Présentation. Villeneuve d Ascq, octobre 2005 Charles Suquet

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1 Présenttion Ce polycopié résulte de l ssemblge sépré de deux chpitres nnexes du cours d Intégrtion et Probbilités Élémentires (IPE Mth36) Il regroupe ce qu un étudint de 3 e nnée devrit connître sur l intégrle de Riemnn pour suivre un cours de probbilités qui contourne l construction de l intégrle de Lebesgue. Au delà de ce lectort nturel, ce document peut ussi servir de mise u point pour des étudints préprnt le CAPES, ou ynt entrepris l étude de l théorie de l mesure et de l intégrle u sens de Lebesgue. L intégrle de Riemnn est définie ici à prtir des sommes de Drboux. On ne prétend ps donner une présenttion complète de l intégrle de Riemnn. En prticulier on ne dit rien sur les sommes de Riemnn ni sur les techniques de clcul d intégrles pr primitivtion. Un troisième chpitre sur l intégrle multiple reste à écrire. Villeneuve d Ascq, octobre 25 Chrles Suquet 1

2 2 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

3 Chpitre 1 Intégrle de Riemnn sur [, b] 1.1 Construction Soit [, b] un intervlle fermé borné de R. On ppelle subdivision de [, b] toute suite finie du type = {x = < x 1 < < x n = b}. Pour une fonction bornée f : [, b] R, ( < < b < + ), on définit ses sommes de Drboux inférieure S (f) et supérieure S (f) pr S (f) := n k=1 (x k x k 1 ) inf f, S (f) := [x k 1,x k ] n k=1 (x k x k 1 ) sup f. [x k 1,x k ] Pour une illustrtion, voir les figures 1.1 et 1.2. y x k x k+1 b x Fig. 1.1 S (f) 3

4 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] y x k x k+1 b x Fig. 1.2 S (f) On dit que l subdivision est un rffinement de si l ensemble des vleurs de l suite finie est inclus dns celui des vleurs de l suite, ce que nous noterons vec un léger bus. Il est fcile de vérifier que S (f) S (f) et S (f) S (f). Les figures 1.3 et 1.4 illustrent l effet de l djonction à l subdivision des figures 1.1 et 1.2 de deux nouveux points. Les intégrles de Riemnn inférieure I (f) et supérieure I (f) sont définies pr I (f) := sup S (f), I (f) := inf S (f), le supremum et l infimum étnt pris sur toutes les subdivisions de [, b]. Pour 1 et 2 subdivisions de [, b] on clirement S 1 (f) S 1 2 (f) S 1 2 (f) S 2 (f), d où S 1 (f) S 2 (f). En prennt successivement le sup sur tous les 1, puis l inf sur tous les 2, on en déduit I (f) I (f), inéglité vérifiée pr toute fonction bornée f : [, b] R. Définition 1.1. On dit que f bornée [, b] R est Riemnn intégrble si vec les nottions ci-dessus, I (f) = I (f). Dns ce cs on définit son intégrle u sens de Riemnn notée f(x) dx pr f(x) dx := I (f) = I (f). 4 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

5 1.1. Construction y x k x k+1 b x Fig. 1.3 Si, S (f) S (f) y x k x k+1 b x Fig. 1.4 Si, S (f) S (f) Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

6 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] Il est commode de donner ussi une définition de f(x) dx lorsque b <. Cette définition peut se justifier en reprennt toute l étude précédente vec des subdivisions de [b, ] pr des suites finies décroissntes 1 = x > x 1 > > x n 1 > x n = b. En conservnt les mêmes définitions de S (f) et S (f), le seul chngement pr rpport ux subdivisions croissntes de [b, ] est que les (x k x k 1 ) sont négtifs ce qui implique une inversion des inéglités entre S (f) et S (f), on mintennt S (f) S (f). Associons à chque subdivision décroissnte de [b, ], l subdivision retournée = {x, x 1,..., x n} définie pr x = x n, x 1 = x n 1,..., x n = x. Alors est une subdivision croissnte de [b, ] et S (f) = S (f), S (f) = S (f). On en déduit imméditement que I (f,, b) := sup S (f) = inf S (f) =: I (f, b, ), (1.1) I (f,, b) := inf S (f) = sup S (f) =: I (f, b, ), (1.2) les infim et suprem indexés pr s entendnt pour toute subdivision décroissnte de à b et ceux indexés pr pour toute subdivision croissnte de [b, ]. On définit lors l intégrbilité de f de à b pr l condition I (f,, b) = I (f,, b), dont on voit pr (1.1) et (1.2) qu elle équivut à I (f, b, ) = I (f, b, ), c est-à-dire à l intégrbilité de f sur [b, ]. En définissnt enfin f(x) dx comme l vleur commune de I (f,, b) et I (f,, b), on obtient f(x) dx = f(x) dx, cette dernière intégrle relevnt de l b définition 1.1. Tout ceci légitime l définition formelle suivnte. Définition 1.2. Si < b < < +, on dit que f est Riemnn intégrble de à b si elle est Riemnn intégrble sur [b, ] et on pose dns ce cs : f(x) dx := b f(x) dx. (1.3) Remrque 1.3 (vrible d intégrtion). Dns l écriture f(x) dx, l «vrible b d intégrtion» x est «muette», on peut l remplcer pr n importe quelle utre lettre (suf ici, b ou f). Cette vrible joue le même rôle que l indice i de sommtion dns n i=1 u i qui est lui ussi muet. Remrque 1.4 (intégrle de Riemnn et ire). Soit f une fonction positive et Riemnn intégrble sur [, b]. On interprète clssiquement f(x) dx comme l ire de l hypogrphe de f entre et b, i.e. de l région du pln délimitée pr l xe des bscisses, les droites verticles d éqution x = ou x = b et le grphe 2 de f, l courbe d éqution y = f(x), x [, b]. Voici une justifiction informelle de cette ffirmtion, dont on pourr se contenter en première lecture. Reprenons l fonction f des figures 1.1 et 1.2. L hypogrphe H de f est représenté figure 1.5. On peut se convincre «visuellement», 1 Rppelons que pour tous réels et b, [, b] est défini comme l ensemble des x réels tels que x b. Ainsi pour b <, [, b] est l ensemble vide. C est pour cel que l on subdivise ici [b, ] et non [, b]. De même on prler d intégrle de f de à b mis ps d intégrle de f sur [, b] qund b <. 2 D où le nom «hypogrphe», littérlement ce qui est sous le grphe. 6 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

7 1.1. Construction y b x Fig. 1.5 Hypogrphe H de f entre et b cf. figure 1.1, que pour toute somme de Drboux inférieure l ire des rectngles coloriés égle à S (f) est inférieure à l ire de l hypogrphe de f. De même cf. figure 1.2, pour toute somme de Drboux supérieure, l ire des rectngles coloriés égle à S (f) est supérieure à l ire de l hypogrphe. L ire de H est donc un mjornt de toute S et un minornt de toute S. D où I (f) = sup S (f) ire(h) inf S (f) = I (f). Pr Riemmn intégrbilité de f, I (f) = I (f) = f(x) dx, d où ire(h) = f(x) dx. Pour les lecteurs exigents que l remrque 1.4 lisserit instisfits, nous proposons et démontrons ci-dessous un énoncé plus précis. Pour cel, il convient d bord de s interroger sur l définition mthémtique de l ire de H. Dns le cdre de ce cours, nous vons dmis l existence de l mesure de Lebesgue λ 2 sur R 2, définie comme l unique mesure µ sur l tribu borélienne de R 2 vérifint µ(]x 1, x 2 ] ]y 1, y 2 ]) = (x 2 x 1 )(y 2 y 1 ) pour tout pvé semi-ouvert ]x 1, x 2 ] ]y 1, y 2 ] de R 2, voir l exemple A.12 p. 61. C est cette mesure de Lebesgue qui donne un sens mthémtique précis à l notion d ire. On se propose donc de montrer que λ 2 (H) = f(x) dx. Pour que cel it un sens, encore fut-il que H soit un borélien de R 2. Une condition suffisnte pour que H soit un borélien de R 2 est que l fonction f soit borélienne, c est-à-dire mesurble (voir def. A.7 59) pour les tribus boréliennes de [, b] et de R. L preuve de cette ffirmtion sort du progrmme de ce cours 3. Signlons simplement que tous les exemples de fonctions Riemmn intégrbles donnés dns l suite de ce document fonctions monotones, continues, réglées sont boréliennes. Les seules propriétés de λ 2 utilisées dns ce qui suit sont l croissnce et l dditivité finie propriétés vérifiées pr toute mesure, voir p. 57 et le fit que les 3 Voir le cours d IFP chpitre 5. Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

