Une introduction au contrôle acoustique actif

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1 Une intrductin au cntrôle acustique actif Emmanuel Frit T cite this versin: Emmanuel Frit. Une intrductin au cntrôle acustique actif. DEA <cel > HAL Id: cel Submitted n 12 Sep 2006 HAL is a multi-disciplinary pen access archive fr the depsit and disseminatin f scientific research dcuments, whether they are published r nt. The dcuments may cme frm teaching and research institutins in France r abrad, r frm public r private research centers. L archive uverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusin de dcuments scientifiques de niveau recherche, publiés u nn, émanant des établissements d enseignement et de recherche français u étrangers, des labratires publics u privés.

2 CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNE INTRODUCTION AU CONTRÔLE ACOUSTIQUE ACTIF EMMANUEL FRIOT CNRS - Labratire de Mécanique et d Acustique v. 6 ctbre 2005

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4 Table des matières Intrductin 5 1 Cntrôle actif et acustique Cntrôle d un mnpôle par un autre Effet glbal d un cntrôle lcal Cnditins d atténuatin glbale Tracés d intensité acustique Dévelppement en harmniques sphériques Cntrôle en prpagatin guidée Cnditins d annulatin glbale du champ Déterminatin du nmbre de mdes effectivement prpagatifs Cntrôle en espace cls Dévelppement en série de mdes à basse fréquence Mdélisatin du champ à plus haute fréquence Cntrôle avec un grand nmbre de surces Cntrôle glbal d un côté d une surface fermée Une estimatin du nmbre de transducteurs nécessaires Cntrôle actif et psychacustique Résumé Cntrôle actif et autmatique Un eemple intrductif Cntrôle par feedfrward ptimal Cntrôle ptimal nn causal Cntrôle ptimal causal Cntrôle adaptatif FXLMS L algrithme LMS mnvie L algrithme FXLMS mnvie Rbustesse et cnvergence Utilisatin pratique Cntrôle par feedback Effet d un feedback sur la référence Equivalence entre feedback et feedfrward

5 TABLE DES MATIÈRES Cntrôle ptimal et représentatin d état Résumé Quelques applicatins du cntrôle actif Le casque anti-bruit actif Cntrôle actif et autmbile Cntrôle du bruit mteur Cntrôle du bruit d échappement Cntrôle du bruit de rulement Cntrôle du bruit aérdynamique Cntrôle actif et aérnautique Cntrôle du bruit d hélices Cntrôle du bruit de sufflante Cntrôle du bruit dû à la cuche limite turbulente Cntrôle des éculements Autres applicatins en etérieur Cntrôle du bruit de transfrmateur Ecrans anti-bruit actifs Cnclusin - Résumé 53 A Décmpsitin en valeurs singulières 54 B Transferts à phase minimale et factrisatin spectrale 56 C Sujets d eamen du DEA d acustique 58 D Bibligraphie smmaire 60 Inde 62

6 Intrductin On appelle cntrôle acustique actif (en anglais Active Nise Cntrl) u anti-bruit l utilisatin de surces de bruit dites secndaires pur réduire un bruit indésirable dit primaire. L idée d utiliser des surces auiliaires pur réduire le bruit est quasiment cntenue dans la descriptin même de l acustique linéaire en termes de fluctuatins de pressin qui peuvent s additinner. Parmi les premiers travau spécifiques au cntrôle actif, n peut citer des brevets 1 des années 1930 puis un article 2 au JASA en 1956 et, en France, les travau de Maurice Jessel à Marseille dans les années Même si les principes de base du cntrôle actif snt simples, un système de cntrôle sphistiqué est en général requis pur faire fnctinner efficacement un dispsitif d anti-bruit ; il a fallu en fait attendre la fin des années 1970 pur qu une applicatin cmme le cntrôle dans les gaines de ventilatin sit véritablement envisageable. Les années 1980 vient ensuite la mise au pint du casque anti-bruit actif ; les micr-prcesseurs spécialisés en traitement du signal (Digital Signal Prcessing) permettent alrs aussi la mise en œuvre en temps-réel d algrithmes de cntrôle adaptatifs. Le premier livre 3 entièrement cnsacré au cntrôle actif du bruit paraît en Aujurd hui, de nmbreuses équipes travaillent dans le mnde entier sur le cntrôle actif du bruit. Malgré le haut niveau de spécialisatin atteint, le casque anti-bruit et les systèmes pur les gaines de ventilatin demeurent les seul prduits de cntrôle actif fabriqués en grande série. Les slutins passives à un prblème de bruit dnné s avèrent en effet suvent mins chères que les slutins actives. Le cntrôle actif cherche dnc encre sn «applicatin miracle». Il apparaît à l heure actuelle que les matériels et les méthdes dévelppés pur le cntrôle actif du bruit peuvent aussi être utilisés pur recréer, en temps-réel, un champ acustique dnné C est dnc peut-être dans le dmaine de la restitutin en temps-réel d envirnnements snres qu une applicatin du cntrôle actif aussi emblématique que le casque anti-bruit verra le jur. L bjectif de ce dcument est de dnner, à un lecteur ayant des cnnaissances élémentaires en acustique et en traitement du signal, des indicatins en français sur les pssibilités et les limites du cntrôle actif du bruit. Le cntrôle actif n est en effet pas une «technique magique» et ses perfrmances snt bien liées au équatins usuelles de la physique. Pur le lecteur dési- 1 Henri Canda, Prcédé de prtectin cntre les bruits, brevet numér délivré le 29 décembre 1931, et P. Lueg, Prcess f silencing sund scillatins, US Patent N. 2,043,416 de 1936 après le brevet allemand DRP de H.F. Olsn et E.G. May, Electrnic sund absrber, Jurnal f the Acustical Sciety f America, 38, P.A. Nelsn et S.J. Ellitt, Active Cntrl f Sund, Academic Press 5

7 TABLE DES MATIÈRES 6 reu d en savir plus, une bibligraphie smmaire est dnnée en annee ; n purra s y référer à prps de chacun des résultats thériques présentés ici ; n a chisi de ne pas rappeler cela par des renvis cntinuels dans le tete. Pur du cntrôle actif il faut dispser judicieusement des surces acustiques puis les pilter cnvenablement. Il faut dnc faire appel aussi bien à des ntins d acustique que d autmatique et de traitement du signal en temps-réel. Dans une première partie n va dnc s intéresser à l interactin de surces secndaires avec un champ acustique dnné. On mntrera les limites effectivement impsées au cntrôle actif par la prpagatin acustique. Dans une deuième partie, n se penchera sur l btentin effective des signau de cmmande à furnir au surces secndaires ; cette fis c est la causalité bligatire des cntrôleurs qui limitera leurs perfrmances. Enfin dans une trisième partie n décrira quelques-unes des applicatins industrielles du cntrôle actif en présentant ntamment quelques résultats tirés de travau cnduits au LMA.

8 Chapitre 1 Cntrôle actif et acustique Pur cncevir un dispsitif de cntrôle actif, il faut savir cmment des surces de bruit secndaires peuvent interagir avec un champ primaire dnné. Il faut ntamment savir si, cmpte tenu du milieu de prpagatin ù l n se truve, une u plusieurs surces snt bien capables de réduire le bruit et si cette réductin sera lcale (i.e. restreinte à quelques pints de l espace) u si elle peut être glbale ; il faut également se frger quelques règles générales pur savir cmbien de surces secndaires et de capteurs utiliser et ù les dispser. Pur cela, le début de ce chapitre est cnsacrée à l étude de quelques situatins académiques ù le cntrôle est fait à l aide d un petit nmbre de transducteurs. On va mntrer ensuite que, même si un cntrôle glbal du champ acustique est thériquement pssible, le nmbre de transducteurs utilisables en pratique restreint le champ d applicatin du cntrôle actif : pur une atténuatin dans une zne dnnée le nmbre de transducteurs à utiliser augmente rapidement avec la fréquence. On va se placer ici dans le cadre de l acustique linéaire nn dissipative des milieu statinnaires ; n va ntamment suppser de façn plus u mins réaliste que : le niveau de bruit est «raisnnable» (y cmpris devant les surces) ; le milieu ne cmprend pas d éculement nn unifrme ; les transducteurs (surces et capteurs) utilisés pur le cntrôle snt linéaires invariants ; le milieu est statinnaire (pas d évlutin de la gémétrie u de la célérité du sn avec le temps... ). la dissipatin est négligeable dans le milieu de prpagatin et à ses limites. Ces hypthèses n nt pas frcément besin d être vérifiées pur faire effectivement fnctinner un dispsitif de cntrôle actif ; en revanche elles snt cmmdes pur établir analytiquement des résultats intéressants, les fluctuatins de pressin étant alrs slutin de l équatin des ndes : 1 2 p c 2 t 2 q 2 p = ρ 0 t ù c est la célérité du sn, ρ 0 la masse vlumique et q la densité vlumique de débit de surces telles que des enceintes acustiques présentes dans le milieu. Il faut asscier les fluctuatins de la vitesse dans le fluide à celles de la pressin pur prendre en cmpte les cnditins au limites usuelles et pur avir une idée des transferts énergétiques liées à la prpagatin acustique. La vitesse et la pressin snt cuplées par eemple via l équatin de cnservatin de la quantité de (1.1) 7

9 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 8 muvement (équatin d Euler) linéarisée : ρ 0 v t = p (1.2) Pur ne cnsidérer que des sns purs à la pulsatin ω, n peut pser a priri p = R( pe jωt ) 1. Dans ce cas l équatin des ndes se transfrme en l équatin d Helmhltz : p+k 2 p = jωρ 0 q (1.3) ù k = ω/c est le nmbre d nde et ù q = R( qe jωt ). De même l équatin (1.2) s écrit en sn pur : ρ 0 jωṽ = p. On mettra le symble dans la suite pur désigner les grandeurs cmplees cnsidérées quand n se restreint au sns purs. 1.1 Cntrôle d un mnpôle par un autre L bjectif de cette sectin est de mntrer que, même dans le cas très simple d une surce de bruit pnctuelle en espace libre, les mdalités de la prpagatin acustique fnt qu il est difficile de réduire le bruit par cntrôle actif dans une zne de dimensins significatives. On va suppser ici que le bruit primaire est prduit en champ libre par une surce mnpôlaire, idéalisatin d une surce mnidirectinnelle (telle qu une sphère pulsante) dnt les dimensins snt petites devant la lngueur d nde. Si q p est le débit de cette surce, la pressin acustique primaire p p slutin de l équatin (1.3) est dnnée par : p p (M) = jωρ 0q p 4π e jkr p r p (1.4) ù r p désigne la distance entre le mnpôle et le pint d écute M Effet glbal d un cntrôle lcal Lrsque qu une surce secndaire de débit q s, elle-aussi mnpôlaire, est mise en marche, la pressin ttale s écrit : p(m) = jωρ 0q p 4π e jkr p r p + jωρ 0q s 4π e jkr s r s (1.5) On purra dnc annuler parfaitement le bruit en un pint M en piltant la surce secndaire de telle srte que : r s q s = q p e jk(r p r s ) (1.6) r p 1 On peut tut aussi bien cmme certains auteurs préférer pser p = R( pe iωt ) ; attentin au cnséquences de l une u l autre cnventin, par eemple sur l epressin des fnctins de Green u le signe de la partie imaginaire d une impédance de surface...

10 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 9 FIG. 1.1 Atténuatin (en db) btenue par cntrôle avec un mnpôle secndaire (s) du bruit prduit en un pint (X) par un mnpôle primaire (p) En revanche, avec une telle cmmande, il n y a aucune raisn pur que la pressin acustique sit nulle en un autre pint quelcnque M ; la figure 1.1 mntre par eemple, à plusieurs fréquences, l atténuatin btenue dans le plan z = 0 lrsque le bruit est cntrôlé au pint de crdnnées (0,5;0,5;0) avec les mnpôles en ( 1;0;0) et (1;0;0). Sur ces figures n cnstate que le bruit n est réduit de façn imprtante que dans des znes étrites ; ces znes rétrécissent lrsque la fréquence s élève Cnditins d atténuatin glbale Un résultat intéressant peut être établi lrsque l n cherche à annuler le bruit en un pint éligné des mnpôles primaire et secndaire. Dans ce cas, n peut simplifier l équatin (1.5) par une apprimatin de champ lintain. Avec les ntatins de la figure 1.2, la pressin acus-

11 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 10 tique s écrit alrs : p(m) = jωρ 0 4π e jkr p [ q p + q s e jkdcsθ] (1.7) r p Le bruit est annulé en M si q s = q p e jkd csθ. La pressin en un autre pint M de crdnnées (r p,θ ) vaut alrs : p(m ) = jωρ 0 4π e jkr p r p q p [1 e jkd(csθ csθ ) ] (1.8) On peut maintenant calculer le rati entre la pressin avec cntrôle et la pressin sans cntrôle au pint M : J = p(m ) [ p p (M ) = 1 e jkd(csθ csθ ] (1.9) En remarquant que 1 e jα 2 = 2(1 csα), n btient : Par cnséquent n aura J 2 < 1 si : J 2 = 2(1 cs[kd(csθ csθ )]) (1.10) cs[kd(csθ csθ )] > 1 2 (1.11) ce qui sera vérifié put tut θ et pur tut θ si 2kD < π/3 dnc finalement si : D < λ 12 (1.12) Dans le cas particulier ù le pint d annulatin se truve à égale distance des deu mnpôles, n a alrs csθ = 0 et q s = q p et l inégalité (1.11) cnduit à une réductin du bruit dans tut l espace en champ lintain si : D < λ (1.13) 6 Ce petit calcul mntre d une part qu annuler avec un mnpôle secndaire le bruit prduit par un mnpôle primaire en un pint quelcnque ne réduit le bruit dans tut l espace que si la distance entre les deu mnpôles est inférieure à un duzième de lngueur d nde. D autre part dans le meilleur des cas le bruit ne peut être réduit dans tut l espace autur des mnpôles que s ils snt écartés de mins d un siième de lngueur d nde, ce qui est peu. On verra en sectin 1.4 qu avec un grand nmbre de surces secndaires et de pints de minimisatin autur du mnpôle primaire un cntrôle très efficace du bruit est néanmins pssible dans tut l espace Tracés d intensité acustique Dans le cas ù le mnpôle secndaire est suffisamment prche du mnpôle primaire, la pressin acustique et dnc l énergie acustique raynnée peuvent être réduites dans tut l espace par cntrôle actif. Cette disparitin d une partie de l énergie présente sans cntrôle a laissé perplee plus d une persnne au débuts du cntrôle actif, certains clamant que cette énergie devait bien devir se retruver quelque part dans l espace en pratique.

