LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS"

Transcription

1 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Soit R. Dns tout ce chpitre, on dir qu une fonction f de domine de définition D f est définie u voisinge de s il existe un réel h > 0 tel que l on soit dns un des trois cs suivnts : (D f [ h, ]) \ {} = [ h, [ i.e. f est définie dns un voisinge à guche de et éventuellement non définie en ; (D f [, + h]) \ {} =], + h] i.e. f est définie dns un voisinge à droite de et éventuellement non définie en ; (D f [ h, + h]) \ {} = [ h, + h] \ {} i.e. f est définie dns un voisinge de et éventuellement non définie en. Exemple 0.1 x 1 x 1 est définie u voisinge de 1. x 2 x est définie u voisinge de 2. On dir de plus que f est : définie u voisinge de + s il existe A R tel que [A, + [ D f ; définie u voisinge de s il existe A R tel que ], A] D f. Exemple 0.2 x 1 x 3 x 1 est définie u voisinge de + et. Enfin, on dir qu une propriété portnt sur f est vrie u voisinge de R si cette propriété est vrie sur l intersection de D f vec un intervlle du type [ h, + h] vec h > 0 si R ; [A, + [ vec A R si = + ; ], A] vec A R si =. Exemple 0.3 L fonction x x 2 (1 x 2 ) est positive u voisinge de 0 et négtive u voisinge de + et. 1

2 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 1 Limite d une fonction 1.1 Définition Définition 1.1 Limite d une fonction Soit (, l) R 2. Soit f une fonction définie u voisinge de. On dit que f dmet l pour ite en si : Cs R et l R : ε R +, α R +, x D f, x < α f(x) l < ε Cs R et l = + : A R, α R +, x D f, x < α f(x) > A Cs R et l = : A R, α R +, x D f, x < α f(x) < A Cs = + et l R : ε R +, B R, x D f, x > B f(x) l < ε Cs = + et l = + : A R, B R, x D f, x > B f(x) > A Cs = + et l = : A R, B R, x D f, x > B f(x) < A Cs = et l R : ε R +, B R, x D f, x < B f(x) l < ε Cs = et l = + : A R, B R, x D f, x < B f(x) > A Cs = et l = : A R, B R, x D f, x < B f(x) < A Remrque. Ceci veut dire que quitte à prendre x suffismment proche de, on peut rendre f(x) ussi proche de l que l on veut. Remrque. On obtient des définitions équivlentes en remplçnt les inéglités lrges pr des inéglités strictes. Théorème 1.1 Unicité de l ite Soit f une fonction définie u voisinge de. Si f dmet une ite l en, elle est unique. On note lors f = l ou f(x) = l. x Si f est définie en et dmet une ite en, lors f = f(). 2

3 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Proposition 1.1 Retour en zéro Soit f une fonction définie u voisinge de R. Soit l R. Alors : Si l R : Si R : f(x) = l f(x) l = 0 x x f(x) = l f( + h) = l x h 0 Proposition 1.2 Limite et «bornitude» Soit f une fonction définie u voisinge de R. Si f dmet une ite finie en, lors f est bornée u voisinge de. Proposition 1.3 Limite et signe Soit f une fonction définie u voisinge de R. Si f dmet une ite l > 0 en, lors f est minorée pr un réel strictement positif u voisinge de. Corollire 1.1 Signe et équivlent Si f g, lors f et g sont de même signe u voisinge de. 1.2 Limite à guche, à droite Définition 1.2 Limite à guche, à droite Soit R et l R. Soit f une fonction définie u voisinge de. On dit que f dmet l pour ite à guche en si l restriction de f à D f ], [ dmet l pour ite en. Dns ce cs, cette ite est unique et on l note f ou f(x) ou encore f(x). x x On dit que f dmet l pour ite à droite en si l restriction de f à D f ], + [ dmet l pour ite en. Dns ce cs, cette ite est unique et on l note f ou f(x) ou encore f(x). + x + x x< x> Proposition 1.4 Lien entre ite simple et ite à guche, à droite Soient R et l R. Soit f une fonction définie u voisinge de. Si f est définie en : Si f n est ps définie en : f = l ( f = + f = l et f() = l ) f = l f = + f = l Attention! Si f est définie en, il ne fut ps oublier l condition f() = l. L fonction f définie pr f(x) = 0 si x 0 et f(0) = 1 dmet 0 pour ite à guche et à droite en 0 mis n dmet ps de ite en 0. Pr contre, f R dmet 0 pour ite en 0. Subtil... 3

4 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 2 Propriétés des ites 2.1 Crctéristion séquentielle de l ite Théorème 2.1 Crctéristion séquentielle de l ite Soit f une fonction définie u voisinge de R. Soit l R. Les propositions suivntes sont équivlentes : (i) f = l. (ii) Pour toute suite (u n ) à vleurs dns D f de ite, (f(u n )) pour ite l. Méthode Montrer qu une fonction n dmet ps de ite Pour montrer qu une fonction f n dmet ps de ite en, il suffit de trouver deux suites (u n ) et (v n ) de même ite telles que (f(u n )) et (f(v n )) possèdent des ites différentes. Exemple 2.1 L fonction x sin 1 x n dmet ps de ite en Limite et borne supérieure ou inférieure Dns l proposition suivnte I désigne un intervlle et Ī désigne l intervlle I ugmenté de ses bornes (y compris les bornes infinies). Pr exemple, si I =]0, + [, I = [0, + ] (intervlle de R). Proposition 2.1 Limite et borne supérieure/inférieure Soit f : I R. Soit Ī. Si f est mjorée pr M sur I et si f = M, lors sup I f = M. Si f est minorée pr m sur I et si f = m, lors inf I f = m. Exemple inf x R = 0 cr f est minorée pr 0 sur R et 1 + x2 x x 2 = Opértions sur les ites Les résultts sur l ite d une somme, d un produit, d un inverse et d un quotient sont les mêmes que pour les suites. Se reporter à ce chpitre. Proposition 2.2 Composition de ites Soient f une fonction définie u voisinge de R et g une fonction définie u voisinge de b R. Soit enfin l R. Si f = b et si b g = l, lors g f = l. 4

