Exercices - Transformation de Fourier : corrigé. Fonctions intégrables

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1 Foncions inégrables Exercice 1 - Foncion riangle - Troisième année - Sans déailler les calculs, e en faisan noammen une inégraion par paries, on a : De même, on rouve 1 1 (1 + x)e 2iπξx dx = i 2πξ + 1 4π 2 ξ 2 e2iπξ 4π 2 ξ 2. (1 x)e 2iπξx dx = i 2πξ + 1 4π 2 ξ 2 e 2iπξ 4π 2 ξ 2. On en dédui : ˆf(ξ) = sin2 (πξ) π 2 ξ 2. Exercice 2 - Calcul d une ransformée de Fourier par résoluion d une équaion différenielle - L3/Mah Spé - On remarque d abord que f es bien définie pour ou x. En effe, on a e e ix e. Cee foncion es inégrable sur [, + [, car en elle es équivalene à 1 qui es inégrable (inégrale de iemann), e, au voisinage de +, elle vérifie e 1 2. Prouvons égalemen que f es de classe C 1. Pour cela, on remarque que la foncion g : (x, ) e e ix adme en ou poin de ], + [ une dérivée parielle par rappor à x égale à De plus, on a, pour ou x, g x (x, ) = i e e ix. g (x, ) x e e la foncion apparaissan à droie dans l inégalié précédene es inégrable sur ], + [ (elle es coninue en, e au voisinage de +, elle es négligeable devan 1/ 2 ). On en dédui par le héorème de dérivaion des inégrales à paramères que f es dérivable, avec f (x) = i e e ix. hp:// 1

2 On exprime le membre de droie de cee égalié en foncion de f grâce à une inégraion par paries, en posan v() = e u() = 1 ix 1 e(ix 1). Puisque u()v() = e lim + u()v() =, on en dédui f (x) = = = i e e ix d 2(ix 1) i( ix 1) 2(x 2 + 1) f(x) x + i 2(x 2 + 1) f(x). Il ne rese plus qu à résoudre cee équaion différenielle. On l écri sous la forme f f = x 2(x 2 + 1) + i 2(x 2 + 1) ce qui donne ln f = 1 4 ln(x2 + 1) + i arcan(x) + K. 2 On en dédui qu il exise une consane C elle que ( ) i f(x) = C(x 2 + 1) 1/4 exp 2 arcan x. On déermine la valeur de la consane C en calculan f() = C. On a par ailleurs f() = e d = 2 e u2 du en effecuan le changemen de variables = u 2. Uilisan le rappel, on rouve que C = π. Exercice 3 - Semi-groupe de Poisson - Troisième année - 1. On a : ˆf(ξ) = = e ( α 2iπξ)x dx + e (α 2iπξ)x dx 1 α + 2iπξ + 1 α 2iπξ = 2α α 2 + 4π 2 ξ Pour α = 2π, ˆf(ξ) 1 = π(1+x 2 ). Cee foncion éan dans L1, sa ransformée de Fourier es f( x). La ransformée de Fourier de x 1 es donc x π e 1+x 2π x On commence par calculer le produi de convoluion. On a : f f(x) = e α( x y + y ) dy = e α( x y y) + e α( x y +y) dy. hp:// 2