12 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 11 M Rp R Rs θ θ Qp D Qs FIG. 1.2 Ntatins pur l apprimatin de champ lintain En fait ce snt bien les haut-parleurs faisant ffice de surces primaire et secndaire qui peuvent absrber de l énergie acustique. Il faut d abrd se rappeler que le rendement acustique d un haut-parleur est typiquement inférieur à 1% ; l essentiel de l énergie qui lui est furnie est dissipée dans les circuits électriques. Il est par cnséquent pssible que, dans un dispsitif de cntrôle actif, un u plusieurs haut-parleurs absrbent de l énergie sans qu aucune anmalie ne puisse être cnstatée. Il s avère même que cette absrptin est difficile à bserver epérimentalement en pratique tant l énergie acustique absrbée est faible devant les énergies électriques présentes! Pur illustrer ensuite le fait que des mnpôles peuvent absrber de l énergie, n peut tracer des vecteurs intensité acustique. L intensité est définie par i = pv ù la vitesse acustique v peut être déduite de la pressin p slutin de l équatin d Helmhltz (1.3) à partir de l équatin de cnservatin de quantité de muvement linéarisée (1.2) Avec une nde mnfréquentielle cette équatin devient ρ 0 jωv = p. L intensité acustique myennée sur une péride vaut dans ce cas i = R(pv )/2, n la qualifie d active par rapprt à l intensité réactive définie par I(pv )/2 qui renseigne, elle, sur l énergie stckée lcalement dans le champ prche d une surce. Dans le cas du mnpôle, seule la cmpsante radiale de la vitesse est nn nulle et elle vaut : v r = 1 (1+ jkr)p (1.14) ρ 0 c La figure 1.3 mntre les intensités active et réactive dans les même cnditins que la figure 1.1 pur λ/d = 10 ; n vit bien l intensité (active) «rentrer» dans un des mnpôles. Pur terminer n sulignera que l absrptin d énergie par les surces primaires u secndaires n est pas le seul mécanisme de redistributin de l énergie lrs de la mise en œuvre d un cntrôle actif ; n l a mis en évidence ici parce que les mnpôles étaient relativement prches. Si les deu mnpôles étaient très élignés l un de l autre, l intensité que chacun raynne serait égale à celle raynnée en l absence de l autre mnpôle. Dans ce cas, n aurait en un pint cntrôle actif du bruit simplement par interférence destructive des deu pressins prduites ; n bserverait au final une augmentatin de l énergie glbale. Un trisième mécanisme peut aussi être identifié ntamment dans les cnduits : le fnctinnement de surces secndaires mdifie la cnditin au limites qui détermine le raynnement acustique d une surce primaire de débit fié ; dans ce cas n peut dire que le cntrôle se fait aussi en partie via une mdificatin de

13 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE Intensité active : Re(pv*/2) Intensité réactive : Im(pv*/2) FIG. 1.3 Intensité acustique après cntrôle pur λ/d = 10 l impédance de raynnement de la surce primaire. En pratique tus ces mécanismes peuvent être présents ; la mise en œuvre effective d un cntrôle ptimal peut être être faite sans savir quel mécanisme plutôt qu un autre est cncerné Dévelppement en harmniques sphériques Un haut-parleur dans une enceinte peut être cnsidéré, à basse fréquence, cmme un mnpôle. A plus haute fréquence il devient directif ; de même la plupart des surces primaires que l n sera amené à cmbattre par cntrôle actif ne snt pas assimilables à des mnpôles. Pur simuler, cmme n l a fait pur un mnpôle, le cntrôle actif d une surce à directivité cmplee à l aide de surces secndaires réelles, il est pratique d utiliser le dévelppement en harmniques sphériques du champ dans une curnne sphérique ne cmprenant pas de surces : p(r,θ,φ) = + n=0 h n (1) (kr) +n a n m P n m (csθ)e jmφ + m= n + n=0 h (2) n (kr) +n m= n b n m P n m (csθ)e jmφ (1.15) u h (1) n est la fnctin de Hankel sphérique d rdre n et de première espèce et P n m est la fnctin de Legendre de degré n et d rdre m. Les deu smmatins crrespndent à des ndes cnvergeant depuis l infini vers l rigine u à des ndes divergeant depuis l rigine. Chacun des termes du dévelppement crrespnd au raynnement d un multipôle assciatin élémentaire de mnpôles, placés à l rigine u à celui d un «multipuits». Le nmbre de termes à prendre en cmpte pur évaluer précisément la série (1.15) reflète la cmpleité du raynnement de la surce.

14 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE Cntrôle en prpagatin guidée La réductin du bruit dans les gaines de ventilatin a été une des premières applicatins du cntrôle actif ; elle demeure une des seules a avir cnduit à la mise sur le marché de «prduits» du cntrôle actif de série. On va vir dans cette sectin que la prpagatin en cnduit est effectivement un cas favrable pur le cntrôle actif. On peut, avec un nmbre limité de surces à basse fréquence, annuler eactement dans un cnduit le bruit dans les trnçns ne cmprenant pas de surces. En dehrs des gaines de ventilatin, les cheminées, les lignes d échappement, les entrées de réacteur d avin mais aussi le cnduit auditif nt dnné lieu à des études de cntrôle actif en prpagatin guidée. Les instruments de musique à vent, «le chenal céanique» et l atmsphère dans certaines cnditins métérlgiques snt d autres eemples de guides d nde Cnditins d annulatin glbale du champ D une façn générale, si un cnduit est rectiligne et de sectin cnstante, l équatin d Helmhltz (1.3) peut être séparée en termes de crdnnée lngitudinale z et de crdnnées transversales, y. Sans éculement et pur un cnduit à paris rigides, la pressin dans les trnçns ne cmprenant pas de surces s écrit, à une pulsatin dnnée ω, cmme une smme finie de «mdes prpagatifs» : p(,y,z,ω) = N n=1 a n (ω)φ n (,y) e jk nz + a n (ω)φ n (,y) e + jk nz (1.16) ù les φ n snt les fnctins prpres de l équatin d Helmltz pur le prblème de Neumann asscié à la sectin du cnduit. Les cefficients a n et a n du dévelppement (1.16) changent au passage des sectins cmprtant des surces de bruit. Dans un cnduit infini et en aval de tute surce, les ndes se prpagent dans un seul sens ; l epressin (1.16) se réduit à : p(,y,z,ω) = N n=1 a n (ω)φ n (,y) e jk nz (1.17) Dans le cas général les cnditins au limites en etrémité de cnduit permettent de relier linéairement les cefficients a k au cefficients a l. Pur quelques sectins de frme simple, les fnctins prpres φ n peuvent être btenues par séparatin des variables transversales ; dans le cas général n peut les btenir numériquement par eemple via une mdélisatin par éléments finis. Enfin au visinage immédiat des surces, les «mdes évanescents» cntribuent aussi à la pressin ; Dans les trnçns ne cmprenant pas de surces, le champ est dnc parfaitement caractérisé par la dnnée du vecteur A = (a 1...a N ) t des amplitudes mdales dnt il est une fnctin linéaire ; les amplitudes mdales représentent les «degrés de liberté effectifs» du champ dans le cnduit. Si un réseau de capteurs est dispsé dans le cnduit, il eiste une matrice G reliant le vecteur des amplitudes mdales au vecteur P des pressins effectivement mesurées, P = G A. Réciprquement, avec des surces linéaires dans le cnduit (mais pas dans le trnçn cnsidéré), il eiste une matrice H qui relie les signau de cmmande U envyés au surces au vecteur

15 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 14 des amplitudes mdales : A = HU. A partir de ces epressins n peut discuter de l efficacité d un système de cntrôle actif ; le vecteur des amplitudes mdales lrsqu un bruit brimaire et des bruits secndaires se prpagent dans le tuyau sera de la frme : A = A p + A s = A p + H U (1.18) Cmme epliqué en sectin 1.1.3, les amplitudes mdales du champ primaire A p peuvent parfis dépendre des cmmandes secndaires U. Que cela sit le cas u nn, le vecteur des amplitudes mdales glbales et dnc le champ en tut pint en aval des surces sera nul si A p + HU = 0. Il eistera dnc un vecteur des cmmandes qui annule le champ si la matrice H est de rang supérieur u égal au nmbre N de mdes prpagatifs dans le cnduit ; cncrètement cela sera le cas dès que le nmbre de surces secndaires est égal au nmbre de mdes prpagatifs si ces surces snt dispsées de telle srte que la matrice H ne sit pas singulière. Cette dernière cnditin sera vérifiée de façn presque sûre avec un nmbre mdéré de mdes si les surces snt dispsées de façn aléatire ; avec un très grand nmbre de mdes et un petit nmbre de transducteurs, la psitin des surces et des capteurs peut en revanche mdifier significativement l efficacité d un cntrôle. Si le nmbre de surces est inférieur au nmbre N de mdes prpagatifs, la pressin peut être minimisée mais pas ttalement annulée ; si le nmbre est supérieur à N, plusieurs vecteurs de cmmande différents peuvent cnduire à l annulatin de la pressin. Cmme n le verra par ailleurs au chapitre 2, la mise en œuvre d un cntrôle actif est grandement simplifiée si l n dispse de signau mesurant directement les quantités à minimiser. Puisqu avec un réseau de capteurs n mesure un vecteur de pressin P = GA, annuler P impliquera l annulatin de A si la matrice G est de rang plein c est à dire ntamment si le nmbre de capteurs est supérieur au nmbre N de mdes prpagatifs. En cnclusin, un cntrôle actif glbal du champ dans les trnçns sans surces est pssible dans un cnduit avec un nmbre de surces secndaires supérieur u égal au nmbre de mdes prpagatifs. Si n dispse d un nmbre de capteurs supérieur à ce même nmbre, minimiser la pressin sur ces capteurs impliquera l annulatin ttale du champ en aval des surces. En pratique l atténuatin btenue en cnduit peut dépasser 60dB ; elle est plus limitée par la qualité du système électrnique de cntrôle que par l acustique Déterminatin du nmbre de mdes effectivement prpagatifs A basse fréquence (par eemple en deça de c/2a pur un cnduit de sectin carrée de côté a), un seul mde est prpagatif et il est asscié à des frnts d nde plans qui s élignent dans le cnduit. Une seule surce secndaire et un seul capteur de minimisatin suffisent pur annuler la pressin acustique en aval du système de cntrôle actif ; c est purqui les cnduits (en l ccurence les gaines de ventilatin) nt dnné lieu au premières applicatins du cntrôle actif. A une fréquence plus élevée (u pur des cnduits de plus grande sectin), le nmbre eact de mdes prpagatifs s btient via l etractin des fnctins prpres de l équatin d Helmhltz. Pur un cnduit tel qu une entrée de réacteur d avin et pur un bruit à 2kHz cmme la première raie du bruit de sufflante (cf. la sectin 3.3.2), plusieurs dizaines de mdes snt prpagatifs et autant de transducteurs snt en principe nécessaires pur un cntrôle actif glbal. En pratique,

16 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE valeurs singulières de la matrice de transfert secndaire entre 16 surces et 16 micrphnes en pari de cnduit 1 valeurs singulières de la matrice de transfert secndaire entre 16 surces et 16 micrphnes devant l entrée du cnduit valeurs singulières valeurs singulières fréquence (Hz) fréquence (Hz) FIG. 1.4 Tracés de valeurs singulières de matrices de transfert il s avère qu une surce de bruit primaire dnnée n ecite pas tus les mdes prpagatifs et que seule une partie d entre eu cntribue significativement à la prpagatin du bruit dans le cnduit ; le nmbre de transducteurs nécessaires à un cntrôle actif peut être réduit. Une indicatin pratique du nmbre de transducteurs à utiliser peut être btenue en dispsant un grand nmbre de surces et de capteurs dans le cnduit. On peut alrs effectuer, fréquence par fréquence, la décmpsitin en valeurs singulières (cf. l annee A) de la matrice de transfert entre les surces et les capteurs. En traçant les valeurs singulières, n bserve la cntributin de chacun des mdes à la matrice de transfert. La figure 1.4 mntre à gauche ce tracé pur une matrice de transfert mesurée, dans l entrée d un réacteur, entre 16 chambres de cmpressin et 16 micrphnes en pari. On cnstate que cette matrice de transfert peut être apprchée avec mins de 10% d erreur par une matrice de rang 6 ; par cnséquent, utiliser un plus grand nmbre de surces u de capteurs n amélirerait que peu en pratique les résultats d un cntrôle actif visant à atténuer le bruit dans le cnduit. La figure 1.4 mntre à drite la matrice de transfert entre les même surces et 16 micrphnes dispsés devant l entrée du réacteur ; cette figure mntre qu un plus grand nmbre de capteurs est nécessaire pur réduire le bruit à l etérieur que pur le réduire à l intérieur. Cela s eplique par le fait que les mdes frtement ecités dans le cnduit snt précisément ceu qui snt peu amrtis par cuplage avec l etérieur, des mdes qui cntribuent peu au niveau dans le cnduit peuvent cntribuer frtement au niveau à l etérieur. Enfin le «dédublement» des pics sur la figure 1.4 est dû à un éculement à 4 m/s dans le cnduit : les mdes snt assciés à des vitesses légèrement différentes suivant qu ils se prpagent dans un sens u dans l autre. Une fis effectuée la décmpsitin en valeurs singulières de la matrice de transfert secndaire, le bruit primaire peut être décmpsé sur la base des vecteurs singuliers à gauche. Les cmpsantes crrespndantes indiquent cmment la surce primaire ecite les mdes tels qu ils snt détectés par les capteurs.

17 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE Cntrôle en espace cls On va rappeler ici qu à basse fréquence peu de mdes cntribuent significativement au bruit dans une cavité ; un cntrôle actif glbal du bruit y est alrs envisageable. Cette situatin crrespnd au cas de la fréquence fndamentale du bruit mteur dans une viture mais aussi à celui du vlume cntenu sus la cquille d un casque anti-bruit Dévelppement en série de mdes à basse fréquence La pressin acustique dans une cavité à brds rigides peut être eprimée sus la frme d une série de mdes : α n (ω) p(,y,z,ω) = ω 2 n ω 2 φ n(,y,z) (1.19) + n=1 Les pulsatins prpres ω n et les mdes prpres φ n de la cavité peuvent être calculés par eemple via une Mdélisatin par Elements Finis u, pur quelques gémétries simples, par séparatin de variables. Dans le cas d une cavité parallélépipédique, les φ n snt, à un cefficient de nrmalisatin prêt, de la frme csk csk y y csk z z et ω 2 n = c 2 (k 2 + k 2 y + k 2 z), les nmbres d ndes partiels k α étant des multiples de π/l α ù L α est la lngueur du côté crrespndant de la cavité. A partir de la série mdale (1.19), un raisnnement analgue à celui de la sectin précédente mntre qu une infinité de transducteurs est en principe nécessaire pur un cntrôle glbal du bruit dans la cavité. Tutefis la plupart des surces de bruit cnduisent à des amplitudes mdales α n (ω) qui varient lentement avec la fréquence ; un mnpôle cnduit par eemple à des cefficients α n en jω. Par cnséquent, chacun des termes de la série (1.19) n apprte en général de cntributin significative qu au visinage de sa pulsatin de résnance ω n. Pur un bruit dans une bande de fréquence dnnée, le nmbre de mdes à cntrôler et par cnséquent le nmbre de surces secndaires et de capteurs à utiliser pur du cntrôle actif sera typiquement cmparable au nmbre de mdes dnt la fréquence de résnance est dans la bande à traiter. Le nmbre de mdes cntribuant à la répnse acustique d une cavité augmente rapidement avec la fréquence. Pur une cavité parallélépipédique, une bnne apprimatin du nmbre de mdes dnt la fréquence de résnance est inférieure à f est par eemple dnnée par : N( f) = 4π f 3 V 3c 3 + π f 2 S 4c 2 + f L 8c (1.20) ù L est la smme des dimensins de la cavité, S la surface ttale de ses paris et V sn vlume. En dérivant cette epressin par rapprt à la fréquence il apparaît bien le nmbre de mdes dans une bande de fréquence dnnée augmente cmme le carré de la fréquence. Le nmbre de transducteurs nécessaires à un cntrôle actif glbal du bruit dans la cavité devient dnc rapidement supérieur à ce qu n peut utiliser en pratique si n se base sur le nmbre de mdes à traiter. On verra néanmins en sectin 1.4 qu un cntrôle glbal n est pas eclu même si le nmbre de mdes qui cntribuent au bruit est très élevé. Cmme pur le cntrôle dans les guides d nde, la décmpsitin en valeurs singulières d une matrice de transfert mesurée en cavité peut renseigner sur le nmbre de mdes qui cntribuent significativement à la pressin. La figure 1.5 mntre la décmpsitin en valeurs singulières d une matrice de transfert entre 9 haut-parleurs et 32 micrphnes dans une cavité

