b) Homothéties Définition : Soir u P On appelle translation de vecteur u l'application : t u P P telle que MM '= u. M M '

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1 Exposé 27 : homothétes et translatons ; transformaton vectorelle assocée. Invarants élémentares : effets sur les dstances, les drectons, l'algnement... Applcatons à l'acton sur les confguratons usuelles Pré requs : - Théorème de Thalès - Calcul vectorel - barycentre On se place dans l'espace affne P d'espace vectorel P.( dm 2 ou 3) 1) Translatons et homothétes a) Translatons Défnton : Sor u P On appelle translaton de vecteur u l'applcaton : t u P P telle que MM '= u. M M ' Théorème 1 : Soent u, v P 1. t v ot u est la translaton t v u 2. t u est bjectve et t 1 u =t u 1. M t u M ' t v M ' ' MM ' = u 2. t u o t u =t u u =t =d 0 M ' M ' ' = v, MM ' '= MM ' M ' M ' '= u v Corollare : L'ensemble des translatons mun de la lo de composton est un groupe commutatf. b) Homothétes Défnton : Sot Ω P et k R. On appelle homothéte de centre Ω et de rapport k l'applcaton h Ω,k : P P M M ' telle que Théorème 2 : Sot Ω P, k, k ' R 2 ΩM '=k. ΩM 1. h Ω,k o h Ω, k ' est l homothéte h Ω,kk '. 2. h Ω,k est bjectve d'nverse h Ω,k 1 =h Ω, 1 k Preuve 1. M h Ω,k ' M ' h Ω, k M ' ' ΩM '=k ΩM 2. h Ω,k ' o h 1=h 1=h Ω,1 =d Ω, Ω, k. k k ΩM ' '= ΩM ', ΩM ' '=kk ' ΩM

2 Remarque : Pour tout pont M P,Ω, M, h Ω,k, sont algnés. L'ensemble des homothétes ( de rapport non nul) de même centre mun de la lo de composton est un groupe commutatf. c) Transformatons vectorelles assocées. Défnton : Les homothétes de rapport non nul et les translatons forment l'ensemble D des dlatatons. Théorème : Une applcaton f : P P est une dlataton s et seulement s : k R, M, N P, M ' N '=k MN : 1. f est un translaton s et seulement s k=1 2. f est une homothéte k 1 Le réel k est appelé rapport de la dlataton. Dlataton = homothéte translaton. Preuve du th : => :. S f =h Ω, k : M, N P M ' N '= M ' Ω ΩN ' =k MΩ k ΩN =k MN. S f =t u : M, N P, M ' N ' = M ' M MN NN '= u MN u= MN <= :. S k=1, M, N P M ' N '= MN, donc MM '= NN ' on fxe N et alors f =t NN '. S k 1 Sot O P fxé M P O' M '=k OM f M =M O ' M =k OM k 1 OM = O ' O OM 1 OO k 1 ' k 1, f a un unque pont fxe Ω. Alors, M P ΩM ' =k ΩM et f =h Ω, k Corollare : (D,o) est un groupe non commutatf. Défnton : Sot f une dlataton de rapport k (k 0).L'applcaton P P u k u est l'homothéte vectorelle de rapport k et est appelée transformaton vectorelle assocé à f. Remarque : La transformaton vectorelle assocée à une translaton est l'dentté. Exercce : Etuder h Ω',k ' o h Ω, k Ω Ω' 2) Invarants élémentares et proprétés a) Proprétés des dlatatons