3 Si x >, on a : f f(x) = = e αx 2α ( = e αx x + 1 α x e α(x 2y) dy + e αx dy + e α(2y x) dy x + xe αx αx e 2αx + e 2α ). La foncion f éan paire, f f l es aussi, e on a donc f f(x) = e α x ( x + 1/α). Mainenan, la ransformée de Fourier de cee foncion, pour α = 2π es x π2, (1+x 2 ) 2 puisque la ransformée de Fourier ransforme le produi de convoluion de deux foncions en produi usuel. On applique une fois encore la formule d inversion de la ransformée de Fourier (ce qui es légiime puisque oues les foncions son inégrables). La ransformée de Fourier de x 1 (1+x 2 ) 2 es la foncion x e 2π x ( x + 1/2π) π emarquons que la dérivée de la foncion x 1 es x 2x. En uilisan les 1+x 2 (1+x 2 ) 2 formules habiuelles sur l influence de la dérivaion sur le produi de convoluion, on en dédui : ( ) x F (1 + x 2 ) 2 (ξ) = 1 ( ( )) d 1 2 F dx 1 + x 2 (ξ) = 1 2 2iπξF ( x 2 ) (ξ) = iπ 2 ξe 2π ξ. Exercice 4 - égularié - Troisième année - Prouvons d abord que ˆf L 1 (). Puisque ˆf es coninue, ˆf es bornée sur [ 1, 1] ce qui jusifie la convergence de 1 1 ˆf(ξ) dξ. D aure par, si ξ 1, on a ˆf(ξ) ξ ˆf(ξ), ce qui prouve la convergence de 1 ˆf(ξ) dξ ainsi que celle de 1 ˆf(ξ) dξ. Mainenan, d après la formule d inversion de la ransformée de Fourier, f es égale presque parou à la foncion g(x) = ˆf(ξ)e 2iπξx dξ. Mais il es clair que cee foncion g es de classe C 1 (ou bien parce qu il s agi de la ransformée de Fourier conjuguée d une foncion h el que x xh(x) es inégrable, ou bien en dérivan direcemen sous le signe inégrale). Exercice Troisième année - On noe A l espace vecoriel engendré par les ranslaées (τ x f), e B son image dans C ( n ) par la ransformée de Fourier. Soi g B, alors, l effe de la ransformée de Fourier sur une ranslaion enraine l exisence d un enier p, de complexes λ 1,..., λ p e de réels x 1,..., x p els que g() = λ 1 e ix 1 F(f)()+ +λ p e ixp F(f)(). En pariculier, g s annule en x, e ainsi B n es pas dense dans C ( n ). Si A éai dense dans L 1 ( n ), alors F(A) serai dense dans F(L 1 ( n )), e donc (par ransiivié) dense dans C ( n ). Exercice 6 - Non-surjecivié de la ransformée de Fourier - Troisième année - hp:// 3

4 1. On découpe l inégrale en 2, e on fai le changemen de variables u = dans la première inégrale : ˆf(x) = = = 2i f()e i2πx d + f()e 2iπx d + f() sin(2πx)d. f()e i2πx d f()e i2πx d 2. D abord, la foncion u sin u u es coninue sur [, + [, une fois prolongée par 1 en. D aure par, il es bien connu que, si la foncion u sin u u n es pas inégrable, l inégrale X sin u du adme une limie quand X +. Il suffi pour cela de faire une inégraion 1 u par paries : X [ ] sin u cos u X X 1 u du = cos u u 1 1 u 2 du, la première quanié admean une limie si X end vers +, andis que la foncion u cos u es inégrable sur [1, + [. Ceci jusifie donc que la foncion φ es définie. u 2 D aure par, elle es coninue sur [, + [, car : x+h φ(x + h) φ(x) = x sin u u du, e ceci end vers si h end vers. Enfin, φ adme pour limie en + : on en dédui qu elle es bornée sur [, + [. 3. On a : 1 ˆf() d = ( 1 ) 2i f(x) sin(2πx)d dx. emarquons que h(, x) = 2i f(x) sin(2πx) es dans L 1 ([1, ] [, + [) : on a en effe h(, x) 2 f(x), e la foncion majorane es clairemen inégrable sur [1, ] [, + [. Uilisan le héorème de Fubini, on en dédui : ( ˆf() + ) sin 2πx d = 2if(x) d dx 1 1 ( + ) 2πx sin u = 2if(x) u du dx. ( ) Or, f(x) 2πx sin u 2πx u du f(x)φ(2πx) si +. D aure par, on a : 2πx 2πx 2πx sin u du = φ(2πx) φ(2πx). u hp:// 4