18 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE Valeurs singulières d une matrice de transfert 239 dans une grande cavité db FIG. 1.5 Valeurs singulières d une matrice de transfert en cavité reprduisant l habitacle d un avin bi-mteur. Entre 80Hz (fréquence en deça de laquelle les haut-parleurs snt inefficaces) et 250Hz, les pics bservés sur la plus grande valeur singulière snt typiques de résnances islées. Quelques transducteurs peuvent suffirent à un cntrôle efficace dans tute la cavité. En revanche au delà de 250Hz le bruit dans la cavité ne peut plus être cntrlé en agissant individuellement sur quelques mdes Mdélisatin du champ à plus haute fréquence Au delà d une certaine fréquence, le bruit dans une cavité peut être assimilé à un champ diffus, situatin ù l n cnsidère que le bruit en tut pint est dû à la smme d ndes planes prvenant de tutes les directins et dnt les phases relatives snt aléatires. Cette descriptin n est pas antagniste avec une représentatin mdale : chaque mde prpre d une cavité parallélépipédique crrespnd par eemple à la superpsitin de 8 ndes planes, ce qu n peut cnstater à partir du dévelppement : csk csk y y csk z z = (e jk + e jk )(e jk yy + e jk yy )/8(e jk zz + e jk zz ) (1.21) Le nmbre de mdes cntribuant à la répnse de la cavité à une fréquence élevée fait qu n peut effectivement cnsidérer la pressin cmme due à un grand nmbre d nde planes. On cnsidère suvent que la fréquence à partir de laquelle le champ peut être cnsidéré cmme diffus dans une cavité est la fréquence de Schreder, fréquence pur laquelle le nmbre myen de fréquences de résnance dans la bande passante à -3dB d une résnance quelcnque est égal à 3. Cette fréquence peut être évaluée par f Sch = 2000(T 60 /V) 1/2 ù V est le vlume de

19 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 18 la cavité et T 60 le temps de réverbératin nécessaire à une décrissance du bruit de 60dB après etinctin des surces. Une prpriété imprtante des champs diffus pur la mise en œuvre pratique d un système de cntrôle actif cncerne la crrélatin entre les pressins mesurées en deu pints distincts. Sus les hypthèses de champ diffus n mntre que cette crrélatin n est fnctin que de la distance r entre deu pints et qu elle est de la frme : γ( r) = < p(r)p(r+ r) > < p(r) 2 > = sinck r = sink r k r (1.22) ù <. > désigne l pératin de myenne spatiale. On verra au chapitre 2 l influence que peut avir une telle fnctin de crrélatin sur l efficacité d un dispsitif pratique de cntrôle actif. 1.4 Cntrôle avec un grand nmbre de surces Cntrôle glbal d un côté d une surface fermée On a vu en sectin 1.1 que l annulatin avec un mnpôle de la pressin en un pint ne cnduisait à une réductin significative du bruit qu en une zne de l espace très étrite. Lrsqu n utilise plusieurs pints de minimisatin et plusieurs surces secndaires, n btient plusieurs znes d atténuatin qui peuvent être jintives si les pints de minimisatin snt suffisamment prches les uns des autres ; de cette façn n peut étendre, dans une certaine mesure, la zne de minimisatin. Une situatin très intéressante apparaît lrsque les znes ù le bruit a été frtement réduit frment une surface fermée S avec les surces primaires et secndaires situées du même côté de cette surface. En effet, la seule slutin à l équatin d Helmhltz avec pressin nulle au brd (prblème de Dirichlet hmgène ) est p = 0 dans tut le dmaine, sauf au fréquences de résnance du vlume délimité par la surface. Par cnséquent, assurer p = 0 sur S assure p = 0 dans tut le vlume situé de l autre côté des surces par rapprt à S en dehrs de ces fréquences. Pur assurer p = 0 dans le vlume au fréquences de résnance, il est nécessaire d impser p = 0 dans le vlume u p n = 0 à sa surface en un nmbre de pints suffisants 2. La figure 1.6 mntre, pur différentes fréquences, le cntrôle btenu dans un disque à l aide de 32 surces secndaires et de 32 pints de minimisatin lrsque le bruit primaire est une nde plane. Cette simulatin de cntrôle a été faite en 2D, la fnctin de Green étant en 2D de la frme j 4 H(2) 0 (kr). On cnstate qu une atténuatin imprtante du bruit à l intérieur du plygne défini par les pints de minimisatin est pssible ; il apparaît que pur cela deu pints de minimisatin par lngueur d nde snt nécessaires le lng du plygne de pints de minimisatin. D une façn plus frmelle, la pressin sur une surface fermée S ne cntenant pas de surce est reliée à celle dans le vlume qu elle délimite par une représentatin intégrale du champ : p(m) = S G(M,M ) n p(m ) p(m ) n G(M,M )dm (1.23) 2 ce prcédé n est pas sans analgie avec la méthde CHIEF utiliser pur traiter les "fréquences singulières" rencntrées dans les méthdes d éléments finis de frntière

20 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 19 4 micrphnes par lngueur d nde micrphnes par lngueur d nde micrphnes par lngueur d nde micrphnes par lngueur d nde FIG. 1.6 Atténuatin avec 32 mnpôles () du bruit prduit en 2D par une nde plane en 32 pints ()

21 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 20 ù G est une fnctin de Green pur l équatin d Helmltz. La pressin est dnc parfaitement définie dans le vlume délimité par la surface S par sa valeur et la valeur de sn gradient nrmal sur S ; un cntrôle en surface permet d assigner les valeurs de la pressin dans le vlume. En fait, cmme n l a vu plus haut, annuler la pressin au brd suffira pur l annuler partut dans S en dehrs des fréquences de résnance du vlume crrespndant Une estimatin du nmbre de transducteurs nécessaires Des epériences et des simulatins dans des cnfiguratins variées (nde plane en champ libre, cavités etc...) nt mntré qu il fallait typiquement (cmme en figure 1.6) «tris pints de minimisatin par lngueur d nde» pur que les znes de minimisatin btenues par cntrôle acustique actif apparaissent cmme jintives. Si l n cherche à réduire le bruit d un côté u de l autre d un cube de côté L, il faudra, pur une lngueur d nde λ dnnée, envirn 3a/λ pints de minimisatin par côté. Avec un maillage régulier cela cnduira à envirn 6 9(a/λ) 2 tranducteurs. Par cnséquent, pur un cntrôle jusqu à la fréquence f, une estimatin du nmbre de transducteurs nécessaires est : N = 54a2 f 2 c 2 (1.24) Cette frmule indique par eemple que, pur réduire le bruit dans un cube d un mètre de diamètre en decà de 340Hz, une cinquantaine de pints de minimisatin snt nécessaires, ce qui est imaginable avec les technlgies dispnibles aujurd hui. A 3400Hz il faudrait en revanche 5000 pints de minimisatin, ce qui n est pas envisageable. Même avec un grand nmbre de surces et de pints de minimisatin, il apparaît encre qu un cntrôle actif glbal sera en général réservé au basses fréquences. 1.5 Cntrôle actif et psychacustique On a mntré au curs des sectins précédentes qu il était pssible, avec un nmbre fini de surces secndaires, d atténuer significativement par cntrôle actif le bruit à basse fréquence dans une zne dnnée de l espace. Malheureusement cette atténuatin ne se traduit pas frcément par une atténuatin du bruit perçu ; il faut prendre en cmpte les mécanismes mis en évidence par la psychacustique pur évaluer l effet audible d un cntrôle actif. En premier lieu, le db u le db(a) ne rendent pas bien cmpte de la snie, l intensité subjective d un bruit, qui est une fnctin nn linéaire de la pressin acustique. Le db ne rend pas cmpte du fait que l reille humaine perçit mieu les sns entre 1 et 4 khz ; de sn côté le db(a) minimise l imprtance des basses fréquence quel que sit leur niveau alrs qu à frt niveau la snie assciée à un sn basse fréquence est prche de celle d un sn de fréquence plus élevée. Il en résulte d une part que certains dispsitifs de cntrôle actif du bruit dnnent à l écute un résultat décevant en regard du nmbre de db gagnés ; d autre part d autres dispsitifs cmme dans les avins à hélice snt perçus cmme efficaces alrs qu ils ne permettent une réductin du bruit que de quelques db(a). Il serait intéressant de minimiser directement par cntrôle actif la snie plutôt que la pressin acustique ; malheureusement n ne dispse que de capteurs de pressin à partir desquels estimer la snie suppse un calcul nn linéaire en temps-réel.

22 CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 21 En deuième lieu, lrsqu n supprime par cntrôle actif les cmpsantes basse fréquence d un bruit, l auditeur qui perçit plus nettement les cmpsantes nn traitées peut juger par cmparaisn le cntrôle cmme «rajutant du bruit» même si la snie a effectivement été réduite! Un phénmène lié au masquage peut également se prduire avec un sn pur très bien atténué dans un «bruit de fnd» de niveau élevé ; il arrive que le bruit cntrôlé sit perçu cmme plus gênant que le bruit sans cntrôle. Plus généralement, une réductin de la snie par cntrôle actif peut ne pas être appréciée par un auditeur si d autres attributs du sn tels que sn acuité u sa rugsité snt mdifiées pas le cntrôle, la qualité d un bruit u la gêne qu il prvque ne dépendant pas que de la snie. Par cnséquent l interprétatin d un résultat de cntrôle actif dit en général se faire en ayant les cncepts de la psychacustique à l esprit. Il arrive tutefis que l bjectif du cntrôle ne sit pas de diminuer la gêne perçue mais simplement de gagner 1 db pur satisfaire une nrme! Enfin, les cllabratins entre les spécialistes du cntrôle actif et de la psychacustique ne fnt à l heure actuelle que débuter. On peut penser qu elles dnnernt des résultats intéressants pur amélirer les systèmes de cntrôle actif et en cncevir de nuveau visant à amélirer la qualité des bruits. Les techniques du cntrôle actif purrnt réciprquement être mises à prfit par les psychacusticiens pur la cnceptin de tests. 1.6 Résumé Dans ce chapitre n a mntré que le cntrôle actif du bruit était pssible aussi bien en champ libre qu en milieu cnfiné. Le nmbre de transducteurs nécessaire (micrphnes furnissant un signal à minimiser et haut-parleurs utilisés cmme surces de bruit secndaire) augmente tutefis rapidement avec la fréquence des bruits à traiter. Les mdalités de la prpagatin acustique fnt dnc que le cntrôle actif du bruit est a priri une technique adaptée au basses fréquences. Parmi les résultats que l n a établis u illustrés au curs ce ce chapitre n peut rappeler que : en champ libre, un cntrôle avec un mnpôle du bruit prduit par un autre mnpôle ne peut être fait efficacement que dans une zne très petite (devant la lngueur d nde) ; si les deu mnpôles snt distants de mins d un siième de lngueur d nde, le bruit peut être néanmins être réduit dans tut l espace ; en guide d nde, un cntrôle ttal du bruit dans les trnçns sans surces est pssible si le nmbre de surces secndaires et de pints de minimisatin est supérieur au nmbre de mdes prpagatifs ; en cavité, un cntrôle glbal à basse fréquence est envisageable avec un nmbre de transducteurs cmparable à celui du nmbre de mdes cntribuant au bruit dans la cavité ; avec un plyèdre de pints de minimisatin de la pressin acustique, un cntrôle glbal efficace du bruit est pssible du côté ù ne se truve aucune surce de bruit. Il faut pur cela dispser typiquement de tris pints de minimisatin (et de tris surces secndaires) par lngueur d nde à la surface du plyèdre ; une atténuatin même imprtante d un bruit par cntrôle actif ne se traduit pas frcément par une réductin du désagrément qu il prduit.

23 Chapitre 2 Cntrôle actif et autmatique On suppse dnné un dispsitif de cntrôle actif, à savir un certain nmbre de : surces secndaires pur prduire l anti-bruit, capteurs acustiques furnissant ntamment un u plusieurs signau de minimisatin à réduire par cntrôle. On suppse que ces transducteurs nt été placés de telle srte que, d un pint de vue purement acustique, le champ puisse être cntrôlé d une façn satisfaisante, ntamment en termes d étendue de la zne de cntrôle (cf. chapitre 1). Le prblème est maintenant de furnir effectivement au surces secndaires un signal de cmmande permettant de réduire les signau de minimisatin, y cmpris dans les cas ù le bruit primaire est incnnu a priri, large bande et instatinnaire en temps u en espace. Il s agit pur cela de traiter cnvenablement les différents signau furnis pas les capteurs de mesure. On va dans ce chapitre se placer dans le cadre de l Autmatique linéaire (pas d pératins nn linéaires sur les signau, pas d effets nn linéaires dans les transducteurs... ). Après avir discuté des mdalités du cntrôle dans le cas simple d un cnduit à basse fréquence, n va dnner l epressin mathématique des cntrôleurs ptimau, sans puis avec la cntrainte que le cntrôle sit causal. On présentera ensuite l algrithme FXLMS qui permet en pratique de mettre en œuvre un cntrôle quasi ptimal. La dernière partie du chapitre mntrera le lien entre les résultats présentés et le frmalisme auquel n fait d habitude appel en Autmatique. 2.1 Un eemple intrductif On cnsidère un cnduit en srtie duquel n veut atténuer le bruit par cntrôle actif. En deça de la première fréquence de cupure (c/2a pur un cnduit de sectin carrée de côté a), seuls des frnts d nde plans se prpagent dans le cnduit ; en annulant la pressin en un pint en aval de la surce secndaire et en l absence d autres surces au-delà, la pressin sera identiquement nulle partut. Il faut dnc installer un capteur de minimisatin en aval de la surce secndaire et à une distance suffisante pur que seul le mde prpagatif cntribue au bruit sur le capteur. Dans le cas u le bruit primaire arrivant sur le capteur de minimisatin n est pas prédictible (par eemple avec une impulsin u un avec un bruit blanc), un cntrôle ne sera pssible que si un autre capteur détecte le bruit primaire avant qu il n atteigne la surce secndaire ; n 22

24 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 23 bruit primaire micrphne de référence surce secndaire micrphne de minimisatin e u W filtre de cntrle FIG. 2.1 Cntrôle dans un cnduit appellera signal de référence le signal furni par ce capteur de détectin et n parlera d une situatin de cntrôle par feedfrward (aucune epressin française telle que par anticipatin n étant cnsacrée par l usage). On suppse enfin que la cmmande à furnir à la surce secndaire est btenue par le filtrage de par un filtre linéaire W. On abutit ainsi au dispsitif de cntrôle actif schématisé en figure 2.1. Par ailleurs, n suppse cnnaître la fnctin de transfert H dite secndaire entre la surce secndaire et le capteur de minimisatin ; n nte h la répnse impulsinnelle crrespndante. La pressin secndaire p s est alrs dnnée dans le dmaine fréquentiel en fnctin de la cmmande u furnie au haut-parleur secndaire par : et dans le dmaine temprel par : p s (t) = p s (ω) = H(ω)u(ω) (2.1) t h(t τ) u(τ) dτ (2.2) La fnctin de transfert H est une cmbinaisn de la fnctin de transfert prpre à la surce secndaire et de la prpagatin acustique dans le cnduit, n peut la factriser sus la frme : H = H HP e jωl/c (2.3) Si le micrphne de référence est directif et turné vers l amnt, il furnit un signal qui ne représente que le bruit primaire. On en déduit que, si les deu micrphnes snt identiques, le bruit primaire sur celui de minimisatin s btient en retardant le signal : p p (ω) = (ω)e jωl/c (2.4) Avec ces ntatins, le bruit ttal sur le micrphne de minimisatin est dnné par e = p p + p s = p p + Hu = e jωl/c + HW = (e jωl/c + H HP e jωl/c W) (2.5) Par cnséquent n aura e = 0 si : W = H 1 HP e jω(l l)/c (2.6)

