Chapitre 2. Utilisation du logarithme et de l'exponentielle Equation différentielle du premier ordre

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1 Cnservatire Natinal des Arts et Métiers Service de Physique dans ses rapprts avec l'industrie PHR 101 "Principes et utils pur l'analyse et la mesure" Chapitre 2 Utilisatin du lgarithme et de l'expnentielle Equatin différentielle du premier rdre z z+dz z S = 1 m² S = 1 m² dz terre J.J. Bnnet Versin du 21/09/06

2 2. De l'utilité des fnctins lgarithme et expnentielle L'équatin différentielle du premier rdre à cefficient cnstant 2.1. Rappel : l'allure de la fnctin lgarithme népérien u lgarithme à base e = 2, (ntée Ln) et sa fnctin inverse l'expnentiel (ntée exp) Les figures 14(a) et (b) ci-dessus indiquent l allure de deux des fnctin les plus imprtantes dans la descriptin des phénmènes naturels. x 1 K x = 1 K Ln f K > exp Kx K < f K > exp Kx +1 2,7 (a) f +1 (b) x Figure 14 (a) allure de Lnf = Kx Figure14 (b) allure de la fnctin f = exp Kx les fnctins lgarithmes népérien et expnentielles snt des fnctins inverses On mntre d'autre part que le lgarithme à base dix est défini par : lg 10 f = Kx f = 10 Kx (23) Il est imprtant de rappeler : lg 10 (2f) = lg lg 10 f lg 10 f + 0,3 (24) 2.2. Quand la variatin d une grandeur est prprtinnelle à la grandeur ellemême. Aspect mathématique. L étude qui suit cncerne une situatin fréquente et imprtante en sciences humaines, en physique, en chimie, en bilgique, etc... elle sera suivie d exemples illustratifs. Il est en effet fréquent que la variatin d une grandeur qui évlue dans le temps sit prprtinnelle à la valeur de cette grandeur à un instant dnnée et à la variatin de temps pendant laquelle n l bserve. 2

3 Avant d étudier des exemples, essayns de frmaliser mathématiquement cette situatin. On appelle y(x) la grandeur qui dépend de la variable x. On désigne par y la variatin de cette grandeur qui crrespnd à une évlutin x de sa variable. L hypthèse de prprtinnalité entre y d une part et y(x) et x d autre part se traduit par la relatin : y = C. y. t (25) C étant une cnstante de prprtinnalité, liée au phénmène étudié et qui, purra être psitive u négative suivant qu il s agit d un phénmène crissant dans le temps (évlutin de la ppulatin du glbe, par exemple) u décrissant (désintégratin radiactive, par exemple). Le but maintenant est de truver la fnctin y(t) qui est slutin de la relatin (25). Pur cela examinns plus précisément la relatin entre y variatin de la fnctin et x variatin crrespndante de sa variable. L évlutin y peut s écrire plus précisément sus la frme : de même pur x n peut écrire : Finalement, la relatin (25) devient en tenant cmpte de (26) et (27) y = y(x + x) y(x) (26) x = x + x x (27) y(x + x) y(x) = C. y (x). [ x + x x ] (28) ce que l n peut encre écrire sus la frme d un rapprt de deux accrissements : y(x + x) y(x) = C y(x) x+ x x si n utilise maintenant la ntin de limite d une variable «tendant» vers zér sans jamais atteindre ce nmbre... n a : lim x (29) y (x + x) - y(x) = C y(x) x i (30) On vit apparaître dans le nmbre de gauche de l égalité la frmule mathématique dite des «accrissements finis» qui n est autre que la définitin de la dérivée de la fnctin y(x) par rapprt à sa variable x et après passage à la limite n btient l équatin différentielle du premier rdre à cefficient cnstant suivante : dy = C i y (31) dx 3