8 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] frontières des pvés sont de λ 2 -mesure nulle 4, voir l proposition A.13 v). Proposition 1.5. Soit f : [, b] R une fonction positive et Riemnn intégrble sur [, b]. On suppose de plus que son hypogrphe entre et b est un borélien de R 2. Alors H := {(x, y) R 2 ; x b et y f(x)} (1.4) λ 2 (H) = f(x) dx, (1.5) utrement dit l intégrle de f entre et b est l ire de l hypogrphe de f entre et b. Preuve. Soit = {x = < x 1 < < x n = b} une subdivision quelconque de [, b]. Notons pour k = 1,..., n, m k := Définissons les «rectngles» R,k pr inf f, M k := sup f. [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] R,1 := [, x 1 ] [, m 1 ], R,k :=]x k 1, x k ] [, m k ] pour k = 2,..., n, et notons R,k les rectngles obtenus en remplçnt m k pr M k, k = 1,..., n. Posons enfin R := n R,k, R := n R,k. k=1 k=1 Commençons pr justifier l double inclusion, R H R. (1.6) Soit (x, y ) un élément quelconque de l réunion R. Il pprtient donc à un R,k d où x k 1 x x k et y m k f(x ) cr m k est l infimum de f sur [x k 1, x k ]. Le couple (x, y ) vérifie insi les inéglités x k 1 x x k b et y f(x), donc pprtient à H. Ceci justifie l première inclusion dns (1.6). Soit mintennt (x, y ) un élément quelconque de H, donc vérifint x b et y f(x ). L subdivision induit l prtition de [, b] en les intervlles J 1 := [, x 1 ], J k :=]x k 1, x k ], k = 2,..., n. Il existe donc un unique indice k entre 1 et n tel que J k contienne x. On lors y f(x ) M k cr M k est le supremum de f sur [x k 1, x k ]. Ainsi (x, y ) pprtient à R,k, donc ussi à R, ce qui justifie l deuxième inclusion dns (1.6). Comme R, H et R sont des boréliens de R 2, on deduit de (1.6) pr croissnce de λ 2 que, λ 2 (R ) λ 2 (H) λ 2 (R ). (1.7) 4 En rélité on seulement besoin de svoir que si J est un segment verticl {} [y1, y 2 ], λ 2 (J) = et de même pour un segment horizontl. Ceci se démontre fcilement en exercice en utilisnt l croissnce de λ. Fites le! 8 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

9 1.2. Riemnn intégrbilité Clculons mintennt λ 2 (R ). Les R,k étnt deux à deux disjoints, on pr dditivité finie de λ 2 : n λ 2 (R ) = λ 2 (R,k ). (1.8) k=1 Pr l proposition A.13 v) ou pr l note 4 p. 8, on pour tout k = 1,..., n, λ 2 (R,k ) = (x k x k 1 )m k, d où en reportnt dns (1.8), λ 2 (R ) = S (f). De même il est clir que λ 2 (R ) = S (f). On déduit lors de (1.7) que, S (f) λ 2 (H) λ 2 (R ). (1.9) L première inéglité dns (1.9) nous dit que le réel λ 2 (H) qui ne dépend ps de mjore toutes les sommes de Drboux inférieures S (f). Il mjore donc ussi leur supremum I (f). Pr l deuxième inéglité, λ 2 (H) minore toutes les S (f), donc minore ussi leur infimum I (f). Nous obtenons insi l encdrement I (f) λ 2 (H) I (f). Comme f est Riemnn intégrble, I (f) = I (f), donc λ 2 (H) = I (f) = I (f) = f(x) dx. Remrque 1.6. L mesure λ 2 étnt invrinte pr l symétrie (x, y) (x, y) cf. prop. A.13 ii), on obtient imméditement une version de l proposition 1.5 pour une fonction g négtive sur [, b] en remplçnt H pr En effet en posnt f = g, il vient H := {(x, y) R 2 ; x b et g(x) y }. λ 2 (H ) = λ 2 (H) = 1.2 Riemnn intégrbilité f(x) dx = g(x) dx. (1.1) Dns cette section nous exminons l Riemnn intégrbilité de certines fmilles de fonctions. Les deux plus importntes en prtique sont celle des fonctions monotones et celle des fonctions continues. On générlise l Riemnn intégrbilité des fonctions continues u cs des fonctions bornées continues sur [, b] suf en un nombre fini de points, comme celle de l figure 1.1. Enfin nous étblissons que toute limite uniforme sur [, b] d une suite de fonctions Riemnn intégrbles sur [, b] est encore Riemnn intégrble. Ceci nous donne notmment l Riemnn intégrbilité de toutes les fonction réglées, i.e. limites uniformes de fonctions en esclier. Les fonctions en escliers sont les plus simples de toutes les fonctions Riemnn intégrbles et c est pr elles que nous commençons cette étude. Définition 1.7 (fonction en esclier). Une ppliction f : [, b] R est ppelée fonction en esclier sur [, b], s il existe une subdivision = {t = < t 1 < < t j = b} telle que f soit constnte sur chque intervlle ouvert ]t i 1, t i [, i = 1,..., j. Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

10 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] Il est clir que n est ps unique, en prticulier pour tout rffinement de, f est constnte sur chcun des intervlles ouverts ynt pour extrêmités deux points consécutifs de. Il y donc une infinité de subdivisions telles que f en esclier soit constnte sur chcun des intervlles ouverts de (i.e. les intervlles ynt pour extrêmités deux points consécutifs de ). Nous ppelerons subdivision ssociée à f en esclier, toute subdivision telle que f soit constnte sur chcun des intervlles ouverts de. L moins fine des subdivisions ssociées à f en esclier est constituée des points et b et des points de discontinuité de f dns ], b[. Proposition 1.8 (intégrbilité d une fonction en esclier). Soit f une fonction en esclier sur [, b] et = {t = < t 1 < < t j = b} une subdivision ssociée à f, l vleur constnte de f sur ]t i 1, t i [ étnt notée c i. Alors f est Riemnn intégrble sur [, b] et on j f(x) dx = (t i t i 1 )c i. (1.11) Remrquons que comme f(x) dx ne dépend, lorsqu elle existe, que de f, (1.11) implique que si 1 = {s = < s 1 < < s l = b} est une utre subdivision ssociée à f et en notnt d k l vleur constnte de f sur ]s k 1, s k [, k = 1,..., l, on i=1 j (t i t i 1 )c i = i=1 l (s k s k 1 )d k. k=1 Preuve. D bord, f est bornée puisque f([, b]) = {c 1,..., c j } {f(t ),..., f(t j )} qui est fini (de crdinl u plus 2j + 1) donc borné dns R. Pour chque δ vérifint < δ < 1 2 min 1 i j (t i t i 1 ), (1.12) notons δ l subdivision construite en djoignnt à les points t + δ, t 1 δ, t 1 + δ, t 2 δ, t 2 + δ,..., t j 1 + δ, t j δ. Notons en outre m := inf f(x), x [,b] M := sup f(x), x [,b] m i := inf f(x) = min(c i, c i+1, f(t i )), M i := sup f(x) = mx(c i, c i+1, f(t i )), t i x δ t i x δ vec l dpttion évidente pour i = j. On bien sûr M i M et m i m pour tout i. Avec ces nottions on S δ (f) = j 1 j (t i t i 1 2δ)c i + δm + δm j + 2δ i=1 j (t i t i 1 )c i + 2jδ(M m). (1.13) i=1 i=1 M i 1 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