5 Comme la foncion φ es bornée sur, on obien : ( ) 2πx f(x) sin u u du 2 φ f(x). 2πx On peu donc appliquer le héorème de convergence dominée e on obien : 4. (a) C es quasi-éviden! lim + 1 ˆf() d = 2i f(x)φ(2πx)dx. (b) emarquons que g es impaire. On noe h(x) = f( x). La ransformée de Fourier de h vérifie : ĥ(ξ) = f( x)e 2πiξx dx = f(x)e 2πiξx dx = g( ξ) = g(ξ) = ˆf(ξ). Par injecivié de la ransformée de Fourier, on en dédui que f(x) = f( x) pour presque ou x. (c) Au voisinage de +, on a : g() π 4 ln(), e il es bien connu que cee dernière foncion n es pas inégrable (cas d une inégrale de Berrand divergene). Si g éai la ransformée de Fourier d une foncion inégrable, par les quesions précédenes, l inégrale g() 1 d convergerai. Ce n es pas le cas : la ransformaion de Fourier n es pas une surjecion de L 1 () sur C (). Exercice 7 - Transformée de Fourier e produi de convoluion - Troisième année - 1. Puisque f e g son dans L 1 (), e que la ransformée de Fourier ransforme le produi de convoluion en produi de foncions, on a ξ, ˆf(ξ)ĝ(ξ) = ˆf(ξ). Puisque ceci es vrai pour oue foncion de L 1 (), e qu il exise des foncions f de L 1 () elles que pour ou ξ, ˆf(ξ), on a ĝ(ξ) = 1 pour ou ξ. Mainenan, on sai que la ransformée de Fourier d une foncion de L 1 () end vers à l infini, il n y a aucune foncion g elle que ĝ(ξ) = 1 pour ou ξ. 2. On compose une fois encore par la ransformée de Fourier. On a : ξ, ˆf 2 (ξ) = ˆf(ξ) ˆf(ξ)(1 ˆf(ξ)) =. On en dédui que pour ou ξ, ˆf(ξ) = ou 1, mais comme ˆf es coninue, on a forcémen ˆf(ξ) = 1 pour ou ξ ou ˆf(ξ) = pour ou ξ. Comme auparavan, le cas ideniquemen égal à 1 es impossible, e donc ˆf(ξ) = pour ou ξ. Par injecivié de la ransformée de Fourier, on en dédui que f = presque parou. hp:// 5

6 Exercice 8 - Semi-groupe de la chaleur - Troisième année - On sai que si f a (x) = e a x 2, alors on a ˆf a (x) = ( ) π n/2 a e π2 a x 2. Il suffi mainenan d observer que q (x) = 1 4π f 1/4 (x). Il vien : D aure par, on a : ˆq (x) = 1 4π 4πe 4π 2 x = e 4π2 x 2. F(q q s )(x) = ˆq ˆq s (x) = e 4π2 (s+)x 2 = F (q s+ ) (x). Par injecivié de la ransformée de Fourier, on en dédui que q q s = q s+. Exercice 9 - Une équaion inégrale - Troisième année - 1. En posan f(x) = e x, il es clair que cee équaion peu aussi s écrire u = f + βu f. 2. On suppose qu il exise une soluion u inégrable. En appliquan la ransformée de Fourier, on vérifie que û vérifie : û = ˆf 1 β ˆf = 2 (1 2β) + 4π 2 ξ 2, où on a uilisé le fai que ˆf(ξ) 2 =. Dans le cas où β 1/2, ceci défini une foncion 1+4π 2 ξ 2 qui n es pas coninue sur puisqu elle n es même pas définie en un poin. L équaion n adme donc pas de soluion. Si β < 1/2, l injecivié de la ransformée de Fourier fai qu il n exise qu une seule soluion, qu on déermine en inversan la formule précédene. On rouve : 1 u(x) = e 1 2β x. 1 2β Exercice 1 - Equaion de la chaleur - Troisième année - 1. (a) D abord, on a ( ) u F x (, x) = e 2iπξx dξ u (, ξ)dξ. De la majoraion u (, ξ) g(ξ), on dédui que l on peu permuer les symboles d inégraion e de dérivaion, e finalemen on a : ( ) u F x (, x) = F x(u) (, x). son inégrables, on a aussi, par une double inégra- D aure par, puisque 2 u x 2 ion par paries : e u x F x ( 2 u x 2 ) (, x) = (2iπx) 2 F x u(, x). (b) Le fai d appliquer la ransformée de Fourier sur l équaion iniiale donne, pour x fixé : v () + 4π 2 x 2 v() =. hp:// 6

