CONTINUITÉ 1 DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 1.1 DÉFINITIONS DE LA CONTINUITÉ

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1 Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI CONTINUITÉ Les fonctions qu on étudie en nlyse sont souvent définies sur des intervlles, mis souvent ussi sur des réunions d intervlles comme ou[0,1[ [,3]. Dns ce chpitre, pour simplifier, les lettres D, E... désigneront toujours des réunions finies d intervlles mis on pourrit générliser à certines réunions infinies d intervlles comme π,π +π. On noter pr illeurs l un des corpsou. 1 DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS On trite dns cette prtie le cs des fonctions complexes en même temps que celui des fonctions réelles, mis nos figures illustreront ien entendu seulement le cs réel. 1.1 DÉFINITIONS DE LA CONTINUITÉ Définition (Continuité en un point ou sur une réunion risonnle d intervlles) Soient f : D une fonction. Soit D. On dit que f est continue en si f EXISTE. On sit dns ce cs, f étnt définie en, que f= f(). On peut donc dire que f est continue en si : ǫ> 0, α>0/ x D, x <α = f(x) f() <ǫ. f() f est continue en. f() f n est ps continue en. f() f n est ps continue en. On dit que f est continue sur D si f est continue en tout point de D. On note(d,) l ensemle des fonctions continues sur D à vleurs dns. L fonction vleur solue est continue sur. En effet Soit. Montrons que est continue en. Soitǫ> 0. Pour tout x : x x d près l inéglité tringulire générlisée, donc pourα=ǫ : x, x <α = x <ǫ. Le résultt suivnt est l version continue d un résultt nlogue sur les ites du chpitre «Limites d une fonction». Théorème (Crctéristion de l continuité à prtir des prties réelle et imginire) Soient f : D une fonction et D. f est continue en (resp. sur D) si et seulement si Re( f) et Im( f) le sont. L fonction t e it est continue surcr les fonctions sinus et cosinus le sont. 1

2 Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Définition (Continuité à guche/à droite en un point) Soient f : D une fonction et D. On suppose f définie u voisinge de à guche et à droite. On dit que f est continue à guche en si f D ],] est continue en, i.e. si : On dit que f est continue à droite en si f D [,+ [ est continue en, i.e. si : + f= f(). f= f(). f est continue en à guche, mis ps à droite. f() f() f est continue en à droite, mis ps à guche. Le résultt suivnt est l version continue d un résultt nlogue sur les ites du chpitre «Limites d une fonction». Théorème (Crctéristion de l continuité à l ide des continuités à guche/à droite) Soient f : D une fonction et D. On suppose f définie u voisinge de à guche et à droite. f est continue en si et seulement si f est continue à guche et à droite en. L fonction prtie entière est continue en tout point non entier, mis seulement continue à droite en n pour tout n. y= x En effet Soit n. Pour tout x [n, n+1[ : x =n, donc : x =n= n, x n + donc est continue à droite en n. Au contrire, pour tout x [n 1, n[ : x = n 1, donc : x n x =n 1 n =n, donc f n est ps continue à guche en n. 1. PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ EN UN POINT Définition-théorème (Prolongement pr continuité en un point) Soient, vec < et f :], [ une fonction. On dit que f est prolongele pr continuité en si f existe et est FINIE. Le prolongement f de f otenu en posnt : f()= f est lors continu en. Les fonctions f et f sont distinctes en toute rigueur cr elles n ont ps le même ensemle de définition, mis on choisit générlement de noter encore f le prolongement f pr souci de simplicité. On dispose ien sûr d un résultt nlogue u voisinge d un point à guche. f() Démonstrtion Nous devons montrer que f est continue en, i.e. que : f= f(). Pr définition de f, f et f coïncident sur], [, donc l églité : f= f() peut être écrite insi : ǫ> 0, α>0/ x ], [, x <α = f(x) f() <ǫ. C est presque le résultt mis ps tout à fit cr f est définie en. Or on peut évidemment remplcer «], [» pr «[, [» dns : ǫ> 0, α>0/ x [, [, x <α = f(x) f() <ǫ. L fonction x x ln x n est ps définie en 0 mis on peut l prolonger pr continuité en ce point en lui donnnt l vleur 0 en 0, cr : x ln x= 0. x 0 L fonction x sin x sin x n est ps définie en 0, mis comme : = 1, on peut l prolonger pr continuité x x 0 x en ce point en lui donnnt l vleur 1 en 0. Pour toutα>0 : x α = e α ln x x 0 0, donc en posnt : 0 α = 0, on prolonge l fonction x x α, priori définie sur +, en une fonction continue sur + tout entier.

