Chapitre 12 : Lois de probabilité continues

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1 Chpitre 12 : Lois de probbilité continues I. Lois de probbilité à densité Dns les situtions précédentes, on rencontré des vribles létoires dites discrètes : elles ne prennent qu un nombre fini de vleurs. Pr exemple l loi équiréprtie lors du lncer d un dé équilibré ; ou encore l loi binomile B(n, p) : l vrible létoire prend lors ses vleurs dns un ensemble fini : {0, 1,..., n}. Définition 1. Une vrible létoire est dite continue lorsqu elle prend toutes les vleurs d un intervlle I de R. Exemple Choisir u hsrd un nombre de l intervlle [0; 1000]. L vrible létoire X qui correspond u nombre obtenu pour vleurs possibles tous les réels de [0; 1000] ; l vrible létoire X est continue. 1 Activité d introduction Activité 1 p 322 : A triter sur feuille nnexe. 2 Définitions Définition 2. Une densité de probbilité sur I conditions suivntes : est une fonction f définie sur un intervlle I de R vérifint les f est continue et positive sur I. l intégrle de f sur I est égle à 1. Exemple L fonction f définie sur [0; 1] pr f(x) = 3x 2 est une densité de probbilité : En effet : Définition 3. Soit X une vrible létoire continue prennt ses vleurs dns un intervlle I de R et f une densité de probbilité sur I. L loi de X dmet f comme densité de probbilité lorsque : Pour tout intervlle [, b] contenu dns I, l probbilité que X pprtienne à [ ;b] est égle à l ire sous l courbe de f sur [, b]. Autrement dit : P(X [, b]) = P( X b) = b f(t)dt P( X b) b C f p(x I) = 1, en effet I f(t)dt = 1, I est l univers, il est constitué de toutes les vleurs possibles de l vrible létoire X. Pge 1

2 Chpitre 12 : Lois de probbilité continues 3 p(x = ) = 0 pour tout I, en effet f(t)dt = 0. Ainsi un évènement de probbilité nulle n est ps forcément impossible. On peut pr conséquent utiliser indifféremment les symbôles < et, ou > et. Proposition 1. Pour tout et b dns I on : P( < X < b) = P( X < b) = P( < X b) = P( X b) P(X > ) = 1 P(X ) = 1 P(X < ) P( < X < b) = P(X < b) P(X < ) 4 Espérnce Définition 4. Soit X une vrible létoire continue de fonction de densité f sur l intervlle I. L espérnce mthémtique de X est le réel défini pr : E(X) = tf(t)dt I Trvil en utonomie Svoir-fire 1 pge 325. II. Loi uniforme sur l intervlle [, b] 1 Activité d introduction : simultion de l loi uniforme à l ide d un tbleur Simultion : Dns 1000 cellules de l première colonne du tbleur, on entré l fonction = ALEA() qui génère létoirement des nombres compris entre 0 et 1. Pour compter le nombre de tirges inférieurs à 0,1, on utilisé dns l cellule C2, l formule :=NB.SI(A1 :A1000 ;"<0,1"). A B C D E Nombre de tirges Fréquence Probbilité inférieurs à 0, entre 0,1 et 0, entre 0,4 et 0, supérieurs à 0, Quelles formules entrer en C3,C4 et C5 pour obtenir ces effectifs? C3 :=NB.SI(A1 :A C4 :=NB.SI(A1 :A1000 ; C5 :=NB.SI(A1 :A1000 ; Donner une vleur pour le nombre de tirges dns chcun des cs, près voir effectué plusieurs simultions à l ide de l touche touche F9. 3. En déduire une estimtion de l fréquence et de l probbilité dns chcun des cs. Pge 2