7 (c) On résoud cee quesion pour ou x fixé. On rouve : û(, x) = h(x)e 4π2 x 2. Mais u(, x) = u (x) e donc on en dédui û(, x) = û (x), ce qui donne : (d) emarquons que l on a : û(, x) = û (x)e 4π2 x 2. û(, x) = F (u φ ), où φ es la foncion donnée par l énoncé. Par injecivié de la ransformée de Fourier, on obien [ ( )] 1 u(, x) = u (x) exp x2. 4π 4 2. Par les propriéés du produi de convoluion, il es facile de vérifier que u es C 2 par rappor à x, la dérivée s obenan en dérivan la deuxième foncion inervenan dans le produi de convoluion. En uilisan la décroissance rès rapide de x e x2, on rouve que oues les dérivées son inégrables. Enfin, il suffi de suivre les calculs pour rouver que l équaion aux dérivées parielles es vérifiée. Exercice 11 - Espace de Wiener - Troisième année - 1. D abord, si f W, alors par la formule d inversion de la ransformée de Fourier, ˆf(x) = g( x) où g es défini par ĝ = f. Donc ˆf L 1 (). éciproquemen, si f L 1 () es elle que ˆf L 1 (), il suffi de poser g(x) = ˆf( x), e la même formule d inversion de la ransformée de Fourier donne le résula! 2. Soi g L 1 () el que ĝ = f. Par les propriéés de la ransformée de Fourier d une foncion inégrable, f L. D aure par, par hypohèse, f L 1. Pour monrer que f L p, avec p ]1, + [, on peu remarquer que : ce qui donne le résula. f() p f p 1 f(), 3. D abord, si f W, ˆf es clairemen dans W puisque c es la ransformée de Fourier d une foncion inégrable. La réciproque es presque évidene en uilisan la formule de réciprocié de la ransformaion de Fourier. En effe, si ˆf L 1 (), on sai que f = ĝ où g(x) = ˆf( x). Ce qui prouve le résula. 4. D abord, les propriéés du produi de convoluion enraînen f g L 1 (). D aure par, si f = ˆf 1 e g = ĝ 1, on a F(f 1 g 1 ) = ˆf 1 ĝ 1 = f g. Il suffi donc de vérifier que f 1 g 1 es inégrable : mais ceci vien du fai que f 1 e g 1 son encore dans W d après la quesion 2., e son donc dans L 2 d après la quesion 1. E le produi de deux foncions de L 2 es dans L 1. Pour le produi, c es presque pareil. Il es dans L 1 car les foncions f e g son dans L 2, e on a F(f 1 g 1 ) = fg. Enfin, f 1 g 1 es inégrable comme produi de convoluion de deux foncions inégrables. 5. Il suffi de vérifier les 3 axiomes, ce qui se fai aisémen d après les propriéés de la norme e la linéarié de la ransformaion de Fourier. hp:// 7

8 6. (a) emarquons que f n f p 1 N(f n f p ) e f ˆ n ˆf p 1 N(f n f p ) : les suies (f n ) e ( f ˆ n ) son de Cauchy dans L 1 (), qui es comple, ce qui donne l exisence de f e g. (b) Par coninuié de la ransformaion de Fourier de L 1 () dans C (), on a f ˆ n ˆf. Fixons mainenan A >. De l inégalié A A ˆf() ˆ f n () d 2A ˆ f n ˆf, on dédui que ( f ˆ n ) end vers ˆf dans L 1 ([ A, A]). Mainenan, on a aussi ( f ˆ n ) qui end vers g dans L 1 ([ A, A]). Par unicié de la limie, ˆf = g pour presque ou x [ A, A]. A éan choisi arbiraire, en prenan une suie (A k ) qui end vers +, on en dédui que ˆf = g presque parou. (c) On résume les ravaux précédens : la foncion f précédemmen exhibée es dans l espace de Wiener, puisque sa ransformée de Fourier es inégrable. En oure, on vien de prouver que N(f n f). C es que (f n ) converge vers f pour N dans W, ce qui prouve la compléude. 7. (a) Il s agi d une applicaion immédiae du héorème de coninuié sous le signe inégrale, une fois le produi de convoluion écri sous la forme f h n (x) = h n (x )f()d. (b) emarquons d abord que f h n es bien élémen de L 1 (car h n L ). D aure par, f h n = ˆf h ˆ n qui es élémen de L 1 car ˆf es élémen de L () e h ˆ n es élémen de L 1 (). C es une conséquence de la quesion 3., car h n W : h n es une gaussienne e la ransformée de Fourier d une gaussienne es une gaussienne (c es-à-dire une foncion du ype x e ax2 ). 8. (a) C es une conséquence "sandard" des propriéés des uniés approchées. (b) f h n es dans W, e converge vers f : on en dédui que W es dense dans L 1 () L p (), pour la norme de L p (). Mainenan, L 1 () L p () es dense dans L p (), puisqu il conien les foncions coninues à suppor compac. D où le résula. 9. (a) Ce fai es à nouveau une propriéé "sandard" des uniés approchées. (b) C es le même raisonnemen que précédemmen, car une fois encore, les foncions coninues à suppor compac son denses dans C (). Exercice 12 - Non-surjecivié (bis) - Quarième année - 1. C es juse un pei calcul à faire... On rouve que g n h(x) = 2 si x es dans [ n+1, n 1], vau si x es hors de [ n 1, n + 1], e es linéaire sur [ n 1, n + 1] e [n 1, n + 1]. 2. On va en fai calculer la ransformée de Fourier de g n h. On a F(g n h) = gˆ n ĥ. Un calcul facile monre que F(1 [ a,a] )(x) = sin(2πax). πx hp:// 8