11 1.2. Riemnn intégrbilité De même vec les m i à l plce de M i on obtient S δ (f) j (t i t i 1 )c i 2jδ(M m). (1.14) i=1 Soit ε > quelconque, en choisissnt δ = δ(ε) vérifint à l fois (1.12) et 2jδ(M m) < ε, on dispose insi pr (1.13) et (1.14) d une subdivision δ(ε) telle que j (t i t i 1 )c i ε < S δ(ε) S δ(ε) < i=1 On en déduit pour tout ε > l encdrement : j (t i t i 1 )c i ε < I (f) I (f) < i=1 puis en fisnt tendre ε vers que I (f) = I (f) = ce qui étblit l intégrbilité de f et (1.11). j (t i t i 1 )c i + ε. i=1 j (t i t i 1 )c i + ε, i=1 j (t i t i 1 )c i, Proposition 1.9 (intégrbilité d une fonction monotone). Si f : [, b] R est monotone sur [, b], elle est Riemnn intégrble sur [, b]. Preuve. Supposons pour fixer les idées que f est décroissnte, l dpttion de ce qui suit u cs f croissnte étnt immédite. Alors f est bornée puisque pour tout x [, b], f(b) f(x) f(). Pour = {x = < x 1 < < x n = b} subdivision quelconque de [, b], notons m k et M k les bornes inférieure et supérieure de f sur [x k 1, x k ] et remrquons que pr décroissnce de f, m k = f(x k ) et M k = f(x k 1 ). On lors n S (f) S (f) = (x k x k 1 )(M k m k ) = k=1 i=1 n (x k x k 1 ) ( f(x k 1 ) f(x k ) ) k=1 mx (x k x k 1 ) 1 k n n ( f(xk 1 ) f(x k ) ) k=1 = mx 1 k n (x k x k 1 ) ( f() f(b) ). Soit ε > quelconque. En choisissnt une subdivision de ps u plus ε, i.e. telle que mx 1 k n (x k x k 1 ) ε, on S (f) S (f) ε ( f() f(b) ). On en déduit que I (f) I (f) ε ( f() f(b) ), puis comme ε est quelconque que I (f) I (f) =. L fonction f est donc Riemnn intégrble. Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

12 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] Proposition 1.1 (intégrbilité d une fonction continue). Si f : [, b] R est continue, elle est Riemnn intégrble sur [, b]. De plus si F est une primitive de f sur [, b], f(x) dx = F (b) F (). (1.15) Preuve. Sur le compct [, b], l fonction f est bornée et uniformément continue : ε >, δ >, x, x [, b], x x < δ f(x) f(x ) < ε. Pour chque ε >, on peut trouver une subdivision = {x = < x 1 < < x n = b} (dépendnt de δ) telle que pour k = 1,..., n, x k x k 1 < δ. Comme les bornes inférieure m k et supérieure M k de f sur le compct [x k 1, x k ] sont tteintes, on pour tout k M k m k < ε. On lors S (f) S (f) = n n (x k x k 1 )(M k m k ) ε (x k x k 1 ) = ε(b ). k=1 k=1 En rison de l encdrement S (f) I (f) I (f) S (f), nous vons insi étbli que ε >, I (f) I (f) ε(b ). Comme I (f) I (f) ne dépend ps de ε, on en déduit que I (f) I (f) =, d où l Riemnn intégrbilité de f sur [, b]. Rppelons que F est une primitive de f sur [, b] si elle est dérivble en tout point de [, b] (à droite en et à guche en b) et pour tout x [, b], F (x) = f(x). Soit = {x = < x 1 < < x n = b} une subdivision quelconque de [, b]. Pr le théorème des ccroissements finis 5, il existe dns chque ]x k 1, x k [ un c k tel que F (x k ) F (x k 1 ) = (x k x k 1 )F (c k ) = (x k x k 1 )f(c k ). En écrivnt F (b) F () = n ( F (xk ) F (x k 1 ) ) = k=1 n (x k x k 1 )f(c k ) k=1 et en encdrnt f(c k ) entre les bornes inférieure et supérieure de f sur [x k 1, x k ], on en déduit S (f) F (b) F () S (f). Cet encdrement est vlide pour toute subdivision et F (b) F () ne dépend ps de. Pr conséquent I (f) F (b) F () I (f) et comme nous svons déjà que f est Riemnn intégrble on en déduit F (b) F () = I (f) = I (f), ce qui étblit (1.15). 5 Appelé ussi formule des ccroissements finis : si f est continue sur [, b] et dérivble sur ], b[, il existe c ], b[ tel que f(b) f() = f (c)(b ). 12 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

13 1.2. Riemnn intégrbilité L preuve de (1.15) s étend imméditement u cs où F est dérivble sur ], b[, continue à droite en et à guche en b et F = f sur ], b[. D utre prt on peut utiliser l intégrle de Riemnn pour montrer que toute fonction continue sur [, b] dmet des primitives sur [, b]. Proposition Toute fonction f : [, b] R, bornée sur [, b] et continue sur [, b], suf en un nombre fini de points est Riemnn intégrble sur [, b]. Preuve. Nous nous contenterons de le montrer dns le cs où f présente un seul point de discontinuité c ], b[, l générlistion ne coûtnt qu un lourdissement de nottions. L dpttion de ce qui suit u cs c = ou c = b est ussi immédite. Fixons ε > rbitrire et soit η > ssez petit pour que [c η, c + η] ], b[ et dont le choix en fonction de ε ser précisé ultérieurement. Soit une subdivision de [, b] ynt comme points consécutifs c η et c + η (i. e. x k = c η et x k +1 = c + η pour un certin indice k ). Cette subdivision peut se construire comme réunion d une subdivision quelconque 1 de [, c η] et d une subdivision quelconque 2 de [c + η, b]. Comme f est continue sur [, c η] et [c + η, b], elle est Riemnn intégrble sur chcun de ces deux segments (prop. 1.1), ce qui nous utorise à choisir 1 et 2 telles que S 1 (f) S 1 (f) ε 3, S 2 (f) S 2 (f) ε 3. (1.16) Notons m et M, m η et M η les bornes inférieure et supérieure de f sur respectivement [, b] et [c η, c+η]. On clirement m m η M η M, d où 2η(M η m η ) 2η(M m), de sorte qu en choisissnt ε η < 6(M m), on it Avec le choix de opéré ci-dessus, nous vons d où compte-tenu de (1.16) et (1.17), 2η(M η m η ) < ε 3. (1.17) S (f) = S 1 (f) + 2ηM η + S 2 (f) S (f) = S 1 (f) + 2ηm η + S 2 (f), S (f) S (f) S 1 (f) S 1 (f) + 2η(M η m η ) + S 2 (f) S 2 (f) < ε. On en déduit que I (f) I (f) < ε, puis pr rbitrrité de ε que I (f) = I (f), i.e. que f est Riemnn intégrble sur [, b]. Nous llons mintennt étblir que l Riemnn intégrbilité se conserve pr convergence uniforme sur [, b]. Le lemme suivnt nous ser utile. Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

