Matrice inverse Matrices élémentaires

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1 Matrice inverse Matrices éémentaires Inversibiité et matrice inverse Rappe : La matrice identité I est éément neutre pour a mutipication matriciee, puisque pour une matrice queconque A : m n on a : I m A = A = AI n Définition. Une matrice carrée A : n n est dite inversibe s i existe une matrice X : n n satisfaisant : AX = I et XA = I On dit que a matrice X est une matrice inverse de a matrice A Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 1 Exempes 1. La matrice A suivante n est pas inversibe : A = En effet si i existait X avec AX = I on devrait avoir en particuier (AX) 22 = (I) 22 c est-à-dire 0x x x 32 = 1 2. La matrice A = [ 25 est inversibe, car X = [ 0.04 satisfait [ 25 [ 0.04 = [1 = [ 0.04 [ 25 [ La matrice A = est inversibe, car X = 0 1 satisfait [ [ [ AX = = [ [ [ XA = = [ équation qui n a pas de soution. Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 2 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 3

2 Théorème. Si a matrice A est inversibe, ee admet une seue matrice inverse, qu on notera désormais A 1. Pr. Supposons que X et Y soient deux matrices inverses de A. On a donc en particuier XA = I et AY = I. Mais aors X = XI = X(AY ) = (XA)Y = IY = Y Définition. On définit A n et, si A est inversibe, A n := A A }{{} n facteurs := A 1 A 1 }{{} n facteurs Théorème. Soit A : n n une matrice inversibe, aors 1. A 1 est inversibe et ( A 1) 1 = A 2. A n est inversibe et (A n ) 1 = A n 3. ka est inversibe si k 0 et (ka) 1 = 1 k A 1 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 4 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 5 Théorème. Soit A : n n et B : n n deux matrices inversibes. Aors 1. AB est une matrice inversibe et 2. (AB) 1 = B 1 A 1 Pr. On montre es deux propriétés en vérifiant que ( B 1 A 1) (AB) = (AB) ( B 1 A 1) = I Remarque : L affirmation de ce théorème se généraise par induction au cas de pusieurs matrices inversibes de même ordre. Le produit de matrices inversibes est une matrice inversibe, égae au produit des matrices inverses respectives effectué dans ordre inverse. (A 1 A 2 A n ) 1 = A 1 n A 1 2 A 1 1 Or ( B 1 A 1) (AB) = B 1 ( A 1 A ) B = B 1 IB = B 1 B = I (AB) ( B 1 A 1) = A ( BB 1) A 1 = AIA 1 = AA 1 = I Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 6 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 7

3 Description de agorithme de Gauss avec e cacu matricie Définition. On appee opération éémentaire opération effectuée sur es ignes d une matrice d un des trois types suivants : 1. Mutipier une igne par une constante non nue. 2. Permuter deux ignes. 3. Ajouter un mutipe d une igne à une autre. Remarque : Ces opérations sont précisément cees utiisées dans agorithme de Gauss. Définition. La matrice E : m m est une matrice éémentaire Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 8 si ee résute d une unique opération éémentaire effectuée sur es ignes de a matrice identité I m. I existe donc trois types de matrices éémentaires, correspondants aux trois types d opérations éémentaires. Notation et interprétation : 1. E i (a) : mutipier a i-ème igne de a matrice identité par a, a E ij : permuter es ignes i et j de a matrice identité. 3. E ij (c) : ajouter c fois a j-ème igne de a matrice identité à a i-ème. Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 9 Dans cette notation ordre m de a matrice éémentaire est sousentendu. Exempes : pour m = 4 on a E 2 (9) = 0 0 E 24 (4) = E 24 = Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 10 Théorème. Soit A : m n une matrice queconque et E : m m une matrice éémentaire résutant d une certaine opération éémentaire effectuée sur es ignes de I m. Aors a matrice EA est e résutat de a même opération éémentaire appiquée aux ignes de A. Pr. Découe de interprétation du produit matricie : a i-ème igne de EA est une combinaison inéaire des ignes de A avec es coefficients provenant de a igne i de E. Or ces coefficients décrivent précisément opération éémentaire en question. Exempes : Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL

4 1. Pour une matrice A : 2 2, E 1 (7)A = [ [ a a 12 [ 7a 7a = Pour une matrice A : 3 2, E 13 ( 3)A = a a 12 a 31 a Pour une matrice A : 3 2, = a 3a 31 a 12 3a 32 a 31 a 32 E 13 A = a a 12 a 31 a 32 = a 31 a 32 a a 12 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 12 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 13 Théorème. Toute matrice éémentaire est inversibe, et on a : 1. [E i (a) 1 = E i ( 1 a ), a 0 2. [E ij 1 = E ij 3. [E ij (c) 1 = E ij ( c) Pr. Soit E une matrice éémentaire queconque et E 0 a matrice définie comme matrice inverse de E dans e théorème. E 0 est toujours définie et on vérifie que EE 0 = I = E 0 E. En effet E 0 décrit opération éémentaire inverse de cee décrite par E, précisément cee qui appiquée à E redonne I. Équivaence par ignes Définition. Deux matrices de même taie A : m n et B : m n sont dites équivaentes par ignes si B peut être obtenue à partir de A par une suite d opérations éémentaires effectuées sur es ignes de A. On note A B. On a donc A B si i existe des matrices éémentaires E 1, E 2,..., E k tees que B = E k E 2 E 1 A Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 14 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 15

5 Cette reation est donc symétrique, car on a aors aussi E 1 1 E 1 2 E 1 B = E 1 k 1 E 1 = ( E 1 1 = A 2 E 1 k (E k E 2 E 1 A) ( E 1 2 (E 1 k E k) E2 ) E1 ) A et es matrices Ei 1 sont bien des matrices éémentaires. Théorème. Pour toute matrice carrée A : n n es affirmations suivantes sont équivaentes : 1. A est inversibe. 2. L équation AX = 0 n a que a soution triviae X = A est équivaente par ignes à I. (A I n ) Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 16 Pr. On montre es impications Soit X 0 une soution queconque de AX = 0, donc satisfaisant AX 0 = 0. Puisque A 1 existe, on a aussi A 1 AX 0 = A 1 0 c est-à-dire X 0 = Soit A 0 a matrice augmentée du système AX = 0. a a 1n 0 A 0 = a n1 a nn 0 La soution triviae X = 0 étant a soution unique du système, en appiquant agorithme de Gauss à A 0 on obtient nécessairement Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 17 une matrice écheonnée réduite R 0 de a forme R 0 = = [I n E 1, E 2,..., E k tees que E k E 2 E 1 A = I n, mais aors on a E1 1 E 1 2 E 1 k E k E 2 E 1 A = E1 1 E 1 2 E 1 k I n, c est-àdire A = E1 1 E 1 2 E 1 k. A est un produit de matrices (éémentaires) inversibes, donc inversibe. où chaque igne a son 1 directeur. Mais agorithme de Gauss est une suite d opérations éémentaires effectuées sur A 0. I existe donc des matrices éémentaires E 1, E 2,..., E k tees que E k E 2 E 1 A 0 = R 0, c est-à-dire E k E 2 E 1 [A 0 = [I n 0 et donc E k E 2 E 1 A = I n soit A I n A I n signifie qu i existe des matrices éémentaires Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 18 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 19

6 Méthode de cacu de inverse On déduit du théorème précédent a méthode suivante pour déterminer si une matrice A : n n est inversibe et, e cas échéant, cacuer son inverse : seuement inverse, quand ee existe, mais égaement une décomposition de cee-ci - et donc de A - en produit de matrices éémentaires, qui est souvent pus utie que a matrice expicite. Pour cea i suffit de répertorier a suite d opérations éémentaires effectuées. 1. Former a matrice augmentée [A I n. 2. Écheonner et réduire cette matrice - sans faire aparaitre de 1- directeur dans a partie correspondant à I - obtenant ainsi a matrice [R X. 3. Si R = I n, aors A 1 = X, Sinon A n est pas inversibe. Remarque : L appication de agorithme de Gauss fournit non Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 20 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 21 Exempes A = Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 22 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 23