9 En pariculier, on remarque que F(g n h) es dans L 1 (). La formule d inversion de la ransformée de Fourier nous di que F(f n ) = g n h. On conclu en remarquan que F e F coïnciden sur les foncions paires. 3. On uilise le fai que si [, π/2], sin() 2/π. Il vien 1/4 f n 1 C sin(2nπx) (nπ/2) x dx C sin u u du. Ceci end vers + quand n + car la foncion u sin(u)/u n es pas inégrable. 4. Si la ransformée de Fourier éai surjecive, puisqu on sai qu elle es injecive e que L 1 () e C () son des espaces de Banach, elle serai auomaiquemen un isomorphisme d espace de Banach. En pariculier, la réciproque serai coninue, e il exiserai C > elle que, pour ou f de L 1 (), on aurai ˆf C f 1. C es impossible, en esan cee inégalié avec f = f n (la ransformée de Fourier de f n es bornée par 1). 5. La ransformée de Fourier éan un isomorphisme de l ensemble S() des foncions à décroissance rapide, son image conien S(). Il es aisé de vérifier que S() es dense dans C (). Exercice 13 - Une base hilberienne de L 2 () - Quarième année - 1. (a) Prenons y E. Alors clairemen, y (E ). Ceci monre que E (E ). Puisque ce dernier ensemble es fermé, il conien même E. Prenons mainenan y / E. E éan une parie convexe fermée d un espace de Hilber, y se décompose en y = y +y 1, où y E e y 1 E. En pariculier, y 1 E. Mais alors, y, y 1 = y 1 2, e donc y / (E ). (b) C es immédia! 2. (a) Laissé au leceur. (b) L inégalié de Cauchy-Schwarz monre que, quel que soi n, la foncion x x n h(x)e x2 /2 es dans L 1 (). Ceci jusifie la définiion de la ransformée de Fourier e le fai qu elle es C. En oure, g (n) () = h, x n e x2 /2 =. (c) Soi >. Pour z, on a h(x)e x2 /2 e 2iπzx h(x) e x 2 /2 e 2πx. La foncion qui majore es inégrable : ceci suffi à jusifier que la formule g(z) = e x2 /2 h(x)e 2πxz dx défini une foncion holomorphe sur C. Comme oues ses dérivées en son nulles, on sai bien que g =. hp:// 9