5 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 2.4 Pssge à l ite Proposition 2.3 Pssge à l ite Soient f et g deux fonction définie u voisinge de R. Soit (l, l, m, M) R 4. (i) Si f = l et g = l et si f g u voisinge de, lors l l. (ii) Si f = l et f M u voisinge de, lors l M. (iii) Si f = l et f m u voisinge de, lors l m. 1 Attention! Ceci n est vlble qu vec des inéglités lrges. En effet, > 0 pour tout x > 0 et x 2 mis on n évidemment ps 0 > 0. x + 1 x 2 = 0 3 Théorèmes d existence de ite On retrouve les mêmes grnds théorèmes que pour les suites. Les résultts sur les suites extrites n ont ps d équivlent dns le cdre des ites de fonctions. Il est à noter que ces théorèmes découlent essentiellement de l existence d une reltion d ordre sur R. 3.1 Théorèmes d encdrement, de minortion et de mjortion Théorème 3.1 Théorèmes d encdrement, de minortion et de mjortion Soient R et l R. Soient f,g et h trois fonctions définies u voisinge de. Théorème des gendrmes/d encdrement : Si f = h = l et f g h u voisinge de, lors g dmet une ite en et celle-ci vut l. Théorème de minortion : Si f = + et f g u voisinge de, lors g dmet une ite en et celle-ci vut +. Théorème de mjortion : Si h = et g h u voisinge de, lors g dmet une ite en et celle-ci vut. Remrque. Il existe une version «méliorée» du théorème des gendrmes. Si f g h u voisinge de et si f h, lors f g h. Corollire 3.1 Soient f et ε deux fonctions définies u voisinge de R. Si f ε u voisinge de et si f = 0. ε = 0, lors Corollire 3.2 Soient f et ε deux fonctions définies u voisinge de R. Si f est bornée u voisinge de et si ε = 0, lors fε = 0. Exemple 3.1 x sin 1 x 0 x = 0. 5

6 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Corollire 3.3 Soient f et g deux fonctions définies u voisinge de R. Si f est minorée u voisinge de et si g = +, lors f + g = +. Si f est mjorée u voisinge de et si g =, lors f + g =. 3.2 Théorème de l ite monotone Dns le théorème suivnt I désigne un intervlle et o I désigne l intervlle I privé de ses bornes. Pr exemple, si I = [π, + [, o I =]π, + [. Théorème 3.2 Théorème de l ite monotone Soit f une fonction monotone sur un intervlle I. On pose m = inf I et M = sup I (vec éventuellement m = et M = + ). Si f est croissnte : (i) f dmet une ite finie à guche et à droite en tout point o I. De plus, f = sup ; I ],[ f = inf ; + I ],+ [ f f() f. + + (ii) f dmet une ite en m +. Si f est minorée sur I, cette ite est finie et vut inf I. f, sinon elle vut (iii) f dmet une ite en M. Si f est mjorée sur I, cette ite est finie et vut sup f, sinon elle vut +. Si f est décroissnte : (i) f dmet une ite finie à guche et à droite en tout point o I. De plus, f = inf f ; I ],[ f = sup f ; + I ],+ [ f f() f. + + (ii) f dmet une ite en m +. Si f est mjorée sur I, cette ite est finie et vut sup f, sinon elle vut +. (iii) f dmet une ite en M. Si f est minorée sur I, cette ite est finie et vut inf f, sinon elle vut I. I I Exercice 3.1 Soit f : R R une fonction décroissnte telle que f(x) + f(x + 1) 1. Étudier l ite de f en Donner un équivlent de f u voisinge de +. 1 x. x + 6

7 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 4 Continuité ponctuelle 4.1 Définition Définition 4.1 Continuité en un point Soit f une fonction définie u voisinge de R et définie en. On dit que f est continue en si f dmet une ite finie en. Dns ce cs, f = f(). Donc f est continue en si : ε R +, α R +, x D f, x < α f(x) f() < ε Remrque. Cette définition peut ussi se formuler en termes de développement ité. Se reporter à ce chpitre. Remrque. A nouveu, on obtient une définition équivlente en remplçnt les inéglités strictes pr des inéglités lrges. Méthode Continuité en prtique Pour montrer qu une fonction f est continue en, il suffit de montrer que f(x) = f(). x x Exemple 4.1 L fonction f définie pr f(x) = e 1 x 2 si x 0 et f(0) = 0 est continue en Continuité à guche, à droite Définition 4.2 Continuité à droite, à guche Soit f une fonction définie u voisinge de et définie en. On dit que f est continue à guche en si s restriction à D f ], ] est continue en i.e. si f = f(). On dit que f est continue à droite en si s restriction à D f [, + [ est continue en i.e. si + f = f(). Exemple 4.2 Soit n Z. L fonction prtie entière est continue à droite en n mis ps à guche. Proposition 4.1 Soit f une fonction définie u voisinge de et définie en. Alors f est continue en si et seulement si elle est continue à guche et à droite en. Méthode Continuité en prtique (bis) Pour montrer qu une fonction f est continue en, il suffit de montrer que f = + f = f(). 7

8 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Exemple 4.3 L fonction f définie pr f(x) = e 1 x si x > 0, f(x) = e 1 x si x > 0 et f(0) = 0 est continue en Prolongement pr continuité Définition 4.3 Prolongement pr continuité Soit f une fonction définie u voisinge de mis non définie en. On dit que f est prolongeble pr continuité en si f dmet une ite finie en. Le prolongement f de f obtenu en posnt f() = f est lors continu en. C est l unique prolongement continu de f en. Exemple 4.4 On peut prolonger l fonction f : x sin x x définie sur R pr continuité en 0 en posnt f(0) = 1. On peut prolonger l fonction f : x e 1 x définie sur R + pr continuité en 0 en posnt f(0) = 0. Pr contre, l même fonction définie sur R n est ps prolongeble pr continuité en Crctéristion séquentielle de l continuité Théorème 4.1 Crctéristion séquentielle de l continuité Soit f une fonction définie u voisinge de R et définie en. Les propositions suivntes sont équivlentes : (i) f est continue en. (ii) Pour toute suite (u n ) à vleurs dns D f de ite, (f(u n )) pour ite f(). Exemple 4.5 R R{ L fonction indictrice de Q x si 1 Q x 0 sinon n est continue en ucun point. Exemple 4.6 R R{ L fonction x si x Q x 0 sinon est continue en 0 mis nulle prt illeurs. Remrque. Cet exemple illustre le fit qu une fonction continue en un point n est ps forcément continue u voisinge de ce point. Exercice 4.1 Montrer que les endomorphismes de groupe de (R, +) continus sont les homothéties i.e. les pplictions x λx vec λ R. 8

