, et finalement : v 2 = 2G N M s 1 1 R s ) La vitesse tend ves l infini quand la masse de l étoile se concente au cente, le modèle n est donc pas éaliste. 3.1.a. 5. Commençons pa pende la acine de l expession pécédente sachant que va diminue : ) 1 2G d t = N M s 1Rs On pose = xr s pou obteni : On en déduit : d x R s d t = 2G N M s R s ) 1 x R dt = 3 s x 2G N M s 1 x dx On intège alos de t = x = 1) et t = t eff x = ) : t eff = 3.1.a. 6. Comme ρ = teff R dt = 3 s 2G N M s M s 4πR 3 s /3 : 1 x x 1 x dx = π R 3 s 2 2G N M s t eff = π 3 2 8πG N ρ = 3π 32G N ρ On constate que pou une étoile donnée, la duée d effondement ne dépend que de la masse volumique de l étoile. Plus la masse volumique est impotante, plus la duée d effondement est coute. 3.1.a. 7. t eff 1, s ; cette duée est bien sû tès faible vis à vis de la duée de vie du Soleil de l ode de 1 milliads d années. 3.1.b. Effet de la pession 3.1.b. 1. Équilibe hydostatique :

14 CORRIGÉ B 3.1.b. 1.a. En notant P) la pession en et P + d) la pession en + d, les foces de pession ont pou expession : P) P + d)) d 2 S e 3.1.b. 1.b. δm = ρdd 2 S et pou la foce gavitationnelle : G F = N δmm) e b. 1.c. À l équilibe, les foces se compensent : G Nρdd 2 SM) 2 d P dd2 S = donc d P = G NρM) b. 1.d. Pou un poblème à symétie sphéique : et donc 3.1.b. 2. Équation d état : 3.1.b. 2.a. M) = ρ 4π 3, et donc : 3 donc gad P) = d P e ρgad Φ) = ρ G = ρg N M) d P = G NρM) 2 d P = G Nρ 2 4π 3 2 P) = P 2πG Nρ b. 2.b. Le ayon de l étoile est tel que PR s ) = donc : 3P R s = 2πG N ρ 2 3 e 3.1.b. 2.c. On détemine alos la masse de l étoile : M s = ρ 4π 3 R3 s = 4πρ 3 ) 3/2 3P 2πG N ρ 2 = 6P 3 πg 3 N ρ4 ) 1/2 La masse est invesement popotionnelle au caé de la masse volumique ; notons que le ayon vaie comme l invese de la masse volumique ; à masse volumique élevée, l effet de la gavitation est tès impotant éduisant d autant la taille de l étoile.

15 212B 15 CORRIGÉ 3.1.b. 3. Un modèle plus élaboé : d M 3.1.b. 3.a. = 2 d P 4πρ2 ; on utilise alos l équation de l hydostatique : ρ) = G N M) Expession que l on déive pa appot à : 2 ) d P d M) = G ρ) N = G N 4π 2 ρ) donc ρ) ) d P = G N 4πρ) 3.1.b. 3.b. Comme P) = λρ) 2, on peut écie : Avec ρ) 2λρ) d ρ ) = 4πG N ρ) d 2 2 λ d ρ ) = 4πG N ρ) 1 d 2 d ρ ) = 2πG N λ ρ) 1 2 d 2 d ρ ) = 2 d ρ + d2 ρ d 2 = d2 ρ d 2 donc : d 2 ρ d 2 = 2πG N λ ρ) 3.1.b. 3.c. Posons a 2 = λ, l équation s écit alos : d2 ρ 2πG N d 2 Les solutions de cette équation sont de la fome : donc ρ) = A sin /a) + B cos /a) ρ) = A sin /a) + B cos /a) + ρ) a 2 =. La densité devant ête finie au cente, B est nécessaiement nulle ; de plus en : ρ = A/a donc A = aρ et finalement : 3.1.b. 3.d. Allue de la coube : ρ) = ρ a sin /a)