3 Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI 1.3 OPÉRATIONS SUR LA CONTINUITÉ Que ce soit en un point ou sur un intervlle, l somme et le produit de deux fonctions continues sont continus. Même chose pour l inverse d une fonction qui ne s nnule ps insi que pour l composée de deux fonctions composles. Ces résultts découlent imméditement des résultts nlogues que nous vons prouvés sur les ites de fonctions. L fonction x ln x + e 1 x est définie et continue sur. En effet Attention, pour l composition, il fut ien préciser les domines mnipulés! L fonction x 1 x est continue sur (à vleurs dns ) et l fonction x e x l est sur, donc pr composition x e 1 x est continue sur. L fonction x x est continue sur, donc sur. Pr somme, x x + e 1 x est continue sur. L fonction x x + e 1 x est continue sur à vleurs dns + et x ln x est continue sur +, donc pr composition x ln x + e 1 x est continue sur (à vleurs dns ). Enfin, l fonction x x est continue sur. Le résultt découle donc d une dernière composition. 1.4 CARACTÉRISATION SÉQUENTIELLE DE LA CONTINUITÉ Le résultt suivnt est l version continue d un résultt nlogue sur les ites du chpitre «Limites d une fonction». Théorème (Crctéristion séquentielle de l continuité en un point) Soient f : D une fonction et D. Les ssertions suivntes sont équivlentes : (i) f est continue en. (ii) Pour toute suite(u n ) n de ite à vleurs dns D, l suite f(u n ) pour ite f(). n Expliction En résumé : Pour une fonction CONTINUE : f... n + = n + f(...). En prtique Ce théorème est le plus souvent utilisé dns le contexte des suites définies pr une reltion de récurrence «u n+1 = f(u n )». SI(u n ) n CONVERGE vers un réellet si f est définie et CONTINUE enl, lors : f(l)=l. Le résultt suivnt est une ppliction ultr-clssique de l crctéristion séquentielle de l continuité et de l densité dedns. Théorème (Éqution fonctionnelle des fonctions linéires) Les fonctions f (,) telles que pour tous x, y : f(x+y)= f(x)+ f(y) sont exctement les fonctions x λx,λdécrivnt, i.e. les fonctions linéires de. Démonstrtion Les fonctions linéires sont ien sûr solutions du prolème étudié. Réciproquement, soit f (,). On suppose que pour tous x, y : f(x+ y)= f(x)+ f(y). 1) Montrons que f est impire. Pour tout x : 0= f(0)= f x+( x) = f(x)+ f( x), donc en effet f( x)= f(x). ) Montrons que pour tous x et n : f(nx)=nf(x). On fixe x. Initilistion : f(0.x)= f(0)= f(0+0)= f(0)+ f(0)=f(0.x), donc : f(0.x)=0=0.f(x). Hérédité : Soit n. On suppose que : f(nx)=nf(x). Alors ussitôt : f (n+1)x = f(nx+x)= f(nx)+ f(x)=nf(x)+ f(x)=(n+1)f(x). 3

4 Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI 3) Montrons que pour tous x et n : f(nx)=nf(x). D près ), il nous reste seulement à montrer le résultt pour n \ : f(nx)= f ( n)x 1) = f ( n)x ) = ( n)f(x)= nf(x). n 4) On poseλ= f(1). Montrons que f =λid. Soit r = p q vec p et q \ 0. Alors : q f(r)= f(qr)= f(p)= f(p.1)= p f(1)=λp d près 3), donc : f(r)=λ p q =λr. 5) Montrons que f=λid. Soit x. Commeest dense dns, nous pouvons nous donner une suite de rtionnels(r n ) n de ite x. Pr continuité de f en x et d près l crctéristion séquentielle de l continuité : f(x)= f(r n). Enfin : f(x)= f(r n) = 4) λr n=λ r n=λx. n + n + n + n TROIS THÉORÈMES DE CONTINUITÉ GLOBALE ATTENTION! Les théorèmes de ce prgrphe ne concernent que les fonctions RÉELLES. L continuité glole désigne l continuité sur un intervlle pr opposition à l continuité locle en un point..1 RETOUR SUR LA NOTION D INTERVALLE Rppelons que, pr définition, pour tous, éventuellement± : [, ]= x / x, [, [= x / x<, et on définit de mnière nlogue], ] et], [. Ces ensemles sont tous ppelés des intervlles, mis du coup l notion d intervlle ne semle ps voir une définition unique, il fut distinguer des cs. Nous donnons ci-dessous une redéfinition «sns cs» de l notion d intervlle, puis une crctéristion selon lquelle les intervlles nouveux insi définis sont ien exctement ceux que nous connissions. Définition (Intervlle de) On ppelle intervlle detoute prtie I detelle que : x, y I, xy = [x, y] I. Expliction Un intervlle deest insi une prtie dequi contient toutes les «vleurs intermédiires» des points qu elle contient. On sent que le TVI pproche... Pour tous, vec, les ensemles[, ],[, [,], ] et], [ sont des intervlles u sens de l définition «sns cs» précédente. En effet Pour l ensemle[, [, soient x, y [, [ vec xy. Nous devons montrer que[x, y] [, [. Or pour tout t [x, y] : xt y<, donc en effet t [, [. Le théorème suivnt énonce que l réciproque de l exemple précédent est vrie. Théorème (Crctéristion des intervlles de) Les intervlles desont exctement les ensemles[, ],[, [, ], ] et], [, et décrivntvec. Démonstrtion Soit I un intervlle de. L propriété de l orne inférieure/supérieure DANS montre que I possède une orne inférieure et une orne supérieure. Distinguons plusieurs cs. Cs où I et I : Montrons que I=[, ]. Montrons que[, ] I. Or pout tout x [, ] : x vec I et I, donc comme I est un intervlle : x I. Montrons que I [, ]. Or pour tout x I, comme minore I et mjore I, lors : x, i.e. x [, ]. 4

5 Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Cs où I et / I : Montrons que I=[, [. Montrons que[, [ I. Soit x [, [. Comme x<et =sup I, x ne mjore ps I, donc x< pour un certin I. Alors : x vec I et I, donc comme I est un intervlle : x I. Montrons que I [, [. Soit x I. Comme minore I et mjore I : x. Mis x I lors que / I, donc : x<, i.e. x [, [. Cs où / I et I : Dns ce cs I=], ]. Adpter l preuve du cs précédent. Cs où / I et / I : Montrons que I=], [. Montrons que], [ I. Soit x ], [. Comme < x et =inf I, x ne minore ps I, donc < x pour un certin I. Comme x<et = sup I, x ne mjore ps I, donc x< pour un certin I. Alors : x vec I et I, donc comme I est un intervlle : x I. Montrons que I ], [. Soit x I. Comme minore I et mjore I : x. Mis x I lors que / I et / I, donc : < x<, i.e. x ], [.. LE THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES Théorème (Théorème des vleurs intermédiires, version «existence d un ntécédent») Soient, vec et f [, ],. Tout réel compris entre f() et f() possède lors AU MOINS un ntécédent pr f dns[, ]. Démonstrtion (n 1) On suppose pour simplifier que : f() y f() risonnement nlogue dns l utre cs et on pose : X= t [, ]/ f(t) y. Comme f() y : X, donc X est une prtie non vide de, pr illeurs mjorée pr. L propriété de l orne supérieure nous grntit insi l existence de sup