25 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 24 Il semble dnc que le filtre de cntrôle W qui annule le signal de minimisatin puisse se calculer facilement. Malheureusement en pratique : 1. les fluctuatins de température peuvent mdifier significativement le filtre ptimal W (variatin de c en T ) ; 2. la fnctin de transfert H HP n est qu une représentatin idéalisée du haut-parleur qui est en pratique instatinnaire et nn-linéaire ; 3. la fnctin de transfert H HP n est pas inversible à tutes les fréquences ; 4. la fnctin de tranfert définie par (2.6) n est pas frcément réalisable parce que peut-être nn causale (s il y a des retards supérieurs à (L l)/c dans H HP ) ; 5. le signal de référence peut être perturbé en pratique par le cntrôle ; 6. une petite erreur sur W suffit pur dégrader le cntrôle (une erreur de 1% limite à 40dB l atténuatin du bruit) ; Pur tutes ces raisns, un cntrôle actif simplement basé sur la frmule 2.6 ne peut être satisfaisant en pratique, ntamment pur une applicatin industrielle. Pur les raisns 1, 2 et 6 il apparaît que le filtre de cmmande W dit puvir s adapter plus u mins autmatiquement à des variatins de l envirnnement dans lequel n effectue le cntrôle. Pur les raisns 2 et 5 il apparaît que le prcédé de calcul de W dit être rbuste à une erreur sur la fnctin de transfert H et à une altératin de la référence. Enfin pur les raisns 3 et 4 ce prcédé dit cnduire à un filtre W physiquement réalisable c est à dire causal et stable. L bjet des paragraphes suivants est de mntrer que, purvu que le signal de référence et la fnctin de transfert secndaire sient cnvenables, il eiste des algrithmes adaptatifs efficaces et rbustes pur calculer et rendre pératinnel en temps réel un filtre de cntrôle W causal quasi ptimal. 2.2 Cntrôle par feedfrward ptimal Le diagramme de la figure 2.2 reprend sus une frme générale un dispsitif tel que celui de la figure 2.1. Le signal de minimisatin e est la smme du bruit secndaire et d un bruit primaire a priri incnnu d (cmme disturbance) ; la flèche en prvenance du signal de minimisatin e signifie que l n va chercher à régler le filtre W pur minimiser ce signal Cntrôle ptimal nn causal Dans le cas ù le bruit primaire d prvient eclusivement de la même surce que le signal de référence, n peut écrire d = F ù la fnctin de transfert F est définie à partir des signau et d cmme : F = S d S (2.7) Dans ce cas le signal de minimisatin vaut e = F+HW et le filtre de cmmande ptimal est dnné directement cmme au paragraphe précédent par : W = H 1 F = 1 H S d S (2.8)

26 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 25 Filtre de cntrle Transfert secndaire d bruit primaire u y W H cmmande signal de référence e signal de minimisatin FIG. 2.2 Cntrôle par feedfrward Dans le cas général ù d n est pas seulement le filtrage linéaire de, si tus les signau snt statinnaires n mntre que ce résultat est cnservé : Cntrôle par feefrward ptimal Le filtre W (éventuellement nn causal) qui minimise la valeur quadratique myenne du signal de minimisatin est dnné par : W = 1 S d (2.9) H S Avec ce filtre, le rapprt de la Densité Spectrale de Puissance du bruit avec cntrôle sur celle sans cntrôle vaut 1 γ 2 d ù γ2 d est la chérence entre le signal de référence et le bruit primaire. On rappelle que la chérence γ 2 d entre les signau et d est définie par : γ 2 d = S d 2 S S dd (2.10) L eercice suivant mntre sur un eemple académique cmment le cntrôle se dégrade lrsque la chérence entre le signal de référence et le signal de minimisatin n est pas égale à 1 : Eercice : On cnsidère deu mnôples en champ libre en = 0 et = 1. Les mnpôles prduisent deu bruits blancs décrrélés de même débit vlumique q. Calculer, en fnctin de, l atténuatin pssible lrsque le débit du mnpôle en = 0 est pris cmme signal de référence. Slutin : Le bruit prduit par les deu mnpôles est dnné par : p(,ω) = jωρ 0q 1 (ω) e jk 4π + jωρ 0q 2 (ω)e jk(1 ) 4π(1 ) (2.11) ù les cntributins q 1 et q 2 de chaque mnpôle nt même mdule q mais des phases décrrélées. Cmpte tenu du fait que S +y,+y = S + S yy + 2R(S y ) et qu ici S q1 q 2 = 0, il vient : S p()q1 = jωρ 0e jk 4π S q1 q 1 = jωρ 0e jk 4π S qq (2.12)

27 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE bruit prduit par deu mnples : atténuatin du bruit chérent avec celui placé en = atténuatin (db) abscisse du pint de minimisatin S p()p() = d ù l n déduit : jωρ 0 4π FIG. 2.3 Slutin de l eercice de la sectin S q1 q 1 + jωρ 0 4π(1 ) γ 2 p()q 1 = 2 S q2 q 2 = jωρ 0 4π 2 [ ] 1 S qq (1 ) 2 (2.13) 1/ 2 1/ 2 + 1/(1 ) 2 (2.14) La figure 2.3 mntre l atténuatin pssible du niveau de bruit par cntrôle actif 10lg 10 (1 γ 2 p()q 1 ) en fnctin de l abscisse du pint de minimisatin. En sectin n a plus généralement vu l epressin dnnant la crrélatin entre les pressins mesurées en deu pints d un champ diffus : γ( r) == sinck r = sink r (2.15) k r Pur un cntrôle en champ diffus les capteurs de minimisatin et de référence divent dnc être très prches. On retiendra de cette sectin que pur un cntrôle par feedfrward efficace une très bnne chérence est nécessaire entre le signal de référence et le signal de minimisatin Cntrôle ptimal causal Le cntrôleur ptimal présenté en sectin précédente n a aucune raisn d être causal dans le cas général. Reprenns l epressin (2.8) W = H 1 F qui cnduit à un cntrôle parfait quel que sit le bruit primaire lrsque la chérence entre référence et minimisatin vaut 1. La fnctin de transfert F incrpre le temps de prpagatin entre le signal de référence et le bruit primaire. De sn côté H incrpre le temps de prpagatin entre la surce secndaire et le signal de minimisatin ; le prduit H 1 F incrpre la différence entre ces deu retards qui sera sit une avance (nn causale), sit un retard. Par eemple si, sur le dispsitif représenté en figure 2.1, le micrphne de référence était situé entre la surce secndaire et le micrphne de minimisatin,

28 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 27 la référence détecterait bien le bruit primaire avant la minimisatin mais il serait trp tard pur que le haut-parleur puisse instantanément agir dessus. Dans le cas général, les retards cmpris dans la fnctin de transfert secndaire et dans S d peuvent limiter les perfrmances d un cntrôleur nécessairement causal. De plus n peut mntrer que l inverse de la fnctin de transfert H qui apparaît dans l équatin (2.8) peut inclure des avances bien plus grandes que les retards présents dans H, par eemple en présence de réfleins acustiques. En revanche si le bruit primaire est péridique u plus généralement prédictible, ces différents retards n aurnt en revanche aucune influence sur le cntrôleur une fis passées les premières pérides ; le cntenu spectral du bruit (bruit de raies u bruit large bande) jue dnc lui aussi sur la cntrainte de causalité du cntrôleur ptimal, ce que traduit le résultat ci-dessus : Cntrôle par feedfrward ptimal causal Le filtre W causal qui minimise la valeur quadratique myenne du signal de minimisatin e est dnné par : W = 1 { } Sd GH min G (2.16) H all + ù : la fnctin de transfert H est factrisée en fnctin à phase minimale et fnctin passe-tut : H = H min H all (cf. l annee B) G est le résultat de la factrisatin spectrale de la Densité Spectrale de Puissance du signal de référence, S = GG (cf. l annee B) le crchet {...} + représente la prjectin causale btenue par transfrmatin de Furier inverse, mise à zér des termes crrespndant à t < 0 puis transfrmatin de Furier pur revenir au dmaine fréquentiel. La frmule (2.16) mntre frmellement l influence des retards dans le transfert secndaire et du cntenu du bruit sur le cntrôleur ptimal. Elle permet aussi une simulatin numérique précise d un cntrôle idéal. Cnsidérns par eemple le cntrôle du bruit cnstitué par la répnse à un bruit blanc d un scillateur du secnd rdre (système masse-ressrt u mde acustique islé d une cavité) ; la Densité Spectrale de Puissance du signal de référence est de la frme : S = α ω 2 ω jξω 0ω 2 (2.17) La figure 2.4 mntre le cntrôle btenu, lrsque le bruit primaire d est égal au signal de référence, avec ξ = 10% et une fnctin de transfert H égale à un retard pur τ. Si le retard cntenu dans H est faible (ce retard est eprimé en pérides sur la figure 2.4), le cntrôle est très efficace ; si le retard est très imprtant le cntrôle est inpérant. Entre ces deu etrêmes n btient à partir de la frmule (2.16) un ensemble de cntrôleurs ptimau dnt les perfrmances snt difficiles à imaginer a priri ; la psitin précise des zérs dans le bruit après cntrôle est ntamment difficile à epliquer. La figure 2.5 mntre le cntrôle btenu avec un retard dnné (en l ccurence τ = 10) lrsque l n fait varier le cefficient d amrtissement ξ dans la DSP du bruit primaire dnnée par (2.17).

29 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 28 Atténuatin en fnctin des retards dans le cntrleur sans cntrle avec cntrle et τ=30 τ=10 τ=5 τ=1 τ= FIG. 2.4 Influence sur le cntrôle actif d un retard dans le transfert secndaire Lrsque ξ est petit, l scillateur du secnd rdre est très résnnant et sa répnse, prche d un sinus de fréquence celle de la résnance, est assez prédictible ; le cntrôle actif est alrs très efficace. Lrsque ξ augmente, la répnse de l scillateur est à bande de plus en plus large et le cntrôle devient de mins en mins efficace. 2.3 Cntrôle adaptatif FXLMS La frmule (2.16) du cntrôleur ptimal causal fait appel à un calcul dans le dmaine fréquentiel qui suppse la statinnarité des signau de référence et de minimisatin ; par ailleurs dans le cas multivies il s avère qu n ne dispse pas de méthde numérique efficace pur calculer le cntrôleur ptimal à partir de (2.16). C est purqui d autres apprches snt nécessaires à la mise en œuvre d un cntrôle actif efficace. Dans cette sectin n va vir que l algrithme de Mindres carrés récursifs à référence filtrée (Filtered-X Least Mean Square) permet l btentin en temps réel d un cntrôle adaptatif quasi ptimal L algrithme LMS mnvie On suppse dans cette sectin que la fnctin de transfert secndaire est l identité (H(ω) = 1). En pratique il est très intéressant de rechercher le filtre W nécessaire au cntrôle actif par feedfrward dans la classe des filtres à répnse impulsinnelle finie (Finite Impulse Respnse) parce que ces filtres snt naturellement stables et causau. Cela revient dans le dmaine fréquentiel à chercher une apprimatin plynmiale de la fnctin dnnée par la frmule (2.16) ; n peut espérer atteindre une bnne apprimatin du filtre ptimal avec un FIR d rdre élevé. Avec un filtre FIR W de répnse impulsinnelle {w 0,...,w K 1 }, le signal de cmmande u

30 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 29 Atténuatin en fnctin de la prédictibilité du bruit sans cntrle et 1% d amrtissement avec cntrle et 1% sans cntrle et 10% avec cntrle et 10% sans cntrle et 40% avec cntrle et 40% FIG. 2.5 Influence sur le cntrôle actif de la prédictibilité du bruit se déduit par définitin du signal de référence par : u n = K 1 w k n k = w t (2.18) k=0 En suppsant le signal de référence statinnaire et aléatire, la quantité que l n cherche à réduire par cntrôle actif s écrit sus la frme : J = E(e 2 ) = E([d + w t ] 2 ) (2.19) ù E désigne l espérance mathématique. Il apparaît qu avec des signau statinnaires ce critère de minimisatin est une frme quadratique des cefficients w k ; le vecteur w des cefficients qui minimise J peut être recherché de façn itérative avec un algrithme de plus grande pente : w(n+1) = w(n) β ( ) J (2.20) 2 w(n) Il apparaît ensuite que : ( ) J w(n) = 2E((n)e(n)) (2.21) Si le prcessus aléatire est ergdique ) n purrait, pur calculer ce gradient, faire des myennes temprelles de la quantité avant d effectuer l itératin (2.20). Une autre idée cnsiste ( J w(n) à effectuer les itératins en utilisant la valeur instantanée du gradient plutôt que sa myenne temprelle, l pératin d estimatin du gradient se cmbinant à l évlutin des cefficients du filtre ptimal : w n+1 = w n β(n)e(n) (2.22) On démntre qu effectivement pur un pas cnstant β psitif pas trp grand les cefficients du filtre W cnvergent vers leur valeur ptimale. L algrithme défini par la relatin de récurrence

31 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 30 (2.22) est dit de mindres carrés récursifs (Least Mean Square) ; cmme n a substitué la valeur instantanée du gradient à sa valeur myenne n dit aussi qu il s agit d un algrithme de gradient stchastique. Un grs atut de l algrithme LMS est aussi sa capacité, de par sa nature itérative, à adapter les cefficients du filtre W à des fluctuatins des caractéristiques statistiques du bruit ; l algrithme LMS est adaptatif. L algrithme LMS n a pas été utilisé à l rigine pur du cntrôle actif mais pur différentes applicatins en traitement du signal telles que la prédictin linéaire. Puisque le filtre W minimise d +W, W est aussi une estimatin ptimale de la fnctin de transfert entre et d ; l algrithme LMS a dnc été utilisé avant d être appliqué au cntrôle actif cmme util d identificatin de systèmes linéaires L algrithme FXLMS mnvie En «permutant» les fnctins de transfert H et W sur le dispsitif de la figure 2.2, n cnstate que la frmule de l algrithme LMS dnnée dans la sectin précédente peut être étendue au cas ù H 1 à cnditin de remplacer le vecteur des signau de référence passés (n) = ((n)...(n K + 1)) t par sa cnvlutin par la fnctin de transfert secndaire. On appelle le vecteur qui résulte de cette cnvlutin la référence filtrée (sus-entendu : par le transfert secndaire). Une estimatin R de la référence filtrée peut être calculée en apprchant la fnctin de transfert par un filtre FIR de répnse impulsinnelle {h 0,...,h L 1 } : R(n) = L 1 h l (n l) = h (2.23) l=0 La frmule de récurrence dnnant les cefficient du filtre W est alrs : w n+1 = w n βr(n)e(n) (2.24) Cette frmule définit l algrithme FXLMS (pur Filtered-X Least Mean Square, désignant traditinnellement le signal de référence). La figure 2.6 mntre, sur un cas pratique de cntrôle dans une grande cavité acustique, le résultat btenu epérimentalement avec un algrithme FXLMS ainsi qu une simulatin numérique du cntrôle ptimal faite à partir de la frmule (2.16). On cnstate sur cette figure que l algrithme FXLMS permet, même dans un cas réel cmplee, d atteindre en pratique un cntrôle prche de l ptimum thérique Rbustesse et cnvergence On démntre que l algrithme FXLMS est très rbuste à une erreur d estimatin de la fnctin de transfert H : même si l apprimatin FIR de H est très imprécise, parce que cmprtant par eemple trp peu de cefficients u parce que H «dérive» au curs du temps, la récurrence (2.24) cnverge. On mntre que la marge de phase pur la stabilité de l algrithme FXLMS est de 90 ; les perfrmances d un algrithme FXLMS snt, elles, typiquement rbustes à une erreur sur la phase de H inférieure à 45. Ces prpriétés qui snt assez remarquables pur un algrithme aussi simple nt certainement cntribué à la généralisatin du recurs au FXLMS en cntrôle actif.

32 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE Cmparaisns de plusieurs cntrôleurs causau critère de minimisatin (db) sans cntrôle avec le cntrôleur ptimal causal avec un FXLMS à 100 cefficients fréquence (Hz) FIG. 2.6 Cntrôle ptimal vs. cntrôle FXLMS Plusieurs phénmènes peuvent cntrarier la bnne cnvergence de l algrithme FXLMS. En premier lieu il est nécessaire, pur bserver l effet d une variatin des cefficients sur le critère de minimisatin, d attendre que cette mdificatin sit apparente dans le signal de minimisatin ; l estimatin crrecte du gradient via les itératins (2.24) ne peut se faire qu après un temps plus lng que le temps de prpagatin inclus dans la fnctin de transfert secndaire. La présence de retards dans la fnctin de transfert secndaire ralentit dnc significativement la cnvergence de l algrithme. En deuième lieu, la cnvergence de l algrithme FXLMS peut être prblématique lrsque le cntenu spectral du signal de référence est cntrasté. La figure 2.7 mntre par eemple les résultats de cntrôle btenus avec un algrithme FXLMS lrsque le signal de référence est identique à un bruit primaire cmpsés de deu sns purs de niveau différents ; l algrithme a du mal à atténuer la raie de niveau le plus faible. En revanche n cnstate aussi que, si le signal de référence cmprend deu raies de même niveau, le filtre ptimal permet une atténuatin des deu cmpsantes du bruit primaire. La cnvergence de l algrithme se fait alrs en quelques pérides alrs que, dans le cas ù une raie est mins présente dans la référence, la cnvergence se fait nettement plus lentement pur la raie de niveau plus faible. Enfin d autres facteurs interviennent pur perturber l algrithme FXLMS dans les cas multivies (plusieurs surces secndaires, plusieurs signau de minimisatin) et multi-références (plusieurs signau de référence alimentant plusieurs filtres de cntrôle). Dans le cas multivies un mauvais cnditinnement de la matrice de transfert peut cnduire à des cmmandes d amplitude très imprtante vire à une divergence de l algrithme. Dans le cas de plusieurs signau de référence crrélés, les interactins entre filtres peuvent là encre rendre prblématique la cnvergence du FXLMS Utilisatin pratique Pur appliquer la frmule (2.24) de l algrithme FXLMS, il faut btenir une estimatin FIR h de la fnctin de transfert secndaire et chisir un cefficient de cnvergence β.

