Approximation numérique

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1 Approximtion numérique Ptrick Fischer 1, Lisl Weynns, Chrles Dossl 1 IMB, Université Bordeux 1, 351 Cours de l Libértion, 3345 Tlence, Frnce (Ptrick.Fischer@mth.u-bordeux1.fr)

2 Contents 1 L représenttion des fonctions Introduction Interpoltion polynomile Polynômes de Lgrnge Polynômes de Newton Choix des points de discrétistion Polynômes d Hermite Interpoltion locle: lissge pr fonctions splines C.A.O.: les courbes de Bézier Polynômes de Bernstein Les courbes de Bézier, définition Propriétés Elévtion de l longueur d une courbe de Bézier Algorithme de De Cstelju Approximtion d une fonction Qu est-ce qu une pproximtion? Crctéristion de l meilleure pproximtion Polynômes orthogonux Approximtion u sens des moindres crrés discrets Dérivtion et intégrtion numériques Dérivtion numérique Intégrtion numérique Formule de qudrture du type interpoltion Accélértion de l convergence: méthode de Romberg Formule d Euler - Mc Lurin Formules de Guss Méthodes de Monte-Crlo Introduction ux méthodes numériques de résolution d équtions différentielles Méthodes à 1 ps Méthode d Euler Schém générl Erreur de discrétistion Méthodes numériques plus précises

3 3.2.1 Méthode du point milieu Méthode de Runge-Kutt Méthodes implicites Méthodes à ps vrible Méthodes à ps multiples Tritement du signl: Anlyse de Fourier et ondelettes Générlités Anlyse de Fourier Trnsformée de Fourier discrète Fst Fourier Trnsform Phénomène de Gibbs Filtre et échntillonnge Notion de filtre Trnsformée de Fourier, théorème de Shnnon Anlyse temps-fréquence L trnsformée de Fourier à fenêtre L trnsformée en ondelettes L trnsformée en ondelettes continues L trnsformée en ondelettes discrètes L trnsformée en ondelettes orthogonles Pquets d ondelettes Cs 1D Cs 2D Le critère entropique et l lgorithme du choix de l meilleure bse L entropie Algorithme du choix de l meilleure bse Exercices

4 Ce résumé de cours est une introduction ux méthodes d pproximtion numérique. Il s dresse à des étudints de troisième nnée de licence en ingénierie mthémtique. Il est bsé sur les notes de cours de Chrles-Henri Bruneu, l ouvrge de R. Théodor Initition à l nlyse numérique, Msson et l ouvrge de C. Gsquet et P. Witomski Anlyse de Fourier et Applictions, Msson.

5 Chpter 1 L représenttion des fonctions 1.1 Introduction On se donne une fonction f définie sur un intervlle réel I et à vleurs réelles. Cette fonction est crctérisée pr une propriété prticulière: une éqution, un jeu de données numériques... mis on ne l connît ps explicitement. On cherche à déterminer une fonction f h pprtennt à un ensemble de fonctions bien connues qui ser une pproximtion de l fonction f initile. Deux pproches sont possibles pour le clcul de cette pproximtion: On impose que f et f h coïncident (et éventuellement leurs dérivées) en des points choisis. Cette pproche conduit ux méthodes d interpoltion polynomile. Elle permet églement d pprocher l fonction en dehors de l intervlle initil. On cherche à minimiser f f h dns un espce fonctionnel normé à préciser. Ce type de méthode conduit à un problème d optimistion dont le résultt dépend de l norme choisie. 1.2 Interpoltion polynomile On se donne une fonction f continue dont on connit les vleurs f(x i ) en n + 1 points différents x, x 1,..., x n. On cherche à reconstituer f sur un intervlle contennt les x i (on peut considérer les x i comme étnt ordonnés: x i < x i+1 ). Le problème de l interpoltion (c est-à-dire sur [x, x n ]) ou de l extrpoltion (c est-à-dire hors de [x, x n ]) polynomile consiste à construire un polynôme p de degré miniml tel que Polynômes de Lgrnge i {,..., n}, p(x i ) = f(x i ). (1.1) Théorème 1.1 Il existe un unique polynôme p de degré n vérifint (1.1). 1

6 Preuve: Existence: On considère les polynômes de Lgrnge: Ils sont de degré n et vérifient: L j (x) = k j x x k x j x k (1.2) L j (x) = { 1 si x = xj si x = x i, i j (1.3) On pose ensuite p(x) = n L j (x)f(x j ) (1.4) j= qui répond bien à l question. Unicité: Si p 1 et p 2 sont deux polynômes qui vérifient les hypothèses lors q = p 1 p 2 est un polynôme de degré n qui dmet n + 1 rcines distinctes ( x, x 1,..., x n ); il est donc nul et donc p 1 = p 2. Cs prticulier: On suppose les points x i équidistnts. On note h = x i+1 x i. On lors x j x k = (j k)h, et j x k ) = h k j(x n (j k) = ( 1) n j h n j! (n j)!. (1.5) k j On obtient lors: L j (x) = ( 1)n j h n j! (n j)! (x x k ) (1.6) k j Théorème 1.2 Si f est de clsse C n+1 sur I contennt les points x i ordonnés, lors pour tout x I, il existe c ]x, x n [ tel que n où L(x) = (x x k ). k= f(x) p(x) = 1 (n + 1)! L(x) f (n+1) (c) (1.7) Preuve: Si x = x k lors on =. f(x) p(x) Sinon si x x k, on définit ϕ(t) = f(t) p(t) L(t) qui est une fonction de L(x) clsse C n+1. L fonction ϕ vérifie lors ϕ(x k ) =, k n et ϕ(x) =. Cette fonction donc u moins n + 2 zéros, s dérivée première n + 1 zéros, et donc ϕ (n+1) u moins un zéro noté c (th. de Rolle). D où ϕ (n+1) (c) = f (n+1) f(x) p(x) (c) (n + 1)! = (1.8) L(x) 2

7 Corollire 1.1 où M n+1 = mx x I f (n+1) (x). M n+1 f(x) p(x) L(x) (n + 1)! (1.9) Remrque: On donc intérêt à choisir les points x i de fçon à minimiser L(x). Mis l pproximtion ne ser lors bonne que pour le x en question. Les polynômes de Lgrnge ne sont ps prtiques puisque d un point de vue numérique, il est difficile de déduire L j+1 à prtir de L j. Pour cel on introduit le polynôme d interpoltion de Newton Polynômes de Newton Points quelconques Les polynômes e k de l bse de Newton sont définis comme suit : k 1 e k (x) = (x x i ) = (x x )(x x 1 ) (x x k 1 ), k = 1,..., n, (1.1) i= vec pour convention e = 1. On obtient lors: e 1 = (x x ) e 2 = (x x )(x x 1 ) e 3 = (x x )(x x 1 )(x x 2 ).. e n = (x x )(x x 1 ) (x x n 1 ) (1.11) L ensemble des polynômes (e k ) k n forment une bse de l espce P n des polynômes de degré u plus n, puisqu il s git d une fmille de (n + 1) polynômes de degré zéro à n. Le polynôme d interpoltion de Newton de degré n reltif ux données {(x, f(x )), (x 1, f(x 1 )),..., (x n, f(x n ))} s écrit : n P n (x) = α k e k (x) k= = α + α 1 (x x ) + α 2 (x x )(x x 1 ) α n (x x )(x x 1 ) (x x n 1 ) (1.12) vec P n (x i ) = f(x i ), i =,..., n. Il fut lors déterminer les coefficients (α k ) k n. Définition 1.1 Soit f dont on connit les vleurs en n + 1 points. différences divisées d ordre, 1,..., n les quntités: δ f(x k ) = f(x k ), k n δ 1 f(x, x 1 ) = δ f(x 1 ) δ f(x ) x 1 x δ 2 f(x, x 1, x 2 ) = δ1 f(x 1, x 2 ) δ 1 f(x, x 1 ) x 2 x.. δ n f(x,..., x n ) = δn 1 f(x 1,..., x n ) δ n 1 f(x,..., x n 1 ). x n x On ppelle (1.13) 3