7 i vient mais encore A 1 = E 12 ( 2)E 13 ( 3)E 23 (3)E 3 ( 1)E 32 (2)E 31 ( 1)E 21 ( 2)A = I Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 24 et E 12 ( 2)E 13 ( 3)E 23 (3)E 3 ( 1)E 32 (2)E 31 ( 1)E 21 ( 2)I = A 1 donc aussi pour a matrice A ee-même, en appiquant es règes pour inverse d un produit de matrices inversibes 2. A = E 21 (2)E 31 (1)E 32 ( 2)E 3 ( 1)E 23 ( 3)E 13 (3)E 12 (2) A = Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL = [R X On concut que A n est pas inversibe, puisque R I. Néanmoins, on a XA = R et A = X 1 R Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 26 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 27

8 avec X = E 12 ( 4)E 32 ()E 2 ( 1 )E 31( 4)E 21 ( 2) X 1 = E 21 (2)E 31 (4)E 2 ( )E 32 ( )E 12 (4) Décomposition LU La suite d opérations effectuées par agorithme de Gauss pour écheonner et réduire une matrice A s écrit, de manière générae, comme e produit matricie E k... E i+1 E i... E 1 A = R où R est a matrice écheonnée réduite obtenue, es matrices E 1,..., E i sont es matrices éémentaires correspondant aux opérations successives de a phase écheonner de agorithme, et es matrices E i+1,..., E k cees de a phase réduire. On supposera dans ce qui suit qu on n a pas dû faire de permutations de ignes au cours de a phase écheonner. On remarque qu aors Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 28 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 29 es matrices E 1,..., E i sont toutes des matrices trianguaires inférieures, et es matrices E i+1,..., E k des matrices trianguaires supérieures. On a donc A = E Ei 1 Ei E 1 k R A = (E Ei 1 )(Ei E 1 k )R A = LUR où L, produit de matrices trianguaires inférieures, est une matrice trianguaire inférieure, et U une matrice trianguaire supérieure. Si A est une matrice carrée, aors R est une matrice trianguaire supérieure et U = UR est encore trianguaire supérieure et on Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 30 obtient ainsi une factorisation de A de a forme A = LU, produit d une matrice trianguaire inférieure par une trianguaire supérieure. En particuier si A est inversibe on a R = I et donc directement A = LU. Exempe Dans exempe 1. précédent on a obtenu (E 12 ( 2)E 13 ( 3)E 23 (3)) (E 3 ( 1)E 32 (2)E 31 ( 1)E 21 ( 2)) A = I soit A = (E 21 (2)E 31 (1)E 32 ( 2)E 3 ( 1)) (E 23 ( 3)E 13 (3)E 12 (2)) avec = LU Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 31

9 L = L = U = U = On a de même une décomposition de A 1 de a forme A 1 = U 1 L 1 avec U 1 = et L 1 = Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 32 Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 33 Caractérisation des matrices inversibes La méthode de cacu de inverse permet de compéter es affirmations équivaentes déjà prouvées dans e théorème précédent. Théorème. Pour toute matrice carrée A : n n es affirmations suivantes sont équivaentes : 1. A est inversibe. 2. L équation AX = 0 n a que a soution triviae X = A est équivaente par ignes à I. (A I n) ) 4. Le système A x = b possède une soution pour tout vecteur b. Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 34 Pr. On a déjà montré équivaence des 3 premières affirmations Pour tout b, A 1 b est bien défini et on vérifie que x 0 = A 1 b est soution du système : A(A 1 b) = (AA 1 ) b = b Le système possède une soution pour tout b, en particuier en choisissant pour b chacun des vecteurs coonnes de a matrice identité e 1 = 1. 0,..., e n = Soit x i une soution de A x = e i, i = 1,..., n et soit X a ma- Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL

10 trice ayant pour coonnes ces vecteurs x i : X = [ x 1... x n. I vient AX = A [ x 1... x n = [ A x1... A x n = [ e 1... e n = I donc A est inversibe et X est son inverse. Agèbre Linéaire - Th. M. Liebing, A. Prodon, ROSO-EPFL 36