Chap. C1 : structure et arithmétique dans Z (fin)

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1 Chap. C1 : structure et arthmétque dans Z (fn) The aftermath of Gauss... or the math after Gauss (P. Rbenbom, My Number My frends). V Nombres premers 1) Proprétés élémentares a) Défnton : () Termnologe : sot a Z. Le nombre a est toujours dvsble par 1, 1, a, a. Ces dvseurs sont appelés les dvseurs trvaux de a. () Déf. : un nombre a Z est dt premer s les deux condtons suvantes sont réalsées : (C1) le nombre a n est pas nversble.e. a / { 1, 1}, (C2) le nombre a n admet pas de dvseur non trval. Autrement dt a est premer s, et seulement s, l admet exactement quatre dvseurs dstncts 1, 1, a, a. () Schole : La déf. du () semble un peu lourde mas l est essentel, pour la sute de la théore, de ben mentonner que les nversbles 1 et 1 ne sont pas premers. La condton (C2) content beaucoup de négatons : l sera plus commode par la sute de la remplacer par la caractérsaton c-dessous des nombres non premers. Pour formuler cette caractérsaton, encore un peu de : Termnologe : On dt qu un nombre n s écrt comme une produt non trval n = ab s n a n b ne sont nversbles.e. n a n b ne valent ±1. A contraro, on dra par exemple que l écrture 2 = 1 2 ou 2 = ( 1) ( 2) sont des produts trvaux ou des décompostons trvales de 2. Remarque : Pour qu un produt n = a.b sot non trval l est équvalent de dre que (tros formulatons équvalentes) : a 1 et b 1, a n et b n 1 < a < n. (v) Caractérsaton (workng-def. de la prmalté, par la négaton) Sot n Z { 1, 1} (on exclut les nversbles). Alors : n n est pas premer s, et seulement s, n s écrt comme un produt non trval n = a.b avec 1 < a < n (et donc 1 < b < n ). Preuve : Sens : s n s écrt comme un produt non trval n = a.b alors a et b sont des dvseurs non trvaux de n et donc n n est pas premer (cf. (C2) du ()). Sens : s n n est pas premer, comme la condton (C1) du () est vérfé, c est que la condton (C2) ne l est pas, donc l a un dvseur a non trval, tel que 1 < a < n. Par déf. de la dvsblté, on a donc un b tel que n = a.b, avec 1 < a < n, donc une écrture de n comme un produt non trval. (v) Exemples de petts nombres premers : 2, 3, 5, 7, 11 mas auss 2, 3, 5, 7, 11. N.B. Rapdement, on se rédura à consdérer les nombres premers dans N, et on notera (ce n est pas standard) P l ensemble des nombres premers dans N. b) Prop. fondamentale pour la dvsblté par les nombres premers : () Sot p P un nombre premer. Sot a Z quelconque. On a toujours l alternatve suvante : ou ben p a, ou ben p a = 1. Preuve : Notons d = p a. Comme p est premer et que d est un dvseur postf de p, on a deux cas possbles seulement d = p ou d = 1, qu donnent les deux cas de l énoncé. L alternatve précédente a pour corollare la très mportante proprété suvante : 1

2 () Prop. (lemme d Euclde) : Sot p Z un nombre premer. Soent (a, b) Z 2 quelconque tels que p (ab). Alors p a ou p b. Généralsaton : S p P et p (a 1... a n ) alors 1, n, p a. Retenr, en franças : s un nombre premer dvse un produt, l dvse un des facteurs. Preuve On prouve drectement la verson générale, par contraposée. Par l alternatve du (), comme p est premer, dre que p ne dvse aucun des a sgnfe qu l est premer avec chacun des a. Alors par le lemme conséquence de Bézout du IV 7 b), on en dédut que p est premer avec le produt a 1... a n et donc que p ne dvse par a 1... a n. c) Obtenton des nombres premers nféreurs à un N donné : crble d Eratosthène d) Prop. Tout nombre a Z { 1, 1} admet un dvseur premer. Démonstraton 1 : par réc. forte, cf. chap. A2. Démonstraton 2. en remplaçant la récurrence par l exstence d un mn. pour toute parte non vde de N. Sot a Z { 1, 0, 1}. (Le cas de 0 est trval, tout le monde dvse 0). L ensemble des dvseurs de a dans N {1} est une parte non vde de N (car elle content a ), donc admet un plus pett élément qu on note p. Alors p est premer, car s p n état pas premer, un dvseur postf non trval de p donnerat un élément de strctement nféreur à p, contradcton. e) Théorème d Euclde : L ensemble P des nombres premers dans N est nfn Preuve (à ben connaître, au patrmone mondal de l humanté). Par l absurde, supposons que P est fn, de cardnal n, et notons P = {p 1,..., p n}. Consdérons A = (p 1... p n) + 1 N. Alors pour tout 1, n, on a une relaton de Bézout évdente A c p = 1 où c = p 1... p 1p p n de sorte que A p = 1. Or, par le d), A dot avor un dvseur premer p 0 P, contradcton. 2) Décomposton en facteur premers : théorème fondamental de l arthmétque (Gauss) a) Théorème d exstence et d uncté de la D.F.P. () Théorème Sot a Z {0, 1, 1}. Sot P l ensemble des nombres premers dans N. Alors a s écrt de manère unque a = εp α pαr r, où : ε { 1, 1} est donné par le sgne de a, p 1 < p 2 < < p r sont dans P et les exposants α 1,... α r sont des enters non nuls. () Schole : La parte la plus mportante de ce théorème est l uncté de la décomposton. () Preuve (non exgble, mas pas dffcle. L uncté repose de manère essentelle sur la prop. fondamentale de la dvsblté par les nombres premers (cf. 1) b) ()).) Exstence : preuve par récurrence forte avec le 1) d). Uncté : Supposons que n N at deux écrtures n = r p α s = q β j j =1 j=1 ( ) vérfant les condtons du théorème. Alors, pour chaque j 1, s, q j ( p α ). r =1 2