8 Le polynôme d interpoltion de Newton de degré n s écrit lors à l ide des différences divisées successives : P n (x) = δ f(x ) + n δ k f(x,..., x k )e k (x). (1.14) k=1 Remrques: Le polynôme d interpoltion de Newton conduit à l même estimtion d erreur que le polynôme de Lgrnge. Points équidistnts Qund les points sont équidistnts (x i+1 x i = h), nous pouvons fire le clcul en utilisnt les différences finies. On pose: 1 f(x) = f(x + h) f(x) 2 f(x) = 1 ( 1 f(x)) = 1 f(x + h) 1 f(x).. n f(x) = 1 ( n 1 f(x)), (1.15) et le polynôme d interpoltion de Newton de degré n s écrit lors: P n (x) = f(x ) + y 1! 1 f(x ) y(y 1) (y n + 1) n f(x ) (1.16) n! où y = x x. h C est le polynôme progressif cr les différences sont à droites. Nous pouvons ussi définir le polynôme régressif vec des différences à guche en prtnt de x n u lieu de x. Le polynôme progressif est dpté u cs où l on cherche à déterminer l vleur en un point x situé u début de l intervlle de clcul, et le polynôme régressif dpté u cs où l on cherche à déterminer l vleur en fin d intervlle. Attention! On n obtient ps de meilleurs résultts en ugmentnt le degré du polynôme d interpoltion. Supposons que nous cherchions à pprocher l fonction f(x) = sur l intervlle [ 1, 1]. Un polynôme d interpoltion de degré x2 trop élevé sur des points équidistnts conduit à de fortes oscilltions ux bords de l intervlle (cf. Figure 1.1). Ce phénomène est connu sous le nom de phénomène de Runge. En prtique, on effectue des interpoltions vec des polynômes de degrés fibles sur des petits intervlles plutôt que des polynômes de degrés élevés sur de grnds intervlles Choix des points de discrétistion Soit une fonction f : [, b] R et soient x, x 1,..., x n [, b]. Nous vons vu (1.9) que si f C n+1 ([, b]) lors f (n+1) (x) f(x) P n (x) mx x [,b] (n + 1)! mx (x x )(x x 1 ) (x x n ) (1.17) x [,b] 4

9 Figure 1.1: Phénomène de Runge: En rouge f(x), en bleu interpoltion vec un polynôme de degré 5, et en vert vec un polynôme de degré 9 où P n (x) est un polynôme d interpoltion de type Lgrnge ou Newton. L erreur est mjorée pr le produit de deux termes: f (n+1) (x) mx x [,b] (n + 1)! mx v(x) = mx (x x )(x x 1 ) (x x n ) x [,b] x [,b] (1.18) Le premier terme dépend de l fonction à interpoler mis le polynôme v de degré n + 1 en est indépendnt. On peut donc chercher les points x i qui minimiseront ce terme dns l mjortion de l erreur. On note E n ([, b]) l ensemble des polynômes de degré n dont le coefficient principl (devnt x n ) est 1. Le meilleur choix des x i est lors donné pr les rcines du polynôme q E n+1 ([, b]) vérifint: v E n+1 ([, b]), mx q(x) mx v(x) (1.19) x [,b] x [,b] On peut déterminer q dns le cs prticulier où = 1 et b = 1 et étendre ensuite le résultt u cs générl pr un chngement de vrible. Définition 1.2 On ppelle fonction polynomile de Tchébycheff de degré n l fonction T n : [ 1, 1] R définie pr: T n (x) = cos(n rccos(x)). (1.2) 5

10 Théorème 1.3 Les polynômes de Tchébycheff vérifient l reltion de récurrence T n+1 (x) = 2 x T n (x) T n 1 (x). Le coefficient du terme de plus hut degré x n de T n est 2 n 1. Preuve: On utilise l formule de trigonométrie hbituelle: qui nous permet d écrire: cos((n + 1)θ) = cos(nθ) cos(θ) sin(nθ) sin(θ) (1.21) cos((n + 1)θ) + cos((n 1)θ) = 2 cos(nθ) cos(θ). (1.22) On obtient lors l formule du théorème. Théorème 1.4 T n possèdent n rcines simples: ( ) 2k 1 x k = cos 2n π, k = 1, 2,..., n. (1.23) T n tteint ses extrem sur l intervlle [ 1, 1] ux n + 1 points: ( ) k x k = cos n π, k =, 1,... n (1.24) pour lesquels il prend lterntivement les vleurs 1 et 1. Preuve: On vérifie fcilement que les {x k } k=1,...,n sont bien rcines de T n, et comme T n est de degré n, ce sont les seules rcines. Ensuite, on clcule l dérivée de T n (x): T n(x) n = sin(n rccos(x)).. (1.25) 1 x 2 On vérifie que T n(x k ) = pour k = 1,..., n et T n(x k ) = ( 1)k. On ussi T n (x ) = 1 et T n (x n) = ( 1) n. Définition 1.3 On ppelle fonction polynôme de Tchébicheff normlisée T n = 1 2 n 1 T n pour n 1. Théorème 1.5 p E n, 1 = mx 2 T n 1 n (x) mx p(x) (1.26) x [ 1,1] x [ 1,1] Preuve: Nous cherchons donc à montrer que le polynôme T n minimise mx x [ 1,1] p(x) p E n. Supposons qu il existe p E n tel que, mx p(x) < mx T n (x) = 1. (1.27) x [ 1,1] x [ 1,1] 2n 1 6

11 On pose r = T n p qui est une polynôme de degré u plus n 1. On remrque que r(x k) = T n (x k) p(x k) = ( 1)k 2 n 1 p(x k), k =,..., n. (1.28) prend lterntivement le signe positif ou négtif (cr p(x k) < 1 ). Comme le 2n 1 polynôme r est continue, il possède donc n rcines. Mis comme il s git d un polynôme de degré n 1, on donc forcément r =. Sur( l intervlle ) [ 1, 1] et en choisissnt les bscisses d interpoltion x k = 2k+1 cos π, k =, 1,..., n on obtient lors l mjortion de l erreur d interpoltion: 2(n+1) f(x) P n (x) 1 2 n 1 (n + 1)! Polynômes d Hermite mx f (n+1) (x) (1.29) x [ 1,1] De l même mnière que dns l interpoltion de Lgrnge, on impose que le polynôme prenne un certin nombre de vleurs, mis de plus, on fixe les vleurs des dérivées en ces points. Soient les n + 1 triplets (x i, f(x i ), f (x i )) pour i =,..., n où les x i sont tous distincts. On cherche un polynôme p tel que: { p(xi ) = f(x i ) p (x i ) = f (1.3) (x i ) Théorème 1.6 Il existe un polynôme p et un seul de degré u plus 2n + 1 tel que (1.3) est vérifié. Preuve: Unicité: Supposons qu il existe des polynômes p et q de degré u plus 2n + 1 vérifint (1.3). Le polynôme r = p q, qui est ussi de degré u plus 2n + 1, dmet chque x i comme rcine double (r(x i ) = r (x i ) = ). Il possède donc 2n + 2 rcines u moins, r est donc le polynôme nul. Existence: On montre que le polynôme p suivnt stisfit les conditions précédentes: n n p(x) = h i (x)f(x i ) + k i (x)f (x i ). (1.31) où: i= i= h i (x) = (1 2(x x i ) l i(x i )) l 2 i (x) (1.32) k i (x) = (x x i ) l 2 i (x) (1.33) vec l i (x) = n j=, j i x x j x i x j (1.34) Evlution de l erreur d interpoltion: 7