9 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 4.5 Opértion sur les fonctions continues en un point L somme et le produit de deux fonctions continues en un point sont continus en ce point. L inverse d une fonction continue en un point non nulle en ce point est continu en ce point. On en déduit le résultt sur un quotient de fonctions continues en un point. On les mêmes résultts pour l continuité à guche et à droite. Proposition 4.2 Continuité ponctuelle et composition Soit f une fonction définie u voisinge de et continue en. Soit g une fonction définie u voisinge de f() et continue en f(). Alors g f est continue en. 5 Continuité sur un intervlle 5.1 Définition Dns ce prgrphe, I désigne un intervlle. Définition 5.1 Continuité sur un intervlle Soit f : I R. On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. On note C(I, R) ou C 0 (I, R) l ensemble des fonctions continues sur I à vleurs dns R. 5.2 Opértions sur les fonctions continues sur un intervlle L somme et le produit de deux fonctions continues sur I sont continus sur I. L inverse d une fonction continue sur I et ne s nnulnt ps sur I est continue sur I. On en déduit le résultt sur un quotient de fonctions continues sur I. Remrque. On en déduit que C 0 (I, R) est un R-espce vectoriel. Proposition 5.1 Continuité sur un intervlle et composition Soit f : I R et g : J R. On suppose f(i) J. Si f est continue sur I et g est continue sur J lors g f est continue sur I. Exemple 5.1 L fonction x î ln Ä äó x 2 + e 1 2 x est continue sur R. En effet, x 1 x est continue sur R à vleurs dns R et x e x est continue sur R donc x e 1 x est continue sur R ; x x 2 est continue sur R donc sur R ; pr somme x x 2 + e 1 x est continue sur R ; x 2 + e 1 x est continue sur R à vleurs dns R + et x ln x est continue sur R + donc x ln Ä ä x 2 + e 1 x est continue sur R ; enfin, x ln Ä ä x 2 + e 1 x est continue sur R à vleurs dns R et x x 2 est continue sur R donc x î ln Ä äó x 2 + e 1 2 x est continue sur R. 5.3 Théorèmes liés à l reltion d ordre sur R Les théorèmes suivnt sont intrinsèquement liés à l reltion d ordre sur R. 9

10 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Théorème 5.1 Théorème des vleurs intermédiires Soit f une fonction continue sur intervlle [, b]. Pour tout réel y compris entre f() et f(b), il existe x [, b] tel que y = f(x). Si de plus, f est strictement monotone sur [, b], ce réel x est unique. Remrque. Il est fcile de montrer que l on peut se rmener u cs où f() < 0 et f(b) > 0 et où l on cherche un zéro de f. On déjà vu comme illustrtion des suites djcentes comment déterminer deux suites djcentes tendnt vers un zéro d une fonction f sur un intervlle [, b] qund f() < 0 et f(b) > 0. On vit supposé l existence d un zéro de f en dmettnt le TVI. Mis nous vions ussi prouvé en fit l existence d un zéro de f. Le TVI étit déjà qusiment prouvé. Remrque. On une version du théorème des vleurs intermédiires vec des ites. Si f est continue sur ], b[ (vec et b éventuellement infinis) et si f dmet des ites (éventuellement infinies) l 1 et l 2 respectivement en + et b, lors pour tout réel y strictement compris entre l 1 et l 2, il existe un réel x ], b[ tel que y = f(x). A nouveu, si f est strictement monotone sur ], b[, lors ce réel x est unique. Exercice 5.1 Un cycliste prcourt 20km en une heure. Montrer qu il existe un intervlle de temps d une demie-heure pendnt lequel il prcourt exctement 10km. Remrque. Il existe un corollire utile du théorème des vleurs intermédiires à svoir qu une fonction continue sur un intervlle et ne s nnulnt ps sur cet intervlle est de signe constnt sur cet intervlle. Le fit que l on considère un intervlle est primordil : en effet, l fonction x 1 x est continue sur R, ne s nnule ps sur R mis n est évidemment ps de signe constnt sur R. On en fit une version plus «théorique» du TVI. Il fit intervenir l définition des intervlles de R pr convexité qui est ussi intrinséquement liée à l reltion d ordre. Rppel Intervlles de R On ppelle intervlle de R toute prtie I de R vérifint l propriété suivnte : (x, y) I 2, t R, x t y t I Corollire 5.1 Imge continue d un intervlle L imge d un intervlle pr une ppliction continue est un intervlle. Attention! L imge d un intervlle ouvert (resp. semi-ouvert) n est ps forcément un intervlle ouvert (resp. semi-ouvert). Pr exemple, l imge de l intervlle semi-ouvert [0, 2π[ pr l fonction sin est l intervlle fermé [ 1, 1]. Nous verrons cependnt que l imge d un intervlle fermé est un intervlle fermé. On est mintennt à même de prouver une version complète du théorème de l bijection monotone. 10

11 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Corollire 5.2 Théorème de l bijection monotone Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervlle I. Alors f rélise une bijection de I sur l intervlle J = f(i). De plus, si I = [, b], on si f est croissnte, f(i) = [f(), f(b)] ; si f est décroissnte, f(i) = [f(b), f()]. On des résultts nlogues si I est un intervlle ouvert ou semi ouvert ( et b pouvnt être égux respectivement à et + ) vec éventuellement des ites. Pr exemple, si f est une ppliction continue et strictement croissnte sur I =], b], f rélise une bijection de I sur f(i) =] f, f(b)]. + Remrque. Dns le cs d une ppliction continue et strictement monotone, l imge d un intervlle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert) est bien un intervlle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert). Mis, j insiste, si vous n vez ps l stricte monotonie, vous ne pouvez rien dire sur l intervlle imge (si ce n est que c est bien un intervlle). Exemple 5.2 L fonction cos est continue et strictement décroissnte sur [0, π]. Elle induit donc une bijection de [0, π] sur [ 1, 1] de bijection réciproque l fonction rccos : [ 1, 1] [0, π], qui est elle ussi continue et strictement décroissnte. Proposition 5.2 Continuité de l bijection réciproque Soit f une ppliction continue et strictement monotone sur un intervlle I. On sit que f induit une bijection réciproque de I sur J = f(i). L ppliction réciproque f 1 : J I est une bijection continue et strictement monotone sur J de même sens de vrition que f. Remrque. L nottion f 1 est busive. En effet, f n est ps bijective ; elle induit une bijection de I sur f(i). Dns le théorème de l bijection monotone, on utilise le fit qusi-évident qu une fonction strictement monotone est injective, qu elle soit continue ou non. On en fit une réciproque qui peut servir de temps à utre. Proposition 5.3 Soit une fonction continue et injective sur un intervlle I. Alors f est strictement monotone sur I. 5.4 Théorèmes liés à l compcité Définition 5.2 Segment On ppelle segment de R tout intervlle non vide, fermé et borné i.e. tout intervlle du type [, b] vec (, b) R 2 et b. Théorème 5.2 Théorème des bornes tteintes Toute ppliction continue sur un segment est bornée et tteint ses bornes. Attention! Il est essentiel que l intervlle considéré soit un segment. Pr exemple, x 1 x est continue et minorée sur R + mis elle n y tteint ps s borne inférieure, à svoir 0. De même, cos est continue sur ]0, π[ mis elle n tteint ni s borne inférieur i.e. 1, ni s borne supérieure i.e. 1 sur cet intervlle. 11