16 CORRIGÉ B Le ayon R s est associé à la pemièe annulation de la masse volumique : ρr s ) = donc R s = aπ. 3.1.b. 3.e. Avec R s = aπ, a 2 = λ et P 2πG = λρ 2, on en déduit : N R s = πp 2G N ρ 2 ) 1/2 À un coefficient numéique poche de l unité, les deux expessions sont tout à fait cohéentes. 3.1.b. 3.f. Dans ce modèle à symétie sphéique, la masse se calcule selon : M s = Rs 4π 2 ρ a sin /a π d = ρ 4πa 3 u sin u du avec u = /a M s = 4π 2 ρ a c. La masse de Chandasekha 3.1.c. 1. Un exemple de loi polytopique est pa exemple la loi de Laplace pou la tansfomation adiabatique évesible d un gaz pafait. 3.1.c. 2. On epote = x γ et P = λρ γ dans l équation 22) de l énoncé : ) 1 d x 2 γ 2 d ρ d x d x x 2 γ 2 d x ρx) λγργ 1 d x = 4πG nρ 1 x 2 2 γ Ce qui impose d d x x 2 λγ d γ 1 d x 1 x 2 n = 1 γ 1 d d x ρ γ 1 ρ γ 1 )) x 2 d ψ d x et 2 γ = ) = 4πG n ρ ρ γ 1 = ρ ρ 4πGN 2 γ ρ γ 2 λγρ γ 2 4π γ 1) G N ) γ 1 γλ

17 212B 17 CORRIGÉ notons qu avec γ = 2, on etouve les expessions de la patie pécédente. 3.1.c. 3. ψ) = 1 signifie simplement que ρ) = ρ. L équation 19) de l énoncé peut se éécie, au voisinage de l oigine : Ceci impose d P 3.1.c. 4. R s = x s γ. d P G N 4π)/3 3 ρ 2 2 ) =, donc d ρ α d ψ ) = et ) =. 3.1.c. 5. Masse de Chandasekha : 3.1.c. 5.a. Le calcul faisant appaaîte les popiétés quantiques d un gaz d électons elativiste, il est logique de voi appaaîte les constantes h et c. Dans les calculs pécédents, on a constaté que la masse de l étoile était invesement popotionnelle au caé de la masse volumique ; comme l étoile est essentiellement constituée d un gaz d hydogène ionisé des potons et des électons), il semble logique de voi appaaîte le caé de la masse du poton au dénominateu la masse des électons étant négligeable devant celle des potons). 3.1.c. 5.b. M Ch = 2, kg = 1, 4 M S. 3.1.c. 5.c. Si, en fin de sa phase en séquence pincipale, l étoile a une masse supéieue à la masse de Chandasekha, la pession quantique du gaz d électons dégénéé n est pas en mesue de contecae les effets de la gavitation. L étoile s effonde su elle-même, les électons et les potons fusionnent pou donne naissance à une étoile à neutons et éventuellement à un tou noi si la masse initiale dépasse la dizaine de masses solaies. 3.1.d. Stabilité de l équilibe dans une étoile 3.1.d. 1. Pou un gaz pafait : P = ρ m k BT et en paticulie pou les temes d ode 1 : P 1 = ρ 1 m k BT. 3.1.d. 2. Équation de Poisson : Φ 4πG N ρ = donc, à l ode 1 : Φ 1 4πG N ρ 1 = 3.1.d. 3. Équation de l hydodynamique : 3.1.d. 3.a. La pemièe équation est l équation de consevation de la matièe, la seconde est l équation de Navie-Stokes pou un fluide pafait dans lequel on néglige la viscosité. 3.1.d. 3.b. À l ode, comme v =, le pemie membe est nul et on etouve l équation de la statique des fluides. 3.1.d. 3.c. En se limitant à des temes d ode 1 : ρ 1 t + ρ div v1 ) =