12 Théorème 1.7 Soit f C 2n+2 [, b]. Si x < x 1 < x 2 <... < x n b, lors pour tout x [, b], il existe ξ [, b] t.q.: f(x) p(x) = (x x ) 2 (x x 1 ) 2 (x x n ) 2 f (2n+2) (ξ) (1.35) (2n + 2)! où min(x i, x) < ξ < mx(x i, x) b. Preuve: Démonstrtion nlogue à celle de l interpoltion de Lgrnge. Remrque: Nous pouvons définir des formules d interpoltion mixte Lgrnge-Hermite où les vleurs des dérivées ne sont utilisées que pour certins points. Nous pouvons églement fire intervenir des dérivées d ordre plus élevée Interpoltion locle: lissge pr fonctions splines L interpoltion polynomile possède deux défuts mjeurs inévitbles: Le coût des clculs devient élevé lorsque le degré du polynôme est grnd. Les effets de bord sont importnts si l intervlle d interpoltion est grnd. Une solution consiste à trviller loclement: on fit lors de l interpoltion pr morceux, c est-à-dire que sur un sous intervlle donné on fit de l interpoltion polynomile de degré fible, puis on impose des conditions de régulrité (continuité ou plus) pour relier les morceux. Les splines vont réliser une interpoltion polynomile pr morceux mis on imposer de plus un degré de régulrité ux points de discrétistion ppelés ussi "noeuds". Nous ne présenterons qu un exemple élémentire de fonctions splines: les splines d interpoltion cubiques. Soient x, x 1,..., x n les points d interpoltion. Sur chque segment [x i, x i+1 ], on cherche un polynôme s i tel que les conditions d interpoltion s i (x i ) = f(x i ) pour i =,..., n soient vérifiées. De plus, on impose des conditions de rccord de fçon à obtenir une fonction de clsse C 2. Pour i = 1,..., n 1: s i 1(x i ) = s i(x i ) (1.36) s i 1(x i ) = s i (x i ) (1.37) Ces deux conditions entrînent l continuité des dérivées premières et secondes ux noeuds de discrétistion. Elles nous incitent à chercher s i sous l forme d un polynôme de degré trois. Pr interpoltion linéire, nous pouvons clculer s i en posnt h i = x i+1 x i : où les coefficients M i sont à déterminer. En intégrnt deux fois, on obtient: s x i+1 x x x i i (x) = M i + M i+1, (1.38) h i h i s i (x) = M i (x i+1 x) 3 6h i + M i+1 (x x i ) 3 6h i + i (x i+1 x) + b i (x x i ), (1.39) 8

13 où i et b i dénotent les constntes d intégrtion. Ces constntes peuvent se déterminer en écrivnt les reltions de continuité ux noeuds s i (x i ) = f(x i ) et s i (x i+1 ) = f(x i+1 ). C est-à-dire: D où et implique s i (x i ) = M i h 2 i 6 + ih i = f(x i ). (1.4) i = f(x i) h i M i h i 6 (1.41) s i (x i+1 ) = M i+1 h 2 i 6 + b ih i = f(x i+1 ) (1.42) b i = f(x i+1) h i M i+1 h i 6. (1.43) En remplçnt lors i et b i pr leurs expressions, on obtient: ( (xi+1 x) 3 s i (x) = M i h ) ( i (x 6h i 6 (x xi ) 3 i+1 x) + M i+1 6h i + f(x i) (x i+1 x) + f(x i+1) (x x i ). h i h i h ) i 6 (x x i) (1.44) Il reste lors à écrire les conditions de continuité pour les dérivées premières, ( s (xi+1 x) 2 i(x) = M i + h ) ( i (x xi ) 2 + M i+1 h ) i f(x i) + f(x i+1). (1.45) 2h i 6 2h i 6 h i h i L condition de continuité s i(x i ) = s i 1(x i ) en x i s écrit lors: 2h i M i 6 M h i i+1 6 f(x i) + f(x i+1) h i h i h i 1 = M i M h i 1 i 6 f(x i 1) + f(x i). (1.46) h i 1 h i 1 Cette dernière reltion peut se réécrire sous l forme d un système linéire à résoudre: ( f(xi+1 ) f(x i ) h i M i+1 + 2(h i + h i 1 )M i + h i 1 M i 1 = 6 f(x ) i) f(x i 1 ). (1.47) h i h i 1 Nous obtenons lors un système linéire de n 1 équtions à n + 1 inconnues. A moins de connître explicitement M et M n, on prend souvent M = M n =. D utres choix sont évidemment possibles. L théorie de l interpoltion locle peut s étendre de l même fçon à des dimensions supérieures. Il existe d utres méthodes d interpoltion, comme l interpoltion trigonométrique utilisée en tritement du signl. 9

14 1.3 C.A.O.: les courbes de Bézier Dns l industrie, on utilise des courbes pour l conception d objets: iles d vions, fuselge, profile de voiture, fbriction de prothèses, etc. Les courbes et les surfces polynomiles sont les plus hbituellement utilisées depuis les nnées 6, i.e. depuis que Bézier et De Cstelju leur ont donné une détermintion mthémtique exploitble sur le pln informtique à l ide de points de contrôle vi les polynômes de Bernstein. Dns cette prtie, nous nous limitons à l description des courbes dites Bézier polynomiles. Une telle courbe permet le stockge et le trcé d une courbe polynomile à l ide d un ensemble fini de points ppelé polygone de contrôle Polynômes de Bernstein Définition 1.4 Soit P n l espce des polynômes à une vrible réelle de degré inférieur ou égl à n. On ppelle i ieme polynôme de Bernstein de degré n sur l intervlle [, 1]: où C i n = n! (n i)! i!. B n i (t) = C i n(1 t) n i t i, t [, 1], (1.48) Proposition 1.1 L ensemble des B n i (t), i =,..., n est une bse de P n. Les polynômes de Bernstein vérifient les propriétés: 1. positivité: t [, 1], i =,..., n, B n i (t), 2. symétrie: t [, 1], i =,..., n, B n i (t) = B n n i(1 t), 3. le polynôme B n i (t) tteint son mximum sur [, 1] en i n, 4. prtition de l unité: t [, 1], n i= Bn i (t) = 1, 5. reltion de récurrence: B n (t) = (1 t)b n 1 (t) (1.49) Bi n (t) = (1 t)b n 1 i (t) + tb n 1 i 1 (t), i = 1,..., n 1, Bn(t) n = tbn 1(t). 6. en notnt DB n i (t) l dérivée première de B n i (t), lors, DBi n (t) = n (B n 1 i 1 (t) Bn 1 i (t)), i =,..., n. (1.5) Preuve: On montre que c est une bse en montrnt que l fmille des polynômes de Bernstein est libre, et comme il y en n + 1 dns un espce de dimension n + 1, c est forcément une bse. Pour montrer que l fmille est libre, on prend une combinison linéire i Bi n (t) =. On prend t =. On obtient lors =. On dérive ensuite l i combinison linéire et on prend à nouveu t =. On trouve lors 1 =. Etc. Les différents points de l proposition se vérifient ensuite directement. 1