4 Vus devez apprendre à recnnaître cette relatin du premier cup d eil car sn imprtance en science et technique est cnsidérable. Vus devez immédiatement penser que la slutin mathématique d une telle relatin est : y = A exp (Cx) (32) A est une cnstante qui dépend des cnditins aux limites (x = O par exemple). Après avir vérifié que la relatin (32) est bien slutin de (31) nus cnseillns frtement d étudier la justificatin du passage de (31) à (32) telle qu elle apparaît dans l annexe Premier exemple emprunté à la bilgie : L éliminatin d un médicament. On injecte à un lapin, par vie intramusculaire, une certaine substance qui n est pas présente rdinairement dans l rganisme. Cette substance passe du muscle dans le sang, elle est ensuite éliminée au niveau des reins. On se prpse d étudier l évlutin de la quantité de substance en fnctin du temps. On nte Q la quantité de substance injectée à l instant t = Os et Q(t) la quantité de substance présente dans le sang à l instant t. On désigne par Q(t) la diminutin de la quantité de substance pendant un laps de temps t après l injectin. On mntre que cette diminutin est prprtinnelle à Q(t) et à la quantité de substance présente à l instant t ce qui se traduit par la relatin : Q(t) = K Q(t) t (33) la cnstante de prprtinnalité K est ici négative car il s agit d une diminutin de quantité de substance avec le temps, n écrira dnc : Q(t) = K Q(t) t (34) en passant au cas limite ù t n aura l équatin différentielle que l n peut écrire et qui, admet cmme slutin On peut écrire ceci sus la frme d Q(t) = K Q(t) dt (35) d Q(t) = dt K Q(t) (36) Q(t) = Q exp ( K t) (37) t Q(t) = Q exp ( ) τ (38) On fait apparaître le temps τ au but duquel la quantité de substance injectée aura diminuée de Q /e = Q /2,718. 4

5 En cnclusin, l éliminatin d un médicament se fait suivant une li expnentiellement décrissante en fnctin du temps Deuxième exemple de variatin expnentielle d un phénmène en fnctin de l espace : l absrptin de la lumière par un matériau hmgène. (Li de Beer et Lambert). On cnsidère un faisceau lumineux mnchrmatique parfaitement cllimaté et d intensité I arrivant perpendiculairement sur la surface d un matériau hmgène d épaisseur. On désigne par I(x) l intensité du faisceau à la cte x à l intérieur du matériau (figure 15). I I I di O x x + dx x matériau Figure 15 Variatin de l'intensité du raynnement lrs de la traversée du matériau I I 100 transmissin O O x Figure 16 Variatin de l'intensité relative (I/I en pur cent) d'un raynnement en fnctin de l'épaisseur x de matériau traversé 5

6 Au XVIIIe siècle, Lambert a mntré que : avec K cefficient d absrptin en m 1 d I(x) = dx K I(x) (39) L'intégratin de cette relatin dnne : I(x) I [ Ln I(x) ] = K [ x] (40) I(x) Ln = [ K] (41) I I = I exp ( K ) ( 42) Beer en 1850 a généralisé cette relatin au cas d une slutin faiblement cncentrée d un cmpsé dissus dans un milieu transparent Trisième exemple (prpsé sus frme d exercice) Décharge d un cndensateur dans une résistance. La figure 16 ci-dessus représente un cndensateur de capacité C qui est d abrd chargé sus une différence de ptentiel E quand l interrupteur est en psitin 1. E 1 2 B C A R Figure 16 Circuit permettant de charger le cndensateur C (interrupteur en 1) puis de le décharger dans la résistance R (interrupteur en 2) On désignera par Q la charge initiale de ce cndensateur. A l instant t = O s n fait passer l interrupteur à la psitin 2 et le cndensateur vit sa charge q(t) évluer en fnctin du temps car un curant d intensité i(t) circule à travers la résistance R. 1 ) Quelle est la relatin entre q(t), C et la valeur instantanée V A V B de la tensin aux brnes de la capacité. 6

7 2 ) Indiquer le sens du curant i(t) et la relatin entre V A V B aux brnes de la résistance R et i(t)? 3 ) Quelle est la relatin entre i (t) et q(t)? 4 ) A partir des relatins truvées précédemment, mntrer que l évlutin de la charge q(t) du cndensateur est dnnée par la réslutin d une équatin différentielle du premier rdre à cefficient cnstant que l n résudra. Slutin : 1 ) Aux brnes du cndensateur n a : q(t) = C (V A V B ) (43) le signe mins indique que la tensin V A V B est négative (vir figure 16) 2 ) Quand l interrupteur est en psitin 2, le curant i(t) issu du cndensateur et qui circule dans la résistance va de l armature chargée psitivement du cndensateur vers celle chargée négativement (sens inverse du muvement des électrns) et la li d Ohm permet d écrire : V A V B = R i(t) (44) Le signe mins indiquant de nuveau que cette tensin est négative. 3 ) par définitin, l intensité i(t) est liée à la charge par d q(t) i(t) = (45) dt le signe mins indique que la charge décrît en fnctin du temps. 4 ) Finalement, n a : dq q(t) = C [ R i(t) ] = + C R (46) dt d'ù l'équatin différentielle du premier rdre à cefficient cnstant dq 1 = dt (47) q RC d'ù la slutin t RC q(t) = q e (48 ù RC est la cnstante de temps du circuit RC c'est-à-dire le temps au but duquel la charge du cndensateur a diminuée de e = 2,718. 7