18 CORRIGÉ B et ρ v 1 t = gad P 1 ) ρ gad Φ1 ) ρ 1 gad Φ ) 3.1.d. 4. Modèle unidimensionnel : 3.1.d. 4.a. Dans le cade d un modèle unidimensionnel avec Φ constant : et ρ v 1 t ρ 1 t + ρ v 1 x = = P 1 x ρ Φ 1 x 3.1.d. 4.b. On déive la pemièe équation pa appot au temps et on epote la seconde pou en déduie : 2 ρ 1 t 2 2 P 1 x 2 ρ 2 Φ 1 x 2 = 3.1.d. 4.c. On utilise l équation des gaz pafaits P 1 = k BT m ρ 1 et l équation de Poisson : 2 Φ 1 x 2 = 4πG N ρ 1 : 2 ρ 1 t 2 k BT 2 ρ 1 m x 2 4πρ G N ρ 1 = avec c 2 s = k BT m 3.1.d. 4.d. c s est homogène à une vitesse, c est la vitesse des ondes dans le fluide. 3.1.d. 5. Popagation d une onde monochomatique : 3.1.d. 5.a. ω est une pulsation en ad.s 1 et k est le vecteu d onde, c est l invese d une longueu en m 1. En epotant dans l équation 32), on obtient l équation de dispesion : ω 2 + c 2 s k 2 4πG N ρ = 3.1.d. 5.b. Pou que ω 2 >, il faut : c 2 s k 2 > 4πG N ρ. Si ω est imaginaie pu, il y aua des temes en exp +ωt), cela signifie une solution divegente et donc une instabilité. La condition de stabilité s écit donc : k 2 = 4π2 λ 2 4πG Nρ c 2 s donc : λ 2 λ 2 J = πc2 s G N ρ 3.1.d. 5.c. Pou que l étoile soit stable, la pession intene doit compense l effet de la gavité. Si l étoile commence à s effonde, il faut que la petubation généée se popage suffisamment vite pou pemette à la pession de s ajuste pou compense l augmentation de la gavité. L étoile est donc stable si le temps de popagation de l onde sonoe est inféieu à la duée de l effondement.

19 212B 19 CORRIGÉ 3.1.d. 5.d. Le temps de popagation de l onde sonoe τ = R s /c s doit ête inféieu à la duée d effondement, ce qui impose, τ 2 < t 2 eff donc : R 2 s c 2 s < 3π 32G N ρ 3.2. Aspects énegétiques : éactions nucléaies 3.2.a. Le théoème du Viiel Rs G 3.2.a. 1. Équation 14) : E p = N M) 4π 2 ρ) d. Équation 19) : d P = G N M)ρ) 2 On combine les deux équations : E p = Rs Comme PR s ) =, on en déduit : d P 4π3 d = [P) 4π 3] R s Rs 3 P4π 2 d Rs E p = 3 P4π 2 d 3.2.a. 2. Théoème du Viiel : 3.2.a. 2.a. Dans un gaz pafait monoatomique, l énegie intene est associée à l énegie cinétique micoscopique de tanslation. Le facteu 3/2 povient des tois degés de libeté associés au mouvement de tanslation selon tois axes othogonaux. 3.2.a. 2.b. u = 3 P, ce qui donne pou l énegie intene totale de l étoile : 2 donc U = Rs 3 2 P 4π2 d = 3 Rs P 4π 2 d = E P 2 2 2U + E p = 3.2.a. 2.c. En l absence d énegie cinétique macoscopique, l énegie totale de l étoile est la somme de son énegie intene et de son énegie potentielle : 3.2.a. 3. Énegie disponible : 3.2.a. 3.a. A.N. : E tot = U + E p = E p 2 E tot = G N M 2 2R = 6, , ) 2 2 6, = 1, J 3.2.a. 3.b. A.N. : τ = E tot /L = 1, /3, ) = 4, s 16 millions d années

20 CORRIGÉ 2 212B 3.2.a. 3.c. L énegie dont on pale ici est issue de l effondement gavitationnel, cependant il y a une souce d énegie disponible au sein de l étoile, l énegie des éactions nucléaies qui va pemette d enteteni la luminosité de l étoile. 3.2.a. 4. Tempéatue de l étoile : 3.2.a. 4.a. Pou un gaz pafait monoatomique : U = 3 2 Nk BT. 3.2.a. 4.b. Comme U = E P /2, on en déduit : donc 3.2.a. 4.c. La masse de l étoile véifie : G N M 2 2R = 3 2 Nk BT T = G N M 2 3NRk B et On en déduit : et N H m H = 7 3 N Hem He M = N H m H + N He M He = 1 7 N Hm H N H = 7M 1m H = 8, N He = 3N Hm H 7m He = D où : N = N H + N He = 9, atomes et T 1 6 K 3.2.b. Les éactions nucléaies dans les étoiles 3.2.b. 1. Des noyaux léges fusionnent pou donne des noyaux plus louds. Il s agit de éactions de fusion. 3.2.b. 2. Énegie de liaison 3.2.b. 2.a. Z est le nombe de potons et A le nombe de nucléons du noyau. Quand on passe d un noyau à un aute, le nombe de nucléons n est pas le même ; pou estime un gain de stabilité, il faut egade le gain pa nucléon et donc l énegie de liaison pa nucléon. 3.2.b. 2.b. L énegie de liaison epésente l énegie à founi pou éalise la éaction : A Z X Z p + A Z)n Et donc pou l énegie de liaison : E l A, X) = Zm p + A Z)m n M X ) c 2 L inteaction fote est esponsable de la cohésion du noyau.