X, que nous notons x. Nous llons prouver l églité en prouvnt successivement que f(x) y et f(x) y. L figure ci-contre illustre le ien-fondé de cette démrche. Comme x= sup X, x est l ite d une suite(x n ) n d éléments de X, et comme f(x n ) y pour tout n, l crctéristion séquentielle de l continuité montre que : f(x)= f(x n) y. n + Si x=: f(x)= f() y pr hypothèse. Supposons donc x<. f() y f() Pour n ssez grnd, on peut lors dire que : x+ 1 n [, ], mis pr illeurs : x+ 1 / X. Pour de tels n n : f x+ 1 > y donc près pssge à l ite et utilistion de l continuité de f en x : f(x) y. n X x Démonstrtion (n, pr dichotomie) Ici ussi, on suppose pour simplifier que : f() f() et on pose : 0 = et 0 =. À prtir de l intervlle[ 0, 0 ]=[, ], il s git de construire pr récurrence de nouveux intervlles intéressnts plus petits[ 1, 1 ],[, ],... Plus précisément, soit n. Supposons qu on it déjà construit des réels 0,..., n, 0,..., n pour lesquels : (i) = 0... n, n... 0 = et pour tout k 0, n : k k = k, (ii) pour tout k 0, n : f( k ) y f( k ). On définit lors u rng n+1 les réels n+1 et n+1 de l mnière suivnte : n+1 = n et n+1 = n+ n n + n si f y n+1 = n+ n n + n et n+1 = n si f < y. Je vous lisse démontrer que ces réels n+1 et n+1 stisfont les ssertions (i) et (ii) u rng n+1 fites-le! Les suites( n ) n et( n ) n insi construites sont finlement djcentes d près (i), donc possèdent une ite finie commune x [, ]. Or si nous pssons à l ite dns (ii), l crctéristion séquentielle de l continuité montre que : f(x) y f(x), i.e. que. 5

6 Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI f() y f() = 0 x Le réel x construit pr dichotomie 0 = L version du TVI énoncée ci-dessous est une nouveuté pour vous mis pourtnt ussi importnte que l précédente. Théorème (Théorème des vleurs intermédiires, version «imge d un intervlle») L imge d un INTERVALLE pr une fonction continue est un INTERVALLE. ATTENTION! Si I est un INTERVALLE et f : I une fonction continue, cette version nouvelle du TVI ffirme que f(i) est églement un INTERVALLE, mis ps que I et f(i) sont de même nture. Il se peut que I soit ouvert et f(i) un segment, ou ien que I soit semi-ouvert et f(i) ouvert, etc. Ps un intervlle f(i) f(i) Un intervlle I I ouvert, f(i) fermé. I I semi-ouvert, f(i) ouvert. Démonstrtion Soient I un INTERVALLE et f (I,). Pour montrer que f(i) est un intervlle, donnonsnous u, v f(i) vec u v et y [u, v]. Il s git de montrer que y f(i). Ce qui est sûr, c est que u= f() et v= f() pour certins, I, l version précédente du TVI montre donc que pour un certin x compris entre et :. En prticulier : x I cr I est un intervlle, et enfin : f(i). Théorème (TVI strictement monotone) Soient, vec <. (i) Soit f :[, ] une fonction CONTINUE et STRICTEMENT CROISSANTE. Alors f est ijective de[, ] sur f(), f(). (ii) Soit f :[, [ une fonction CONTINUE et STRICTEMENT DÉCROISSANTE. Alors f est ijective de[, [ sur f, f(). (iii) Soit f :], [ une fonction CONTINUE et STRICTEMENT CROISSANTE. Alors f est ijective de], [ sur f, f. f() (i) f() (ii) f (iii) f() f f Il existe ien sûr d utres versions du théorème selon que f est croissnte ou décroissnte et définie ou non en et, vec éventuellement = et =+. Démonstrtion Dns le cs où f est strictement croissnte sur[, [, f est ijective de[, [ sur son imge f [, [ mis -t-on ien : f [, [ = f(), f? En tout cs, d près le TVI, f [, [ est un intervlle. Comme f() f [, [ et comme f() minore f [, [ pr croissnce de f : f()=min f [, [. 6