14 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] Lemme Soit E une prtie quelconque de R. On suppose que chque fonction f n est définie et bornée sur E et que l suite (f n ) n 1 converge vers f uniformément sur E. Alors f est bornée sur E et m n (E) := inf f n(x) x E M n (E) := sup f n (x) x E n + n + inf f(x) =: m(e), x E f(x) =: M(E). sup x E Plus précisément, si pour tout n n ε, on pour tout x E, f n (x) f(x) < ε, lors n n ε, m n (E) m(e) ε et M n (E) M(E) ε. (1.18) Preuve. L convergence uniforme de (f n ) vers f sur E, s écrit ε >, n ε N, n n ε, x E, f n (x) f(x) < ε. (1.19) En réécrivnt cette inéglité sous l forme f n (x) ε < f(x) < f n (x) + ε on en déduit : n n ε, x E, m n (E) ε < f(x) < M n (E) + ε, puis en prennt l infimum et le supremum en x E dns cette double inéglité 6 : n n ε, m n (E) ε m(e) et M(E) M n (E) + ε. (1.2) En choisisssnt un n prticulier, pr exemple n = n ε, on en déduit que f est bornée sur E ( < m n (E) ε m(e) M(E) M n (E) + ε < + ). En réécrivnt l inéglité (1.19) sous l forme f(x) ε < f n (x) < f(x) + ε, on obtient de l même fçon : n n ε, m(e) ε m n (E) et M n (E) M(E) + ε. (1.21) En regroupnt (1.2) et (1.21), on voit insi que pour tout n n ε, m(e) ε m n (E) m(e) + ε et M(E) ε M n (E) M(E) + ε, ce qui nous donne (1.18) et donc les convergences de m n (E) et M n (E) vers respectivement m(e) et M(E) puisque ε > est ici rbitrire. Proposition Si f est limite uniforme sur [, b] d une suite (f n ) n 1 de fonctions Riemnn intégrbles sur [, b], lors f est elle-même Riemnn intégrble sur [, b]. Preuve. D bord, f est bornée sur [, b] comme limite uniforme d une suite de fonctions bornées (lemme 1.12 vec E = [, b]). On peut donc bien définir les sommes de Drboux S (f) et S (f) pour toute subdivision de [, b]. Notons qu il y une difficulté supplémentire dns cette démonstrtion pr rpport ux preuves de l Riemnn intégrbilité des fonctions monotones ou continues. Dns 6 Noter ici le pssge des inéglités strictes ux inéglité lrges. 14 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

15 1.2. Riemnn intégrbilité ces deux cs, f tteignit ses bornes inférieure et supérieure sur chque intervlle de l subdivision, ce qui fcilitit le tritement des sommes de Drboux. Ici, nous n vons plus ce confort et c est le lemme 1.12 qui rrnge les choses. Pr convergence uniforme de f n vers f sur [, b], pour tout ε >, il existe un entier n ε tel que n n ε, x [, b], f n (x) f(x) < ε b. En ppliqunt le lemme 1.12, on lors vec le même n ε, n n ε, E [, b], m n (E) m(e) ε b, M n(e) M(E) ε b. (1.22) Soit = {x = < x 1 < < x j = b} une subdivision quelconque de [, b]. En ppliqunt (1.22) vec pour E chcun des intervlles [x k 1, x k ] de l subdivision, on vérifie imméditement que :, n n ε, S (f n ) ε S (f) S (f) S (f n ) + ε. (1.23) L fonction f nε étnt pr hypothèse Riemnn intégrble sur [, b], il existe une subdivision ε telle que S ε (f nε ) > S ε (f nε ) ε. (1.24) En choisissnt dns (1.23) n = n ε et = ε et en combinnt l encdrement insi obtenu vec l inéglité (1.24), il vient : S ε (f nε ) 2ε < S ε (f) S ε (f) S ε (f nε ) + ε, d où l on tire S ε (f) S ε (f) < 3ε, puis I (f) I (f) < 3ε. Pr rbitrrité de ε, on en déduit I (f) = I (f), ce qui étblit l Riemnn intégrbilité de f. Définition 1.14 (fonction réglée). On dit que f est réglée sur [, b] si elle est limite uniforme sur [, b] d une suite de fonctions en esclier. Corollire 1.15 (intégrbilité d une fonction réglée). Toute fonction réglée [, b] R est Riemnn intégrble sur [, b]. Preuve. C est une conséquence immédite des propositions 1.8 et Pour finir cette section, nous donnons un exemple de fonction Riemnn intégrble qui ne soit ps réglée (les fonctions monotones ou continues sont toutes réglées, exercice!) et un exemple de fonction bornée et borélienne qui ne soit ps Riemnn intégrble. Exemple 1.16 (une fonction intégrble non réglée). Soit E := {2 k ; k N } et f := 1 E. L fonction f est bornée et Riemnn intégrble sur [, 1], mis ps réglée. Vérifions ces deux ffirmtions. Soit n := {, 2 n } {2 k ± 2 2n ; 1 k < n}. On voit imméditement que pour tout n 2 : = S n (f) I (f) I (f) S n (f) = 2 n + 2(n 1)2 2n. Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

16 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] En fisnt tendre n vers +, on en déduit que I (f) = I (f) =, ce qui prouve que f est Riemnn intégrble sur [, 1] et que 1 f(x) dx =. Notons u pssge qu on insi un exemple de fonction f positive d intégrle de Riemnn nulle sur [, 1] sns que f soit identiquement nulle sur [, 1]. Cette sitution ne pourrit ps se produire vec une f continue (exercice). Supposons que f = 1 E soit réglée. Ceci implique que pour tout ε >, il existe une fonction en esclier g telle que f(x) g(x) < ε pour tout x [, 1]. Prenons ε = 1/3, choisissons une telle g, notons = {x = < x 1 < < x j = 1} une subdivision ssociée à g (cf. l définition 1.7) et c 1 l vleur constnte de g sur ], x 1 [. Comme f prend u moins une fois l vleur 1 (en fit une infinité de fois) sur ], x 1 [, on 1 c 1 < 1/3 et de même f prennt u moins une fois l vleur (en fit une infinité de fois) sur ], x 1 [, on c 1 < 1/3. Ces deux inéglités sont incomptibles, donc f ne peut ps être réglée. Exemple 1.17 (une fonction bornée non intégrble). Soit E := [, 1] Q et f := 1 E. L fonction f est bornée et borélienne (comme indictrice d un ensemble borélien de R), mis n est ps Riemnn intégrble sur [, 1]. En effet en notnt que dns tout intervlle ouvert non vide de R il y u moins un rtionnel et un irrtionnel, on vérifie fcilement que pour toute subdivision de [, 1], S (f) = et S (f) = 1. On en déduit que I (f) = et I (f) = 1, donc f n est ps Riemnn intégrble sur [, 1]. 1.3 Propriétés de l intégrle de Riemnn Cette section regroupe les propriétés générles de l intégrle de Riemnn, à l exception de celles reltives à l interversion limite intégrle. Nous étudions d bord les propriétés reltives ux fonctions à intégrer (les intégrndes), utrement dit l structure de l ensemble R[, b]. Nous verrons ensuite les propriétés concernnt l intervlle d intégrtion Propriétés de l ensemble R[, b] Proposition 1.18 (dditivité). Si f et g sont Riemnn intégrbles sur [, b], f + g l est ussi et (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. (1.25) Preuve. Notons en préliminire que si f et g sont bornées sur l intervlle I, f + g l est ussi et on inf f(x) + inf x I x I g(x) inf(f + g)(x), sup x I x I (f + g)(x) sup x I f(x) + sup g(x), x I 16 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