21 212B 21 CORRIGÉ 3.2.b. 2.c. Les noyaux les plus stables sont ceux qui disposent de la plus gande énegie de liaison pa nucléon, c est à die su le gaphique 56 Fe. Les noyaux léges situés avant le fe H, He, Li, C,...) sont susceptibles de subi la fusion. Les noyaux louds comme l uanium sont susceptibles de subi le phénomène de fission. 3.2.b. 2.d. Le pemie teme est popotionnel au nombe de nucléons et donc au volume du noyau, il est lié à l inteaction fote ente nucléons voisins. Le deuxième teme est un teme de suface A popotionnel au volume donc A 2/3 popotionnel à la suface), ce teme pend en compte le fait que les nucléons extenes n ont pas autant de voisins, ce qui diminue l énegie de liaison et explique le signe. Le toisième teme epésente la épulsion à gand distance ente les potons du noyau d où le teme en ZZ 1), chaque poton subissant l inteaction des Z 1 autes potons), énegie en 1/A 1/3 c est à die en 1/R, comme l énegie gavitationnelle étudiée dans la patie pécédente. 3.2.b. 3. Fusion au sein du Soleil : 3.2.b. 3.a. ν e epésente un neutino, e + le positon, anti-paticule de l électon. 3.2.b. 3.b. Il s agit d une désintégation β + associée à l inteaction faible. 3.2.b. 3.c. Désintégation β : 3.2.b. 3.c.i. n p + e + ν e Les poduits fomés sont : le poton, l électon et un anti-neutino. 3.2.b. 3.c.ii C 14 7 N + e + ν e. 3.2.b. 3.c.iii. Nt) = N exp ln 2 t/t 1/2 ) 3.2.b. 3.c.iv. Pincipe de la datation au cabone 14 : Duant son existence, un fome vivante échange avec l atmosphèe et maintient une popotion fixe de appot cabone 14/cabone 12. À la fin de son existence, les échanges s aêtent et, les atomes de cabone 14 se désintégant, la appot cabone 14/cabone 12 diminue ; il est alos possible de lie cette valeu au temps écoulé depuis la mot de l individu ou du végétal. 3.2.b. 3.c.v. Les atomes d azote des molécules de diazote de l atmosphèe subissent des collisions avec des neutons povenant du ayonnement cosmique conduisant à la fomation de cabone b. 3.d. La désintégation du neuton est une éaction spontanée du fait que le neuton a une masse supéieue à celle du poton. 3.2.b. 3.e. Les potons doivent s appoche à une distance de l ode du femi ca l inteaction fote n est sensible qu à tès coute distance. En égalant l énegie cinétique micoscopique et l énegie de épulsion coulombienne : T nucl = donc e 2 6πk B ε δ = e 2 4πε δ = 3 2 k BT nucl 1, ) 2 6π 1, , K

22 CORRIGÉ B 3.2.b. 3.f. La gandeu déteminée pécédemment était la tempéatue moyenne de l étoile et non la tempéatue plus élevée au cente de l étoile. 3.2.b. 4. La paticule étant fomée dans un état excité, elle évacue le top plein d énegie en émettant un photon γ, d une énegie de l ode du MeV. Pou la féquence : h f γ = e γ donc : f γ = e γ h = 16 1, , Hz Le photon est la paticule médiatice de l inteaction électomagnétique. 3.2.b. 5. On effectue 2i)+2ii)+iii) : 4H 4 He + 2e + + 2γ + 2ν e E PP = 4m H m4 He 2m e +) c2 = 4, J Résultat que l on compae à la valeu donnée pa l énoncé : E PP = 4, 7 1, ) 2 = 4, J, les deux ésultats sont bien similaies. 3.2.b. 6. Déteminons l énegie disponible du fait des éactions nucléaies : Nombe de potons concenés : N p =, 1 M/m p Énegie libéée : E = N p, 7m p c 2 Duée de la éaction : τ =, 1 M, 7c2 L =, 1 1, 99 13, ) 2 3, = 3, s C est à die 1 milliads d années, duée tout à fait en accod avec la duée de vie du Soleil dans sa phase actuelle. 3.2.b. 7. Autes éactions au sein de l étoile : 3.2.b. 7.a. On utilise la consevation du nombe de nucléons et la consevation de la chage. La paticule x possède une chage +e et n est pas un nucléon, il s agit donc d un positon : x = 1 e b. 7.b. Bilan en faisant la somme) : 4H 4 He + 2e + + 3γ. Rôle du cabone : la cabone va facilite la éaction, comme un catalyseu en chimie. 3.2.b. 8. La difficulté de la fusion est liée au confinement des potons, dans l étoile ceci est assué pa la gavité. La fusion est un pocessus plus efficace que la fission, les combustibles sont disponibles en plus gande quantité et la fusion poduit beaucoup moins de déchets adioactifs que la fission. 4. L effet de lentille gavitationnelle 4.1. La déflexion d un ayon lumineux pa le Soleil Pemièe loi :

