Chapitre 4.7 La dynamique de rotation

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1 hpitre 4.7 L dnmique de rottion L ième loi de Newton en rottion elon l En rottion, on peut ppliquer l ième loi de Newton in d étblir un lien entre l omme de moment de orce ppliquée ur un corp pr rpport à un point de réérence, le moment d inertie I du corp évluée pr rpport à l de rottion pnt pr le point de réérence et l ccélértion ngulire. En d utre mot, cette loi permet d évluer l eiccité de orce à ire tourner un corp utour de l elon le moment inertie du corp : I point réérence rottion r I où : Somme de moment de orce elon l ( N m I : Moment d inertie de l objet pr rpport à l de rottion ( : ccélértion ngulire de l objet elon l ( 1 / kg m Rppel : r in Preuve : onidéron une prticule de me m qui ubit une ccélértion tngentielle T grâce à une orce ur une trjectoire circulire de ron r. ppliquon l ième loi de Newton elon l tngentiel in d eprimer cette loi à l ide de l notion de moment de orce, d inertie de rottion I et d ccélértion ngulire. Remrquon que l ngle entre r et dn le pln et égl à : m m Point réérence in T (orce elon l tngentiel : // in mr r in (ccélértion ngulire : T r in r m r r (Multiplier pr r de chque côté T m r (Moment de orce elon : r in I (Inertie de rottion dn pln : I mr Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 1 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

2 Le choi du point de réérence en dnmique de rottion Pour utilier l ième loi de Newton en rottion elon l ( I, il ut choiir un point de réérence dn le pln pour déterminer l poition de l de rottion utour du quel le corp v tourner. e choi v inluencer le moment de orce et le moment d inertie I du corp. e choi ne doit p être rbitrire, cr l vleur de l ccélértion ngulire dépend directement de l poition de l. utrement dit, le moment de orce et le moment d inertie ne «jute p» pour donner toujour l même ccélértion ngulire quelque oit l poition de l. De plu, le choi du point de réérence doit tiire le contrinte phique du problème in que l ième loi de Newton en rottion it un en phique. Il et inutile d évluer l ième loi de Newton en rottion utour d un point de réérence i le corp ne peut p phiquement tourner utour de ce point, cr l ccélértion ngulire obtenue dn une telle itution er inpplicble. in d orienter le choi du point de réérence, on dénote deu tpe de rottion : Rottion libre : Un corp et en rottion libre lorqu il n ucune contrinte phique impoée u corp. Il lor trnltion du centre de me du corp elon l ième loi de Newton et le corp peut tourner ur lui-même utour du centre de me elon l ième loi de Newton en rottion. tronute dn l epce oomerng lncé Le point de réérence utilié pour évluer l ccélértion ngulire coordonnée du centre de me du corp. du corp devient lor l Rottion liée : Un corp et en rottion liée lorqu il une ou pluieur contrinte phique impoée u corp. Le orce de contrinte ont pour eet : 1 d immobilier un point du corp. empêcher toute rottion utour d un utre que celui impoé. Tourniquet Porte et chrnière Le point de réérence utilié pour évluer l ccélértion ngulire itué ur l de rottion impoé du corp. du corp doit lor être Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge Note de cour rédigée pr : Simon Véin

3 Voici deu itution où l on peut eectuer un choi vlide ou non vlide de point de réérence dn l ppliction de l ième loi de Newton en rottion : Sitution 1 : Une tige tourne utour d un poteu ie à l ide d une orce. hoi vlide e itué ur le poteu hoi invlide e p itué ur le poteu Le poteu demeure immobile ce qui tiit l contrinte phique. Sitution impoible, cr le poteu tourne utour du point de réérence et l contrinte phique tipule que le poteu doit être ie. Sitution : Une roue qui roule à l horiontle u ol. e u le centre de l roue hoi vlide e u point de contct u ol e entre le centre de l roue et le ol hoi invlide e u-deu du centre de l roue L roue tourne ur ellemême et le centre de l roue eectue une trnltion horiontle. L roue tourne utour du ol et l de rottion eectue une trnltion horiontle comme le centre de l roue. Sitution impoible, cr l roue trvere le ol. Sitution impoible, cr l roue quitte le ol. Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 3 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

4 Sitution 1 : Une double bobine de il. Un clindre homogène dont l me M et égle à 1 kg et dont le ron R et égle à 0 cm peut tourner utour d un verticl n rottement. Deu il ont enroulé utour du clindre et permettent de lui imprimer un mouvement de rottion (voir chém ci-contre. lbert tire ur le il vec une orce horiontle de 6 N orientée ver l et et étrice tire ur le il vec une orce horiontle de 3 N orientée à 30 o u ud de l et. Vue en perpective Rottion liée vec ie omme le corde ont de me négligeble et qu elle ne glient p ur le clindre, elle trnmettent intégrlement ce orce u clindre. On déire déterminer l ccélértion ngulire du clindre. Schém vue de hut : Schém de orce : Réolution grph. : ( m : Vue de hut O 30 N S E r r T T T 0 T Nou von ici une rottion liée. Nou pouvon lor évluer le moment d inertie du clindre tournnt utour de on centre de me : (voir tble inertie chpitre mr I I 1 0, 1 I 0,4 kg m Nou von troi orce d ppliquée ur le clindre. Évluon le moment de orce ocié u troi orce. Le point de réérence er le centre du clindre ( de rottion : in 0,6 in90 r 1, N m in 0,3 in90 r 0,6 N m r in 0 in 0 N m Nou pouvon évluer l ccélértion ngulire : I I 1, 0,6 0 0,4,5 rd/ (Évluer Selon notre tème d ngulire, le clindre tourne vec une ccélértion de,5 rd/ dn le en horire. Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 4 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