7 Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Ensuite, d près le théorème de l ite monotone : f = sup f [, [, donc f [, [ est l un des f f [, [? Il existerit dns ce cs x [, [ f, et ussitôt f serit constnte égle à f sur[x, [, ce qui contredirit l STRICTE intervlles f(), f ou f(), f. Peut-on voir : tel que f(x)= croissnce de f. Puisque donc f / f [, [ : f [, [ = f(), f..3 LE THÉORÈME DES BORNES ATTEINTES Théorème (Théorème des ornes tteintes) Toute fonction continue sur un SEGMENT y est ornée et tteint ses ornes. Autre version : L imge d un SEGMENT pr une fonction continue est un SEGMENT. Expliction Nous vons vu que l continuité ne préserve ps l forme des intervlles en générl, mis en tout cs une chose est sûre, un segment est toujours trnsformé en un segment. ATTENTION! Sur un intervlle orné qui n est ps un segment, une fonction continue n ucune rison d être ornée en générl. Pensez à l fonction tngente sur π,π. y=f(x) Démonstrtion Soient, vec et f [, ],. D près le TVI, f [, ] est un intervlle. Nous montrerons seulement que f possède un mximum pour un minimum, remplcer f pr f. L propriété de l orne supérieure DANS nous utorise à poser : s=sup f [, ] vec peut-être s=+. Nous svons qu s est l ite d une suite d éléments de f [, ]. Nous pouvons donc nous donner une suite(x n ) n d éléments de[, ] pour lquelle : f(x n)=s. n + Si(x n ) n étit convergente, disons de ite x [, ], on pourrit ussitôt ffirmer que f(x)=s pr continuité, ce qui montrerit que s et donc que f est mjorée mis même mieux, que : s=mx f [, ]. Le prolème, c est que(x n ) n n ucune rison d être convergente. Si jmis f tteint un mximum en deux points u et v distincts, on peut très ien imginer que les x n sont tntôt utour de u, tntôt utour de v. Il fudrit pouvoir forcer les x n à s ccumuler tous utour de u ou tous utour de v mis comment fire? Bolzno-Weierstrss évidemment! L suite(x n ) n étnt ornée, elle possède une suite extrite x ϕ(n) n convergente, disons de ite x [, ]. Pr continuité de f et d près le théorème des suites extrites : f(x)= f x ϕ(n) = s, donc d une prt s ce qui montre que f est mjorée mis d utre prt : n + s=mx f [, ]. L fonction x f x ln x possède un minimum sur]0,1]. En effet On pourrit ien sûr étudier les vritions de f, mis le théorème des ornes tteintes permet de l éviter. Prolongée pr continuité en 0 pr l vleur 0, f est continue donc possède un minimum sur le SEGMENT [0, 1]. Ce minimum est en fit tteint sur]0, 1] cr f y est strictement négtive et f(0) = 0. Toute fonction continue périodique définie surtout entier est ornée. En effet Soient T> 0 et f (,) T-périodique. L fonction f est ornée sur[0, T] d près le théorème des ornes tteintes, donc il existe K 0 tel que pour tout x [0, T] : f(x) K. En retour, pour tout x, x x puisque : T 1< x x T T, lors : 0 x T< T, et donc : f(x) = f x K. x T T T Cel montre ien que f est ornée sur tout. 7