15 1.3.2 Les courbes de Bézier, définition Définition 1.5 On se donne un ensemble P de n + 1 points P = {P,..., P n } dns un espce de dimension d 2. L courbe de Bézier polynomile ssociée est l courbe prmétrée définie pour t [, 1] pr: B P (t) = n Bi n (t)p i. (1.51) i= L ensemble P est ppelé polygone de contrôle ou polygone de Bézier. L entier n, nombre de cotés de P, est ppelé l longueur de l courbe. Cette longueur est supérieure ou égle u degré de l courbe. L courbe de Bézier est utilisée pour t [, 1] bien qu elle soit définie pour t R en tnt que courbe polynomile. Exemples: Pour n = 1, 2, 3, 4: B P (t) = (1 t)p + tp 1, (1.52) B P (t) = (1 t) 2 P + 2(1 t)tp 1 + t 2 P 2, B P (t) = (1 t) 3 P + 3(1 t) 2 tp 1 + 3(1 t)t 2 P 2 + t 3 P 3, B P (t) = (1 t) 4 P + 4(1 t) 3 tp 1 + 6(1 t) 2 t 2 P 2 + 4(1 t)t 3 P 3 + t 4 P 4, Pour n = 1, il n y que deux points, et l courbe de Bézier correspondnte est le segment Figure 1.2: Courbe de Bézier vec n = 3 relint P à P 1. Pour n = 2, on est u point P en t = et en P 2 en t = 1. L position du 11

16 point P 1 influe sur l convexité de l courbe, sns que l courbe ne psse pr P 1. Dns le cs générl pour n 3, les situtions sont plus complexes. L courbe pour extrémités P et P n. Les points de contrôle P 1,..., P n 1 gissent comme des imnts vis à vis de l courbe sns être des points d interpoltion. Une courbe polynomile est déterminée pr un polygone de contrôle. Toute déformtion peut être obtenue pr déplcement des points de contrôle. Lorsque le prmètre t est proche de i n, le poids Bn i (t) est prépondérnt et l courbe B P est "proche" de P i. Un déplcement du point P i étire, vec une certine inertie, l courbe vers ce point Propriétés Proposition Pour t fixé, B P (t) est le brycentre des points P i ffectés des poids B n i (t). Ainsi le point B P (t) est toujours situé dns l enveloppe convexe du polygone de contrôle. 2. Symétrie: on note Q = {P n, P n 1,..., P 1, P }. On lors: B P (1 t) = B Q (t). 3. L dérivée d ordre k de B P, notée D k B P pour expression: D k B P (t) = n! n k B n k i (t) k P i, (1.53) (n k)! où k P i est l différence progressive d ordre k clculée à prtir de P i : i= P i = P i (1.54) P i = P i+1 P i 2 P i = ( P i ) = P i+1 P i = P i+2 2P i+1 + P i k P i = ( k 1 P i ) = k 1 P i+1 k 1 P i k = ( 1) k j C j k P i+j 4. Obtention de courbes de Bézier fermées globlement C k. Il suffit que: j= P = P n (1.55) P = P n 1. =. k P = k P n k 5. Trnsformtion ffine. Une trnsformtion ffine A respecte les brycentres, donc A(B P (t)) = B AP (t) où AP = {AP,..., AP n }. 12

17 6. N importe quelle courbe prmétrée polynomile peut se réécrire comme une courbe de Bézier en effectunt un chngement de bse de l bse {1, t,..., t n } vers l bse de Bernstein Elévtion de l longueur d une courbe de Bézier L courbe de Bézier B P (t) de longueur n peut être décrite dns l bse des polynômes n+1 de Bernstein de degré n + 1 : B Q (t) = B n+1 i (t)q i où les sommets Q i sont définis pr: i= Q = P (1.56). =. Q i = ip i 1 + (n i + 1)P i n + 1. =. Q n+1 = P n Pr exemple pour n = 3 : Q = P, Q 1 = 1 4 (P + 3P 1 ), Q 2 = 1 2 (P 1 + P 2 ), Q 3 = 1 4 (3P 2 + P 3 ) et Q 4 = P 3. Le procédé peut se poursuivre, et on peut montrer que l suite des polygones converge uniformément vers le support de l courbe Algorithme de De Cstelju Il permet de clculer tout point d une courbe de Bézier et repose sur l proposition suivnte. Proposition 1.3 Soit B P (t) = n i= Bn i (t)p i une courbe de Bézier; cette courbe peut ussi s écrire pour j =,..., n: où P j i (t) est défini pr récurrence: P n j B P (t) = i= B n j i (t)p j i (t), (1.57) i (t) = P i, i =,..., n (1.58) j 1 (t) = (1 t)pi (t) + tp j 1 i+1 (t), j = 1,..., n, i =,..., n j. P j i Algorithme de De Cstelju: On pplique l proposition précédente vec j = n et B P (t) = P n (t): Initilistion: Pour i = à n, on pose P i (t) = P i. 13

18 Itértions: Pour j = 1 à n fire Résultt: B P (t) = P n (t) Pour i = à n j fire P j i j 1 (t) = (1 t)pi (t) + tp j 1 i+1 (t), 1.4 Approximtion d une fonction Qu est-ce qu une pproximtion? On veut pprocher x 4 sur [, 1] pr un polynôme de degré 1 p(x) = x + b. Comment choisir et b? On peut poser le problème de différentes mnières: trouver p tel que: 1. 1 (x4 p(x)) 2 dx soit minimum 2. 1 (x4 p(x)) 2 dx + 1 d dx (x4 p(x)) 2 dx soit minimum 3. mx x [,1] x 4 p(x) soit minimum. Chcun de ces critères conduir à des réponses différentes: 1. p(x) = 4 5 x p(x) = 4 5 x p(x) = x /3 Nous vons besoin d un outil mthémtique pour mesurer l distnce de deux fonctions. Pour cel, on se plce dns le cdre des espce vectoriels normés. Une fois que l norme est choisie le problème consiste à répondre ux trois questions suivntes: Comment crctériser l meilleure pproximtion? Si elle existe, est-elle unique? Comment l clculer? On se donne une fonction f définie sur un intervlle réel et à vleurs dns R; Cette fonction est crctérisée pr une propriété prticulière: une éqution, un jeu de données... mis on ne l connit ps explicitement. On cherche à en réliser une meilleure pproximtion, dns un sens à déterminer. Soit f H un espce vectoriel normé. On cherche u V H rélisnt: u f = inf v f. (1.59) v V L espce V est en générl de dimension finie; on le note V n où n est s dimension, et u ser lors noté u n. Bien entendu, si n croît lors l quntité u n f v décroître. On prler d pproximtion convergente lorsque ɛ >, n N, n > n = u n f ɛ. (1.6) 14

19 Proposition 1.4 Soit H un espce vectoriel normé tel que V n H. Pour toute fonction f H, il existe p V n tel que f p = inf q Vn f q. Preuve: On considère une suite minimisnte p m ( lim f p m = inf f q ). On m + q V n montre qu elle est bornée: p m f p m + f C, m. Comme V n est de dimension finie, on peut en extrire une sous-suite convergente qui pour limite p (Th. de Bolzno-Weierstrss). Comme V n est fermé lors l limite pprtient à V n. et donc f p m f p cr l norme est continue Crctéristion de l meilleure pproximtion On suppose que H est muni d un produit sclire noté (f, g) qui induit l norme (f, f) = f 2. Si l espce H est complet lors il s git d un espce de Hilbert. On suppose le sous espce V n de dimension finie. On peut lors construire une bse {p 1,..., p n } et crctériser l solution de (1.59) pr s décomposition sur cette bse u n = n j=1 jp j. Le problème est mintennt rmené à un problème sur R n c est-à-dire à l détermintion des coefficients j. En fonction du choix de l norme, et du choix de l bse, nous obtenons lors des résultts différents. On peut considérer des bses locles, des bses orthonormées (vec des polynômes orthogonux) ou des bses quelconques (comme l bse cnonique {1, x, x 2,..., x n }) Polynômes orthogonux Proposition 1.5 Soit H un espce de Hilbert tel que V n H, n N. Il existe une unique suite de polynômes p n de degré n de coefficient x n égl à 1 tel que (p n, q) =, q V n 1. Preuve: L suite p n est obtenue pr le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt à prtir de l suite de monômes 1, x,..., x n,.... L projection sur le sous espce engendré pr les k + 1 premiers polynômes p j est définie pr P Vk (x) = k (x, p j ) j= (p j, p j ) p j(x). Ce qui donne, ppliqué ux monômes: p (x) = 1 (1.61) p 1 (x) = (x, 1) x (1, 1) p (x) p n (x) = x n n 1 j= (x, p j ) (p j, p j ) p j(x). Proposition 1.6 Les polynômes orthogonux p n vérifient l reltion de récurrence: p n (x) = (x λ n )p n 1 (x) µ n p n 2 (x), n 1 (1.62) où p 1 (x) =, p (x) = 1, λ n = (xp n 1, p n 1 ) p n 1 2, µ n = p n 1 2 p n 2 2, µ 1 =. 15