12 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot On là ussi une version plus «théorique» de ce résultt. On sit déjà que l imge d un intervlle est un intervlle. Le résultt suivnt précise les choses qund l intervlle est un segment. Théorème 5.3 Imge continue d un segment L imge d un segment pr une ppliction continue est un segment. Exercice 5.2 Soit f continue sur R telle que f(x) + et f(x) +. Montrer que f est minorée et tteint s borne x + x inférieure. 6 Continuité uniforme 6.1 Définition Définition 6.1 Continuité uniforme Soit f : I R une ppliction. On dit que f est uniformément continue sur I si ε R +, α R +, (x, y) I 2, x y < α f(x) f(y) < ε Remrque. L définition de l continuité uniforme sur I ressemble à s y méprendre à l continuité simple sur I. Dire que f est continue sur I veut dire que f est continue en tout point y de I, c est-à-dire formellement : y I, ε > 0, α > 0, x I, x y < α f(x) f(y) < ε L plce du y I n est ps l même dns l définition de l continuité sur I et dns l définition de l continuité uniforme sur I et cel fit toute l différence. Dns l continuité simple, le α dépend de y et de ε. Dns l continuité uniforme, le α ne dépend que de ε : si ε est fixé, le α correspondnt est vlble pour tout y I, d où le terme «uniforme». Remrque. On obtient une définition équivlente en remplçnt les inéglités strictes pr des inéglités lrges. Proposition 6.1 Continuité uniforme implique continuité simple Une ppliction uniformément continue sur I est continue sur I. Attention! L réciproque est fusse. L fonction x x 2 est continue sur R mis n est ps uniformément continue sur R. On nénmoins une réciproque si I est un segment. Théorème 6.1 Théorème de Heine Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment. Remrque. Ce théorème essentiel, ssez peu utilisé en première nnée, trouver de nombreuses pplictions en deuxième nnée. Exercice 6.1 Montrer qu une ppliction continue sur R et périodique est uniformément continue sur R. 12

13 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot 6.2 Fonctions lipschitziennes Les fonctions uniformément continues pr excellence sont les fonctions lipschitziennes. Définition 6.2 Fonction lipschitzienne Soient f : I R une ppliction et K R +. On dit que f est lipschitzienne de rpport K ou plus simplement K-lipschitzienne si : (x, y) I 2, f(x) f(y) K x y Une ppliction est dite lipschitzienne sur I si elle est K-lipschitzienne pour un certin K R +. Exemple 6.1 Toute fonction ffine est lipschitzienne. Proposition 6.2 Lipschitz implique uniforme continuité Soit f : I R une ppliction. Si f est lipschitzienne sur I lors f est uniformément continue sur I. Attention! Une nouvelle fois l réciproque est fusse. En effet, x x est uniformément continue sur R + mis n est ps lipschitzienne sur R +. 7 Limite et continuité des fonctions à vleurs complexes On prle dns ce chpitre de fonctions de R dns C et non de fonctions de C dns C. Les seules différences vec le cs réel viennent du fit qu il n y plus de reltion d ordre sur C. 7.1 Limite d une fonction à vleurs complexes Définition 7.1 Fonction bornée Soit f : I C une ppliction. On dit que f est bornée (sur I), s il existe K R + tel que x I, f(x) K Définition 7.2 Limite d une fonction à vleurs complexes Soit f : I C une fonction définie u voisinge de R. Soit l C. On dit que f dmet pour ite l en si f(x) l = 0. On note lors f = l ou f(x) = l. x x Exemple 7.1 x + e ix 1 + x 2 = 0. Attention! Une fonction à vleurs complexes ne tend jmis vers ±. Les nottions + et n ont plus ucun sens dns C. Au mieux, on peut dire que le module d une fonction à vleurs dns C tend vers +. En effet, si f est une fonction à vleurs dns C, f est une fonction à vleurs dns R (et même dns R + ). Nénmoins le point en lequel on considère l ite peut très bien être égl à±. 13

14 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Une fonction à vleurs complexes dmettnt une ite en un point est encore bornée u voisinge de ce point. L crctéristion séquentielle de l ite est encore vlble. Proposition 7.1 Soit f : I C une fonction définie u voisinge de R. Soit l C. f = l f = l Corollire 7.1 Soit f : I C une fonction définie u voisinge de R. Soit l C. Les propositions suivntes sont équivlentes : (i) f = l ; (ii) Re(f) = Re(l) et Im(f) = Im(l). Exemple 7.2 ln x + ix x x 2 = 0. Les opértions lgébriques sur les ites sont identiques dns le cs complexe à prt celles fisnt intervenir des ites égles à ± (encore une fois, ces symboles n ont ucun sens dns C). Les théorèmes de pssge à l ite et d existence de ite vus dns ce chpitre n ont plus de sens dns le cs complexe vu qu ils font intervenir l reltion d ordre. 7.2 Continuité d une fonction à vleurs complexes Les définitions vus dns ce chpitre restent les mêmes dns le cs complexe notmment l définition de l continuité en un point. L seule différence est que. désigne le module est non l vleur bsolue. Définition 7.3 Continuité d une fonction à vleurs complexes Soit f : I C une fonction définie u voisinge de R et définie en. On dit que f est continue en si f dmet une ite en. Dns ce cs, f = f(). Donc f est continue en si : ε R +, α R +, x D f, x < α f(x) f() < ε Remrque. A nouveu, on obtient une définition équivlente en remplçnt les inéglités strictes pr des inéglités lrges. L ensemble des fonctions à vleurs complexes continues sur un intervlle I se note C 0 (I, C) ou C(I, C). L crctéristion séquentielle de l continuité est encore vlble. Proposition 7.2 Soient f : I C et I. (i) f est continue en si et seulement si f est continue en. (ii) f est continue sur I si et seulement si f est continue sur I. 14

15 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Corollire 7.2 Soient f : I C et I. Les propositions suivntes sont équivlentes : (i) f est continue en ; (ii) Re(f) et Im(f) sont continues en. De même, les ssertions : (i) f est continue sur I ; (ii) Re(f) et Im(f) sont continues sur I. Les opértions lgébriques sur les fonctions continues sont identiques dns le cs complexe. Les théorèmes liés à l continuité sur un intervlle n ont plus de sens cr l imge d un intervlle de R n est ps un intervlle de C. Qu est-ce un intervlle de C d illeurs? On peut nénmoins ffirmer conserver le résultt ffirmnt qu une fonction sur un segment est bornée. Proposition 7.3 Toute fonction à vleurs complexes continue sur un segment est bornée. Remrque. On peut même préciser qu une telle fonction «tteint s borne». En effet, si f est continue sur un segment [, b], f est églement continue sur ce segment et à vleurs réelles. En notnt M = sup [,b] f, le théorème de continuité sur un segment ppliqué ux fonctions à vleurs réelles grntit qu il existe c [, b] tel que f(c) = M. 15

11 Fonctions numériques - continuité

11 Fonctions numériques - continuité 11 Fonctions numériques - continuité 11.1 Ensemble des fonctions à vleurs réelles 11.1.1 Fonctions numériques Soit E un ensemble non vide. On note E l ensemble des pplictions de E dns. On définit les opértions

Plus en détail

Limite d une fonction à l infini

Limite d une fonction à l infini CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L

Plus en détail

Etude de suites récurrentes

Etude de suites récurrentes [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Enoncés Etude de suites récurrentes Exercice [ 0304 ] [Correction] u 0 = R et n N, + = u n ) Justifier que l suite ( ) est bien définie et n N, [ ; ] b)

Plus en détail

Théorème de la bijection : exemples de rédaction

Théorème de la bijection : exemples de rédaction ECE-B 5-6 Théorème de l bijection : eemples de rédction Le but de cette fiche est de fire un point sur le théorème de l bijection. Après un retour sur l énoncé et s démonstrtion, on illustrer l utilistion

Plus en détail

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

PRIMITIVES ET INTÉGRALES Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot PRIMITIVES ET INTÉGRALES Les fonctions de ce chpitre sont des fonctions d une vrible réelle à vleurs réelles ou complexes. Primitives. Définition Définition. Primitive

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I..