33 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE Cntrle de deu sns purs de niveau différents 1.5 Cnvergence d un LMS pur deu raies 90 sans cntrle référence avec raies de niveau différents référence avec raies de meme niveau SPL (db) signal d erreur référence avec raies de niveau différents référence avec raies de meme niveau fréquence (Hz) temps (s) FIG. 2.7 Cntrôle de deu sns purs de niveau différents On peut identifier de plusieurs façns une apprimatin FIR du transfert secndaire. Une slutin simple cnsiste à envyer une impulsin à la surce secndaire puis à mesurer directement le signal sur le capteur de minimisatin. On btient ainsi directement la valeur des cefficients d une répnse impulsinnelle. En présence d un bruit de fnd, la répnse impulsinnelle peut être estimée en myennant plusieurs mesures successives. Si le cefficient de cnvergence β chisi est trp petit, l algrithme FXLMS peut cnverger trp lentement u ne pas être capable de suivre des fluctuatins des bruits à traiter. Inversement, si le cefficient est trp grand, l algrithme peut diverger u le filtre de cntrôle avir des scillatins trp grandes autur de sa valeur ptimale. En fait le cefficient de cnvergence «ptimal» u simplement la valeur cnduisant à la divergence snt difficile à estimer a priri parce qu ils dépendent de facteurs nmbreu. Une bnne slutin pratique cnsiste à dispser d un «ptentimètre» pur déterminer in situ quel cefficient de cnvergence utiliser : n augmente prgressivement β à partir de 0 jusqu à btenir la divergence de l algrithme, n abaisse ensuite β jusqu à une valeur typiquement égale à la mitié de sa valeur à la divergence. 2.4 Cntrôle par feedback On a vu dans la sectin précédente que l algrithme FXLMS permettait le cntrôle actif quasi-ptimal d un signal de minimisatin purvu que l n dispse à l avance d un signal de référence bien chérent avec le signal de minimisatin et nn affecté par le cntrôle. Dans certains cas n ne dispse pas d un tel signal, sit parce que le signal utilisé cmme référence est mdifié par le cntrôle (cmme avec un micrphne de référence nn directif sur le dispsitif schématisé en figure 2.1), sit parce que la taille du dispsitif n est pas suffisante pur inclure un capteur de référence à bnne distance (cmme dans le cas du casque actif). On va vir dans cette sectin cmment adapter les résultats de la sectin précédente à ces différents cas.

34 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 33 Filtre de cntrle Transfert secndaire d bruit primaire + y + W H + signal de référence + e signal de minimisatin G Feedback vers la référence FIG. 2.8 Dispsitif de cntrôle par feedfrward avec feedback vers la référence Effet d un feedback sur la référence Suppsns que le signal de référence du dispsitif de la figure 2.2 sit mdifié par le cntrôle actif ; n parle dans ce cas de la présence d un feedback (en français une rétractin) vers la référence. Cela est en particulier le cas lrsque qu un seul capteur est utilisé au lieu d une référence et d un signal de minimisatin distincts ; n parle alrs spécifiquement d un prblème de cntrôle par feedback. En appelant G la fnctin de transfert entre la surce secndaire et le capteur de référence, le dispsitif à prendre en cnsidératin est maintenant celui de la figure 2.8. En l absence de feedback (G = 0), la fnctin de transfert entre le signal de référence et le signal de cmmande u se réduit au filtre de cntrôle W ; avec G 0 il vient u = W(+Gu) et par cnséquent : u = W 1 WG (2.25) Même si W est un filtre FIR (stable et causal), la fnctin de transfert glbale entre le signal de référence et le signal de cmmande peut devenir instable à cause du feedback, il y a risque de Larsen. Ce risque est d autant plus grand que le feedback mesuré par G est grand. On dispse, à partir de la cnnaissance de W et G, d un certain nmbre d utils permettant de s assurer de la stabilité d une fnctin de transfert telle que (2.25), par eemple le critère de Nyquist u le thérème du petit gain. Pur utiliser les résultats de la sectin précédente n peut aussi mntrer que le feedback peut être interprété, dans un dispsitif de cntrôle par feedfrward, cmme une erreur d estimatin de la fnctin de transfert secndaire. En effet avec le feedback le signal de minimisatin peut s écrire : e = d + Hu = d + H 1 GW W = d + H W (2.26) Si un algrithme FXLMS est utilisé pur mettre à jur les cefficients du filtre de cntrôle W, tut se passe dnc à chaque instant cmme si la fnctin de transfert H utilisée dans la frmule de récurrence (2.16) était une mauvaise estimatin de la fnctin de transfert secndaire

35 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 34 G^ Transfert secndaire d bruit primaire signal de référence W cntrleur IMC H y + + e signal de minimisatin G FIG. 2.9 Internal Mdel Cntrl incrprant le feedback H. Par cnséquent, si le terme GW reste assez petit, n peut espérer que l algrithme FXLMS cnverge cmme dans une situatin sans feedback mais avec une erreur sur l estimatin du transfert secndaire Equivalence entre feedback et feedfrward La fnctin de transfert G caractérisant le feedback sur le dispsitif de la figure 2.8 peut être mesurée au même titre que la fnctin de transfert H. Puisque le signal de cmmande est lui aussi cnnu par le cntrôleur, n peut snger à sustraire du signal furni par le capteur de référence la cntributin de la surce secndaire avant de filtrer ce signal pur le cntrôle. On abutit ainsi au dispsitif de la figure 2.9 incrprant un «anti-feedback». On appelle paramétrisatin de Yula le fait de pstuler pur un cntrôleur la structure de celui représenté en figure 2.9 ; n démntre en fait qu un cntrôleur avec une telle structure est stable si et seulement si le filtre W est stable. On parle aussi d Internal Mdel Cntrl pur qualifier un tel dispsitif ù le cntrôleur inclut un mdèle du transfert vers le capteur de référence. Avec une cpie eacte de la fnctin G dans le cntrôleur, ce dispsitif devient rigureusement identique à un dispsitif de cntrôle par feedfrward et un algrithme FXLMS peut être utilisé pur déterminer le filtre W ptimal. Malheureusement dans un dispsitif tel que celui de la figure 2.9 la fnctin de transfert de la surce secndaire vers le capteur de référence G n est jamais parfaitement cnnue, il faut se cntenter à la place d une estimatin cnstante Ĝ par eemple sus la frme d un filtre FIR. Un feedback résiduel de fnctin de transfert G Ĝ peut dnc déstabiliser un cntrôleur IMC en pratique, n parle cette fis d un prblème de stabilité rbuste ; si l erreur d estimatin G Ĝ devient plus grande que le feedback G (ce qui n est pas eclu à certaines fréquences), la stabilité rbuste est plus difficile à assurer que la stabilité du cntrôleur sans antifeedback de la figure 2.8. L utilisatin de cntrôleurs IMC ne s est par cnséquent pas généralisée en cntrôle actif, les cntrôleurs «avec anti-feedback» s avérant en pratique plus difficile à stabiliser que les cntrôleurs «sans anti-feedback». En revanche, d un pint de vue frmel, la paramétrisatin de

36 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 35 Yula mntre qu un prblème de feedback peut être ramené à un prblème de cntrôle par feedfrward. On peut par cnséquent utiliser les résultats des sectins 2.2 et 2.3 pur simuler un cntrôle actif ptimal causal en faisant abstractin des risques d instabilité du cntrôleur. Différentes techniques permettent éventuellement ensuite de mdifier l algrithme FXLMS pur prendre en cmpte pendant, la cnvergence, les cntraintes de stabilité u de stabilité rbuste Cntrôle ptimal et représentatin d état Une littérature abndante traite du cntrôle de systèmes décrits par une représentatin d état de la frme : { Ẋ = AX+Bu+v (2.27) Y = CX+Du+w ù, pur des systèmes à temps discrets : { Xn+1 = AX n + Bu n + v n Y n = CX n + Du n + w n (2.28) Ces représentatins visent à décrire la réactin d un système quelcnque à un vecteur de cmmandes u à l aide d un vecteur de degrés de liberté (dit vecteur d état) X, le vecteur Y représentant les mesures furnies par un ensemble de capteurs et les vecteurs v et w des bruits sur l état et la mesure. En cntrôle actif, Y représentera les signau micrphniques et u les signau de cmmande envyés au haut-parleur ; X peut désigner seln les cas un grand nmbre de degrés de liberté internes tels que les curants dans les bbines de haut-parleurs et par eemple dans une cavité les pressins partielles assciées à chacun des mdes ; v représentera l effet du bruit primaire sur les variables internes du système. Une fis décrit par une représentatin d état un système acustique incrprant des capteurs et des actinneurs, n sait calculer un certains nmbre de cntrôleurs ptimau minimisant par eemple une nrme du vecteur d état X. Le cntrôleur ptimal Linéaire Quadratique Gaussien u H 2, incluant un filtre de Kalman pur estimer le vecteur d état à partir du vecteur des mesures, u le cntrôleur H snt des eemples bien cnnus largement évqués dans les traités d Autmatique mderne. Même si plusieurs dispsitifs de cntrôle actif nt été cnçus, y cmpris au LMA, à partir de représentatins d état, il s avère que de telles mises en équatin y snt finalement peu adaptées. En premier lieu les systèmes incluant de la prpagatin acustique demandent un grand nmbre de degrés de liberté pur être représentés à l aide d un système différentiel tel que (2.27) ; la représentatin d état cnvient mieu à des systèmes à cnstantes lcalisées. En deuième lieu l écriture d une représentatin d état suppse d avir établi u identifié un mdèle (i.e. les matrices A,B,C,D assez précis du système à cntrôler ; n s autrise en revanche à des bruits a priri assez quelcnques suvent décrits cmme un ensemble de bruits blancs. Au cntraire en cntrôle actif n cnnaitra aussi bien vire mieu le bruit primaire que le système à cntrôler. Enfin les bruits à traiter et les systèmes à cntrôler sernt suvent instatinnaires en cntrôle actif et, plutôt qu un cntrôleur fie prêt à traiter des bruits quelcnques, n préfèrera un cntrôle adaptatif répndant précisément à un bruit primaire pas frcément large bande et éventuellement instatinnaire.

37 CHAPITRE 2. CONTRÔLE ACTIF ET AUTOMATIQUE 36 Pur tutes ces raisns, un cntrôle adaptatif avec un algrithme FXLMS dnnera en général, en cntrôle actif du bruit, une meilleure atténuatin qu un cntrôle ptimal basé sur une représentatin d état, même avec un signal de référence mdifié par le cntrôle. 2.5 Résumé On a mntré dans ce chapitre que, d un pint de vue thérique, les perfrmances d un système de cntrôle actif dnné snt d abrd dictées par la prédictibilité du bruit à minimiser. Si le bruit est péridique u à bande étrite, un cntrôle prche de l ptimum prédit par des simulatins acustiques est pssible. Dans les cas ù le bruit primaire est peu prédictible, il est nécessaire de faire appel à un u plusieurs signau de référence, crrélés au bruit à minimiser, qui permettent de synthétiser la cmmande à furnir avant que le bruit primaire n atteigne les signau de minimisatin. On parle alrs d un cntrôle par feedfrward. Les perfrmances d un cntrôle par feedfrward dépendent : de la chérence entre signau de référence et de minimisatin, de la prédictibilité du bruit à minimiser (indiquée par la Densité Spectrale de Puissance du signal de référence) des retards présents dans les transferts secndaires. Dans le cas mnvie, le filtre de cmmande ptimal causal s écrit (cf. paragraphe 2.2.2) : W = 1 GH min { Sd G H all } + (2.29) En pratique, l algrithme de mindres carrés récursif à référence filtrée (Filtered-X Least Mean Square) permet suvent un cntrôle adaptatif en temps réel prche de l ptimum thérique et très rbuste. La cnvergence de l algrithme n est prblématique que si la dynamique des signau de référence filtrée est large u si les fnctins de transfert secndaires incluent des retards imprtants. Dans de nmbreu cas pratiques l algrithme FXLMS s adapte à des variatins même imprtantes des signau de référence u de minimisatin. En mnvie, le signal de cmmande est dnné par u = W et les cefficients du filtre FIR adaptatif W snt dnnés par la frmule de récurrence : w(n+1) = w(n) β(h (n))e(n) (2.30) ù désigne le vecteur des dernières valeurs prises par le signal de référence. En adptant le frmalisme habituel de présentatin de l Autmatique, le cntrôle actif du bruit peut être présenté cmme un prblème de rejet de perturbatin et les cntrôleurs par feedfrward crrespndent à la paramétrisatin de Yula des cntrôleurs par feedback. En revanche les résultats de cntrôle ptimal présentés sus une frme faisant appel à une mdélisatin d état (Filtrage de Kalman, cntrôle ptimal Linéaire Quadratique Gaussien, H u les Linear Matri Inequalities...) snt peu adaptés au cntrôle actif du bruit.