8 2.6. quatrième exemple (sus frme d'exercice) : évlutin de l'atmsphère terrestre avec l'altitude On cnsidère que l'atmsphère terrestre est istherme et que les mlécules béissent au mdèle des gaz parfaits. On suppse en fait que les mlécules snt tutes identiques ce qui revient à remplacer les mlécules réelles par un seul type de particules, fictif, de masse cnvenable m. On désigne par n(z) le nmbre de particules par unité de vlume à l'altitude z (n est le nmbre de particules par mètre cube au niveau du sl). On désignera par p(z) la pressin à l'altitude z. On cnsidère un vlume d'épaisseur dz limité par deux surfaces S = 1 m² l'une à l'altitude z l'autre à l'altitude z + dz (figure 19).. z z+dz z S = 1 m² S = 1 m² dz terre Figure 19 Les altitudes z snt repérées par rapprt à l'axe verticale z. On cnsidère deux surfaces S = 1 m² placés à l'altitude z et z + dz 1 ) Ecrire que la différence de pressin entre l'altitude z et l'altitude z + dz est due au pids des particules cntenues dans ce vlume infiniment petit. On désigne par g l'accélératin de la pesanteur à l'altitude z. 2 ) On désigne par T la température abslue des particules à l'altitude z et V M leur vlume mlaire. Ecrire la relatin des gaz parfaits pur une mle de ces particules à l'altitude z. On désignera par R la cnstante des gaz parfaits. 8

9 3 ) On désigne par N le nmbre d'avgadr. Quelle est la relatin entre le vlume mlaire V M (z) des particules et leur nmbre n(z) par unité de vlume? 4 ) A partir des résultats précédemment truver la relatin entre la variatin relative de densité particulaire dn n et la variatin d'altitude dz pur une température T dnnée. On désignera K = R N (cnstante de Bltzmann). Intégrer cette relatin pur truvez la répartitin de particules de Bltzmann dans ce cas particulier. Tracer l'allure de la variatin de n(z) dans le cas de deux températures avec T 2 > T 1. 9

10 Slutin : 1 ) La variatin de pressin qui diminue avec l'altitude sera dnnée par : u encre p(z) p(z + dz) = mg n(z) dz dp = - mg n(z) dz 2 ) La relatin des gaz parfaits pur une mle de particule à l'altitude z est (46) p(z) V M = R T (47) 3 ) Le vlume mlaire V M (z) en m 3 crrespnd au vlume ccupé par N particules (nmbre d'avgadr N 6, ) dnc le vlume ccupé par une particule sera V M (z)/n et le nmbre de particules par unité de vlume n(z) sera N n(z) = (48) V (z) 4 ) La relatin des gaz parfaits et le résultat du 3 ) permet d'éliminer le vlume mlaire V M (z) et n btient une relatin entre p(z) et n(z) p(z) n(z) M R = T = KT N en différentiant cette relatin (la température T étant une cnstante), n btient (49) dp(z) = K T d n(z) (50) d'ù en utilisant le résultat du 1 ) n btient l'équatin différentielle reliant la densité de particules n et l'altitude z. et en intégrant dn(z) n(z) m g = dz (51) K T n(z) = n exp m g z K T c'est la répartitin de Bltzmann, l'allure de l'évlutin de n(z) avec l'altitude est représentée sur la figure 20 pur deux températures T 1 et T 2 avec T 2 > T 1. (52) 10

11 n(z) particules m -3 n T2 > T1 T1 z altitude Figure 20 Evlutin du nmbre de particules par unité de vlume dans l'atmsphère terrestre en fnctin de l'altitude Il est imprtant que remarquer que mgz représente l'énergie ptentielle de gravitatin W(z) d'une particule et que l'n peut avir l'évlutin de la densité de ces particules n(z) en fnctin de cette énergie ptentielle de gravitatin W(z). ANNEXE 1 Cmment truve-t-n la slutin de l'équatin différentielle du premier rdre dy = C y dx (53) On écrit cette relatin sus la frme dy = C dx y (54) On intègre les deux membres de cette égalité Ce qui dnne dy = C dx y (55) Ln y = Cx + cnstante (56) Or c'est la fnctin y(s) qui nus intéresse et nn pas Ln y d'ù en se rappelant que la fnctin inverse du lgarithme népérien est la fnctin expnentielle, n a finalement y = exp (C x + cnstante) (57) Ce qui peut s'écrire sus la frme y = [ exp (cnstante)] [ exp C x ] (58) y = A exp C x 11