17 1.3. Propriétés de l intégrle de Riemnn ces inéglités pouvnt être strictes 7. Fixons ε > quelconque. L Riemnn intégrbilité de f et g nous fournissent des subdivisions 1 et 2 telles que f(x) dx ε < S 1 (f) S 1 (f) < f(x) dx + ε et g(x) dx ε < S 2 (g) S 2 (g) < g(x) dx + ε. Avec leur rffinement commun := 1 2, on insi : f(x) dx ε < S (f) S (f) < g(x) dx ε < S (g) S (g) < f(x) dx + ε, (1.26) g(x) dx + ε. (1.27) Notons x i, i n les points de, m i, m i, m i, M i, M i, M i les infim et suprem respectifs de f + g, f et g sur [x i 1, x i ] pour i = 1,..., n. Pr l remrque fite en préliminire, on pour tout i = 1,..., n, On en déduit que m i + m i m i M i M i + M i. S (f) + S (g) S (f + g) S (f + g) S (f) + S (g). (1.28) En combinnt (1.26), (1.27) et (1.28), on obtient d où f(x) dx + f(x) dx + g(x) dx 2ε < S (f + g) S (f + g) < g(x) dx 2ε < I (f + g) I (f + g) < f(x) dx + f(x) dx + g(x) dx + 2ε, g(x) dx + 2ε. Ce dernier encdrement étnt vérifié pour tout ε >, on peut y fire tendre ε vers pour obtenir finlement I (f + g) = I (f + g) = ce qui étblit l intégrbilité de f + g et (1.25). f(x) dx + g(x) dx, Proposition Si f est intégrble sur [, b] et c R est une constnte, cf est intégrble sur [, b] et cf(x) dx = c 7 Pr exemple f : x x et g : x 1 x sur I = [, 1]. f(x) dx. (1.29) Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

18 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] Preuve. Le résultt est trivil si c =, puisqu lors cf est l fonction identiquement nulle sur [, b], Riemnn intégrble d intégrle. Supposons c. Si f est bornée sur l ensemble E, cf est bornée sur E. On vérifie fcilement que et que si c >, si c <, inf (cf)(x) = c inf f(x), x E x E inf x E (cf)(x) = c sup f(x), x E sup x E (cf)(x) = c sup f(x), (1.3) x E sup(cf)(x) = c inf f(x). (1.31) x E x E Pour c >, on déduit de (1.3) que pour toute subdivision de [, b], S (cf) = cs (f), S (cf) = cs (f), d où I (cf) = ci (f) et I (cf) = ci (f). Ces deux églités sont vlbles pour n importe quelle fonction bornée f sur [, b]. Ici f est de plus intégrble sur [, b], donc I (f) = I (f) = f(x) dx, d où I (cf) = I (cf) = c f(x) dx, ce qui prouve l intégrbilité de cf et étblit (1.29). Pour c <, on déduit de (1.31) que pour toute subdivision de [, b], S (cf) = cs (f), S (cf) = cs (f), d où I (cf) = ci (f) et I (cf) = ci (f). Pr intégrbilité de f, on en déduit comme ci-dessus que I (cf) = I (cf) = c f(x) dx, ce qui complète l preuve. On peut synthétiser les propositions 1.18 et 1.19 dns l énoncé suivnt. Proposition 1.2 (linérité). L ensemble R[, b] des pplictions f : [, b] R, Riemnn intégrbles sur [, b] est un R-espce vectoriel et l ppliction Ψ : R[, b] R, f f(x) dx est une forme linéire sur cet espce. Proposition 1.21 (croissnce de l intégrle). L intégrle de Riemnn sur [, b] possède les trois propriétés suivntes reltivement à l reltion d ordre prtiel définie sur R[, b] pr f g si x [, b], f(x) g(x). i) Positivité : si f R[, b] et f sur [, b], f(x) dx. (1.32) ii) Croissnce : si f, g R[, b] et f g sur [, b], f(x) dx g(x) dx. (1.33) iii) Si f R[, b], l ppliction f : x f(x) est elle ussi Riemnn intégrble sur [, b] et f(x) dx f(x) dx. (1.34) 18 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

19 1.3. Propriétés de l intégrle de Riemnn Preuve. Rppelons que lorsqu on prle d intégrle sur [, b], on suppose implicitement b. Dns le cs > b, on urit f(x) dx dns (1.32) et g(x) dx f(x) dx dns (1.33). Pour prouver i), on remrque que si f sur [, b] et est une subdivision (croissnte) quelconque de [, b], on m k pour chque intervlle [x k 1, x k ] de, donc S (f) et pr conséquent I (f) I (f). Ce risonnement est vlble pour toute f positive bornée sur [, b]. Comme ici f est de plus Riemnn intégrble sur [, b], I (f) = I (f) = f(x) dx et (1.32) est vérifiée. On vérifie ii) en notnt que si f, g sont dns R[, b], h := g f ussi (prop. 1.2) et h. En utilisnt i) et l proposition 1.2, on obtient h(x) dx = g(x) dx f(x) dx, ce qui nous donne (1.33). Admettons un instnt que l intégrbilité de f implique celle de f. En ppliqunt ii) vec l encdrement f f f, il vient 8 : f(x) dx f(x) dx f(x) dx, ce qui équivut à (1.34). Il reste à montrer que f hérite de l intégrbilité de f. Pour toute subdivision = {x = < x 1 < <x n = b}, notons m k := M k := inf f(x), m k := inf f(x), x [x k 1,x k ] x [x k 1,x k ] sup f(x), M k := sup f(x). x [x k 1,x k ] x [x k 1,x k ] Pr le lemme 1.22 ci-dessous, on pour tout k = 1,..., n, M k m k M k m k, d où I ( f ) I ( f ) S ( f ) S ( f ) S (f) S (f) Comme f est Riemnn intégrble sur [, b], on peut choisir pour tout ε une subdivision telle que S (f) S (f) < ε et l encdrement ci-dessus ppliqué à cette subdivision nous donne I ( f ) I ( f ) < ε, d où I ( f ) = I ( f ) pr rbitrrité de ε. Lemme Si f est bornée sur E R, lors f est bornée sur E et en notnt m := inf E f, m := inf E f, M := sup E f, M := sup E f, on M m M m, l inéglité pouvnt être stricte. Preuve. Si M m =, c est trivil 9. Supposons désormis que M m >. Alors pour tout ε tel que < ε < (M m )/2, on peut trouver x 1, x 2 E, dépendnts de ε, tels que : m f(x 1 ) < m + ε < M ε < f(x 2 ) M. (1.35) 8 En utilisnt ussi f(x) dx = f(x) dx pr linérité. 9 Cette sitution peut se produire, pr exemple E = [ 1, 1] et f(x) = 1 [ 1,] (x) 1 ],1] (x), on dns ce cs = M m < M m = 2. Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

20 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] Pr inéglité tringulire, f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ). D utre prt f(x 1 ) et f(x 2 ) sont des réels du segment [m, M], d où f(x 2 ) f(x 1 ) M m et donc f(x 2 ) f(x 1 ) M m. En combinnt cette dernière inéglité vec (1.35), il vient : M m 2ε M m. Fisnt tendre ε vers dns cette inéglité lrge, on obtient M m M m. Remrque L Riemnn intégrbilité de f n implique ps celle de f. Voici un contre exemple vec [, b] = [, 1], f(x) = 1 si x Q et 1 si x / Q. Alors, comme dns l exemple 1.17, f n est ps Riemnn intégrble sur [, 1], tndis que f l est (comme fonction constnte). Voici une conséquence immédite de l impliction f R[, b] f R[, b] dns l proposition 1.21 iii). Corollire Si f est Riemnn intégrble sur [, b], les fonctions f + := mx(f, ) et f := mx( f, ) = min(f, ) le sont ussi. On de plus f(x) dx = Preuve. On commence pr remrquer que f + (x) dx f (x) dx. (1.36) f + = 1 ( f + f), 2 f = 1 ( f f). 2 Pr l proposition 1.21 iii) l intégrbilité de f implique celle de f. L ensemble R[, b] étnt un espce vectoriel (prop. 1.2), on en déduit l Riemnn intégrbilité sur [, b] de f + et f. L linérité de l intégrle et l églité f = f + f nous donnent (1.36). Remrque 1.25 (semi norme sur R[, b]). Grâce u point iii) de l proposition 1.21, on peut définir l ppliction N : R[, b] R +, f N(f) := f(x) dx. Cette ppliction est une semi norme sur R[, b] cr elle vérifie N(cf) = c N(f) pour toute constnte c et N(f + g) N(f) + N(g). Elle n est ps une norme cr on peut voir f(x) dx = sns que f soit l fonction nulle sur [, b], voir l exemple Proposition 1.26 (Intégrbilité d un produit). Si f et g sont Riemnn intégrbles sur [, b], leur produit fg l est ussi. 2 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