20 Preuve: On v clculer p n (x) xp n 1 (x) pour montrer que cel peut s écrire comme indiqué dns l proposition. Pr construction p n xp n 1 V n 1, et peut donc s écrire comme n 1 i= α ip i. On fit lors le produit sclire pr p j vec j n 1. On obtient lors α j (p j, p j ) = (xp n 1, p j ) = (p n 1, xp j ) pr orthogonlité. Ce dernier terme est nul suf pour j = n 2 ou j = n 1. Pour j = n 2, on obtient α n 2 p n 2 2 = (p n 1, xp n 2 ) = (p n 1, p n 1 ) + (p n 1, p n 1 xp n 2 ) = p n 1 2. Pour j = n 1, on obtient α n 1 p n 1 2 = (p n 1, xp n 1 ). D où le résultt de l proposition vec λ n = α n 1 et µ n = α n 2. Théorème 1.8 Soit H un espce de Hilbert tel que V n H, n N. Il existe un unique polynôme de meilleure pproximtion u n V n crctérisé pr: n (f, p k ) vec u n = p k p 2 k et f u n 2 = f 2 k= Les p k sont des polynômes orthogonux. (u n f, q) =, q V n, (1.63) n k= (f, p k ) 2 p k 2. Preuve: Commençons pr montrer que l éqution (1.63) permet effectivement de crctériser l meilleure pproximtion. Soit q un polynôme quelconque de V n. On lors: f q 2 = f u n + u n q 2 = f u n 2 + 2(f u n, u n q) + u n q 2. (1.64) On en déduit: f u n 2 = f q 2 u n q 2 2(f u n, u n q). (1.65) Et l crctéristion entrîne donc: f u n f q, q V n (1.66) Montrons l unicité. Supposons qu il existe un utre polynôme v n vérifint l même crctéristion: (u n f, q) = (v n f, q) =, q V n. (1.67) Si on choisit en prticulier q = u n v n, cel entrîne u n v n = et donc u n = v n. Enfin, on obtient l décomposition de u n sur l bse des polynômes orthogonux p j en considérnt pour q chcun des p j : n (f k p k, p j ) =, j n. (1.68) k= Exemples de quelques fmilles de polynômes orthogonux clssiques: On prend H = L 2 w(, b) muni du produit sclire (f, g) = f(x)g(x)w(x)dx où les bornes et b peuvent être finies ou non et le poids w(x) est une fonction continue strictement positive sur ], b[. 16

21 Legendre: = 1, b = 1, w(x) = 1, p n (x) = dn dx n ( ) (x 2 1) n 2 n n! (1.69) Tchebycheff 1: = 1, b = 1, w(x) = 1 1 x 2, p n(x) = cos(nθ), où x = cos θ (1.7) Tchebycheff 2: = 1, b = 1, w(x) = 1 x 2, p n (x) = sin((n + 1)θ), où x = cos θ (1.71) 1 x 2 Hermite: Lguerre: =, b = +, w(x) = e x2, p n (x) = ( 1) n dn x2 e dx n (e x2 ) (1.72) =, b = +, w(x) = e x, p n (x) = ex d n n! dx n (xn e x ) (1.73) Remrque: Il existe des polynômes orthogonux discrets correspondnt à un produit sclire discret (p, q) = k p(x k)q(x k )w k clculé sur une discrétistion de l intervlle de définition. Ces polynômes ne sont en générl ps clculés pr le procédé d orthogonlistion de Grm- Schmidt mis pr l formule de récurrence (1.62). 1.5 Approximtion u sens des moindres crrés discrets On dispose d une suite de n données (ou mesures) expérimentles (x k, y k ), et on se propose de déterminer une reltion de l forme y = f(x), à prtir de ces informtions. On ne cherche ps ici le polynôme d interpoltion, mis à pprocher ces points pr un polynôme de fible degré, ou un élément d un espce vectoriel de fible dimension. Soit V un espce vectoriel de dimension finie. Le problème consiste à chercher f V vérifint: n k=1 y k f(x k ) 2 w k = inf p V n y k p(x k ) 2 w k (1.74) où w k sont des poids permettnt de donner plus d importnce à certines régions. On dir lors que f rélise l meilleure pproximtion des données dns V u sens des moindres crrés discrets. Le cs continu où l somme est remplcée pr une intégrle rentre dns le cdre décrit dns le prgrphe précédent. Le choix de l espce d pproximtion V est très importnt cr il détermine l "nture" de l pproximtion obtenue. 17 k=1

22 Soit V m un espce vectoriel de dimension finie m et de bse {ϕ j } j=1,...,m. On cherche lors à minimiser l fonctionnelle J(α) = n y k k=1 m α j ϕ j (x k ) 2 w k. (1.75) Pr souci de simplifiction, nous ne triterons dns l suite que le cs w k = 1, k. Le cs générl se déduit fcilement du cs prticulier. Soit A l mtrice de tille (n, m) de coefficients ij = ϕ j (x i ). L fonctionnelle J(α) à minimiser peut se réécrire: j=1 J(α) = Aα y 2 2 (1.76) où α = t (α 1,..., α m ) et y = t (y 1,..., y n ) sont des vecteurs colonnes. Théorème 1.9 On suppose que m n. Alors α rélise le minimum de J si et seulement si t AAα = t Ay. Ce système dmet une unique solution si rng(a) = rng( t AA) = m. Preuve: L fonctionnelle J(α) = (Aα y, Aα y) est qudrtique convexe de grdient J(α) = 2( t AAα t Ay). Le vecteur α minimise l fonctionnelle J si et seulement si J(α) =, c est-à-dire si et seulement si t AAα = t Ay. Soit y R n. Alors y peut s écrire y = y 1 + y 2 vec y 1 Im(A) et y 2 Ker( t A). Il existe lors α tel que y 1 = Aα. Ce qui implique t AAα = t Ay 1 = t Ay. Si rng( t AA) = dim Im( t AA) = m lors t AA est inversible et α = ( t AA) 1t Ay est l solution unique. De plus, rng(a) = dim Im(A) = m dim Ker(A) = rng( t AA) = m dim Ker( t AA) cr les noyux sont égux. Si rng(a) < m, il y plusieurs solutions mis il en existe une de norme minimle. L résolution se fit ensuite vec n importe quelle méthode mtricielle d inversion de mtrice. Exemple: l droite de régression linéire: Proposition 1.7 Soit n 2, et n points (x k, y k ), k = 1,..., n distincts. Alors il existe une droite unique f(x) = x + b qui rélise le minimum de l fonctionnelle J(, b) = n k=1 y k x k b 2. Preuve: Le minimum est tteint en (, b ) solution de: J (, b ) = J b (, b ) =, (1.77) 18

