Exercices sur le calcul algébrique. Petits problèmes

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1 Exercices sur le clcul lgébrique Les exercices ou questions précédés d un stérisque pourront être trités vec profit à l ide d un logiciel de clcul formel, tel que Xcs, qui ser vu en Trvux Prtiques, ou encore Mple. Petits problèmes Exercice. Lorsqu on joute un même nombre u numérteur et u dénominteur de l frction 3/7, on obtient comme résultt. Quel est ce nombre? Exercice. Je trouve l moitié d un nombre en retrnchnt 33 de son double. Quel est ce nombre? Exercice 3. C est vri que l nnée dernière, pour ton nniversire, je ne t i rien offert, dit Fbrice ns) à s petite sœur Corlie ns)... Mis je vis me rttrper. L nnée où mon âge ser le triple du tien, je t offriri un mgnifique cdeu. Corlie prend un ppier, un stylo, écrit, clcule, et dit à son frère : Cel ne v ps te coûter bien cher!. Expliquer pourquoi. Exercice 4. Une personne dépense 3/5 d une somme, puis /3 du reste. Finlement il lui reste 39e. Quelle étit l somme initile? Exercice 5. Il y de l eu dns un cylindre de ryon 9 cm. On plonge une boule de ryon 9 cm dns le cylindre. L boule repose u fond du cylindre et l eu l recouvre exctement. Quelle étit l huteur de l eu dns le cylindre? Exercice 6. Trouver deux entiers nturels consécutifs tels que leur produit soit égl à leur somme ugmentée de un. Indiction : montrer que l éqution du problème peut se rmener à l éqution-produit n + )n ) = 0). Exercice 7. Triplets pythgoriciens.. Vérifier que le tringle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 est rectngle.. On s intéresse u problème suivnt : Quels sont les tringles rectngles dont les côtés sont mesurés pr trois entiers consécutifs? ) On choisit comme inconnue x, le petit côté de l ngle droit. Montrer que l éqution du problème est x x 3 = 0. b) On choisit comme inconnue y, l hypoténuse. Montrer que l éqution du problème est y 6y + 5 = 0. c) On choisit comme inconnue z, le grnd côté de l ngle droit. Montrer que l éqution du problème est z 4z = Quel est le choix d inconnue qui conduit à une éqution fcile? Conclure. Exercice 8. Soit ABC un tringle de sommet A tel que AB = 50 et BC = 60. Clculer l huteur AH et en déduire le ryon du cercle circonscrit u tringle ABC. Indiction : on montrer que r = r) ). Exercice 9. Hier, il y vit huit fois plus de présents dns notre clsse que d bsents. Aujourd hui, il y deux bsents de plus qu hier et cinq fois moins d bsents que de présents. Combien y -t-il d élèves dns notre clsse? Exercice 0. * Clculer 3 4 +, ou encore Que constte-t-on? Le démontrer.