21 1.3. Propriétés de l intégrle de Riemnn Preuve. En écrivnt fg = (f + f )(g + g ) = f + g + f g + f + g + f g et en utilisnt le corollire 1.24 et l linérité de l intégrle de Riemnn, on voit qu il suffit de triter le cs où f et g sont toutes deux positives sur [, b]. Fixons ε > quelconque. L Riemnn intégrbilité de f et g nous fournissent des subdivisions 1 et 2 telles que f(x) dx ε < S 1 (f) S 1 (f) < f(x) dx + ε et g(x) dx ε < S 2 (g) S 2 (g) < g(x) dx + ε. Avec leur rffinement commun := 1 2, on insi : S (f) S (f) 2ε, (1.37) S (g) S (g) 2ε. (1.38) Rppelons ici que f et g Riemnn intégrbles sur [, b] sont ipso fcto bornées sur cet intervlle, donc fg est ussi bornée sur [, b]. Notons x i, i n les points de, m i, m i, m i, M i, M i, M i les infim et suprem respectifs de fg, f et g sur [x i 1, x i ] pour i = 1,..., n. Pr positivité on pour tout i = 1,..., n, d où x [x i 1, x i ], m im i f(x)g(x) M im i, m im i m i M i M im i. Notons c un mjornt commun sur [, b] ux fonctions positives bornées f et g. On lors on pour tout i = 1,..., n, M i m i M im i m im i = (M i m i)m i + m i(m i m i ) c(m i m i) + c(m i m i ). En reportnt cette mjortion dns le clcul de S (fg) S (fg) et en tennt compte de (1.37) et (1.38), on obtient S (fg) S (fg) 4cε. Comme ε étit rbitrire, on en déduit l Riemnn intégrbilité de fg. Contrirement à ce qui se psse pour l Riemnn intégrbilité d une somme f + g, il n y ps de formule permettnt de clculer f(x)g(x) dx en fonction de f(x) dx et g(x) dx. L formule «f(x)g(x) dx = f(x) dx g(x) dx» est grossièrement fusse. Voici un contre exemple élémentire vec des fonctions en esclier. Prenons =, b = 2, f = 1 [,1], g = 1 ]1,2]. Alors fg est l fonction nulle sur [, 2] et donc 2 f(x)g(x) dx =, lors que 2 f(x) dx 2 g(x) dx = 1 prce que 2 f(x) dx et 2 g(x) dx vlent chcune 1. Proposition 1.27 (inéglité de Cuchy-Schwrz dns R[, b]). Si f et g sont Riemnn intégrbles sur [, b], on l inéglité { f(x)g(x) dx } 1/2 { 1/2 f(x) 2 dx g(x) dx} 2. (1.39) Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

22 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] Preuve. Soit t un réel quelconque. Pr les propositions 1.2 et 1.26, les fonctions f 2, g 2, fg et (tf + g) 2 héritent de l Riemnn intégrbilité de f et g. Posons P (t) := ( tf(x) + g(x) ) 2 dx. Il est clir que P (t) est positif ou nul pour tout t réel. Or en développnt le crré (tf +g) 2 et en utilisnt l linérité de l intégrle, on obtient { } { } P (t) = f(x) 2 dx t f(x)g(x) dx t + g(x) 2 dx. On reconnît là un trinôme du second degré At 2 +Bt+C dont les coefficients A, B, C sont des intégrles. Ce trinôme ne peut voir de signe constnt, celui de A = f(x)2 dx, que si son discriminnt = B 2 4AC est négtif ou nul. Remplçnt A, B et C pr leurs expressions sous forme d intégrles, on en déduit (1.39) Propriétés reltives à l intervlle d intégrtion L intégrle de Riemnn se lisse volontiers découper en morceux. Voici les énoncés précis dont l vérifiction est lissée u lecteur. Proposition 1.28 (dditivité reltive ux intervlles). Soit f : [, b] R et c ], b[. Pour que f soit Riemnn intégrble sur [, b], il fut et il suffit qu elle soit Riemnn intégrble sur [, c] et sur [c, b]. On lors f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. (1.4) En combinnt l proposition 1.28 vec l définition 1.2, on obtient l formule clssique suivnte. Proposition 1.29 (reltion de Chsles). Pour tous réels, b, c, on f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx, pourvu que f soit Riemnn intégrble sur [min(, b, c), mx(, b, c)]. Une utre ppliction de l dditivité reltive ux intervlles est l générlistion de l formule (1.1) pour le clcul de l ire du domine H délimité pr le grphe de f, l xe des bscisses et les deux droites verticles d équtions x = et x = b, voir figure 1.6. Plus précisément, H est défini pr H := {(x, y) R 2 ; x b et f (x) y f + (x)}, (1.41) en notnt que f (x) = f(x) ou selon que f(x) < ou non et que f + (x) = f(x) ou selon que f(x) > ou non. En combinnt l proposition 1.5, l remrque 1.6, l dditivité reltive ux intervlles de l intégrle de Riemnn et l dditivité finie de λ 2, on obtient le résultt suivnt pour les fonctions n ynt qu un nombre fini de chngements de signe sur [, b]. 22 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

23 1.3. Propriétés de l intégrle de Riemnn y H 1 H 2 H 3 H 4 b x Fig. 1.6 Domine H délimité pr f entre et b Proposition 1.3. Soit f une fonction borélienne sur [, b] et Riemnn intégrble sur [, b]. On suppose qu il existe une subdivision x = < x 1 < < x n = b telle que le signe de f soit constnt sur chcun des [x i 1, x i ], 1 i n. Alors l ire du domine H défini pr (1.41) est donnée pr λ 2 (H) = f(x) dx. (1.42) Dns cet énoncé, «signe constnt» s entend u sens lrge : ou bien f(x) pour tout x [x i 1, x i ] ou bien f(x) pour tout x [x i 1, x i ]. L hypothèse f borélienne ssure que s restriction à chcun des [x i 1, x i ] est encore borélienne (pour les tribus déqutes) et donc que chque H i := {(x, y) R 2 ; x i 1 x x i et f (x) y f + (x)} est un borélien de R 2 (dmis). Bien entendu en écrivnt cet énoncé, on en tête le cs où le signe de f chnge à l trversée de chque x i, < i < n, mis l formule (1.42) reste évidemment vrie sns cette hypothèse. Si f le même signe sur deux intervlles consécutifs, on peut trouver une subdivision «plus économique» en les fusionnnt. Nous pouvons mintennt donner une interpréttion géométrique de l intégle de Riemnn, u moins pour les fonctions f vérifint les hypothèses de l proposition 1.3. Pour cel on ppelle «ire lgébrique», l somme des λ 2 (H i ), chcun étnt compté vec le signe de f sur l intervlle correspondnt. L ire lgébrique du domine H représenté à l figure 1.6 vut insi λ 2 (H 1 ) λ 2 (H 2 ) + λ 2 (H 3 ) λ 2 (H 4 ). Plus formellement, posons +1 si f(t) > pour u moins un t ]x i 1, x i [, s i := 1 si f(t) < pour u moins un t ]x i 1, x i [, si f(t) = pour tout t ]x i 1, x i [. L rgumenttion esquissée pour l proposition 1.3 nous donne n ire lgébrique(h) := s i λ 2 (H i ) = f(x) dx. (1.43) i=1 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