3 Chpitre 12 : Lois de probbilité continues 4. Comprez les probbilités entre elles. Que peut-on en conlure? L loi uniforme correspondont u choix u hsrd d un nombre dns un intervlle [, b]. On vient de constter que l probbilité que le nombre choisi u hsrd soit dns un intervlle est proportionnelle à l longueur de cet intervlle. Voyons le tbleu de proportionnlité suivnt : Intervlle [, b] [c, d] Longueur Probbilité x Exercice 1 1. Prouver que l fonction f définie sur [, b], pr f(t) = 1 est une densité de probbilité. b 2. En déduire que l loi uniforme est une loi à densité. 2 Propriétés Proposition 2. Une vrible létoire X suit une loi de probbilité uniforme sur l intervlle [, b] si, pour tout intervlle [c, d] contenu dns [, b], on : P(X [c, d]) = P(c X d) = d c b Exercice 2 L concentrtion d une substnce vrie entre 0 mg/l et 1 mg/l. Elle est mesurée pr une mchine déréglée qui donne u hsrd un nombre compris entre 0 et 1. On note C l vrible létoire qui donne l concentrtion de l substnce en mg/l. C suit l loi uniforme sur [0 ;1]. Clculer l probbilité d obtenir un résultt entre 0,5 et 0,75. Même question pour un résultt supérieur à 0,7. Proposition 3 (Espérnce). Soit X une vrible létoire suivnt l loi uniforme sur [, b], lors, l espérnce est : E(X) = + b 2 Démonstrtion E(X) = b tf(t)dt = Trvil en utonomie Svoir-fire 2 pge 325, exercice 51 pge 337. Pge 3

4 Chpitre 12 : Lois de probbilité continues III. L loi exponentielle 1 Activité d introduction Activité 3 pge 323 : A triter sur feuille nnexe 2 Définition et propriétés Proposition-Définition 5. Soit λ un réel strictement positif et l fonction f définie sur [0; + [ pr f(x) = λe λx. f est une densité de probbilité. L loi de probbilité qui dmet cette fonction pour densité de probbilité est ppelée loi exponentielle de prmètre λ. L ensemble de définition de l fonction f n est ps borné ; le domine correspondnt à l ire sous l courbe (limité pr l courbe, l xe des bscisses, l droite d éqution x = 0) est infini. L condition : «l ire sous l courbe est égle à 1» s écrir lim x + x 0 λe λt dt = 1 (ceci se démontre). λ P(X [0, + ]) = 1 Proposition 4. Soit X une vrible létoire suivnt l loi exponentielle de prmètre λ, et et b des réels positifs. Alors : P( X b) = e λ e λb P(X ) = e λ P(X ) = 1 e λ Démonstrtion Soit pour tout réel positif x, f(x) = λe λx. Une primitive de f sur [0, + [ est : F(x) = P( X b) = P(X ) = P(0 X ) = P(X ) = 1 P(X ) = Proposition 5 (Loi sns vieillisement). Soit T une vrible létoire suivnt l loi exponentielle de prmètre λ, lors pour tous réels positifs t et h on : P T t (T t + h) = P(T h) Pge 4

5 Chpitre 12 : Lois de probbilité continues Démonstrtion : A triter sur feuille nnexe Cette propriété trduit le fit que l loi exponentielle est une loi de durée de vie sns vieillissement (ou sns mémoire) : Quel que soit l âge t d un objet, l probbilité qu il vive encore une durée h supplémentire ne dépend que de h et non de l âge t. Exercice 3 L durée de vie X, en heures, d un composnt électronique été modélisée pr l loi exponentielle de prmètre λ = 0, Clculer l probbilité qu un de ces composnts, pris u hsrd, soit encore en étt de mrche u bout de 500 heures. 2. En déduire l probbilité qu un de ces composnts pris u hsrd et en étt de mrche u bout de 1000 heures, soit encore en étt de mrche u bout de 1500 heures. Proposition 6 (Espérnce). Soit X une vrible létoire suivnt l loi exponentielle de prmètre λ, (λ > 0), l espérnce est :. E(X) = 1 λ Exercice 4 Démonstrtion de l proposition 1. Soit pour tout réel positif t, f(t) = λe λt et h(t) = tf(t). Déterminer les réels et b tels que H(t) = (t + b)e λt soit une primitive de h sur [0, + [. 2. Déterminer x 0 tλe λt dt pour tout réel x positif. 3. En déduire E(X). Exercice 5 D près Métropole Juin 2015 Soit X une vrible létoire qui suit l loi exponentielle de prmètre λ, où λ est un réel strictement positif donné. 1. () Soit c et d deux réels tels que 0 c < d. Démontrer que l probbilité P(c X d) vérifie P(c X d) = e λc e λd (b) Déterminer une vleur de λ à 10 3 près de telle sorte que l probbilité P(X > 20) soit égle à 0,05. (c) Donner l espérnce de l vrible létoire X. 2. () Dns l suite de l exercice on prend λ = 0, 15. Clculer P(10 X 20). (b) Clculer l probbilité de l évènement (X > 18). Trvil en utonomie Svoir-fire 3, 4 et 5 pge 327 Pge 5