10 (d) L injecivié de la ransformée de Fourier assure que h =. 3. (a) Le procédé d orhonormalisaion de Gram-Schmid garani l exisence d une elle famille. En oure, d après les quesions précédenes, l espace vecoriel engendré par la famille (H n (x)e x2 /2 ) es dense dans L 2 (). Cee famille es donc une base hilberienne de L 2 (). (b) Par unicié dans le procédé d orhonormalisaion de Gram-Schmid, il suffi de prouver que, pour n m, on a I = H n(x)e x2 /2, H m(x)e x2 /2 =. Supposons par exemple n < m, on a I = e x2 dn dx n (e x2 ) dm dx m (e x2 ) = P n (x) dm dx m (e x2 )dx. Il suffi mainenan de prouver que, si k < m, on a x k dm /2 dx m (e x2 )dx =, ce qui se fai en réalisan k inégraions par paries! Cas L 2 Exercice 14 - Foncion riangle - Troisième année - On sai que la ransformée de Fourier-Plancherel es une isomérie de L 2 () sur lui-même. En uilisan cee isomérie (relaion de Parseval), on en dédui f(x) 2 dx = sin 4 (πx) π 4 x 4 dx. Avec le changemen de variables y = πx, e en calculan la première inégrale, on rouve sin 4 x x 4 dx = π 3. Exercice 15 - Sinus cardinal - Troisième année - 1. On a : ˆf(ξ) = = e i2πξx 1 [a,b](x) dx = e 2ibπξ e 2iaπξ 2iπξ b a b a e i2πξx dx si a b sinon. hp:// 1

11 2. C es un résula bien connu que θ es elle que x θ()d adme une limie quand x +, sans que θ n apparienne à L 1 (). Pour le prouver, on peu par exemple uiliser sin sin2 1 2 cos 2. 2 On conclu car x 1 2 d end vers l infini, alors que x cos 2 2 converge si x +. En revanche, il es clair que θ apparien à L 2 (précisons simplemen qu il n y a aucun problème de convergence en où la foncion es prolongée par coninuié en posan θ() = 1). Il es donc légiime de calculer la ransformée de Fourier-Plancherel de θ. Il es difficile de calculer direcemen cee ransformée. Mais remarquons que, si f(x) = 1 [ 1/2π,1/2π] (x), la quesion précédene nous donne ˆf(ξ) = 1 π θ(ξ). On uilise la ransformée de Fourier conjuguée, e on obien : ˆθ(x) = πf( x) = π1 [ 1/2π,1/2π] (x). Exercice 16 - Fourier e Fourier-Plancherel - Troisième année - 1. Le produi de convoluion d une foncion L 1 e d une foncion L 2 éan une foncion L 2, la seule formule qui peu avoir un sens es la deuxième. On la démonre par densié de S(). Soi en effe (g n ) une suie de foncions de S() qui converge vers g. Alors f g n es un élémen de L 1 L 2, là où les ransformées de Fourier e de Fourier-Plancherel coïnciden. On a donc : F(f g n ) = f ˆ g n = ˆf gˆ n = ˆfF(g n ). La ransformée de Fourier-Plancherel éan coninue, on a F(g n ) F(g). Il rese à remarque que f g n f g 2 f 1 g n g 2, e d uiliser à nouveau la coninuié de la ransformée de Fourier-Plancherel pour obenir le résula. 2. Puisque f e g son ous deux dans L 2 (), leur produi es dans L 1 (), seule la deuxième formule peu avoir un sens! On démonre alors cee formule de la même façon que la précédene... Elle es vraie si f e g son ous deux dans S() -prendre par exemple la ransformée de Fourier conjuguée, puis on procède en prenan une suie (f n ) qui converge vers f e une suie (g n ) qui converge vers g Posons g a = 1 [ a/2,a/2] (x), de sore que F(g a ) = ĝ a = f a. D après la formule précédene, on a f a f b = F(g a ) F(g b ) = ĝ a g b = f c, où c = min(a, b). 4. Chaque foncion f a es soluion de l équaion... alors que dans L 1 (), cee équaion n a pas de soluion non nulle! hp:// 11