23 ce qui conduit ux équtions: ( n i=1 ( n i=1 x 2 i ) x i ) + b ( n i=1 x i ) = + n b = Il s git d un système linéire dont le déterminnt n ( n i=1 n x i y i i=1 n i=1 x 2 i y i (1.78) ) ( n ) 2 x i est strictement positif (utiliser l inéglité de Cuchy-Schwrtz). Ce qui ssure l unicité de l solution. i=1 Le même résultt peut s écrire en considérnt des points vec pondértions. 19

24 Chpter 2 Dérivtion et intégrtion numériques 2.1 Dérivtion numérique Soit f une fonction de R dns R que l on suppose dérivble. pproximtion du nombre: On veut clculer une f f(x + h) f(x ) (x ) = lim. (2.1) h h On peut obtenir une pproximtion grossière de f (x ) en prennt pour h fixé: f(x + h) f(x ). Cette pproximtion nécessite l connissnce de f en x et x + h. h L idée est lors d pprocher f pr un polynôme d interpoltion et de considérer s dérivée comme une pproximtion de l dérivée de f. Une utre solution consiste à utiliser un développement de Tylor de f. En combinnt les termes de développements de Tylor clculés en différents points, il ser lors possible de clculer l dérivée de f selon différentes formules. Théorème 2.1 Formule de Tylor Soient E et F deux espces vectoriels normés, Ω un ouvert de E, et (x, y) Ω 2 tels que x + t(y x) Ω, t [, 1]. Si f C p+1 (Ω, F ), p N lors: f(y) = f(x) + f (x)(y x) p! f (p) (x)(y x,..., y x) (2.2) 1 + (1 t) p f (p+1) (x + t(y x))(y x,..., y x)dt. p! (2.3) Proposition 2.1 Le reste intégrl dns l formule précédente est en O( y x p+1 ): f(y) = f(x) + f (x)(y x) p! f (p) (x)(y x,..., y x) + O( y x p+1 ). (2.4) 2

25 L méthode consiste à pprocher les dérivées ux points x k, k n espcés du ps h k = x k x k 1, k n. Si les points sont équidistnts, on note h le ps, et on : f(x k + 2h) = f(x k ) + f (x k ) 2h 1! + f (x k ) 4h2 + f (x k ) 8h3 + + O((2h) p+1 ) 2! 3! f(x k + h) = f(x k ) + f (x k ) h 1! + f (x k ) h2 2! + f (x k ) h3 3! + + O((h)p+1 ) f(x k h) = f(x k ) f (x k ) h 1! + f (x k ) h2 2! f (x k ) h3 3! + + O((h)p+1 ) f(x k 2h) = f(x k ) f (x k ) 2h 1! + f (x k ) 4h2 f (x k ) 8h3 + + O((2h) p+1 ) 2! 3!. =. dont les combinisons linéires permettent de donner des pproximtions centrées ou décentrées des dérivées successives u point x k : f (x k ) = f(x k+1) f(x k ) h f (x k ) = f(x k) f(x k 1 ) h f (x k ) = f(x k+1) f(x k 1 ) 2h f (x k ) = f(x k+2) + 8f(x k+1 ) 8f(x k 1 ) + f(x k 2 ) 12h f (x k ) = f(x k+2) + 4f(x k+1 ) 3f(x k 1 ) 2h f (x k ) = 3f(x k) 4f(x k 1 ) + f(x k 2 ) 2h + O(h) (2.5) + O(h) (2.6) + O(h 2 ) (2.7) + O(h 4 ) (2.8) + O(h 2 ) (2.9) + O(h 2 ) (2.1) f (x k ) = f(x k+1) 2f(x k ) + f(x k 1 ) h 2 + O(h 2 ) (2.11) f (x k ) = f(x k+2) + 16f(x k+1 ) 3f(x k ) + 16f(x k 1 ) f(x k 2 ) 12h 2 + O(h 4 )(2.12). Ces formules peuvent ussi être obtenues en utilisnt l méthode bsée sur n l interpoltion polynomile p n (x) = f(x k )L k (x) dont les dérivées sont des pproximtions des dérivées de f. k= Proposition 2.2 Si f est de clsse C n+1 sur l intervlle I contennt les points x k or- 21

26 donnés, lors il existe c et d dns ]x, x n [ tels que, x I Si x = x k, f (x k ) p 1 n (x k ) = (x k x j )f (n+1) (c) (2.13) (n + 1)! où L(x) = Si x x k, f (x) p (x) = j=,j k 1 (n + 1)! L (x)f (n+1) 1 (c) + (n + 2)! L(x)f (n+2) (d) n (x x k ) et p(x) désigne le polynôme d interpoltion de Lgrnge. k= (2.14) Preuve: On vu (1.7) que f(x) p(x) = 1 L(x) f (n+1) (c) où c dépend de x. On note (n+1)! g(x) = 1 f (n+1) (c). On clcule l dérivée et on obtient: f (x) p (x) = L (x)g(x) + (n+1)! n L(x)g (x). Il suffit lors de remrquer que L(x k ) = et que L (x k ) = (x k x j ). Ces résultts peuvent s étendre ux clculs des dérivées supérieures. 2.2 Intégrtion numérique Soit l intégrle I(f) = f(x)dx vec b >. j=,j k Nous souhitons trouver une vleur pprochée de cette intégrle u moyen d une somme finie. Pour cel, nous llons chercher à construire des formules de qudrture. Définition 2.1 On ppelle formule de qudrture à n + 1 points une formule du type: n I n+1 (f) = A n kf(x k ) (2.15) k= où les coefficients A n k sont indépendnts de l fonction f, et les points x k sont des points de l intervlle [, b]. On note E n+1 (f) = I(f) I n+1 (f) l erreur de l pproximtion de I(f) pr I n+1 (f). Définition 2.2 On dit que l formule de qudrture est de degré m si E n+1 (p) = pour tout polynôme p de degré inférieur ou égl à m Formule de qudrture du type interpoltion Formules globles: Nous vons vu u chpitre précédent que nous pouvons pprocher une fonction f pr n un polynôme d interpoltion p n (x) = f(x k )L k (x). L idée v donc être de remplcer le clcul de I(f) pr k= p n (x)dx. Cel se justifie pour les deux risons suivntes: 22

27 l intégrtion de polynômes est très simple, et ne nécessite que les qutre opértions élémentires, dns l prtique, ssez souvent, on ne connit ps l forme nlytique de f, mis seulement s vleur en certins points x k. Définition 2.3 On ppelle formule de qudrture de type interpoltion l formule obtenue pr le clcul de d interpoltion de f. p n (x)dx pour pprocher f(x)dx, p n (x) étnt un polynôme Proposition 2.3 Une formule de qudrture à n + 1 points est de degré u moins n si et seulement si elle est de type interpoltion à n + 1 points. Preuve: Si l formule est du type interpoltion à n+1 points, lors p P n (espce des polynômes de degré n), p est égl à son polynôme d interpoltion à n + 1 points. Donc E n+1 (p) =, p P n. Réciproquement, si l formule est de degré u moins n, on : n A n k = b k= n A n kx k = k=. =. n A n kx n k = k= xdx x n dx C est un système à n + 1 équtions et n + 1 inconnues qui dmet une solution unique (mtrice de Vndermonde de déterminnt non nul), et les coefficients A n k = L k (x)dx, k =,... n constituent une solution. Exemple: Les formule de Newton-Cotes. On construit n+1 points équidistnts en posnt h = b n : x =, x 1 = +h,..., x n = b. On obtient lors les formules de Newton-Cotes fermées. (Si on exclut les extrémités et b et on pose h = b, on obtient lors les formules dites ouvertes) n + 2 Formule de Newton-Cotes fermée de degré 1 et 2: [ 1 f(x)dx = (b ) 2 f() + 1 ] 2 f(b) (formule des trpèzes) (2.16) [ 1 f(x)dx = (b ) 6 f() + 4 ( ) + b 6 f + 16 ] 2 f(b) (formule de Simpson)(2.17) 23