24 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] Nous regroupons dns le théorème suivnt les propriétés de «l intégrle indéfinie», c est à dire de l fonction x x f(t) dt. Théorème Soit f Riemnn intégrble sur [, b]. Alors elle est ussi Riemnn intégrble sur [, x] pour tout x [, b], ce qui permet de définir l ppliction F : [, b] R pr F (x) := x f(t) dt. i) F est continue sur [, b] et même lipschitzienne. ii) Si f une limite l u point c de [, b] (resp. une limite à droite, resp. à guche), F est dérivble u point c (resp. à guche, resp. à droite) et F (c) = l. iii) Si f est continue sur [, b], F est dérivble sur [, b] et pour fonction dérivée f. C est l unique primitive de f sur [, b] qui s nnule u point. Preuve de i). Notons C := sup t [,b] f(t). En utilisnt l reltion de Chsles et l proposition 1.21, on pour tous x y b, y y y F (y) F (x) = f(t) dt f(t) dt C dt = C y x. x Ceci montre que F est lipschitzienne de rpport C sur [, b], donc fortiori continue. Preuve de ii). Commençons pr noter que pour tout x c dns [, b], F (x) F (c) x c = 1 x c x Comme f pour limite l u point c, on : c x f(t) dt, et l = 1 x c x x c l dt. (1.44) ε >, δ >, t c x c < δ f(t) l < ε. (1.45) En combinnt (1.44) et (1.45), on voit que pour tout x [, b] vérifint x c < δ, F (x) F (c) 1 x l = (f(t) l) dt 1 x f(t) l dt ε, x c x c x c c ce qui montre que F est dérivble u point c, de nombre dérivé F (c) = l. L dpttion u cs d une limite à droite ou à guche (vec dérivée à droite ou à guche) est immédite. c Preuve de iii). Si f est continue sur [, b], elle pour limite f(c) en tout point c de [, b] et donc d près ii), F est dérivble sur [, b] et F (c) = f(c). Cette dernière églité ynt lieu mintennt pour tout c [, b], on F = f, utrement dit F est une primitive de f sur [, b]. On sit que toutes les primitives de f sur l intervlle [, b] diffèrent entre elles d une constnte 1 Il y en donc une seule qui s nnule u point, c est F. 1 C est une conséquence de l formule des ccroissements finis (cf. p.12) : si une fonction continue sur [, b] une dérivée nulle sur ], b[, elle est constnte sur [, b] et on pplique ceci à l différence de deux primitives quelconques de f sur [, b]. 24 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

25 1.3. Propriétés de l intégrle de Riemnn Proposition 1.32 (chngement de vrible). i) Trnsltion. Soit c R. Pour toute f Riemnn intégrble sur [ + c, b + c], l ppliction g : [, b] R, x f(x + c) est Riemnn intégrble sur [, b] et f(x + c) dx = +c +c f(y) dy. (1.46) ii) Chngement d échelle. Soit c R. Pour toute f Riemnn intégrble sur l intervlle fermé d extrêmités 11 c et bc, l ppliction h : [, b] R, x f(cx) est Riemnn intégrble sur [, b] et f(cx) dx = 1 c c c f(y) dy. (1.47) iii) Clssique. Soit ϕ : [, b] R, une fonction ynt une dérivée continue sur [, b] (utrement dit ϕ C 1 [, b]). Pour toute fonction f continue sur l intervlle fermé borné ϕ([, b]), on f ( ϕ(x) ) ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ() f(y) dy. (1.48) Bien sûr i) et ii) sont contenus dns iii) si f est continue, mis l intérêt de ces deux énoncés séprés est qu ils sont vlbles vec n importe quelle fonction f Riemnn intégrble. Preuve de i). À chque subdivision = {x = < x 1 < < x n = b} de [, b], ssocions l subdivision trnsltée = {y = + c < < y k = x k + c < < y n = b + c}. Comme f est bornée sur [ + c, b + c], g est bornée sur [, b] vec mêmes bornes. De plus en notnt m k, m k les infim respectifs de f sur [x k 1, x k ] et de g sur [y k 1, y k ], et en définissnt de même M k et M k pour les suprem, on m k = m k et M k = M k pour k = 1,..., n. Pr conséquent S (g) = S (f) et S (g) = S (f), pour toute subdivision de [, b]. Comme l trnsformtion rélise une bijection entre l ensemble des subdivisions de [, b] et l ensemble des subdivisions de [ + c, b + c], on en déduit que et de même I (g) = inf S (g) = inf S (f) = I (f) (1.49) I (g) = sup S (g) = sup S (f) = I (f). (1.5) Comme on sit de plus que f est Riemnn intégrble sur [+c, b+c], on I (f) = I (f). Compte-tenu de (1.49) (1.5), on en déduit I (g) = I (g) = I (f) = +c f(y) dy, ce qui +c nous donne l Riemnn intégrbilité de g sur [, b] et l églité (1.46). 11 Il s git de [c, bc] si c > et de [bc, c] si c <. Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

26 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] Preuve de ii). L méthode étnt essentiellement l même que pour le i), nous nous contenterons d indiquer les dpttions nécessires. Si c >, on ssocie à = {x = < x 1 < < x n = b} l subdivision dont les points sont les y k = cx k. Alors est une subdivision croissnte de [c, bc] et comme y k y k 1 = c(x k x k 1 ), on voit que S (h) = 1S c (f) et S (h) = 1 c S (f). On en déduit comme ci-dessus l intégrbilité de h et (1.47). Si c <, bc c et on prend pour subdivision croissnte ssociée à l subdivision de [bc, c] ynt pour points les y k = cx n k. Alors pour k = 1,..., n, y k y k 1 = c(x n k x n k+1 ) = c(x n k+1 x n k ). On en déduit que S (h) = 1S c (f) et S (h) = 1 c S (f) puis, que h est Riemnn intégrble et en utilisnt l définition 1.2. h(x) dx = 1 c c bc f(y) dy = 1 c c c f(y) dy, Preuve de iii). D bord, ϕ étnt continue, l imge J de [, b] pr ϕ est un intervlle (théorème des vleurs intermédiires) et comme [, b] est compct, J = ϕ([, b]) est ussi compct (l imge d un compct pr une ppliction continue est un compct). Ainsi J est un intervlle compct, donc un intervlle fermé borné. Cet intervlle contient évidemment l intervlle I d extrêmités ϕ() et ϕ(b) (ps forcément dns cet ordre), l inclusion pouvnt être stricte. L fonction f étnt continue sur J l est ussi pr restriction sur I et l intégrle u second membre de (1.48) est donc bien définie. L intégrle du premier membre l est tout utnt puisque (f ϕ)ϕ est continue sur [, b]. Introduisons les fonctions F, G, H suivntes : F : J R, s s ϕ() f(y) dy, G : [, b] R, s s f ( ϕ(x) ) ϕ (x) dx, H := F ϕ. Pr le théorème 1.31, F est dérivble sur J et F = f. De même G est dérivble sur [, b] et G = (f ϕ)ϕ. D utre prt H est dérivble comme fonction composée et H = (F ϕ)ϕ = (f ϕ)ϕ = G. Les fonctions H et G ont insi même dérivée sur [, b], leur différence est donc constnte sur [, b]. Or H() = et G() =, donc H = G. En prticulier, H(b) = G(b), ce qui étblit (1.48). 1.4 Interversion limite intégrle Théorème Soit (f n ) n 1 une suite de fonctions Riemnn intégrbles sur [, b]. On suppose que cette suite converge uniformément vers f sur [, b]. Alors f est Riemnn intégrble sur [, b] et on f n (t) dt n + f(t) dt. (1.51) 26 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