38 Chapitre 3 Quelques applicatins du cntrôle actif Au curs des chapitres précédents, n a présenté des éléments pur déterminer la faisabilité technique d un dispsitif de cntrôle actif et pur en prévir les perfrmances. Pur une véritable applicatin industrielle, d autres facteurs snt à prendre en cmpte. En premier lieu le cût du dispsitif et de sa maintenance sera déterminant : un système de cntrôle actif permettant une réductin du bruit de plus de 60dB ne sera jamais appliqué si une slutin passive nettement mins chère est dispnible. En deuième lieu, le prduit cmmercialisé ne se résume pas à une simple perfrmance, il est enturé d une image qui peut tut autant susciter une envie d achat qu un simple énncé technique. Enfin une étude des brevets cncernant l applicatin visée est nécessaire ; le principe du cntrôle par feedfrward a été par eemple décrit dans un brevet de 1975 tmbé dans le dmaine public, le casque antibruit a été breveté en En résumé un «bn» prduit pur la vente n est pas frcément un prduit attaché à une pruesse technique. Dans cette sectin n va décrire quelques-unes des applicatins industrielles du cntrôle actif en se restreignant au seuls aspects techniques. La liste des applicatins qui suit n est certainement pas ehaustive ; en revanche elle permet d illustrer les résultats des sectins précédentes cncernant la faisabilité du cntrôle, aussi bien du pint de vue de l acustique que de celui du traitement du signal. 3.1 Le casque anti-bruit actif Les casques anti-bruit classiques prtègent mal leur prteur à basse fréquence lrsque l épaisseur des cquilles devient trp petite devant la lngueur d nde. Inversement, à basse fréquence, réaliser un pint surd dans la cquille du casque suffit à réduire le bruit jusque dans le cnduit autiditif ; un cntrôle actif efficace est envisageable dans la bande Hz, y cmpris avec un haut-parleur de petite surface. Pur ce qui est du filtre de cntrôle, il est peu envisageable de dispser un ensemble de capteurs de référence autur du prteur du casque pur détecter à l avance les bruits incidents sauf par eemple dans le cas de bruits prduits par des machines à primité ; n dit plutôt résudre un prblème de cntrôle par feedback que par feedfrward. Il s agit pur le casque de deu prblèmes mnvie, le bruit prduit dans une cquille ne parvient pas jusqu à l autre. La 37

39 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 38 fnctin de transfert secndaire s avère assez régulière dans la bande de fréquence cnsidéré ; le prblème de cntrôle ptimal peut être traité avec les utils de l autmatique classique et cnduire à un filtre de cntrôle assez simple que l n peut mettre en œuvre avec un circuit analgique. Une frme particulièrement intéressante pur le filtre de cntrôle W est : W(s) = K(s z)(s z ) (s p)(s p ) (3.1) ù les pôles et zérs snt judicieusement chisis. Le gain d un tel filtre peut être maintenu assez élevé à basse fréquence puis réduit à plus haute fréquence lrsque le déphasage de la fnctin de transfert secndaire purrait déstabiliser le système en bucle fermée. Un bn cmprmis dit ensuite être truvé entre perfrmance et stabilité du cntrôle. Alain Rure et Christian Carme au curs de sa thèse nt mis au pint et breveté dans les années 1980 un casque anti-bruit actif permettant une atténuatin active du bruit dépassant 20dB dans la bande Hz. Ce casque et ses variantes ultérieures (permettant par eemple une cmmunicatin radi nn atténuée par le cntrôle) snt cmmercialisés par Technfirst, la sciété créée par C. Carme. Il permet d amélirer significativement la prtectin des persnnes epsées à des bruits intenses avec des cmpsantes basse fréquence cmme par eemple dans les aérprts. Des grands grupes (tels que Sny) nt également mis sur le marché des anti-bruit actifs, le brevet français servant plus de prtectin que d arme abslue cntre ces grupes. Des buchns d reille actifs prches dans leur esprit du casque nt aussi été étudiés. En France, l Institut franc-allemand de Saint-Luis (c-patrnné par les deu Ministères de la Défense) a mis au pint des buchns actifs destinés au artilleurs. En revanche le passage du casque à l appui-tête actif que purrait inclure un fauteuil sulève un grand nmbre de difficultés dans le cas général ù l n ne dispse pas d un signal de référence évident : n se truve cette fis face à un prblème de cntrôle multivies ù un bn cmprmis entre perfrmance et rbustesse s avère difficile à btenir. Un brevet a été dépsé par l Institute f Sund and Vibratin Research de Suthamptn mais il semble qu aucun appui-tête actif efficace en bande large ne sit encre cmmercialisé dans le mnde. 3.2 Cntrôle actif et autmbile La réductin du bruit à l intérieur des vitures est destinée à amélirer le cnfrt du cnducteur qui est en général l acheteur du véhicule. Ce cnfrt acustique a frtement été améliré au curs des deu dernières décennies du vingtième siècle et réduire encre le bruit demande de sérieu effrts ; envisager des slutins actives n est pas eclu a priri. La réductin du bruit vers l etérieur crrespnd, elle, au besin de satisfaire les nrmes en vigueur ; la nrme actuelle (basse vitesse/haut régime) pénalise le bruit dû au mteur et à l échappement mais l augmentatin cnstatée du bruit de rulement au curs des dernières années fait que la nrme purrait à terme être remise en questin. En dehrs de quelques «gris-gris», cuinements divers, et du bruit prduit par quelques appareils spécifiques (ventilatin, essuie-glace, turb-cmpresseur...), le bruit dans les vitures

40 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 39 prvient essentiellement du mteur à basse vitesse, du cntact pneu/chaussée puis de l éculement de l air autur de l habitacle à haute vitesse. Pur ce qui est du bruit vers l etérieur il faut ajuter à ces tris surces le bruit raynné par l échappement. On va discuter dans cette sectin le cntrôle actif de chacune de ces surces Cntrôle du bruit mteur Le bruit prduit par un mteur de viture n est pas majritairement dû au eplsins ; pur s en cnvaincre il suffirait de cuper le cntact (sans retirer la clef!) dans une descente et d écuter le bruit restant. En fait ce bruit est en grande partie prduit par les vibratins du mteur liées au muvements des masses qui y snt reliées (l «attelage mbile» cnstitué par les pistns, les bielles et le vilebrequin) et au frces appliquées au mteur à cause des cmbustins. Ces vibratins snt respnsables d un raynnement acustique mais elles snt aussi transmises par vie slidienne à différents éléments de l habitacle qui, à leur tur, vnt y raynner du bruit. On dit dans un premier temps s interrger sur le cntenu fréquentiel du bruit mteur. A régime cnstant il s agit d un bruit presque ttalement péridique puisqu il est lié à la rtatin de masses et à des cmbustins péridiques. On purrait crire que la fréquence fndamentale de ce bruit est celle de rtatin du mteur mais ça n est pas le cas. En ce qui cncerne les masses en muvement, chaque pistn est en translatin verticale mais nn sinusïdale puisque, pur des raisns cinématiques, il passe plus de temps au visinage du vilebrequin que de la culasse. Ce muvement de translatin peut être dévelppé en série de Furier. Lrsqu n cmbine ensuite deu pistns parallèles avec des muvements en ppsitin de phase, les fréquences fndamentales se cmpensent ; sur un 4 cylindres (la grande majrité des vitures en France) le muvement vertical glbal du Grupe Mt-Prpulseur résultant du muvement de l attelage mbile se fera avec une fréquence fndamentale duble de celle de la rtatin du mteur. Au terme de frces d inertie appliquées au mteur à cause des muvements de l attelage mbile s ajutent les frces «de gaz» engendrées par la cmbustin. Ces frces snt également quasi péridiques de fréquence fndamentale duble de celle de rtatin du mteur dans la mesure ù, avec un mteur 4 temps, une eplsin se prduit tus les deu turs pur chaque cylindre. Par cnséquent, pur un régime mteur variant entre 600 et 6000 tr/mn, la fréquence fndamentale du bruit du mteur variera entre 20 et 200 Hz. D un pint de vue purement acustique un cntrôle actif glbal de ce bruit est dnc envisageable dans l habitacle avec un nmbre réduit de transducteurs. Le bruit dans l habitacle est la cnséquence du fnctinnement et du muvement du mteur. N imprte quel signal crrélé (i.e. synchrnisé, pur un muvement péridique) avec la rtatin du mteur peut servir de signal de référence pur un cntrôle par feedfrward, qu il sit btenu avec un capteur ptique, magnétique, vibratire u acustique. Un algrithme FXLMS peut dnc être utilisé pur déterminer cmment filtrer ce signal pur minimiser le bruit sur des capteurs dans l habitacle. Même avec une viture «sprtive», les variatins de régime mteur snt lentes en termes de nmbre de pérides du bruit à traiter ; avec un algrithme adaptatif qui cnverge en quelques pérides, suivre les variatins de régime mteur ne pse pas de prblèmes. Mettre en œuvre un cntrôle actif de la fndamentale et des premières harmniques du bruit mteur dans les vitures est dnc pssible dès lrs qu n dispse d un système de calcul

41 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF Cntrôle au ralenti (4s du fichier ralentil) Spectre du bruit dans l habitacle au ralenti 0.2 sans cntrôle avec cntrôle sans cntrôle avec cntrôle signal micrphnique niveau snre (db nn étalnnés) temps (s) fréquence (Hz) FIG. 3.1 Cntrôle actif du bruit mteur au ralenti 1 Cntrôle sur autrute (4s du fichier autr1) sans cntrôle avec cntrôle 20 spectre du bruit dans l habitacle sur l autrute signal micrphnique niveau snre (db nn nrmalisés) temps(s) fréquence (s) FIG. 3.2 Cntrôle actif du bruit mteur sur autrute en temps réel. Dans le cadre d un prjet de trisième année à l ESM2, un binôme a enregistré le bruit dans l habitacle d une viture et a prgrammé un algrithme FXLMS pur en simuler le cntrôle actif. Le signal de référence chisi et enregistré en même temps que le bruit sur un micrphne a été le curant en entrée de la bbine d allumage, saisi avec une pince crcdile. Sur une viture plus récente avec un allumage électrnique des signau directement synchrnisé à la rtatin du mteur snt bien sûr présents mais mins directement accessibles. La figure 3.1 mntre la pressin acustique enregistrée dans la viture en fnctin du temps et de la fréquence ainsi que la simulatin de cette pressin cntrôlée avec le signal de bbine cmme référence. Même si les résultats de cette simulatin de cntrôle peuvent sembler ecellents, l écute des fichiers sns crrespndants s avère très décevante ; il se truve que la raie fndamentale du bruit mteur est à trp basse fréquence pur être gênante au ralenti, n perçit à peine sn atténuatin. La figure 3.2 mntre les résultats btenus à partir du bruit enregistré sur autrute à vitesse à peu près stabilisée. Même si les résultats snt mins bns en termes de db gagnés qu au ralenti, à l écute ils semblent en fait bien meilleurs et paraissent même bns pur cet eemple de petite viture ancienne. Le calcul de la snie des bruits avec et sans cntrôle n a pas permis de traduire quantitativement cette bnne impressin, la snie s avèrant peu affectée par le cntrôle.

42 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 41 Le cntrôle actif du bruit mteur dans les vitures est dnc techniquement pssible et il peut dnner des résultats appréciables ; le LMA a travaillé avec Renault et RVI à la mise au pint et à l intégratin de systèmes actifs sur différents types de véhicule. Tutefis, à l eceptin d une Nissan Blue Bird distribuée eclusivement au Japn au début des années 1990, aucune viture n est cmmercialisée avec un dispsitif de cntrôle actif du bruit mteur. Cela est principalement dû au cût d un système de cntrôle actif, cût mins lié au micrphnes (mins d un eur pièce si à électret), au micr-prcesseur pur les calculs en temps-réel (bn marché en grande série), au haut-parleurs et à l amplificateur (déjà présents dans une viture) qu au cablage et au frais d implantatin sur le véhicule ; au ttal une centaine d eurs par véhicule seraient nécessaire. Même si ce cût peut sembler mdéré, il est ttalement prhibitif pur une viture bas de gamme ù le pri de tus les équiments est calculé au plus juste. Inversement sur une viture haut de gamme la cylindrée plus imprtante et la présence de matériau acustiques absrbants fnt que l efficacité d un système de cntrôle sera très réduite, cmme c était le cas sur la Nissan. Enfin il peut être difficile de vendre un système de cntrôle actif ne réduisant pas ttalement le bruit, l acheteur puvant imaginer que le véhicule devait être particulièrement bruyant sans cntrôle pur qu n juge bn d installer un système sphistiqué assez décevant... Il n est par cnséquent pas sûr que le cntrôle actif du bruit mteur sit prchainement généralisé sur les vitures. En revanche n peut parier qu il le sera un jur sur les véhicules industriels. Sur les camins par eemple n peut ptimiser le cntrôle actif pur les raies crrespndant au régime nminal de rtatin du mteur ; le niveau de bruit y est plus imprtant que dans les véhicules particuliers et les prblèmes de cût y snt mins aigus Cntrôle du bruit d échappement L éculement pulsé en srtie de la ligne d échappement d une viture est une surce de débit acustique. Deu epulsins de gaz se prduisent par tur sur un mteur pur un 4 cylindres, la fréquence fndamentale du bruit raynné sera duble de celle du régime. Cmme la surface raynnante est très petite devant la lngueur d nde pur les premières raies du bruit, n peut assimiler la surce de bruit à un mnpôle. A 200 Hz un siième de lngueur d nde équivaut à une trentaine de centimètres, d après le résultat de la sectin une réductin du bruit dans tut l espace est envisageable avec un seul mnpôle dispsé à primité de la buche. Par ailleurs, un algrithme FXLMS peut être utilisé pur un cntrôle adaptatif à partir d un signal de référence quelcnque pris au niveau du mteur. Un cntrôle actif du bruit d échappement est dnc thériquement faisable. En pratique, plusieurs dispsitifs nt été installés à titre epérimental sur différents véhicules ntamment, en France, par Faurecia, équipementier autmbile furnissant entre autres des lignes d échappement. Des haut-parleurs ptimisés pur résister à un envirnnement agressif (température élevée, prjectins diverses, vibratins etc...) peuvent tut à fait être utilisés cmme surces secndaires. Une autre slutin défendue au départ par des chercheurs du Labratire d Etudes Aérdynamiques de Pitiers cnsiste à insérer un vlet scillant dans la ligne d échappement ; le vlet permet de «réguler» le débit et au final de réduire efficacement le bruit en srtie. Les nrmes sur le bruit des vitures devenant tujurs plus eigeantes, il n est pas eclu que de tels systèmes sient installés un jur en série ntamment sur des véhicules industriels.

43 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF Cntrôle du bruit de rulement Le bruit de rulement des véhicules à pneus est bien sûr dû au cntact entre le pneu et la chaussée mais les mécanismes qui en fient le niveau final snt assez cmplees : tute la surface du pneu cntribue par eemple au raynnement du bruit et l angle frmé par la bande de rulement et la chaussée cnstitue un «cr» qui favrise sn raynnement (le hrn effect) ; il se prpage aussi par vie slidienne jusqu à différents éléments raynnant du bruit dans l habitacle. Cmme le phénmène physique à l rigine du bruit fait intervenir des éléments de dimensins variées (les «grains» de la chaussée ne snt pas de tailles identiques, les dessins du pneu frment des structures de plusieurs tailles), le bruit de rulement est plutôt large bande et dnc assez peu prédictible. La cavité acustique trique que cnstitue un pneumatique a tutefis des fréquences de résnance qui amplifient lcalement le bruit de rulement. La première résnance survient lrsque la lngueur d nde est égale au périmètre myen de la cavité puisque la pressin dit y être une fnctin 2π péridique de l angle ; cela crrespnd à une première résnance entre 200 et 230 Hz pur les pneus usuels. D un pint de vue purement acustique, le cntrôle avec quelques transducteurs du bruit de rulement ne peut être fait dans l habitacle que pur ses cmpsantes basse fréquence. Le bruit de rulement cntribue significativement au bruit raynné par les vitures vers l etérieur. Le cntrôle actif ne s est tutefis pur l instant intéressé qu au bruit prduit par le rulement à l intérieur des vitures qui pse déjà de grandes difficultés. Du pint de vue de l autmatique, un cntrôle large bande du bruit de rulement dans les vitures est difficile à mettre en œuvre. Avec un bruit peu prédictible et des fnctins de transfert secndaires incluant des retards, un signal de référence mesurant le bruit à la surce est suhaitable pur un cntrôle du bruit par feedfrward. Avec quatre pneus prduisant des bruits décrrélés, quatre signau de référence et un cntrôleur cmplee snt a priri nécessaires mais la cmpleité de la génératin du bruit de rulement est telle qu il s avère qu un plus grand nmbre de signau de référence pris en différents pints de la viture est en fait nécessaire. La figure 3.3 tirée d une étude du Virginia Plytechnic Institute mntre à gauche, à partir de mesures vibratires sur une viture, l atténuatin du bruit de rulement que l n peut espérer cmpte tenu de la chérence entre le signal de minimisatin et un ensemble de signau de référence ; la cntrainte de causalité du cntrôleur n est pas prise en cmpte pur ces simulatins. A drite la figure 3.3 mntre le bruit de rulement et sa cmpsante ttalement inchérente avec les capteurs vibratires. On cnstate sur ces figures que, pur espérer un cntrôle par feedfrward efficace, il faut effectivement utiliser plusieurs signau de référence. La figure 3.4 mntre une simulatin plus réaliste du cntrôle que l n peut espérer avec un dispsitif multi-références. Sur cette figure les bruits avec et sans cntrôle snts représentés ainsi que les limites thériques que peuvent laisser espérer la cntrainte de causalité du cntrôleur (avec des retards dans les fnctins de transfert secndaires) et la chérence entre les références et la minimisatin. Le cntrôle actif du bruit de rulement rencntre dnc certaines difficultés liées à sn caractère imprédictible et à la multiplicité de ses causes. Avec les perfrmances que l n peut btenir même avec un système multi-références, il est peu prbable qu un système large bande sit installé en série dans un véhicule dans les années à venir. En revanche si une résnance particulière vient malencntreusement amplifier sur un véhicule dnnée le niveau du bruit de rulement dans une bande de fréquence dnnée, il est tut à fait pssible qu un dispsitif plus