5 Sitution : Un bloc relié à un clindre. Un clindre homogène ( R 0 cm, m 1 kg, Vue en I ½ mr 0,4 kg m peut perpective tourner utour d un horiontl ie n rottement (chém ci-deou. Il et initilement u repo. On ccroche un bloc m de kg à une corde de me négligeble qui enroule utour du clindre (l corde ne glie p ur le clindre; on déire déterminer l ccélértion ngulire du clindre ini que le Rottion liée vec ie module de l vitee du bloc prè une chute de 30 cm. Schém vue de côté : Schém de orce : Réolution grph. : ( m : rd m R m m T R T m g m g m g m T T m g 0 ppliquon l ième loi de Newton ur le bloc de me m elon l poiti ver le b : m m T T m (1 ppliquon l ième loi de Newton ur le clindre de me m elon l poiti ver le b chnt que le clindre n eectue p de trnltion : ( 0 0 T m g 0 T m g 0 ( Évluon no moment de orce ppliquée du le clindre pr rpport u centre du clindre : T RT T in RT in90 T r T r in 0 in 0 r g m g in 0m g in m g 0 m m g ppliquon l ième loi de Newton en rottion ur le clindre de moment d inertie I : I T mg I RT 0 0 I (Remplcer (Remplcer vleur num. RT I (3 (Simpliier Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 5 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

6 vec l 3 ième loi de Newton et l pproimtion de l corde de me nulle, nou von : T T Puique nou deu objet ont relié entre eu pr une corde qui ne glie p ur l clindre, nou pouvon relier l ccélértion de et l ccélértion ngulire de de l çon uivnte : T r R (4 (Remplcer r R et T Nou von donc le qutre éqution uivnte : T m g T m (1 T m g 0 ( RT I (3 R (4 On peut réoudre le tème pour évluer l ccélértion ngulire à prtir de (3 : RT I Rm g m I (Utilier (1, T m T m gr m R I (Ditribuer le R R mrr I (Utilier (4, R, R I mr (Réunir terme en m gr (Ioler I mr 9,8 0, 0,4 0, (Remplcer vleur num. 1,5 rd/ (Évluer On peut évluer l ccélértion verticle R 0,1,5 Évluon l vitee du bloc v du bloc à prtir de (4 :,45 m/ m prè une chute de 30 cm à l ide de éqution du MU : v 0,450, v v 1, 47 v 1,1 m/ Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 6 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

7 L rottion d une roue en ccélértion et décélértion L rottion d une roue et inluencée pr le tpe de rottement qu pplique l urce de contct ur l roue. Dn une voiture, il et importnt de rélier que l qulité de pneu et une donnée trè importnte, cr c et uniquement le rottement entre le pneu et le ol qui permet à l voiture de e déplcer : Un dérpge et it intervenir un rottement cinétique vcm r rottement et ttique l roue tourne n glier u ol ( rottement et cinétique l roue tourne en glint u ol ( v r cm Voici diérente itution où le rottement cinétique et ttique doit être conidéré. Sitution 1 : Eemple : Roue qui roule ur une urce n rottement. Une roue qui glie en tournnt ur de l glce. L roue «lotte» ur l urce (p d interction vec l urce n v L éqution vcm r n et p néceirement vrie. L roue peut tourner dn le deu en ou ne p tourner. Sitution : Eemple : Roue qui glie n rouler ur une urce vec rottement. Une roue qui glie n tourner en bloqunt l rottion de roue pr un tème de reinge. cinétique Roue bloquée n rein v L roue et comprble à un bloc qui glie ou l inluence d un rottement cinétique c. Nou von ucune vitee ngulire ( 0, cr 0. rein rein à dique ur une moto rein à dique ur une voiture Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 7 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

8 Sitution 3 : Roue qui roule n glier ur une urce vec rottement, vec orce ppliquée u centre de me. Eemple : Tirer une chrrette à l ide d une corde. L ccélértion de trnltion et propulée pr, mi v rlentie pr ( m, L ccélértion de rottion et propulée pr le moment de n orce produit pr ( I ttique Nou von l reltion uivnte : v r et r Sitution 4 : Roue qui roule n glier ur une urce vec rottement, vec moment de orce ppliquée ur l roue. Eemple : moteur n Utilier un pédlier in de ire tourner le pneu rrière d une bicclette. v ttique Le pédlier pplique une orce réultnt nulle ur le centre de me. ( moteur 0 L ccélértion de trnltion et propulée pr le rottement ( m. L ccélértion de rottion et propulée pr le moment de orce produit pr moteur, mi rlentie pr le moment de orce produit pr ( moteur I, moteur. Nou von l reltion uivnte : v r et r Sitution 5 : Eemple : ttique n rein Roue qui roule n glier ur une urce vec rottement, vec moment de orce ppliquée ur l roue comme reinge. Utilier un tème de rein S (empêche le blocge de roue. L décélértion de trnltion et propulée pr le rottement v ( m. L décélértion de rottion et propulée pr l orce du rein rein, mi rlentie le rottement ( I, rein. rein Nou von l reltion uivnte : v r et r Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 8 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