8 Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI.4 CONTINUITÉ D UNE RÉCIPROQUE Nous vons déjà rencontré ce théorème u chpitre «Rppels et compléments sur les fonctions» en version light. Nous en donnons à présent l version intégrle vec démonstrtion. Théorème (Continuité d une réciproque) Soient I un INTERVALLE et f (I,). On note J l intervlle f(i). Les ssertions suivntes sont équivlentes : (i) f est strictement monotone sur I. (ii) f injective sur I donc ijective de I sur J. Dns ces conditions, f 1 est continue et strictement monotone de même sens de vrition que f sur J. Expliction Les grphes de f et f 1 sont symétriques l un de l utre pr rpport à l droite d éqution y=x. Si le grphe de f peut être trcé sns qu on it à lever le cryon, comment le grphe de f 1 ne le serit-il ps? y=x ATTENTION! Le moindre point de discontinuité ruine l vlidité de l impliction «Injective = Strictement monotone». Fonction injective, NON monotone NON continue. y= f 1 (x) Démonstrtion Pour l équivlence des ssertions (i) et (ii), nous svons déjà que (i) implique (ii) sns hypothèse de continuité. Pour l réciproque, risonnons pr contrposition en supposnt que f n est ps strictement monotone. L fonction f n est lors ni croissnte ni décroissnte, donc pour certins x, y, x, y I : x< y et f(x)> f(y) d une prt, et : x < y et f(x )< f(y ) d utre prt. Remrquons ensuite que pour toutλ [0,1], le réel(1 λ)x+λx est compris entre x et x, donc pprtient à I PUISQUE I EST UN INTERVALLE, et il en v de même du réel(1 λ)y+λy. Nous pouvons insi noterϕ l fonction continueλ f (1 λ)x+λx f (1 λ)y+λy de[0,1] dns. Comme : ϕ(0)= f(x) f(y)>0 et ϕ(1)= f(x ) f(y )<0, ϕ(λ 0 )=0pour un certinλ 0 ]0,1[ d près le TVI, i.e. : f (1 λ 0 )x+λ 0 x = f (1 λ 0 )y+λ 0 y. Cette églité montre comme voulu que f n est ps injective cr pr illeurs : (1 λ 0 )x+λ 0 x (1 λ 0 )y+λ 0 y dns le cs contrire, on urit : (1 λ 0 )(x y) =λ 0 (y x ). }{{} <0 }{{} >0 Supposons à présent f strictement monotone sur I pr exemple strictement croissnte. Alors f rélise une ijection de I sur son imge J un intervlle d près le TVI et f 1 : J I est croissnte sur J. Soit J. Sous l hypothèse que f 1 est définie u voisinge de à guche, nous montrerons seulement que f 1 est continue à guche en même trvil à droite. D près le théorème de l ite monotone, l ite f 1 (y) existe, notons-ll. Comme f(x)= f(l) pr continuité de f enl, lors : y x l f f 1 (y) = f(l) pr composition, i.e. f(l)=, et donc enfin : y f 1 =l= f 1 (). En déut d nnée, l existence des fonctions rcsinus, rccosinus et rctngente découlé du TVI strictement monotone et leur continuité du théorème de continuité d une réciproque. L preuve de continuité de f 1 peut être dptée à l recherche des ites ux ornes d une réciproque. Voyons cel sur un exemple. Ingrédient mjeur le théorème de l ite monotone. Soit f ( +,). On suppose que f est strictement croissnte sur + et que : f=l. Alors f est + ijective de + sur[0,l[ et : f 1 =+. l En effet Le TVI strictement monotone grntit l ijectivité de f de + sur[0,l[. Ensuite, f 1 étnt croissnte, le théorème de l ite monotone nous ssure l existence de l ite f 1 (y), notons-l L. Que vut L? Pr y l composition : f 1 f(x) x + L, mis pr illeurs : f 1 f(x) = x x + +, donc L=+. 8