44 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 43 FIG. 3.3 atténuatin thérique du bruit de rulement en fnctin du nmbre de signau de référence FIG. 3.4 Cntrôle actif du bruit de rulement

45 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 44 simple sit utilisé pur un cntrôle actif dans cette bande de fréquence Cntrôle du bruit aérdynamique Les surces du bruit aérdynamiques dans une viture snt multiples. Le bruit résulte d une part des interactins avec l éculement d appendices tels que les rétrviseurs, les essuie-glace et même les trus de serrure des prtières. D autre part les fluctuatins de pressin dans la cuche limite turbulente autur de la viture viennent eciter les surfaces telles que le pavilln (le «tit» de la viture) qui raynnent en retur du bruit dans l habitacle. Les bruits aérdynamiques snt en général large bande cmpte tenu de la diversité des structures turbulentes présentes dans l éculement. Avec l analgie de Lighthill, le bruit spécifiquement dû à la turbulence est cnstitué par des quadripôles et sn niveau augmente cmme une puissance 8 de la vitesse. Quelques epériences nt été menées en labratire pur réduire par cntrôle actif les vibratins des panneau ecités par la cuche limite turbulente. On présentera en sectin un des résultats btenus. Même si un certain cntrôle actif est pssible, le besin d utiliser des actinneurs «nn cnventinnels» (par eemple des pastilles piéz-céramique) et la cncurrence de slutins passives fnt qu un cntrôle actif large bande du bruit aérdynamique dans les vitures semble peu envisageable dans les années qui viennent. En revanche, cmme pur les bruits précédents, une slutin active peut permettre sur un véhicule dnné de réduire par cntrôle actif une résnance gênante (par eemple un mde de cavité acustique qui se révèle bien cuplé avec une défrmatin de la caisse et peu amrti). Quel que sit la surce d ecitatin, n purra réduire facilement de quelques db une résnance assciée à une nette émergence à basse fréquence dans la mesure ù le bruit à cette fréquence deviendra prédictible. 3.3 Cntrôle actif et aérnautique Cmme en autmbile, le cntrôle actif peut d une part être envisagé dans les avins pur amélirer le cnfrt acustique de certains passagers ; en classe écnmique le manque d espace est la première surce d incnfrt mais pur les autres classes un système de réductin du bruit est envisageable. D autre part le cntrôle actif peut aider à satisfaire les nrmes qui réglementent le bruit raynné par les avins. Une cntrainte particulièrement aigue dans le mnde de l aérnautique est celle du pids des systèmes embarqués. Si une slutin active de réductin du bruit s avérait glbalement bien plus légère qu une slutin passive, les cntraintes de cût, de mise en place et de maintenance purraient être reléguées au secnd plan. Dans cette sectin n va présenter quelques uns des systèmes de cntrôle actif qui nt été étudiés pur les avins Cntrôle du bruit d hélices Le niveau du bruit est particulièrement élevé dans les avins à hélice cmmerciau de quelques dizaines de place (ATR 42 de l e-aérspatiale, avins Drnier, Saab...). La fréquence fndamentale du bruit de raies prduit par une hélice est égale à sa fréquence de rtatin multi-

46 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 45 FIG. 3.5 dispsitif de cntrôle du bruit des hélices pliée par le nmbre de pales ; elle vaut typiquement une centaine de Hz pur les avins ci-dessus. Un cntrôle acustique en est dnc tut à fait envisageable d un pint de vue acustique. Des signau synchrnisés à la rtatin des hélices snt dispnibles cmme référence pur un cntrôle par feedfrward. Avec deu hélices, n purrait crire qu un système bi-référence est nécessaire mais en fait un système de synchrnisatin (le synchr-phaser) est déjà installé sur les avins pur éviter le battement qui résulterait de deu mteurs de régime légèrement différents ; un seul signal de référence suffit. La figure 3.5 mntre un dispsitif qui a été testé en vl dans le cadre des prgrammes de recherche eurpéens ASANCA. Il s agissait nn seulement de réduire le bruit au niveau suppsé de la tête des passagers mais aussi de ne pas utiliser de transducteurs sur les sièges qui peuvent être démntés pur le transprt de fret. Les micrphnes sus les cmpartiments à bagage ne snt dnc pas directment utilisés cmme capteurs de minimisatin mais ils servent à estimer les quantités à minimiser. La figure 3.6 mntre les résultats btenus sur 9 micrphnes au niveau de la tête de passagers, sit lrsqu n minimise directement ces signau avec un algrithmes FXLMS, sit lrsqu n recnstitue la quantité à minimiser à partir des micrs «déprtés» (cntrôle RMT). L atténuatin btenue est satisfaisante et, cmme il s agit d un bruit à basse fréquence (n traite les deu premières raies du bruit d hélice) mais à très frt niveau, elle est appréciable en pratique. Un certains nmbres d avin SAAB équipés d un système anti-bruit actif snt en service en Eurpe. Les passagers n en snt pas avertis et n nt aucune raisn de s en duter mais, pur qui a effectué l aller Marseille-Stcklm sans cntrôle et le retur avec, la pénibilité du bruit est effectivement réduite par le cntrôle actif Cntrôle du bruit de sufflante Le bruit des turb-réacteurs est dû à la turbulence du jet en srtie et à la cmbustin mais aussi à la sufflante qui émet un sifflement caractéristique, particulièrement audible en apprche et au sl. Ce bruit péridique est dû à l effet sur l éculement du passage des aubes du rtr devant les éléments du statr ; sa fréquence fndamentale se situe typiquement vers 2 khz. Le bruit de sufflante se prpage à cntre-curant dans l entrée du réacteur avant d être raynné

47 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 46 FIG. 3.6 Cntrôle actif sur 9 micrphnes du bruit des hélices vers l etérieur. La sectin du réacteur est grande devant la lngueur d nde ; cmme discuté et illustré en sectin 1.2, un assez grand nmbre de mdes cntribue à la prpagatin du bruit de sufflante dans le réacteur et un cntrôle actif ne peut être envisagé qu avec plusieurs capteurs et actinneurs. Cmme le bruit est lié à la rtatin de la sufflante, le cntrôle est facile à mettre en œuvre par filtrage d un signal de référence. Bien que le bruit de sufflante sit à fréquence relativement haute, les fabricants de mteurs envisagent sn cntrôle actif parce que les slutins passives (la dispsitin de matériau absrbants en entrée de réacteur) suffisent à peine à satisfaire les nrmes en vigueur. Plusieurs prgrammes de recherche eurpéens cncernent à l heure actuelle la réductin du bruit de sufflante par des myens actifs et passifs. La figure 3.7 mntre le banc d essai 5C2 de la SNECMA qui cmprend un turb-réacteur à l échelle 1/4 destiné à l étude et au cntrôle du bruit de sufflante ; la sufflante y est entrainée par un mteur auiliaire, aucune cmbustin n a lieu dans le mteur. Des micrphnes et des chambres de cmpressin snt dispsés en pari de cnduit pur le cnduit ; une antenne dispsée devant l entrée devant le cnduit permet d évaluer le raynnement vers l etérieur. La figure 3.8 mntre la raie fndamentale du bruit de sufflante mesurée, avec et sans cntrôle, sur 16 micrphnes dispsés devant le mteur. Le régime de rtatin fluctue légèrement en permanence, ce qui elique le léger décalage fréquentiel des raies entre les mesures avec et sans cntrôle. Cmme la raie fndamentale du bruit de sufflante est à fréquence assez élevée et qu elle émerge nettement du bruit de fnd large bande, sa réductin par cntrôle actif est bien audible même si le niveau du bruit reste cnséquent après cntrôle. Les résultats du cntrôle actif du bruit de sufflante btenus au sl snt très satisfaisants ; ils cnduisent à une atténuatin très supérieure à celle permise par les dispsitifs passifs. En revanche plusieurs prblèmes pratiques divent être réslus avant une mise en œuvre sur un avin en vl : d une part n ne dispse pas d actinneurs secndaires qui prduisent un niveau de bruit suffisant tut en étant assez légers et de cnsmmatin énergétique assez faible pur être embarqués. D autre part la vitesse de l éculement en entrée de réacteur est telle en vl qu il n est pas sûr qu un cntrôle actif classique sit pérant. Pur ces raisns un cntrôle actif du bruit de sufflante ne sera prbablement pas installé sur les avins dans l immédiat.

48 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 47 FIG. 3.7 Le banc d essai du bruit de sufflante 70 bruit myen sur les micrs de minimisatin db sans cntrle avec 16 surces et cntrle FXLMS fréquence (Hz) FIG. 3.8 Cntrôle actif du bruit de sufflante sur 16 micrphnes etérieurs

49 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF Flw velcity 130 m/s 100m/s cntrller ttal sensr utput pwer (db) withut cntrl with LQG cntrl frequency (Hz) FIG. 3.9 Cntrôle de vibratins dues à une Cuche Limite Turbulente Cntrôle du bruit dû à la cuche limite turbulente Avec le bruit de jet et le bruit des systèmes de ventilatin/pressurisatin, le bruit raynné par les panneau ecités par les fluctuatins de pressin de la Cuche Limite Turbulente (Turbulent Bundary Layer) cnstitue une cntributin majeure au niveau de bruit à l intérieur des avins à réactin civils. Cmme dans les vitures il s agit d un bruit large bande ; sa cmpsitin fréquentielle eacte dépend des structures turbulentes présentes dans la cuche limite mais aussi de la répnse élastique des panneau cuplés à la cavité acustique que cnstitue l habitacle. Le bruit résultant à l rigine de surces réparties tut autur de l avin, n ne dispse pas naturellement de signal de référence permettant la mise en œuvre d un cntrôle par feedfrward ; des slutins indirectes cmme cntrôler le bruit à partir de signau de référence vibratires pris sur les panneau snt envisageables mais la multiplicité des surces fait que la chérence entre les signau de référence et de minimisatin serait faible dans un cas réel. Quelques epériences de cntrôle des vibratins dûes à une CLT nt néanmins été menées en sufflerie, chaque panneau étant cntrôlé individuellement par feedback, par eemple avec un algrithme de cntrôle FXLMS ù un signal de minimisatin est pris cmme signal de référence. De cette façn seules les émergences fréquentielles dues à des résnances peuvent en fait être significativement atténuées. La figure 3.9 mntre la réductin permise par un cntrôle ptimal LQG des vibratins d un panneau ecité par un éculement à 130 m/s mesurées par un ensemble de capteurs piéz-électriques. La figure 3.10 mntre une image par vélcimétrie laser de la défrmée du panneau à la fréquence de résnance de sn mde 3-1, sans et avec cntrôle. Ces résultats nt été btenus en 1998 à l ccasin d une cllabratin entre le LMA et le Labratire de Mécanique des Fluides et d Acustique de l Ecle Centrale de Lyn. Le cntrôleur ptimal LQG utilisé était assez délicat à cnstruire ; après cup n peut penser qu un algrithme FXLMS avec un capteur vibratire cmme référence dnnerait des résultats au mins aussi bns et certainement plus rbustes. Les travau sur le cntrôle des vibratins et du raynnement des panneau ecités par une CLT se pursuivent mais les résultats btenus par des myens actifs snt encre trp peu

50 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 49 FIG Vitesse du panneau à une fréquence de résnance, sans et avec cntrôle cnvaincants pur une réelle applicatin industrielle dans l immédiat Cntrôle des éculements La présence d un éculement mdifie la prpagatin acustique mais elle cnstitue aussi en elle-même une surce de bruit d autant plus imprtante que la vitesse est grande. Cntrôler, à l aide de surces de pressin u de débit, l éculement lui-même peut également être d un grand intérêt d un pint de vue aérdynamique, par eemple pur retarder le décllement de la cuche limite de prfils prtants sus grande incidence. Tute une panplie variée d actinneurs plus u mins etiques est dispnible pur intervenir sur un éculement. Les travau en curs à l heure actuelle cnsistent surtut à bserver les façns dnt une actin secndaire peut interagir avec un éculement. Dès que la turbulence est présente, les actinneurs nt un effet nn linéaire sur l éculement et n ne dispse pas de thérie générale de la cmmande pur déterminer cmment pilter des actinneurs secndaires. En cnclusin le cntrôle des éculements cmme du bruit généré u cnvecté par des éculement cnstitue certainement un dmaine de recherche prmetteur. Les résultats btenus demeurent tutefis trp fragmentaires pur dnner lieu à une présentatin dans le cadre de ce dcument. 3.4 Autres applicatins en etérieur Cntrôle du bruit de transfrmateur Les transprts cnstituent un dmaine d applicatin naturel du cntrôle actif mais d autres surces de bruit peuvent également être traitées en etérieur. Les transfrmateurs de puissance s avèrent par eemple des surces de bruit parfis très gênantes pur les riverains. Le bruit qu ils prduisent est dû au frictins des tôles magnétiques qu ils renferment, tôles qui se défrment sus l effet du champ magnétique (phénmène appelé la magnét-strictin. Cmme ces défrmatins snt péridiques, un bruit est prduit à des fréquences multiples de celle du curant électrique (50 Hz en France, 60 Hz au Etats-Unis). Cmme n l a vu au chapitre 1, plusieurs surces secndaires snt nécessaires autur d un transfrmateur pur un cntrôle actif efficace ; un algrithme adaptatif tel que le FXLMS permet de suivre les variatins du raynnement du transfrmateur avec les cnditins atmsphérique u le curant prduit.

51 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 50 FIG Un transfrmateur de puissance en chambre anéchïque La figure 3.11 mntre un transfrmateur de puissance installé dans la grande chambre surde du LMA pur la mesure de sn raynnement ; il s agissait entre autres d en déterminer la directivité pur dispser autur de façn ptimale les micrphnes et les haut-parleurs nécessaires au cntrôle actif. La mdélisatin du raynnement par une smme d harmniques sphériques (cf. la sectin 1.1.4) et l ptimisatin de la psitin des transducteurs à l aide d algrithmes génétiques nt permis d btenir epérimentalement une atténuatin des raies du bruit à 100 et 200 Hz de l rdre de 15dB dans tutes les directins. Plusieurs systèmes de cntrôle actif nt été vendus au Etat-Unis pur équiper des transfrmateurs bruyants dnt le remplacement aurait été trp cûteu. En Eurpe plusieurs études nt été menées (avec France-Transf, ABB...) et plusieurs dispsitifs fnctinnent en permanence cntre vents et rages. Il s agit de slutins pnctuelles et spécifiques à chaque transfrmateur ; elles ne sernt pas appliquées en série sur les nuveau transfrmateurs mins bruyants. En revanche le cntrôle actif a cnstitué une répnse apprpriée au prblème psé à basse fréquence par le bruit de ces transfrmateurs Ecrans anti-bruit actifs Les prblèmes de bruit au visinage des aérprts, des vies ferrées et des autrutes u tut simplement en ville fnt que l n peut s interrger sur la pssibilité d isler certaines znes à l aide d écrans antibruit actifs. Malheureusement, cmpte-tenu des rdres de grandeur mis en évidence au chapitre 1, n peut estimer le nmbre de pints de minimisatin (et le nmbre de surces secndaires) nécessaire à deu u tris par lngueur d nde pur qu un écran antibruit actif ait le même effet qu un écran passif. L écran actif ne peut par cnséquent avir d intérêt que pur des bruits intenses à basse et très basse fréquence, vulir isler sn jardin de bruits large bande tels que ceu en prvenance des avins u des vitures n aurait pas de sens car le maillage de haut-parleurs à utiliser s apparenterait à un mur. Par ailleurs n ne dispse, pas pur un cntrôle par feedfrward, de signal de référence évident caractérisant les surces de bruits à traiter ; ces surces peuvent en effet être multiples, mbiles et incnnues a priri. La mise au pint d un écran actif, même destiné au basses fréquence, pse dnc un certain nmbre de prblèmes accentués par le fait de se truver en etérieur avec de larges fluctuatins de température, d rientatin et de

52 CHAPITRE 3. QUELQUES APPLICATIONS DU CONTRÔLE ACTIF 51 FIG L écran actif de Lyn St Eupéry 5 Cntrle du bruit prduit par une surce fie élignée 40 Cntrle du bruit d un avin à l atterrissage 10 sans cntrle avec cntrle SPL (db) SPL (db) sans cntrle avec cntrle fréquence (Hz) FIG Cntrôle avec l écran actif dans la bande Hz vitesse du vent. La figure 3.12 mntre un dispsitif anti-bruit installé à primité de l aérdrme de Lyn St Eupéry. Un premier micrphne qui reçit le bruit en prvenance des pistes furnit un signal de référence pur les surces secndaires dispsées derrière. La réductin du bruit sur des micrphnes de minimisatin en aval permet, myennant quelques aménagements des algrithmes de cntrôle, d btenir derrière l antenne une zne ù le bruit est atténué dans la bande Hz. La figure 3.13 mntre l atténuatin btenue dans cette bande de fréquence lrsque le bruit incident est prduit par un haut-parleur à bnne distance puis lrsque le bruit prvient d un avin à l atterrissage. On cnstate sur cette figure une atténuatin certaine du bruit. Même si elle s avére perceptible, cette atténuatin ne change pas tutefis pas significativement le niveau du bruit en prvenance des avins dnt l essentiel de l énergie audible se situe en dehrs de la bande Hz. Les écrans actifs cnstituent un thème de recherche de recherche intéressant avec de nmbreuses difficultés thériques et pratiques à surmnter. En revanche, en l état actuel des cnnaissances et de la technlgie, l étritesse de la bande de fréquences ù leur apprt est réel fnt qu ils ne cnstituent pas la répnse au nuisances snres en tut genre.