9 Sitution 3 : Un clindre qui roule. Un clindre homogène (R = 0 cm, m = 1 kg, I ½ mr 0,4 kg m roule n glier ver le b d un pln incliné à 50 o pr rpport à l horiontle (voir chém ci-contre. On déire déterminer ( l ccélértion ngulire du clindre ini que (b le coeicient de rottement ttique miniml qui doit eiter entre le clindre et le pln. Vue en perpective Rottion liée vec de rottion en mouvement itué u Schém vue de côté : Schém de orce : Décompoition de orce : rd n m n Mg co m Mg in 50 Mg 50 ppliquon l ième loi de Newton ur le clindre de me m in d obtenir deu éqution chnt que 0 : m n m in m (1 Selon l : Selon l : co 0 n ( ppliquon l ième loi de Newton verion rottion ur le clindre de moment d inertie I : I n I Selon l : in 0 in r in Rnin180 n r n n n 0 0 in R in90 r Nou von ini une 3 ième éqution : n I n R 0 0 R I R I (3 Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 9 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

10 Puique le clindre tourne n glier ur le pln incliné, nou pouvon introduire l reltion uivnte entre l ccélértion de trnltion : T r R (4 (Remplcer r R et T Nou von le qutre éqution uivnte : in m (1 0 n co ( R I (3 R (4 Évluon l ccélértion ngulire du clindre à prtir de l éqution (1 : in m mr in (Utilier (4 mr I I in (Utilier (3, R R I in mr (Regrouper terme vec R I in (ctorier R mr in mr I R Rin (Ioler mr I 19,8 0, in50 10, 0,4 5,0 rd/ ( (Évluer (Dénominteur commun (Remplcer vleur num. Pour tiire cette itution il ut que l orce de rottement génère l ccélértion ngulire. Évluon l orce de rottement requie à prtir de l éqution (3 : R I 0, 0,45,0 (Remplcer vleur num. 30,0 N (Évluer Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 10 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

11 Pour évluer le coeicient de ortement ttique le rottement ttique et ollicité u mimum ( m minimle, nou devon uppoer que m n : n (Remplcer n m co (Utilier (, co,0 19,8 co50 30 n (Remplcer vleur num. 0, 3971 (Évluer Voici l concluion que nou pouvon tirer ur le coeicient de rottement : 0,397 0,397 Eercice ondition ur le coeicient : Le clindre roule ur le pln incliné. R : Le clindre glie ur le pln incliné. R Rppel du chém de orce rd 50 n m 4.7. Le temp pour ire un qurt de tour. Une tige mince homogène de 5 kg dont l longueur et de m peut tourner utour de on centre. Si elle et initilement immobile et qu on lui pplique un moment de orce de 10 Nm, combien de temp prendr-t-elle pour ire un qurt de tour? m Une ccélértion plu grnde que l ccélértion de chute libre. Une tige mince homogène de kg, dont l longueur et de 50 cm, et iée à une de e etrémité pr une chrnière; elle tombe en pivotnt ou l eet de on propre poid (chém ci-contre. Détermine ( l ccélértion ngulire de l tige à l intnt où elle it un ngle 30 pr rpport à l horiontle et (b le module de l ccélértion tngentielle de l prticule P ituée à l etrémité libre de l tige. P Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 11 Note de cour rédigée pr : Simon Véin

12 Solution 4.7. Le temp pour ire un qurt de tour. Inertie de l tige : 1 ML I I 5 Évluer l ccélértion ngulire : I 1,667 kg m I 10 1,667 6 rd/ vec le éqution de l cinémtique : 1 0 0t t 0 0t 6 t t 6 t 0, Une ccélértion plu grnde que l ccélértion de chute libre. 1 Évluon l inertie de l tige pr rpport u pivot : 1 ML 3 I I 0,5 1 3 I 0,1667 kg m Évluon le moment de orce eercé pr l orce grvittionnelle pr rpport u pivot lorque l tige it un ngle 30 pr rpport à l horiontle : in in r r ( 0,50 / 9,8 in ,44 N m Évluon l ccélértion ngulire I I de l tige à 30 pr rpport à l horiontle : 4,44 0,1667 5,46 rd/ ( Évluon l ccélértion tngentielle u bout de l tige : T r 0,50 5,46 T T 1,73 m/ (b Réérence : Mrc Séguin, Phique XXI Volume Pge 1 Note de cour rédigée pr : Simon Véin