28 Théorème 2.2 Estimtion de l erreur pour les formules de Newton-Cotes. Si f C l ([, b]) vec l = n + 2 si n est pir et l = n + 1 si n est impir, lors il existe c [, b] t.q.: E n+1 = E n+1 = 1 (n + 2)! n 1 n (n + 1)! t n (t j) dt h n+3 f (n+2) (c), si n est pir (2.18) j= n (t j) dt h n+2 f (n+1) (c), si n est impir (2.19) j= Une formule de qudrture bsée sur l interpoltion peut présenter les mêmes problèmes lorsque l intervlle est grnd (phénomène de Runge). On peut éviter cel en utilisnt des formules d interpoltion locles. On choisit un degré d interpoltion fible qu on utilise sur chque segment [x k, x k+1 ]. Formules locles: Polynômes de degré 1(formule des trpèzes): Sur chque segment [x, x k+1 ] on écrit une formule d interpoltion de degré 1, puis on fit l somme sur tous les segments. Soit p 1 (x) le polynôme d interpoltion de Lgrnge de degré 1 sur l intervlle [x k, x k+1 ]: p 1 (x) = f(x k ) x x k+1 x x k + f(x k+1 ) (2.2) x k x k+1 x k+1 x k On clcule l intégrle de p 1 (x) sur l intervlle [x k, x k+1 ]: xk+1 I 1,k = p 1 (x) dx = x k ( ) f(xk ) + f(x k+1 ) (x k+1 x k ) 2 puis on effectue l somme de tous les segments: n 1 n 1 ( ) f(xk ) + f(x k+1 ) I 1 = I 1,k = h 2 k= k= (2.21) si h = x k+1 x k, k. Clcul de l erreur: Il suffit d intégrer l erreur d interpoltion correspondnte et de fire l somme sur tous les segments de l intervlle. Sur [x k, x k+1 ], on f(x) p 1 (x) = 1 2 (x x k)(x x k+1 )f (c k ). Cel entrîne: I I 1 = 1 n 1 f (c k ) 2 k= xk+1 x k (x x k )(x x k+1 ) dx. (2.22) 24

29 On effectue lors un chngement de vrible x = x k + t(x k+1 x k ): I I 1 = 1 n 1 f (c k ) 2 k= k= 1 = h3 n 1 f (c k ). 12 On obtient donc une mjortion de l erreur: Polynômes de degré 2 (formule de Simpson): t(t 1)h 3 dt I I 1 (b ) h2 12 mx f (x). (2.23) x [,b] On note x k+1/2 le point milieu de l intervlle [x k, x k+1 ]. Soit p 2 (x) le polynôme d interpoltion de degré 2 sur l intervlle [x k, x k+1 ] de longueur h: p 2 (x) = 2 f(x k ) (x x k+1/2)(x x k+1 ) 4 f(x h 2 k+1/2 ) (x x k)(x x k+1 ) h 2 +2 f(x k+1 ) (x x k)(x x k+1/2 ). h 2 On clcule lors l intégrle de p 2 (x): I 2,k = xk+1 x k = 2 f(x k ) p 2 (x) dx 1 (t 1/2)(t 1) h dt 4 f(x k+1/2 ) = h ( f(xk ) + 4f(x k+1/2 ) + f(x k+1 ) ) 6 On déduit ensuite l intégrle totle: I 2 = n 1 I 2,k k= n 1 = h k= 1 f(x k ) + 4f(x k+1/2 ) + f(x k+1 ) 6 t (t 1) h dt + 2 f(x k+1 ) On effectue lors l évlution de l erreur de l même mnière que pour l formule des trpèzes, et on trouve l mjortion de l erreur suivnte: 1 I I 2 (b ) h4 288 mx x [,b] f (4) (x). (2.24) On ggne donc lors un ordre de grndeur dns l erreur en utilisnt n = 2 u lieu de n = 1. Théorème 2.3 Si le nombre de points d interpoltion est n + 1, dns les formules de Newton-Cotes fermées composites vec n pir, lors l erreur est en h n+2. Pr contre, si n est impir, l erreur est en h n t (t 1/2) h dt

30 2.2.2 Accélértion de l convergence: méthode de Romberg On veut clculer I = f(x) dx (2.25) Nous vons étudié jusqu à présent des méthodes qui donnit une pproximtion I(h) de I où h = b est le ps de discrétistion, et vec l hypothèse que pour des fonctions n suffismment régulières, on lim I(h) = I() = I. h Nous llons voir mintennt un lgorithme permettnt d méliorer les résultts des méthodes précédentes. Supposons que l on puisse fire un développement limité de I(h) en, c est-à-dire que l on puisse écrire: I(h) = I() + 1 h + 2 2! h2 + + h p ɛ(p). (2.26) On lors: I( h 2 ) = I() + h ! h2 + + h p ɛ(p). (2.27) En prennt une combinison linéire de I(h) et I( h ), on pourr obtenir une pproximtion 2 numérique de I() meilleure que celle de I(h). Cette constttion est à l bse de l méthode de Romberg. Exemple: On considère l formule du trpèze (interpoltion sur 2 points vec un polynôme de degré 1): I(h) = h (f() + f(b)) 2 I( h 2 ) = h ( ( ) + b f() + 2f 4 2 4I( h) I(h) 2 = h ( ( ) + b f() + 4f ) + f(b) ) + f(b) On retrouve lors l formule de Simpson.On peut lors à nouveu recommencer le procédé à prtir de cette dernière formule. D une mnière générle, on définit le processus itértif: R(, ) = 1 (b )(f() + f(b)) 2 R(n, ) = 1 2 R(n 1, ) + h n 2 n 1 k=1 f( + (2k 1)h n ) R(n, m) = R(n, m 1) + 1 (R(n, m 1) R(n 1, m 1)) 4 m 1 où n 1, m 1, h n = b. L erreur d pproximtion de l intégrle pour R(n, m) est 2 n lors en O(h 2m+1 n ). L méthode de Romberg converge très vite et il suffit en générl de clculer quelques itértions pour obtenir une bonne pproximtion de l intégrle. 26

31 2.2.3 Formule d Euler - Mc Lurin C est une formule d pproximtion de l intégrle construite pr intégrtion pr prties et qui s exprime à l ide des polynômes de Bernoulli. Définition 2.4 Les polynômes de Bernoulli sont définis pr: B n (x) = n k= ( ) n b k x n k, (2.28) k pour n, et où les coefficients b k désignent les nombres de Bernoulli. Ces derniers peuvent être définis pr le développement: + x e x 1 = x n b n n!. (2.29) On donc b n = B n (), et on peut montrer que b 2k+1 = pour k 1. De même, les polynômes de Bernoulli peuvent s obtenir ussi à prtir d un développement: n= te xt e t 1 = n= B n (x) tn n!. (2.3) Les polynômes de Bernoulli peuvent ussi se définir à prtir de l reltion de récurrence: B (x) = 1, B n(x) = nb n 1 (x) et Les premiers polynômes sont: 1 B n (x) dx = pour n 1. (2.31) B 1 (x) = x 1/2, B 2 (x) = x 2 x + 1/6, B 3 (x) = x x x, B 4(x) = x 4 2x 3 + x 2 1 3,... Idée de bse de l formule d Euler - Mc Lurin: Supposons que nous souhitions clculer l intégrle d une fonction f(x) sur l intervlle [, 1]. Nous llons effectuer une intégrtion pr prties qui v permettre de réécrire l intégrle à clculer: 1 f(x) dx = 1 1.f(x) dx 1 = [xf(x)] 1 xf (x) dx = f(1) 1 (x 1 2 )f (x) dx = (f() + f(1)) (x 1 2 )f (x) dx 27 f (x) dx