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. TS-cours-chp2-1 - LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. Limite d une suite 1 / tend vers l infini Définition ( rppel ) Dire que l suite tend vers + signifie que, pour tout nombre A, l intervlle [A ; +

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides.

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides. Prties connexes de R et fonctions continues PARTIES CONNEXES DE R ET FONCTIONS CONTINUES Prties connexes de R crctéristion Prtie connexe de R On dit qu'une prtie D de est connexe si D n'dmet ps de prtition

Plus en détail

Primitives et Calcul d une intégrale

Primitives et Calcul d une intégrale Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à

Plus en détail

Rappels. CH 2 Analyse : Continuité et limites. 4 ème Maths. Continuité et limite en réel. Activités pages 6 et 7. Opérations sur les limites :

Rappels. CH 2 Analyse : Continuité et limites. 4 ème Maths. Continuité et limite en réel. Activités pages 6 et 7. Opérations sur les limites : 4 ème Mths CH Anlyse : Continuité et ites Octobre 9 A. LAATAOUI Rppels Continuité et ite en réel Activités pges 6 et 7 Opértions sur les ites : Limite d une somme Si pour ite l l l + + Si g pour ite l

Plus en détail

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1 ntégrtion Licence de mthémtiques, 4 e semestre Université Ai-Mrseille J-Y. Briend Fscicule de résultts ntégrbilité, intégrle Définition.. Soit = [,b] un intervlle compct. Une subdivision pointée P de est

Plus en détail

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (2eme semestre)

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (2eme semestre) Université de Mrseille Licence de Mthémtiques, 1ere nnée, Anlyse (eme semestre) T. Gllouët pour les chpitres 1-5 et 7. A. Benbdllh pour le chpitre 6 My 3, 010 Tble des mtières 1 Limites 3 1.1 Définition

Plus en détail

Continuité des fonctions numériques d une variable réelle

Continuité des fonctions numériques d une variable réelle Mths PCSI Cours Continuité des fonctions numériques d une vrible réelle Tble des mtières Générlités 2. Du vocbulire............................................ 2.2 Monotonie...............................................

Plus en détail

CH 1 Analyse : Continuité et limites

CH 1 Analyse : Continuité et limites CH Anlyse : Continuité et ites 4 ème Sciences Septembre 9 A. LAATAOUI I. Rppels Notion de continuité : Grphiquement, on peut reconnître une onction continue sur un intervlle I pr le it que le trcé de l

Plus en détail

Espaces vectoriels normés ; espaces de Banach

Espaces vectoriels normés ; espaces de Banach Chpitre 7 Espces vectoriels normés ; espces de Bnch Un espce vectoriel normé complet est ppelé un espce de Bnch On note K pour R ou C 71 Exemples d espces vectoriels normés 711 Normes sur K n Sur K n,

Plus en détail

LIMITES D UNE FONCTION

LIMITES D UNE FONCTION Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI LIMITES D UNE FONCTION Les fonctions qu on étudie en nlyse sont souvent définies sur des intervlles, mis souvent ussi sur des réunions d intervlles comme ou[0,[ [,3].

Plus en détail

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES ET CONTINUITÉ LIMITES ET CONTINUITÉ Cours Terminle S Limite d une onction à l inini ) Limite inie en l inini Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite

Plus en détail

Intégration Primitives

Intégration Primitives Intégrtion Primitives Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2015/2016 Tble des mtières 1 Rppels et compléments 3 1.1 Rppels de dérivtion.......................................... 3 1.1.1 Dérivtion en un point......................................

Plus en détail

Corrigé du TD 3 : Limites

Corrigé du TD 3 : Limites Corrigé du TD 3 : Limites Eercice : Fonction réciproque. Cs f() = + L fonction f est définie sur R et à vleurs dns I = [,+ [. Elle est pire donc en prticulier pour tout réel, on f( ) = f() et en prticulier

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable e x 2 x dx 6) (**) +

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable e x 2 x dx 6) (**) + Eo7 Intégrtion Eercices de Jen-Louis Rouget. Retrouver ussi cette fiche sur www.mths-frnce.fr * très fcile ** fcile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournble Eercice

Plus en détail

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes...

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes... Lycée Pul Doumer 203-204 TS Cours Limites de Fonction Contents Limites d une fonction et symptotes. Limite en l infini....................................2 Limite en un réel..................................

Plus en détail

Chapitre 1 Suites de fonctions

Chapitre 1 Suites de fonctions Université de Bourgogne Déprtement de Mthémtiques Licence de Mthémtiques Résumé du cours Compléments d Anlyse Chpitre Suites de fonctions. Suites de nombres, suites de fonctions Dns tout ce chpitre, l

Plus en détail

Résumé 07 : Intégrales généralisées

Résumé 07 : Intégrales généralisées Résumé 07 : Intégrles générlisées Dns tout ce chpitre, K ser le corps R ou C 1 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 1 Convergence d une intégrle impropre Dns cette section, f ser ici indifféremment à vleurs dns R ou

Plus en détail

Résolution d équations numériques

Résolution d équations numériques Résolution d équtions numériques Dniel PERRIN On présente ici trois méthodes de résolution d équtions : les méthodes de Newton, d interpoltion linéire et, très rièvement, d justement linéire. Pour des

Plus en détail

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

Intégration des fonctions continues par morceaux

Intégration des fonctions continues par morceaux Chpitre 4 Intégrtion des fonctions continues pr morceu 4.1 Introduction Dns cette section, on fie < deu réels, on note I = [, ] et on considère f : I R une ppliction continue. On suppose en outre que f

Plus en détail

Comparaison des fonctions au voisinage d un point

Comparaison des fonctions au voisinage d un point DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un

Plus en détail

Chapitre 6 - Fonctions numériques - Généralités

Chapitre 6 - Fonctions numériques - Généralités PS hpitre 6 - Fonctions numériques - Générlités Fonctions d une vrile réelle à vleurs réelles. Définitions Une fonction à vleurs réelles est une ppliction de ou une prtie A de dns. On note f : A ; f ().

Plus en détail

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal Cours de Terminle S /Intégrtion E. Dostl Février 26 Tble des mtières 9 Intégrtion 2 9. Intégrles............................................. 2 9.. Aire sous une courbe...................................