2 Clcul lgébrique Exercice. * Simplifier les expressions suivntes x3 + x ; b) + x + x x x ; c) b + ) x + x k b) c) + b k b c)b ) + c k + b + + b + 4 b 4 b 4 ; d) pour k =, et 3 ; c )c b) e) b) c) + bb c)b ) + cc )c b) ; f) x xy y x + y) x y ; xy g) x x + : ; h) + b ) : + b ) ; i) b+c b + b b ) + + : +c b+c b + ; +c x x j) b { c [ b c : : c b c ) b b : c : bc )]} b ; k) + b + b b + : b + b + ) b3 3 b. b Exercice. * Vérifier les identités suivntes m ) ) m ) m + + m = ; b) + b + c) b)b + c)c + ) = 3 + b 3 + c 3 ; + c) + b + c ) + b + c ) + bb + cc ) = b b ) + bc cb ) + c c ) ; d) [ b) + b c) + c ) ] [ = b) 4 + b c) 4 + c ) 4]. ) Exercice 3. * Fire disprître les rcines du dénominteur des frctions suivntes ; b) ; c) Exercice 4. On souhite démontrer qu un tringle de côtés mesurnt, b et c est équiltérl si et seulement si 3 + b 3 + c 3 = 3bc.. * Montrer que 3 + b 3 + c 3 3bc = + b + c) [ b) + c) + b c) ].. Conclure. Exercice 5. Soit ABC un tringle. On pose = BC, b = AC, c = AB. On ppelle p le demipérimètre du tringle utrement dit p = + b + c) et S son ire. On dispose lors des deux formules suivntes = b + c bc cos  formule d Al Kshi ; S = pp )p b)p c) formule de Héron.. ) Ecrire l formule d Al Kshi vec l ngle B, puis l ngle Ĉ. b) On un tringle dont les côtés mesurent 4, 5 et 6 cm. Combien vlent ses ngles? c) Clculer l ire du tringle de côtés mesurnt 5, et 3 centimètres.. On se plce dns le cs prticulier où l ngle  est igu le cs où  est obtus est similire). On note H le pied de l huteur issue du sommet B. ) Démonstrtion de l formule d Al Kshi i. Montrer que HB = c sin  et HC = b c cos Â. ii. Appliquer le théorème de Pythgore dns le tringle BCH et conclure. b) Démonstrtion de l formule de Héron i. Montrer que S = bc sin Â. ii. En utilisnt l formule d Al Kshi, montrer que S = 4 b c b + c ) ) 4b c. iii. * Fctoriser S pour trouver S = 6 b c) )b + c) ) puis conclure.

3 Extrem de fonctions Exercice 6. Soit ABCD un rectngle de côtés mesurnt et b. On plce les points M, N, P, Q respectivement sur les segments [AB], [BC], [CD], [DA] de sorte que AM = BN = CP = DQ. On note x cette longueur commune. On s intéresse ux vritions du périmètre du polygone MNPQ qui est d illeurs un prllélogrmme, pourquoi?).. Montrer que le périmètre du polygone est fx) où fx) = x + x) + x + b x). ) b. Montrer que f = + b + b. On note M cette vleur. 3. * Montrer que fx) M)fx) + M) x + x) )x + b x) ) x + x + bx) = + b)x b). [ 4. Montrer que x 0, + b ] et en déduire que x + x + bx En déduire que f dmet un minimum. Exercice 7. Soit [AD] un segment de longueur m. On considère les points B et C situés de prt et d utre de l droite AD) tels que les droites AB) et CD) soit perpendiculires à AD). On note = AB et b = CD. On considère un point M sur le segment [AD]. On cherche l position du point M pour que l distnce BM + MC soit minimle. Pour cel on note x l distnce AM et fx) l quntité BM + MC.. Montrer que fx) = + x + x m) + b. ) m. Montrer que f = m + b + + b). On note M cette vleur. 3. * Montrer que fx) M)fx) + M) + x )x m) + b ) x + mx + b) = + b)x m). 4. Montrer que pour x [0, m] on x + mx + b b > En déduire le minimum de f sur [0, m] 6. Retrouver le résultt en utilisnt le fit que le plus court chemin pour ller d un point à un utre, c est l ligne droite. Tringle isocèle et bissectrices Soit ABC un tringle. On note, b, c les longueurs des côtés [BC], [AC], [AB], et B, C les pieds des bissectrices issues des sommets B, C. L objet de ce problème est de démontrer que le tringle ABC est isocèle en A si et seulement si BB = CC. Prtie I - Un résultt sur les bissectrices L droite BB ) coupe l prllèle à BC) pssnt pr A en D.. Démontrer que le tringle ABD est isocèle.. Utiliser le théorème de Thlès pour prouver que AB CB = c. 3