53 Cnclusin - Résumé En guise de cnclusin à ce dcument, vilà finalement ce qu il apparaît cmme essentiel de savir aujurd hui en matière de cntrôle actif du bruit : Les champs acustiques snt d autant plus faciles à cntrôler qu n s intéresse au basses fréquences parce que le nmbre de transducteurs nécessaires pur atténuer un bruit dans une zne dnnée augmente rapidement avec la fréquence. Les actinneurs secndaires permettent un cntrôle d autant plus efficace que le bruit à cntrôler est prédictible (péridique u à bande étrite). Avec un bruit imprédictible il faut dispser d une prise d infrmatin sur le bruit en amnt pur espérer un cntrôle efficace ; les retards présents dans les fnctins de transfert secndaires pénalisent alrs l efficacité du cntrôle. En pratique, des algrithmes de cntrôle adaptatifs snt suvent nécessaires pur un cntrôle efficace et rbuste ; l algrithme FXLMS (pur Filtered-X Least Mean Square, mindres carrés récursif à référence filtrée) permet dans de nmbreu cas un cntrôle quasi ptimal. Dans des cas cmplees mais favrables, le cntrôle actif permet une réductin du bruit de l rdre de 20 db. Malheureusement cette réductin suvent btenue à basse fréquence ne se traduit pas tujurs par une réductin imprtante du bruit ttal tel qu il est perçu. Le casque anti-bruit et les trnçns de gaine de ventilatin actifs snt deu prduits de série issus du cntrôle actif. De nmbreu autres dispsitifs nt été étudiés et nt pu, dans certains cas, cnstituer une répnse apprpriée à un prblème de bruit dnné. Il faut, en cnclusin, tenir le cntrôle actif pur une technique de réductin du bruit cmme les autres qui peut cmpléter les techniques passives traditinnelles. 52

54 Annee A Décmpsitin en valeurs singulières La décmpsitin en valeurs singulières (Singular Value Decmpstin, svd sus Matlab) est un util puissant d analyse des matrices. Elle présente certaines similitudes avec la décmpsitin en valeurs prpres ; elle s en distingue ntamment par le fait que sn btentin numérique ne se heurte pas à des prblèmes de cnditinnement, ce qui la rend préférable lrsqu un chi entre les deu décmpsitins est pssible. Malheureusement, l usage de cette décmpsitin n est pas aussi répandu qu il purrait l être ; le recurs à la SVD s est surtut fait depuis les années 1960 avec le dévelppement du calcul numérique alrs que la décmpsitin en valeurs prpres et les calculs analytiques assciés snt classiquement enseignés depuis plus d un siècle. On va définir ici la décmpsitin en valeurs singulières et présenter quelques-unes de ses prpriétés mathématiques et leur intérêt pur le cntrôle acustique actif. Décmpsitin en valeurs singulières : Tute matrice à cefficients cmplees M de dimensins mn se décmpse sus la frme : M = U Σ V (A.1) ù U et V snt des matrices carrées unitaires (UU = U U = I m, VV = V V = I n ) et ù Σ est une matrice diagnale de cefficients réels σ i décrissants (σ 1 σ 2... σ min(m,n) ). Les cefficients σ i snt appelés les valeurs singulières de la matrice M et les vecteurs U k et V k les vecteurs singuliers à gauche et à drite. Cette décmpsitin est unique, au permutatins de vecteurs singuliers près si deu valeurs singulières snt identiques. Dans le cas ù M est à ceffients réels, les matrices U et V snt aussi à cefficients réels (et dnc rthgnales, UU t = I m ) ; par ailleurs, les valeurs singulières au carré snt les valeurs prpres de la matrice hermitienne carrée MM. L intérêt de la décmpsitin en valeurs singulières réside ntamment dans la prpriété suivante : 53

55 ANNEXE A. DÉCOMPOSITION EN VALEURS SINGULIÈRES 54 Apprimatin de rang dnné d une matrice : la meilleure apprimatin de rang p d une matrice M au sens de la nrme 2 (i.e. la matrice M p qui minimise M M p 2 ) est btenue en trnquant à l rdre p le dévelppement : M = U Σ V = min(m,n) k=1 U k σ k V k (A.2) Cela implique ntamment que le rang de la matrice est égal au nmbre de valeurs singulières nn nulles ; en pratique c est de cette façn que l n évalue numériquement le rang d une matrice. La décmpsitin en valeurs singulières présente très un grand intérêt en cntrôle actif, aussi bien pur les aspects "acustique" que "traitement du signal". En premier lieu, étant dnnée une matrice de transfert entre des capteurs et des actinneurs, la décmpsitin en valeurs singulières permet d apprécier le nmbre de mdes qui cntribuent significativement au transferts énergétiques, en milieu cnfiné u nn ; en effet, si le nmbre de transducteurs est suffisant, le dévelppement (A.2) peut directement être cmparé au dévelppement en série de mdes. On peut dnc utiliser la décmpsitin en valeurs singulières pur déterminer le nmbre de transducteurs à utiliser en pratique pur un cntrôle actif, les vecteurs singuliers renseignant, eu, sur les psitins et cmbinaisns de transducteurs ecitant u bservant au mieu ces mdes. Un tracé des valeurs singulières d une matrice de transfert purra aussi être utilisé pur détecter et séparer deu mdes de fréquences de résnance très visines. En deuième lieu, il s avère en Autmatique que la bnne généralisatin au cas multivies du mdule d une fnctin de transfert mnvie est la plus grande valeur singulière de la matrice de transfert. Un grand nmbre de résultats sur la stabilité des systèmes mnvies (critère de Nyquist, thérème du petit gain...) s énncent dans le cas multivies en utilisant les valeurs singulières de la matrice de transfert ; certaines équatins (cmme les équatins de Riccati matricielles issues de la cmmande ptimale LQG u H des systèmes) peuvent également être réslues en utilisant une décmpsitin en valeurs singulières plutôt qu en valeurs prpres. Enfin, au delà du cntrôle actif, n retiendra en cnclusin que l intérêt majeur des valeurs singulières est de permettre une décmpsitin de type spectral sans prblèmes de cnditinnement.

56 Annee B Transferts à phase minimale et factrisatin spectrale Il eiste une infinité de fnctins de transfert stables et causales ayant un mdule dnné ; quelque sit par eemple le réel τ psitif, les fnctins retardées He jωτ nt tutes le même mdule. Parmi tutes ces fnctins, il en eiste une qui cntient «le mins de retard pssible» et dnt l inverse s avère également stable et causale : Fnctins de transfert à phase minimale : On définit une fnctin de transfert H causale et stable cmme étant à phase minimale si sn inverse H 1 est également causale et stable. Tute fnctin de transfert H causale et stable se factrise sus la frme : H = H min H all (B.1) ù H min est à phase minimale et ù H all (ω 0) = 1. L appellatin «phase minimale» vient de ce que, de tutes les fnctins de transfert ayant le même mdule, H min est celle ù le maimum d énergie est cncentré dans le début de la répnse impulsinnelle : précisément, à temps discret par eemple, pur tut entier psitif N la répnse impulsinnelle h de H min est celle qui maimise N n=1 h2 n. Si H est une fractin ratinnelle en jω, elle sera à phase minimale si ses zérs snt à partie réelle strictement négative. La factrisatin (B.1) peut facilement être faite dans le cas ratinnel en «reflétant» les zérs à partie réelle psitive de l autre côté de l ae imaginaire. Cette factrisatin est aussi facile à faire dans le cas ratinnel pur les systèmes à temps discret. Dans le cas général mnvie, n dispse d un algrithme numérique efficace pur btenir la factrisatin (B.1) en utilisant cmme intermédiaire le cepstre cmplee du transfert H. Dans le cas ù H est une matrice de transfert de grande dimensin, n ne sait cnstruire la factrisatin que si les cmpsantes de H snt des fractins ratinnelles de degrés faibles. Tut signal «physique» peut être interprété cmme le résultat du filtrage d un bruit blanc par une fnctin de transfert causale, stable et à phase minimale. L identificatin de cette fnctin 55

57 ANNEXE B. TRANSFERTS À PHASE MINIMALE ET FACTORISATION SPECTRALE56 de transfert à partir de la Densité Spectrale de Puissance du signal s appelle la factrisatin spectrale : Factrisatin spectrale : Tute fnctin réelle psitive S(ω) vérifiant la cnditin dite de Paley-Wiener : + lg S(ω) dω > (B.2) 1+ω2 se factrise sus la frme : S(ω) = H(ω)H (ω) ù H est une fnctin de transfert causale, stable et à phase minimale. (B.3) Numériquement, la factrisatin spectrale d une DSP s btient cmme la factrisatin (B.1). Dans le cas des systèmes à temps discret de fréquence d échantillnnage f s, la cnditin de Paley-Wiener s écrit : + fs /2 lgs( f)d f > (B.4) f s /2

58 Annee C Sujets d eamen du DEA d acustique Eamen durée 1h - tus dcuments autrisés On va s intéresser ici au cntrôle actif du bruit dans une zne cubique de 2m de côté, cela dans différents envirnnements acustiques. Chacune des quatre situatins ci-dessus peut être traitée indépendemment des autres. Situatin 1 On suppse que la zne cubique est l intérieur d une cabine assimilable à une cavité acustique à brds rigides. Pur le cntrôle, n dispse des micrphnes de minimisatin et des haut-parleurs secndaires dans des psitins plus u mins aléatires dans la cabine. 1. Quelle est la fréquence de résnance du mde (1,0,0) de la cabine? Celle du mde (0,2,0)? 2. Sachant que la fréquence de résnance du mde (1,1,0) est 120Hz, cmbien de mdes nt une fréquence de résnance inférieure à 150Hz? 3. Quel est le nmbre de micrphnes de minimisatin nécessaires à un cntrôle actif glbal dans la cavité dans la bande 0 150Hz? Situatin 2 La zne cubique est l intérieur de la cabine de piltage d une lcmtive diesel. On suppse qu n y a dispsé des micrphnes de minimisatin et des haut-parleurs secndaires permettant un cntrôle actif glbal du bruit du mteur. 1. Cmment peut-n prcéder pur calculer les signau de cmmande à adresser au hautparleurs de cntrôle? 2. A vtre avis, un tel cntrôle actif présenterait-il un intérêt industriel? Situatin 3 On suppse la zne cubique à minimiser cmme étant dans l espace libre. Pur le cntrôle n 57

59 ANNEXE C. SUJETS D EXAMEN DU DEA D ACOUSTIQUE 58 dispse autur un certain nmbre de micrphnes de minimisatin et de haut-parleurs. Quel est l rdre de grandeur du nmbre de micrs nécessaires à un cntrôle glbal du bruit prduit dans la zne cubique par une nde plane à 150Hz? Situatin 4 La zne cubique de cntrôle est psée sur un sl rigide délimitant un demi-espace libre. Le bruit à atténuer est celui d un avin au décllage situé à quelques centaines de mètres. 1. Quel signal de référence purrait-n utiliser pur un cntrôle par feedfrward du bruit dans la zne cubique? 2. Que pensez-vus de l effet sur un auditeur d un cntrôle efficace dans la bande Hz? 3. On se prpse d enturer la zne cubique de micrphnes de minimisatin pur un cntrôle glbal. Faut-il en dispser sur le sl? Questin subsidiaire : Faut-il dispser des micrphnes de minimisatin au sl lrsque celui-ci n est que partiellement réfléchissant?

60 Annee D Bibligraphie smmaire Vilà quelques références bibligraphiques en liaisn avec le cntrôle actif ; parmi les nmbreu uvrages dispnibles, les recmmandatins ci-dessus snt surtut liées à des préférences persnnelles. Sur le cntrôle actif prprement dit : A l heure actuelle plusieurs dizaine de livres snt cnsacrés au cntrôle actif du bruit et des vibratins. Mes recmmandatins snt : Active Cntrl f Sund, P.A. Nelsn, S.J. Ellitt, Academic Press, 1992 LE livre sur le cntrôle actif du bruit. Le premier, le plus cmplet sur les aspects «acustiques», facile à lire qui plus est. Signal Prcessing fr Active Cntrl, S.J. Ellitt, Academic Press, 2001 Depuis 1992 les pssibilités des systèmes de cntrôle en temps réel se snt élargies. Ce livre est un cmplément idéal au précédent pur ce qui cncerne les aspects «algrithmes» sphistiqués. Plusieurs livres snt cnsacrés au cntrôle des vibratins mais il s agit plus de catalgues des travau de leurs auteurs que de présentatins véritablement unifiées, il est difficile d en recmmander un à titre général. Sur l acustique : Deu grands «classiques» en anglais plusieurs fis réédités : Acustics : An Intrductin t its Physical Prperties and Applicatins, A.D. Pierce, Mc Graw-Hill, 1981 Theretical Acustics, P.M. Mrse, K.U. Ingard, Mc Graw-Hill,

61 ANNEXE D. BIBLIOGRAPHIE SOMMAIRE 60 Un uvrage de référebce en français : Manuel d Acustique Fndamentale, M. Bruneau, Hermès,1991 Sur le traitement du signal : Digital Signal Prcessing, A.V. Oppenheim, R.W. Schafer, Prentice Hall, 1975 Un uvrage d intrductin déjà ancien mais tujurs clair. Pur finir il eiste un très grand nmbre de livres sur l «Autmatique» qui cncernent le cntrôle au sens large mais les théries présentées ne snt pas frcément apprpriées au cntrôle actif du bruit ; le livre Signal Prcessing fr Active Cntrl cnvient tut à fait de ce pint de vue.

62 Inde brevets, 38 bruit d hélices, d échappement, 42 de cuche limite turbulente, de mteur, de rulement, de sufflante, de transfrmateur, casque anti-bruit, causalité, champ diffus, 17 champ lintain, 10 chérence, 26 cnditinnement, 32 cnvergence, 32 mdes de cavité, 16 mdes prpagatifs, mnpôle, 8 11 phase minimale, 56 psychacustique, rang (d une matrice), 55 représentatin intégrale, 20 rbustesse, 31 Schreder (fréquence de), 18 SVD, 54 directivité, 12 Dirichlet (cnditin au limites de), 18 écran actif, 51 énergie (absrptin d ), 11 état (représentatin d ), 36 factrisatin spectrale, 57 feedback, feedfrward, FIR (filtre), 29 FXLMS (algrithme), Green (fnctin de), 20 guide d ndes, harmniques sphériques, 12 IMC (cntrôleur), 35 intensité acustique, 11 61