12 Exercice 17 - Densié - Troisième année - 1. Cee formule es vraie si f L 1 ( n ) L 2 ( n ) (on peu faire le calcul effecif). On conclu par densié. 2. Puisque la ransformée de Fourier-Plancherel es une isomérie, on a : g, h = F(g), F(h). Mainenan, si h es dans vec(τ x f; x n ), il exise un enier p, des complexes λ 1,..., λ p e x 1,..., x p els que F(h)(y) = (λ 1 e 2iπx 1y + + λ p e 2iπxpy )F(h)(y). On considère une foncion g 1 L 2 ( n ) non nulle presque parou e elle que g 1 = là où F(f). Alors g 1, F(h) = pour ou h comme précédemmen. Puisque la ransformée de Fourier- Plancherel es un isomorphisme, il exise un élémen g L 2 ( n ) non nul el que F(g) = g 1. Pour ce g, on a g, h =. 3. D après la quesion précédene, e en uilisan le rappel du débu de l exercice, si F(f) es non nul sur un ensemble de mesure posiive, alors vec(τ x f; x n ) n es pas dense. Par conraposée, on dédui le résula demandé. 4. En raisonnan comme précédemmen, pour la foncion h = τ x f n F(g)F(f)e 2iπxy dy =. Puisque x peu-êre choisie arbirairemen, la ransformée de Fourier de la foncion F(f)F(g) es ideniquemen nulle. En pariculier, par injecivié de la ransformée de Fourier, F(f)F(g) es ideniquemen nulle, ce qui enraine F(g) = par hypohèse sur f, puis g =. Exercice 18 - Une projecion - Troisième année - 1. Il s agi du produi de convoluion de deux foncions de L Aenion, ceci n es plus conséquence des résulas classiques sur le produi de convoluion. Simplemen, puisque sin x/πx e f son élémens de L 2 (), il exise g e h élémens de L 2 () els que sin x/πx = F(h) e f = F(g). On a alors : P f = 1 ( ) sin x f = F(g) F(h) = π x ĝh. Il rese à remarquer que la foncion h es l indicarice du segmen [ 1/2π, 1/2π]. Elle es bornée e donc gh L 2 () L 1 (). Par coïncidence de la ransformée de Fourier e de la ransformée de Fourier-Plancherel sur ces deux espaces, on en dédui que F(gh) L 2 (). 3. Soi f L 2 () qu on écri f = F(g). On a : D aure par, On conclu en remarquan que gh 2 = gh. P f 2 = 1 π F(gh) 2 = gh 2 g 2 = f 2. P P (f) = P (F(gh)) = F(gh 2 ). hp:// 12

13 Le cas de S( d ) Exercice 19 - Produi e produi de convoluion - Troisième année - Pour le produi, c es rès facile en uilisan la formule de Leibniz pour la dérivée par exemple. Pour le produi de convoluion, le mieux es d uiliser la ransformée de Fourier. En effe, F(f g) = ˆfĝ, qui es élémen de S(). On peu alors appliquer la formule d inversion de la ransformée de Fourier qui donne f g = F( ˆfĝ), e uiliser que S() es sable par ransformaion de Fourier (inverse). Exercice 2 - Une esimaion d inégrale - Troisième année - 1. On pose g = 2 f x y. Il es bien connu que la ransformée de Fourier de g es : ĝ(x, y) = (2iπ) 2 xy ˆf(x, y). En uilisan ensuie que la ransformée de Fourier es une isomérie de L 2, on obien f x y = (2π) 2 xy ˆf De même, si on pose h = 2 f On en dédui que 2 x + 2 f 2 y, la ransformée de Fourier de h es ĥ(x, y) = (2iπ) 2 x 2 ˆf(x, y) + (2iπ) 2 y 2 ˆf(x, y). h 2 = (x 2 + y 2 ) ˆf Il suffi d uiliser l inégalié classique 2 xy x 2 + y 2 pour en déduire le résula. Exercice 21 - Principe d inceriude d Heisenberg - Troisième année - 1. Il suffi de faire une inégraion par paries, en dérivan e en inégran ϕ()ϕ (). 2. L inégalié de Cauchy-Schwarz donne ( 2 2ϕ ()ϕ()d 2 ) 1/2 ( 1/2 ϕ () 2 d 2 ϕ ()d) 2. Mainenan, il suffi d uiliser le fai que la ransformée de Fourier es une isomérie de L 2 pour obenir ϕ () 2 = F(ϕ ) 2 (ω)dω = (2π) 2 ω 2 ˆϕ(ω)dω. On obien donc bien l esimaion annoncée. 3. Pour qu on ai égalié, il fau e il suffi qu on ai égalié dans l inégalié de Cauchy- Schwarz, ce qui revien à dire qu il doi exiser une consane λ elle que ϕ () = λϕ() pour ou. La résoluion de cee équaion donne ϕ() = a exp(λ), e il es nécessaire (e suffisan) que λ pour que cee foncion soi élémen de S(). hp:// 13