4 3. En déduire que AB = bc + c. Donner une formule nlogue pour AC. Prtie II - Trduction lgébrique du problème. En utilisnt l formule d Al Kshi dns les tringles ABB et ACC, montrer que l églité BB = CC s écrit c + AB cab cos  = b + AC bac cos Â.. En utilisnt l prtie I, montrer que cette dernière églité équivut à celle-ci : [ ] [ ] b c + b c + b) bc + c) + + c b c cos + b  = 0 puis près voir fctorisé pr b c), montrer que cette dernière églité équivut à b c)a = 0 où A = b + c b c + b + c + b) + c) bc cos Â. + b) + c) Prtie III - Utilistion de l lgèbre pour montrer A > 0. En reportnt l vleur de cos  exprimée en fonction de, b, c grâce à l formule d Al Kshi, montrer que A = b + c) + b) + c) b c + b + c) + b) + c)b + c ) + b) + c).. * On note B le numérteur de l frction précédente. Montrer que B = + b + c)3bc b + c + bc + b c). 3. En déduire que A > 0 et conclure que l églité BB = CC équivut à b = c. Point dns un tringle équiltérl Soit ABC un tringle équiltérl de côté x. On suppose qu il existe un point M à l intérieur du tringle qui soit à distnce respective, b, c des sommets A, B, C. On souhite trouver une reltion entre, b, c et x. On pose α = ÂMB, β = BMC, γ = ĈMA. Prtie I - Une jolie formule. Démontrer les reltions suivntes en utilisnt l formule d Al Kshi : cos α = + b x, cos β = b + c x b bc. On dmet que les ngles α, β, γ sont liés pr l condition et cos γ = + c x. c cos α + cos β + cos γ cos α cos β cos γ = 0. celle reltion découle du fit que α + β + γ vut 360 degrés) En remplçnt cos α, cos β, cos γ pr les vleurs trouvées à l question précédente puis en multiplint pr 4 b c, montrer que cette reltion équivut à c + b x ) + b + c x ) + b + c x ) + b x )b + c x ) + c x ) 4 b c = 0. 4

5 3. * En développnt et en ordonnnt selon x, montrer que cette reltion s écrit plus simplement x 6 + b + c )x b 4 + c 4 b c b c )x = 0. L distnce x étnt non nulle, on peut simplifier pr x si bien qu on rrive à x 4 + b + c )x b 4 + c 4 b c b c = En développnt + b + c + x ) démontrer que cette dernière églité équivut à b 4 + c 4 + x 4 ) = + b + c + x ) ). Prtie II - Étude d un cs prticulier On suppose ici que, b et c sont liés pr l reltion = b + c et on cherche x.. Montrer que l reltion obtenue à l prtie I se réduit à x ) 3b c = 0.. En déduire que x = + 3bc ou que x = 3bc. 3. Démontrons que 3bc 0. Pour cel recopier le risonnement ci-dessous et justifier le pssge d une églité à l utre 4. Donner les vleurs possibles de x. 3bc = b + c 3bc b + c bc = b c) Dns le cs où = 5, b = 4, c = 3 cm), dessiner un tringle équiltérl répondnt u problème posé. Prtie III - Résolution de l éqution dns le cs générl On suppose toujours donnés, b, c, sns utre condition que celle qui v pprître plus loin.. * Montrer qu on l églité x 4 + b + c )x b 4 + c 4 b c b c = [x + b + c ] 3 4 4b c b + c ) ). On pose p = + b + c. Montrer que 4b c b + c ) = 6pp )p b)p c). En déduire que pour que cette quntité soit positive, il fut et il suffit que le tringle de côté, b, c soit constructible. 3. Dns le cs où le tringle de côté, b, c est constructible, montrer que x = + b + c ± 3S où S = pp )p b)p c) est l ire du tringle de côtés mesurnt, b, c formule de Héron). Prtie IV - Des entiers vérifint ). Appliquer l formule de l prtie III pour trouver x lorsque = 57, b = 73, c = 65. Utiliser Geogebr pour visuliser le résultt.. * Arnfried Kemnitz, 990). Soit u et v deux entiers nturels, vec u > v. On pose m = u v ) et n = u + 4uv + v. Montrer que = m + n, b = m + mn + n, c = m mn + n et x = 8u v )u + uv + v ) vérifient l reltion ). En donnnt des vleurs à u et v, trouver quelques qudruplets, b, c, x) solutions. Fire l figure pour u = et v = 0. Remrque. À ucun moment on démontré qu étnt donné, b, c et un point M, il existe un tringle équiltérl tel M soit à distnce, b, c des sommets. On peut démontrer qu il existe deux tels tringles, l un tel que le point M est à l extérieur dudit tringle et l utre tel que le point M est à l intérieur d où les deux vleurs de x trouvées dns les cs prticuliers ci-dessus). 5