Plus en détail

Chapitre 2 Limites et asymptotes

Chapitre 2 Limites et asymptotes Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x.

Plus en détail

Chapitre 6. Primitive et Intégrale. 6.1 Primitive Rappels

Chapitre 6. Primitive et Intégrale. 6.1 Primitive Rappels Chpitre 6 Primitive et Intégrle 6. Primitive 6.. Rppels Définition 6... Si f est une fonction définie sur un intervlle I, une primitive de f sur I est une fonction F telle que pour tout x dns I, F (x)

Plus en détail

Comparaison de fonctions, développements limités

Comparaison de fonctions, développements limités I Comprison de fonctions Définitions Comprison de fonctions, développements limités Négligeble Définition Soient f et g deu fonctions définies sur un même ensemble D et à vleurs dns R. Soit R tel que f

Plus en détail

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL. CHAPITRE : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.. Fonction népérien (logrithme d une fonction composée). Théorème Si u est une fonction strictement positive et dérivble sur un intervlle I ouvert,

Plus en détail

7. Applications du théorème des

7. Applications du théorème des 67 7. Applictions du théorème des résidus. Évlution d intégrles réelles impropres Une ppliction importnte de l théorie des résidus est l évlution de certins types d intégrles définies et d intégrles impropres

Plus en détail

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2 CALCUL INTEGRAL Ph DEPRESLE 9 juin 5 Tble des mtières Intégrle d une fonction continue et positive sur un segment Primitives d une fonction sur un intervlle. Primitives, définition...................................

Plus en détail

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications. LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge

Plus en détail

La continuité. I Introduction 1. II Notion de continuité 1 1 Définitions Graphique Exemples et contre exemple... 2

La continuité. I Introduction 1. II Notion de continuité 1 1 Définitions Graphique Exemples et contre exemple... 2 L continuité Tle des mtières I Introduction 1 II Notion de continuité 1 1 Définitions.................................................. 1 Grphique.................................................. 1 3

Plus en détail

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Fonctions intégrbles à vleurs complexes Dns ce prgrphe, est un intervlle de R, et K désigne R

Plus en détail

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples Cours de remise à niveu Mths 2ème nnée Intégrles simples C. Mugis-Rbusseu GMM Bureu 116 cthy.mugis@ins-toulouse.fr C. Mugis-Rbusseu (INSA) 1 / 47 Pln 1 Définitions 2 Propriétés des fonctions intégrbles

Plus en détail

I. Fonctions

I. Fonctions FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE 205 - PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Tble des mtières I. Fonctions - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4. Générlités sur les fonctions...................

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Ordre et valeur absolue

Cours de Mathématiques Seconde. Ordre et valeur absolue Cours de Mthémtiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 vril 2007 Document diffusé vi le site www.cmths.net de Gilles Costntini 2 1 frederic.demoulin (chez) voil.fr 2 gilles.costntini (chez)

Plus en détail

Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue INTEGRALE DE RIEMANN

Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue INTEGRALE DE RIEMANN Intégrle de Riemnn et Intégrle de Lebesgue Jen Gounon http://dm.ens.fr/culturemth Définitions INTEGRALE DE RIEMANN Dns tout le chpître, b et f est une fonction réelle bornée sur [,b] = I Définition. Un

Plus en détail

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)}

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)} Chpitre 6 Clcul intégrl Intégrle et ire. Intégrle d une fonction continue positive sur un intervlle [ ; ] Définition : L unité d ire Soit P un pln muni d un repère orthogonl (O ; ı, j ). Soient I, J, et

Plus en détail

Nous admettrons et utiliserons souvent le théorème suivant:

Nous admettrons et utiliserons souvent le théorème suivant: < 20 Intégrtion: fonction réelle d une vrile réelle. Définition 2.5. (Intégrilité u sens de Riemnn) Une fonction réelle f: [, ] R est dite intégrle sur [,], si ǫ > 0, f 1, f 2 : [, ] R fonctions en escliers

Plus en détail

, f(x) est l image de l élément x de E par f.

, f(x) est l image de l élément x de E par f. I- Rppels : I- 1 Déinition d une onction : Soient E et F deu intervlles de R ou une réunion d intervlles de R Déinition 1: Une onction ssocint un élément de l ensemble E (ensemble de déprt dns l ensemble

Plus en détail

Le Calcul de Primitives

Le Calcul de Primitives Le Clcul de Primitives MPSI Prytnée Ntionl Militire Pscl Delhye 25 octobre 27 ϕ(x) f(u) du = f(ϕ(t) )ϕ (t) }{{}}{{} u du Résultts préliminires Définition : Primitives Soit deux fonctions f et F définies

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue 29 Chpitre 2 Intégrle de Lebesgue 2.1 Rppels sur l intégrle de Riemnn Soit f bornée sur un intervlle [,b] fini de IR, et soit x 1,...,x n un ensemble fini de points de [,b] tels que = x 0 < x 1

Plus en détail

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2.

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2. MT9 P Médin - Corrigé Eercice. α et β sont deu prmètres réels tels que α >. On définit f) = α + + β. Ecrire le développement limité de f, à l ordre, en.. Utiliser l question précédente pour étudier l brnche

Plus en détail

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles.......................... I.B Formules de Tylor.......................... I.C Développements limités usuels.................... 4 I.D Eemples

Plus en détail

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann Chpitre Rppels et compléments sur l intégrle de Riemnn Commençons pr un rppel. Théorème.. (Théorème fondmentl du clcul intégrl) Soit f :[, b]! R une fonction continue. Pour tout x 2 [, b], posons F (x)

Plus en détail

Partie 1 - Calcul d une probabilité

Partie 1 - Calcul d une probabilité Essec mths 3 voie E 2014 1 Option économique Mthémtiques Essec 2014 (mths 3) vendredi 8 mi 2014 Ce problème est constitué de trois prties. Les résultts de l prtie 1 sont utilisés dns les prties 2 et 3.

Plus en détail

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions Chpitre 6 Suites et séries de fonctions Semine 1 : Etude des prgrphes 1 et 2. Fire les exercices d pprentissge 6.1 6.10. Semine 2 : Etude du prgrphe 3. Fire les exercices d pprofondissement 6.11 6.24.

Plus en détail

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005 THEOREMES D ANALYSE P. Pnsu 12 vril 2005 1 Vleurs intermédiires 1.1 Le théorème des vleurs intermédiires Théorème 1 Soit [, b] un intervlle fermé borné. Soit f : [, b] R une fonction continue. On suppose

Plus en détail

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre Résumé de cours sur les intégrles dépendnt d un prmètre On v considérer une fonction à deux vribles ' puis on étudier l existence, l continuité, dérivbilité,...de l fonction F dé nie pr x! F (x) = F est

Plus en détail

Cours de Terminale S Analyse. Éric ROUGIER

Cours de Terminale S Analyse. Éric ROUGIER Cours de Terminle S Anlyse Éric ROUGIER 13 vril 2015 2 Tble des mtières 1 Suites et récurrence 5 I - Le risonnement pr récurrence...................................... 6 1. Principe de récurrence.......................................