32 où on voit pprître B 1 (x) = x 1 le premier polynôme de Bernoulli. On peut lors 2 effectuer une nouvelle intégrtion pr prties de l dernière intégrle (en utilisnt l formule de récurrence): 1 B 1 (x)f (x) dx = = 1 On obtient lors l formule d intégrtion: 1 f(x) dx = 1 2 (f() + f(1)) B 2() B 2(x)f (x) dx [ 1 2 B 2(x)f (x) ] 1 1 (f (1) f ()) B 2(x)f (x) dx 1 1 3! B 3(x) f (x) dx. (2.32) On peut répéter ces développement pr prties, et on obtient lors l formule générle: 1 f(x) dx = 1 n 1 2 (f() + f(1)) + ( 1) k B k+1() ( f (k) (1) f (k) () ) (k + 1)! +( 1) n 1 k=1 1 (n + 1)! B n+1(x) f (n) (x) dx. (2.33) Proposition 2.4 Soit f de clsse C 2m+2 sur [, 1], lors il existe c ], 1[ tel que: 1 f(x) dx = 1 2 (f() + f(1)) m l=1 b 2l ( f (2l 1) (1) f (2l 1) () ) + b 2m+2 (2l)! (2m + 2)! f (2m+2) (c). (2.34) Preuve: Les deux premiers termes de cette formule sont obtenus pr construction en tennt compte du fit que b 2k+1 = pour k 1. Ne figurent donc ici que les termes d indices pirs. Nous llons mintennt déterminer le troisième terme, le reste r, qui s écrit: r = = 1 1 (2m + 2)! B 2m+2(x) f (2m+1) (x) dx 1 [ B2m+2 (x)f (2m+1) (x) ] 1 (2m + 2)! 1 (2m + 2)! 1 = (2m + 2)! 1 1 (B 2m+2 (x) B 2m+2 ()) f (2m+2) (x) dx B 2m+2 (x) f (2m+2) (x) dx Or B 2m+2 (x) B 2m+2 () est un polynôme de signe constnt sur [, 1]. On peut donc ppliquer le théorème de l vleur moyenne: c ], 1[ t.q. 1 r = (2m + 2)! f (2m+2) (c) 1 (B 2m+2 (x) B 2m+2 ()) dx (2.35) 28

33 On obtient lors le résultt ttendu cr 1 B 2m+2 (x) dx =. L formule générle pour un intervlle [, b] quelconque s obtient fcilement pr un chngement de vrible x = + t(b ), t [, 1]. En introduisnt une subdivision de [, b] en n sous-intervlles égux et en ppliqunt l formule générle à chque segment [x k, x k+1 ], on peut lors obtenir une nouvelle formule composite en clculnt l somme de tous les segments Formules de Guss Dns les formules étudiées jusqu à présent, on choisissit x k = + kh. On souhite méliorer les résultts en déterminnt u mieux les points de discrétistion x k (comme dns le cs de l interpoltion polynomile). Dns l formule de qudrture, f(x) dx = n c k f(x k ), (2.36) nous llons considérer les coefficients c k et les points x k comme inconnus, et nous souhitons insi méliorer les résultts précédents en imposnt à l formule d être excte sur P n vec n > n. Pr exemple, nous pouvons remrquer que x = +b et c 2 = b permet d intégrer de fçon excte les polynômes p P et p P 1 (degré 1 et non seulement). Dns le cs générl, on 2(n + 1) degrés de liberté (c k et x k ), et donc le choix optiml permet d intégrer de fçon excte un polynôme de degré 2n + 1, et non ps n comme pour les formules de qudrture précédentes. Théorème 2.4 L formule de qudrture à n+1 points est de degré 2n+1 si et seulement si: k= 1. elle est du type interpoltion à n + 1 points, 2. les bscisses d interpoltion sont telles que, L(x) = n (x x k ) (2.37) k= vérifie q n. x q L(x) dx = (2.38) Preuve: Supposons l formule de degré 2n + 1. Alors elle est en prticulier excte pour les polynômes de degré n, et d près un résultt précédent elle est donc du type interpoltion (cel démontre (1)). Soit q n un entier positif. Comme L(x) est un polynôme de degré n + 1, lors 29

34 x q L(x) est un polynôme de degré inférieur ou égl à 2n + 1. On pplique lors l formule de qudrture à x q L(x): x q L(x) dx = n c k x q k L(x k) (2.39) k= Or L(x k ) =. Donc xq L(x) dx =, q : q n. Réciproquement, supposons (1) et (2). D près (1), l formule de qudrture est excte pour les polynômes de degré n. Soit P P 2n+1 que l on divise pr L: vec d Q n et d R n. Donc D près (2), excte: P (x) dx = P = LQ + R (2.4) Q(x)L(x) dx + R(x) dx (2.41) Q(x)L(x) dx =, et pour R de degré inférieur à n, l formule est R(x) dx = n c k R(x k ). (2.42) Or R(x k ) = P (x k ) L(x k )Q(x k ) = P (x k ). Donc: n P (x) dx = c k P (x k ), P P 2n+1 (2.43) k= k= Nous venons de voir les conditions imposées ux points x k (2.38). Nous nous posons lors les questions suivntes: Existe-t-il des points x k vérifint ces conditions? Cette solution est-elle unique? Comment l clculer? Théorème 2.5 Il existe un unique polynôme L(x) = distincts et tel que: Preuve: n x x k dont les x k [, b] sont k= x q L(x) dx =, q : q n. (2.44) Soient L 1 et L 2 deux polynômes vérifint les conditions précédentes. On pose P (x) = L 1 (x) L 2 (x). P est un polynôme de degré inférieur ou égl à n cr le terme en x n+1 s élimine. Ce polynôme vérifie: x q P (x) dx =, q : q n. (2.45) 3

35 Or P peut s écrire: P (x) = + 1 x + 2 x n x n. On clcule lors l intégrle de P 2 : P 2 (x) dx = P (x) dx+ 1 xp (x) dx+...+ n x n P (x) dx = (2.46) Or, comme l ppliction x P 2 (x) est continue et positive sur [, b], lors P 2 (x) =, x [, b], et donc P =. On pose L n+1 (x) = L(x) = (x x )(x x 1 ) (x x n ). Nous llons construire pr récurrence l suite des polynômes L n (x) vérifint les conditions du théorème (orthogonlistion de Grm-Schmidt). Ces polynômes doivent donc vérifier: L k (x)l n (x) dx =, k < n (2.47) vec le coefficient de plus hut degré égl à 1. On donc L (x) = 1. L 1 (x) ser de l forme L 1 (x) = x + L (x). Or, L (x)l 1 (x) dx = x dx + dx =. (2.48) On peut lors clculer : = 1 b Supposons L, L 1,..., L n construits, et posons, x dx (2.49) L n+1 (x) = x n+1 + n L n (x) + n 1 L n 1 (x) L (x). (2.5) On doit voir pour j n: L n+1 (x).l j (x) dx =. (2.51) On remplce L n+1 (x) pr son expression, on multiplie pr L j (x) et on intègre: On obtient lors j : x n+1 L j (x) dx + j L 2 j(x) dx =. (2.52) j = x n+1 L j (x) dx. (2.53) L 2 j(x) dx Nous llons montrer que les rcines de L n (x) = sont réelles, simples, et comprises entre et b. Supposons que L n (x) possède k rcines réelles de multiplicité impire entre et b (L n (x) peut ussi posséder des rcines de multiplicité pire ou des rcines en dehors 31