3 Proprétés : Une dlataton transforme : 1) Une drote en une drote parallèle. 2) Une segment en un segment parallèle. 3) Un plan en un plan parallèle. 1. S D=(AB) M AB R donc f(d)=(a'b') De plus, A ' B' =k AM = AB k AB A' M ' A ' B ' M ' A' B ' AB démontre que D f D 2. Idem avec [0,1] 3. S P= A, B, C A,B,C non algnés M A, B, C, R 2, AM = AB AC, R 2, k AM =k AB k AC, R 2, A ' M '= A' B ' A' C ' M ' A ', B ',C ' de plus, A ' B' =k AB et A ' C '=k AC donc A',B',C' non algnés donc (A',B',C') est un plan // à (A,B,C) Proprété : Une dlataton conserve : 1. les barycentres 2. Les rapports de longueurs 3. les angles orentés (n=2), les angles géométrques (n=3) 1. GA = 0 k GA = 0 G ' A' = 0 2. Conséquence de M ' N '=k MN u. v 3. Angles orentés : s u, v cos = u v = k 2 u. v k 2 u v det u, v sn = u v = k2 det u, v = k u, k v k 2 u v angle géométrque : s u, v =,..., = k u, k v Proprété : Une dlataton de rapport k transforme : 1. La sphère S(O,r) en S'(O', r k ) ( r>0, n=3) 2. Le cercle C(O,r) en C'(O', r k ) dans le plan contenant O' et parallèle à celu de C. 3. Un cube en un cube 4. Un carré K en un carré d'un plan parallèle à celu de K 1. S(O,r) = {M P /OM =r } M S O, r OM =r k OM = k r O ' M ' = k r M ' S O ', r k 2. C O, r f C ' O ', r k + plan en plan // 3. Tout cube peut-être décrt à partr d'un pont, de relaton angulare et d' égalté vectorelles

4 4. dem + plan f plan // Proprétés : Une dlataton de rapport k multple : 1. les longueurs par k. 2. les ares par k² 3. les volumes par k ³ 1. A ' B' =k AB A' B '= k AB 2. A= h z dz A '= k h z. k dz=k 2 h z dz=k 2 A A= A z dz 3. A '= k 2 A z. k dz= k 3 A z dz on peut auss consdérer que la mesure du volume est donné par dx.dy.dz et que par homothéte on trouve k dx. k dy. k dz = k ³dx.dy.dz dem pour l'are. b) Ensembles des nvarants Sot Ω P, k R, k 1, u P, u 0 ponts fxes drotes nvarantes plans nvarants h Ω,k Ω drotes passant par Ω plan passant par Ω t u aucun drotes drgés par u plan drgé par u évdent, en écrvant les drotes par un pont et un vecteur drecteur, et dem pour les plans. c) Théorème Théorème : Etant donnés deux segments [AB] et [A'B'] parallèles du plan l exste une unque dlataton qu transforme A en A' et B en B'.

5 S AB= A ' B' alors on a AA '= BB ' donc la dlataton est la translaton de vecteur AA '.(ca ne peut etre une homothéte n une translaton d'un autre vecteur) Snon on a (AA') et (BB') qu ne sont pas parallèles et donc elles se crosent, nommons O cette ntersecton. OA' par Thalès on a : OA = OB' =k donc l'homothéte de centre O et de rapport k OB transforme A en A' et B en B'. (ca ne peut être une translaton, et le centre est forcément O par défnton,et le rapport auss, l y a donc uncté ) 3) Applcatons aux confguratons usuelles Exercce n 1 Montrer que les dlatatons conservent les mleux. Exercce n 2 Sot un trangle ABC non aplat et 3 ponts M,N,P appartenant aux drotes (AB),(AC),(BC) et dstnct des sommets du trangle ABC. Montrer l'équvalence : M, N, P algnés PB PC. MA MB. NC NA =1 Exercce 3 Théorème de Désargues. Sot A,B,C et A',B',C' deux trangles avec A A',B B',C C'. Alors ABC et A'B'C' se dédusent l'un de l'autre par une homothéte-translaton s et seuelemtn s leur côtés sont deux à deux parrallèles. Résoluton Exo2 : <= h M homothéte de centre M transformant B en A h N homothéte de centre N transformant A en C h P homothéte de centre P transformant C en B f = h M o h N o h P.est une dlataton ( théo 3) qu lasse nvarant le pont B. S f est une homothéte alors son centre est B et on obtent une absurdté car le centre de l'homothéte composée d'homothéte de centre M,N,P algnés appartent à la drote (M,N,P) (drotes nvarantes)donc f est une translaton lassant B nvarant, c'est l'dentté. La rapport PB de f est égal à PC. MA MB. NC donc vaut 1. NA => f est mantenant une dlataton de rapport 1, e une translaton. Comme B=f(B), f=d et donc h M o h N = h -1 P ce qu entrane M,N,P algnés car centres des homothétes algnés Résoluton ex3: => évdent conservaton des drotes parallèles... <=... Savor construre une homothéte composé avec un translaton ( trouver le centre et le rapport)

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