Plus en détail

Convergence dominée et conséquences.

Convergence dominée et conséquences. Chpitre 3 Convergence dominée et conséquences.. nterversion ite-intégrle............................................................2 / Le cs d une CU sur un segment..................................................

Plus en détail

DM1. Nombres complexes, homographies. u w = u w.

DM1. Nombres complexes, homographies. u w = u w. Université Pul Sbtier, Année 205-206 Licence LPS DM Nombres complexes, homogrphies. Dns ce problème, on considère le pln ffine euclidien P muni d un repère orthonormé (0, i, j). On identifier P vec l ensemble

Plus en détail

Partie A : un arc de cercle apparent

Partie A : un arc de cercle apparent Correction de CCP nnée TSI. On do, Mθ)) = Prtie A : un rc de cercle pprent cos θ) + sin θ) = donc Mθ) pprtient u cercle C.. ) Comme ], + [, on ], [. Comme Arccos rélise une bijection continue et strictement

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session Pondichéry (avril 2010) MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction. Série : S

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session Pondichéry (avril 2010) MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction. Série : S BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session Pondichéry vril ) MATHÉMATIQUES obligtoire) Correction Série : S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 EXERCICE PARTIE A Soient et b deux réels tels que < b. Soient

Plus en détail

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE ere S Dns tout le chpitre, le pln est muni d'un repère orthonorml ( O ; i! ;! j ) I. Rppels de Seconde Soit f une fonction définie

Plus en détail

Primitives Calcul intégral

Primitives Calcul intégral Primitives Clcul intégrl Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2009/200 Tble des mtières Primitives 2. Définition, premières propriétés..................................... 2.2 Primitives des fonctions usuelles....................................

Plus en détail

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications.

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications. LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité de l moyenne. Applictions. Pré-requis : Si f est une fonction numérique dérivble sur

Plus en détail

DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

DÉRIVATION ET CONTINUITÉ CHAPITE II DÉIVATIN ET CNTINUITÉ 1 Dérivtion 1.1 Nomre dérivé, tngente à une coure 6 5 A 2 M 2 (T) 1 M 1 1 1 1 2 5 6 7 8 9 10 Sur le grphique ci-dessus,c f est l coure d une fonctionfet psse pr le pointa(;).

Plus en détail

Dérivation. Accroissements finis

Dérivation. Accroissements finis 19 Cours - Dérivtion. Accroissements finis.nb 1/5 Dérivtion. Accroissements finis nombre dérivé, fonction dérivée, f ' HL, f ', dérivée n ième, f HnL, fonction de clsse C n (C 0, C ), formule de Leibniz,

Plus en détail

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions.

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions. Fiches de cours nlyse 4 ème Sciences epérimentles Limites et continuité Limites et comprison de fonctions. L et L ' sont des réels. désigne soit un réel, soit +, soit Premier théorème de comprison Soit

Plus en détail

Calcul intégral. Catherine Decayeux. Catherine Decayeux () Calcul intégral 1 / 23

Calcul intégral. Catherine Decayeux. Catherine Decayeux () Calcul intégral 1 / 23 Clcul intégrl Ctherine Decyeux Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 1 / 23 I-Introduction Le clcul intégrl s est développé u XVIIe siècle vec les trvux de Bonvntur Cvlieri, Isc Newton, Leibniz... mis les

Plus en détail

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1 31 3. Fonction de Dirc 1. Fonctions fortement piquées. fonction delt de Dirc 1.1. Exemple en électrosttique ρ n (x n = 8 n = 4 n = 2 n = 1-1/2 O 1/2 x Figure 1 Considérons, sur une droite, une suite de

Plus en détail

DOCUMENT 33. Fonctions convexes

DOCUMENT 33. Fonctions convexes DOCUMENT 33 Fonctions convexes 1. Préliminire : limites d une fonction monotone Dns l étude de l dérivbilité des fonctions convexes, les limites de fonctions monotones jouent un rôle essentiel. On sit

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Primitives et intégrles Je donne ici des éléments pour triter l exposé de CAPES 76 (liste 2007) : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité

Plus en détail

CONTINUITÉ 1 DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 1.1 DÉFINITIONS DE LA CONTINUITÉ

CONTINUITÉ 1 DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 1.1 DÉFINITIONS DE LA CONTINUITÉ Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI CONTINUITÉ Les fonctions qu on étudie en nlyse sont souvent définies sur des intervlles, mis souvent ussi sur des réunions d intervlles comme ou[0,1[ [,3]. Dns ce

Plus en détail

Ordre et comparaisons

Ordre et comparaisons Seconde 0 - Année 2004 2005 ORDRE ET COMPARAISONS Ordre et comprisons. ACTIVITÉ SUR L ORDRE.. nomres positifs et nomres négtifs. Les réels se représentent sur l droite réelle. Dire que x est positif(ou

Plus en détail

Une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée

Une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée Une preuve élémentire du théorème de convergence dominée Le but de ce texte, influencé pr l lecture de l rticle [2], est de proposer une preuve élémentire du théorème de convergence dominée, dns le cdre

Plus en détail

Analyse 2 - Résumé du Cours

Analyse 2 - Résumé du Cours UFR de Mthémtiques Université de Lille Licence sciences et technologies A - S MASS Anlyse - Résumé du Cours Tble des mtières Prtie I : Intégrtion. Introduction : Premières remrques sur les primitives et

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Analyse Intégrale

Feuille d exercices 2 : Analyse Intégrale Université Denis Diderot Pris 7 (3-4) TD Mths, Agro www.mth.jussieu.fr/ merle Mthieu Merle : merle@mth.univ-pris-diderot.fr Feuille d eercices : Anlyse Intégrle Eercice Trouver une primitive de f : rccos()

Plus en détail

Chapitre 19 Intégration sur un segment

Chapitre 19 Intégration sur un segment Chpitre 19 ntégrtion sur un segment Dns tout ce chpitre, suf mention contrire,, b désignent deux réels tels que < b et un intervlle de R contennt u moins deux points. - Construction de l'intégrle.1 - Continuité

Plus en détail

Remise en forme. Chapitre 1

Remise en forme. Chapitre 1 Chpitre 1 Remise en forme 1) Trigonométrie L fonction exponentielle est l réciproque de l fonction logrithme. Elle trnsforme une somme en un produit, lors que le logrithme trnsforme un produit en une somme

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. 1 + x n

FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. 1 + x n FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. I LA FONCTION EXPONENTIELLE Définition Il eiste une fonction f, dérivble sur IR, solution de l'éqution différentielle Y '= Y et telle que f(0) = que l'on