23 212B 23 CORRIGÉ Le ayon éfacté est situé dans le plan d incidence, plan défini pa la nomale au diopte au point d incidence et le ayon incident. Seconde loi : Soit n 1 l indice du pemie milieu, n 2 l indice du second milieu, i 1 l angle d incidence et i 2 l angle éfacté défini pa appot à la nomale) : n 1 sin i 1 = n 2 sin i Calcul de la déviation : i I i J α = i ) + i ) Comme le tiangle SI J est isocèle, alos = i, ce qui impose, du fait de la seconde loi de Descates, = i, et donc finalement : α = 2 i ) A.N. 2G N M Rc 2 = 2 6, , , ) 2 = 4, L indice étant tès poche de 1, la éfaction est tès limitée et i ε est de l ode de G N M, le calcul à l ode 1 donne : ac2 sin i = n sin 1 + 2G ) N M ac 2 sin i + ε cos i) sin i + ε cos i + 2G N M ac 2 sin i On en déduit : et pou l angle α : ε = 2G N M ac 2 sin i cos i α = 2 i ) = 2ε = 4G N M ac 2 sin i cos i Si p est défini pa appot au ayon qui tavese la sphèe imaginaie p = a sin = a sin i ; si p est défini pa appot au ayon incident alos p = a sin i. n Remaque : La définition de l énoncé est quelque peu impécise. Comme n est tès poche de 1, confonde les deux expessions n a guèe d impotance.

24 CORRIGÉ B La compaaison de note expession et de l expession de l énoncé conduit à p = a/ tan i, ce qui n est compatible avec le modèle géométique ; en paticulie pou un ayon tel que i = π/2, il sembleait logique de etouve p = a. Su l idée des modèles statifiés utilisés pou étudie les fibes optiques ou les miages, on pouait imagine un modèle à couches concentiques tel que n = n) avec la distance au cente du Soleil A.N. : α = 2 i ) = 2ε = 4G N M 1, 5 Rc 2 = 5, ad Il s agit d élimine les ayons issus du Soleil dans lesquels seaient noyés les ayons à obseve. On obseve un anneau La mesue de l angle de déflexion pa une lunette astonomique 4.2.a. Les lentilles minces 4.2.a. 1. Popiétés des lentilles minces : 4.2.a. 1.a. Une lentille sphéique est limitée pa deux dioptes sphéiques contenant un milieu tanspaent d indice optique n. Une lentille est appelée «lentille mince» si l épaisseu de la lentille est en paticulie faible devant les ayons de coubue des dioptes sphéiques. 4.2.a. 1.b. L axe optique coespond à l axe de symétie de évolution des dioptes sphéiques. Un ayon se popageant le long de l axe optique ne sea pas dévié. 4.2.a. 1.c. Une lentille est stigmatique dans les conditions de Gauss, c est à die pou des ayons poches de l axe et peu inclinés pa appot à l axe optique. 4.2.a. 1.d. Les ayons issus du foye objet F essotent paallèlement à l axe optique ; les ayons aivant paallèle à l axe optique émegent en convegeant eux ou leus polongements au foye image F. 4.2.a. 2. Relation de conjugaison : 4.2.a. 2.a. Pou la elation avec oigine en O : 4.2.a. 2.b. Expimons p en fonction de p : 1 p 1 p = 1 OF = 1 f p = p f p + f Posons X = p/ f et X = p / f, l équation s écit alos : X = X 1 + X L étude de la fonction pemet d obteni le tacé de la coube X = X X) :