27 1.4. Interversion limite intégrle Preuve. Dns l preuve de ce théorème l prtie difficile est d étblir l Riemnn intégrbilité de f, mis nous l vons déjà vue pr l proposition Une fois que l on sit que f est Riemnn intégrble, on peut écrire : n N, f(t) dt f n (t) dt f(t) f n (t) dt. (1.52) Pr convergence uniforme, on pour tout ε > un entier n ε tel que n n ε, t [, b], f(t) f n (t) = f f n (t) < ε b. En reportnt cette inéglité dns (1.52), en utilisnt l linérité de l intégrle et l proposition 1.21 iii), on en déduit que pour tout n n ε, ε f(t) dt f n (t) dt = (f f n )(t) dt f f n (t) dt dt = ε. b Ceci étnt vlble pour tout ε >, l convergence (1.51) est étblie. Théorème Soit (f n ) n 1 une suite de fonctions toutes décroissntes sur [, b]. On suppose de plus que : t [, b], f n (t) f(t) R. n + Alors l fonction f insi définie est Riemnn intégrble sur [, b] et f n (t) dt n + f(t) dt. Il est clir que le théorème reste vri si toutes les f n d indice n n sont décroissntes ou si elles sont croissntes pour tout n n. Attention à ne ps confondre «suite de fonctions décroissntes sur [, b]» vec «suite décroissnte de fonctions définies sur [, b]». Ici on est dns le premier cs et on ne suppose rien sur le sens de vrition des suites de réels ( f n (t) ), t [, b]. n 1 Preuve. Remrquons d bord que l fonction limite f est décroissnte sur [, b] comme limite d une suite de fonctions décroissntes puisque le pssge à l limite conserve les inéglités lrges. Pr l proposition 1.9, f est donc elle ussi Riemnn intégrble. Cette Riemnn intégrbilité de f nous ssure de l existence pour ε > rbitrire fixé d une subdivision = {t = < t 1 < < t j = b} telle que S (f) ε < f(t) dt < S (f) + ε. (1.53) Notons que pr décroissnce de f et de f n, ces fonctions tteignent sur [t k 1, t k ] leur supremum u point t k 1 et leur infimum 12 u point t k. On peut donc expliciter comme suit pour f et f n les sommes de Drboux supérieures j j S (f) = f(t k 1 )(t k t k 1 ), S (f n ) = f n (t k 1 )(t k t k 1 ), k=1 12 Donc le supremum et l infimum sont ici respectivement un mximum et un minimum. k=1 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn

28 Chpitre 1. Intégrle de Riemnn sur [, b] et les sommes de Drboux inférieures : S (f) = j f(t k )(t k t k 1 ), S (f n ) = k=1 j f n (t k )(t k t k 1 ). k=1 Pr convergence simple de f n vers f sur [, b], on peut trouver n ε tel que n n ε, k =, 1,..., j, f(t k ) f n (t k ) < ε b. (1.54) En effet on n qu un nombre fini j + 1 d écrts à contrôler (rppelons que pour l instnt ε est fixé et donc j ussi) et pr convergence de f n (t k ) vers f(t k ), on trouve pour chque k =, 1,..., j un rng n ε,k à prtir duquel l inéglité ci-dessus est toujours rélisée. On prend lors n ε = mx k j n ε,k. En utilisnt (1.54) et l positivité des (t k t k 1 ), on en déduit imméditement que S (f) > S (f n ) ε, S (f) < S (f n ) + ε. (1.55) En reportnt ces inéglités dns (1.53), on obtient puis S (f n ) 2ε < f n (t) dt 2ε < f(t) dt < S (f n ) + 2ε, f(t) dt < Autrement dit, nous vons trouvé un entier n ε tel que n n ε, f n (t) dt f n (t) dt + 2ε. f(t) dt < 2ε. Comme ε étit rbitrire, ceci exprime précisément l convergence qund n tend vers l infini, de f n(t) dt vers f(t) dt. 28 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6

29 Chpitre 2 Intégrle générlisée L intégrle de Riemnn étudiée dns l nnexe 1 concerne des fonctions f définies en tout point d un intervlle fermé borné [, b] et bornées sur cet intervlle. Il est utile de générliser cette notion u cs de fonctions définies sur un intervlle quelconque, suf peut-être en un nombre fini de points, et ps forcément bornées. Dns le cdre de ce cours, les principles pplictions de cette notion d intégrle générlisée concernent les lois à densité, l espérnce et les moments de vribles létoires. 2.1 Construction Commençons pr exminer cette générlistion de l intégrle de Riemnn sur quelques exemples simples. Exemple 2.1. Peut-on définir + e x dx? Ici l intervlle d intégrtion est [, + [ et l intégrnde f : x e x est définie et continue sur cet intervlle, donc en prticulier Riemnn intégrble sur tout sousintervlle fermé borné de l forme [, b]. L intégrle e x dx bien un sens. Elle se clcule d illeurs imméditement pr primitivtion de f et vut [ e x ] b = 1 e b. Cette vleur pour limite 1 qund b tend vers l infini et il est nturel de prendre cette limite comme définition de l intégrle générlisée + e x dx. L interpréttion géométrique de ce résultt est que l ire de l hypogrphe H := {(x, y) R 2 ; x R +, y e x } vut 1, cf. figure 2.1. Pour le justifier, on remrque que H est l réunion de l suite croissnte pour l inclusion (H n ) n 1, où H n est l hypogrphe de f entre et n. Pr continuité séquentielle croissnte de l mesure de Lebesgue λ 2, cf. proposition A.14 pge 62, on n λ 2 (H) = lim n + λ 2 (H n ) = lim n + e x dx = 1. + x Exemple 2.2. Peut-on définir 1 + x dx? 2 Comme dns l exemple 2.1, l intégrle sur [, b] un sens pour tout b R +. Elle se clcule pr chngement de vrible u = x 2 et primitivtion : x 1 + x 2 dx = du 1 + u = 1 [ ] b 2 ln(1 + u) 2 = 1 2 ln(1 + b2 ). 29

30 Chpitre 2. Intégrle générlisée y x Fig. 2.1 Hypogrphe H de f : x e x entre et + Cette quntité tend vers + lorsque b tend vers +. On conviendr donc que + x dx = x2 L interpréttion géométrique est que l ire de l hypogrphe de x x(1 + x 2 ) 1 entre et + est infinie. L justifiction repose sur l continuité séquentielle croissnte de λ 2 comme pour l exemple 2.1. Exemple 2.3. Peut-on définir l intégrle + cos x dx? L fonction cosinus est continue sur R, donc Riemnn intégrble sur tout intervlle [, b]. Le clcul pr primitivtion de cette intégrle donne b >, cos x dx = [ sin x ] b = sin b. Lorsque b tend vers +, sin b n ps de limite, même dns R, on ne peut donc ps définir + cos x dx. Géométriquement, le domine H délimité pr le demi-xe des bscisses positives, l xe des ordonnées et l courbe y = cos x, x, n ps d ire lgébrique. y x Fig. 2.2 Domine H délimité pr le grphe de f : x cos x entre et + dt Exemple 2.4. Peut-on définir les intégrles t, α >? α Notons en prélble que si α, l réponse est immédite puisque sur [, 1] l fonction f : t t α est continue donc Riemnn intégrble. Pr contre si α >, f n est ps définie en, est continue sur ], 1] et tend vers + à droite en. 1 3 Ch. Suquet, Intégrle de Riemnn 25 6