Plus en détail

Intégrales et primitives

Intégrales et primitives Chpitre 3 Intégrles et primitives 3.1 Définitions Soit f(x une fonction continue définie sur l intervlle [, ]. L intégrle de f sur l intervlle [, ] est un nomre réel noté qui est défini de l fçon suivnte

Plus en détail

Nombres rationnels. 1 Définition de Q. On définit, sur l ensemble Z Z, la relation binaire R de la façon suivante : (a, b)r(a, b ) ab = ba

Nombres rationnels. 1 Définition de Q. On définit, sur l ensemble Z Z, la relation binaire R de la façon suivante : (a, b)r(a, b ) ab = ba Nomres rtionnels Définition de Q On définit, sur l ensemle Z Z, l reltion inire R de l fçon suivnte : (, )R(, ) = Propriété. R est une reltion d équivlence. Démonstrtion : Réflexivité : Elle découle de

Plus en détail

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009 Intégrle de Riemnn L3 Mthémtiques Jen-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 009 version du 1 décembre 009 Tble des mtières 1 Intégrles des fonctions en esclier 1 1.1 Fonctions en

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Primitives et intégrles 19 mrs 14 Introduction Chercher une primitive et clculer une intégrle n est ps tout à fit l même chose. Une primitive d une fonction f, c est une fonction F qui, lorsqu on l dérive,

Plus en détail

Exercices - Capes première épreuve : corrigé

Exercices - Capes première épreuve : corrigé Avertissement : Ceci n est ps une correction in extenso du problème de cpes Il s git plutôt d une lecture personnelle des questions, vec des indictions, des idées de preuve, des mises en grde d erreurs

Plus en détail

Calculs de base (Rappels)

Calculs de base (Rappels) Chpitre I Clculs de bse (Rppels) I.1 Diviseurs et multiples I.1.1 Définitions On : 12=3 4. On dit que 3 et 4 sont des diviseurs de 12, ou que 12 est un multiple de 3 et de 4. DÉFINITION I.1.1 Soit et b

Plus en détail

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul Lycée Jules Fil, Crcssonne Clsse de 2 nde Chpitre 0 : Mise u point sur les nombres et le clcul D. Zncnro C. Aupérin 2009-2010 Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction

Plus en détail

Résumés de cours : Terminale S.

Résumés de cours : Terminale S. Résumés de cours : Terminle S. Mths-Terminle S. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponible sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tble des mtières Nombres complexes. 3. Prtie réelle

Plus en détail

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées.

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées. Agrégtion de Mthémtiques 2012-2013 CMI Université d Aix-Mrseille Résumé du cours d Intégrtion 1. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. Fonctions réglées. f : [, b] C est dite réglée si et seulement

Plus en détail

DM n o 17 : Intégration

DM n o 17 : Intégration Lycée Louis-Le-Grnd, Pris Pour le 14/05/2015 MPSI 4 Mthémtiques A. Troesch DM n o 17 : Intégrtion Correction du problème 1 Intégrle de Lebesgue Prtie I Intégrtion pr rpport à une mesure 1. Soit f = α k

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé Résumé du cours d nlyse de Sup et Spé 1 Topologie 1.1 Normes, normes équivlentes Une norme sur le K-espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x) 0 (positivité) x E, (N(x) = 0 x

Plus en détail

Variables aléatoires à densité

Variables aléatoires à densité Vribles létoires à densité Rppels : Une vrible létoire réelle (VAR) est une ppliction X : Ω R où (Ω,A,P) est un espce probbilisé. Lorsque X(Ω) est un ensemble discret on dit que X est une VAR discrète.

Plus en détail

Contenus Capacités attendues Commentaires. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées.

Contenus Capacités attendues Commentaires. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées. Chpitre 7 Intégrtion Contenus Cpcités ttendues Commentires Intégrtion Définition de l intégrle d une fonction continue et positive sur [;] comme ire sous l coure. Nottion f(x) dx. Théorème : si f est une

Plus en détail

Limite et continuité de fonctions réelles

Limite et continuité de fonctions réelles Limite et continuité de fonctions réelles Denis Vekemans Introduction : on désigne par "fonction réelle" tout fonction d une variable réelle à valeurs réelles. 1 Limite finie 1.1 Définitions 1.1.1 Définition

Plus en détail

Chapitre 1 Le Second Degré

Chapitre 1 Le Second Degré Cours de Mthémtiques Première STID Chpitre 1 : Le second degré Chpitre 1 Le Second Degré A) Résolution de l'éqution du second degré 1) Définitions On ppelle polynôme de second degré l expression x² x c

Plus en détail

Mathématiques. Analyse de Fourier D après des notes rédigées par B. Helffer et T. Ramond

Mathématiques. Analyse de Fourier D après des notes rédigées par B. Helffer et T. Ramond Mthémtiques Anlyse de Fourier D près des notes rédigées pr B. Helffer et T. Rmond Année 2007 2 Tble des mtières I Suites, Intégrles et Séries 1 1 Suites de nombres réels ou complexes 1 1.1 Générlités.........................................

Plus en détail

Analyse M1 ENSM. Ch. Menini

Analyse M1 ENSM. Ch. Menini Anlyse M1 ENSM Ch. Menini 10 jnvier 2013 2 Tble des mtières 1 Suites et séries numériques 5 1.1 Premiers résultts sur les suites numériques................................. 5 1.2 Suites monotones et conséquences.......................................

Plus en détail

LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS LIMITES DE FONCTIONS I Limites à 'infini Définition Soit f une fonction dont 'ensembe de définition contient un interve ] + [ et soit un nombre rée. Si tout interve ] - r + r[ (vec r > ) contient toutes

Plus en détail

LE CALCUL ALGEBRIQUE

LE CALCUL ALGEBRIQUE I. Clculs vec des frctions : ce fcteur : ) Rppels : LE CALCUL ALGEBRIQUE b = b = b = b Exemple : 3 x = x 3 = 3x ( b ) c = ( bc ) = bc Exemple : ( 3x ) 5 = 3 ( 5x ) = 15x 1 = 1 = b) Signe moins dns une

Plus en détail

( ). Dans tout ce paragraphe, f et g sont des fonctions continues et positives sur un intervalle a;b. C f

( ). Dans tout ce paragraphe, f et g sont des fonctions continues et positives sur un intervalle a;b. C f Chpitre 6 : Clcul intégrl I Intégrle d une fonction continue positive 1 Unité d'ire Le pln est muni d un repère orthogonl O;i!,! j!!" "!!! " " En posnt OI = i et OJ = j, l ire du rectngle OIKJ définit

Plus en détail

1. Notion d intégrale Interprétation graphique

1. Notion d intégrale Interprétation graphique Clcul intégrl TS 1. Notion d intégrle Interpréttion grphique Le pln étnt muni du repère orthogonl ( O,I, J ) l unité d ire ( u. ) est l ire du rectngle âti à prtir des points O, I, J. on ppelle domine

Plus en détail