25 212B 25 CORRIGÉ On veut un objet éel X < ) et une image éelle X > ) ce qui impose de se situe dans le domaine X < 1. Il este à évalue la distance ente l objet et l image qui s écit compte tenu des signes : X2 d = X X = 1 + X La coube epésentant d en fonction de X est epésentée ci-apès : On constate que dans le domaine considéé X < 1, le minimum coespond à X = 2 et X = 2. La distance minimale est donc associée à une situation symétique pou laquelle la position de l objet est telle que p = 2 f et celle de l image est p = 2 f, c est à die une distance minimale d = 4 f. Cette situation coespond à la méthode de Silbeman en focométie. 4.2.a. 2.c. Tacé : L objet est éel et OA > f : l image est éelle

26 CORRIGÉ B B A O F F A L objet est éel et OA < f : l image est vituelle B B B A F A O F L objet est vituel : l image est éelle : B B O F A A F 4.2.a. 2.d. Définition : γ = A B AB ; Fomule : γ = p p 4.2.a. 2.e. Cette situation coespond au cas de la loupe, l objet doit se situe ente la lentille et le foye objet. 4.2.b. La lunette astonomique 4.2.b. 1. Lunette afocale : 4.2.b. 1.a. Un système afocal ne possède pas de foyes, c est à die qu un faisceau de ayons aivant paallèlement à l axe optique essot du système paallèle à l axe optique. Pou une lunette astonomique, l objet est à l infini ; avec une image elleaussi à l infini, l œil peut obseve l image sans accommode. 4.2.b. 1.b. Pou que la lunette soit afocale, il faut que le foye image de la lentille L 1 soit confondu avec le foye objet de la lentille L 2, donc O 1 O 2 = f 1 + f b. 2. Tacé du faisceau incident :

27 212B 27 CORRIGÉ + θ O F 1 = F 1 2 O F 2 2 θ J F 1 I 4.2.b. 3. On considèe la cas éaliste pou lequel θ 1 ad et θ 1 ad. et On en déduit : θ = O 1I F 1 I = O 1I f 1 θ = O 2J O 2 F 2 = O 2J f 2 G = θ θ = f 1 f 2 Le gossissement est négatif, ce qui signifie que l image, egadée à taves la lentille, sea envesée pa appot à une obsevation diecte. Pou emédie à ce poblème, on peut utilise une lentille de Galilée dont l oculaie est une lentille divegente. 4.2.b. 4. Mesue de la déviation : 4.2.b. 4.a. D apès le schéma ci-dessous et la fomule de l énoncé question 4.1.6), θ = α = 4G N M pc 2. E ayon non dévié axe optique 4.2.b. 4.b. Apès tavesée de la lunette : p S θ=α θ = f 1 f 2 θ = f 1 f 2 4G N M pc 2 1, ad oeil L œil ne peut distingue que des angles supéieus à 1 d ac, c est 1/6 de degé, soit ad ; il n est donc pas possible d obseve l angle θ à l œil nu. 4.2.b. 5. Obsevation et luminosité : 4.2.b. 5.a. L image se fome cetes à l infini mais l œil doit ête positionné au niveau du cecle oculaie, image de la montue de l objectif lentille L 1 ) pa l oculaie lentille L 2 ), il eceva alos le maximum de lumièe ca la totalité des ayons entant dans la lunette essotent en passant pa le cecle oculaie.

28 CORRIGÉ B 4.2.b. 5.b. C est la lentille L 1 qui joue le ôle de diaphagme d ouvetue. 4.2.b. 5.c. L objet, montue de la lentille L 1, est situé en O 1 ; la position de l image est notée C et la lentille qui éalise l image est la lentille L 2, la elation de conjugaison s écit alos comme : soit : 1 O 2 C 1 O 2 O 1 = 1 f 2 O 2 C = f 2 O 2O 1 f 2 + O = f 2 f 1 + f 2) 2O 1 f 1 Notons que, dans une situation éaliste pou laquelle f 1 f 2, on obtient O 2 C f 2 1 cm l oculaie est une lentille de tès coute focale). Il suffit donc en patique de place son œil diectement conte l oculaie pou obseve une image lumineuse. 4.2.b. 5.d. En appliquant la fomule de gandissement en valeu absolue : d D = O 2C = f 2 O 2 O 1 f 1 = 1 G Le diamète du cecle oculaie est nettement inféieu au diamète de la montue ce qui pemet d obteni une concentation plus gande de la lumièe. 4.2.b. 5.e. Cf. pemièe question de cette patie. En plaçant son œil au cecle oculaie, l obsevateu disposea d une image nette, complète et lumineuse. FIN DE L ÉPREUVE