3 Par la prop. fondamentale pour la dvsblté par les nombres premers (lemme d Euclde 1) b) ()), on en dédut qu l exste un 1, r tel que q j dvse l un des p, et comme ls sont premers, q j = p. En notant P = {p 1,..., p r} et Q = {q 1,..., q s} cec montre que Q P et par symétre du rasonnement, on a l égalté P = Q et en partculer r = s et comme les nombres sont ordonnés dans l ordre crossant p = q pour tout 1, r. Ans ( ) devent : n = r p α r = p β =1 =1 et reste à montrer que pour tout = 1,..., r, on a α = β. Or s, par l absurde, pour un 1, r p.ex. α > β alors en smplfant ( ) par p β, on obtent que le premer membre content encore une pussance non trvale de p alors que le second non et donc p dvse le produt et avec le même rasonnement que dans la premère parte de la preuve, on j 1,r {} p β j j ( ) en dédut que p est égal à l un des p j pour j, ce qu est une contradcton. Cec achève la preuve de l uncté. b) Défnton des valuatons p-adques : () Déf. (ne nécesste pas le thme de D.F.P.) : Sot n Z et p P. La valuaton p-adque de n, notée v p (n) est par déf. le plus grand enter α tel que p α n. Exstence clare, car {a N, p a n} content 0, donc est non vde, et majoré par n par exemple. () Remarque : v p (n) = 0 s, et seulement s, p ne dvse pas n. () Caract. (workng-def.) α = v p (n) n = p α m avec m p = 1. Preuve : Pour p premer, on se souvent que p ne dvse pas m équvaut à p m = 1. (v) Exemple : pour n = , v 2 (n) = 4, v 3 (n) = 6, v 5 (n) = 1 et les autres v p (n) sont nulles. c) Traducton effcace du théorème de D.F.P. avec les valuatons p-adques : () Réécrture de la décomposton en facteur premer : Pour n Z, n = εp vp 1 (n) vpr (n) 1... pr où ε { 1, 1} et p 1 < p 2 < < p r sont les nombres premers dvsant n. Verson plus snob : n = ε p vp(n). p P N.B. produt faussement nfn, car l n y a qu un nombre fn de facteurs dfférents de 1). () Conséq. du thme de D.F.P. : (m, n) Z 2, m n p P, v p (m) v p (n). Preuve : Le sens est évdent : s v p(m) = α on a m = p α m 1 et l exste k Z tel que n = km donc n = kp α m 1. Le sens utlse le thme de D.F.P. : on note k = ε p vp(n) vp(m), où ε = sgn(n/m), on a k Z et p P n = km par le thme de D.F.P. La caract. précédente de la dvsblté avec les v p est très utle pour les exercces. () Exercce d applcaton à fare : montrer que (m, n) Z 2, m n m 2 n 2. (v) Conséq. du (), mas auss, formulaton équvalente de l uncté de la D.F.P. : (m, n) (Z ) 2, m = n p P, v p (m) = v p (n). d) Proprété utle des valuatons p-adques : (a, b) (Z ) 2, p P, v p (ab) = v p (a) + v p (b) et v p (a + b) mn(v p (a), v p (b)). e) Applcaton au P.G.C.D., P.P.C.M. : () Exemple concret. 3

4 () Prop. Sot (a, b) (Z ) 2. Alors d = a b ss d > 0 et p P, v p (d) = mn(v p (a), v p (b)). m = a b ss m > 0 et p P, v p (m) = max(v p (a), v p (b)). Preuve : avec la caract. de la dvsblté avec les v p et les prop. vues que les pgcd et ppcm réalsent un max et mn pour la dvsblté () Prop. : Egalté ab = (a b)(a b). VI Applcaton de l arthmétque aux nombres ratonnels et rratonnels 1) Ecrture rréductble d un nombre ratonnel Prop-déf. () r Q,!(a, b) Z N, r = a b, et a b = 1. L écrture a s appelle l écrture b rréductble de la fracton r. () Meux s r = a/b est l écrture rréductble de r alors pour toute autre écrture r = x/y l exste un k Z tel que x = ka et y = kb. Exemple L écrture rréductble de 6/8 est 3/4. Preuve de l exstence au (). Par déf. des ratonnels, s r Q, on peut l écrre r = x/y avec x Z et y N. Sot d = x y, et x = ad, y = bd. Alors on a vu que a b = 1, et en smplfant x = a/b. Preuve de la proprété du (). S on a une écrture r = x/y = a/b avec a b = 1, alors bx = ay ( ) donc a bx et comme a b = 1, par lemme de Gauss, on conclut que a x, donc qu l exste k Z tel que x = ka. Cec, dans ( ), donne à son tour que y = kb. Preuve de l uncté au (). Avec la prop. du (), s on a deux écrture x = a/b = a /b avec a b = 1 et a b = 1, par (), b b et b b et comme ls sont postfs, b = b, pus on en dédut a = a. 2) Exemples de nombres rratonnels a) Exercce fat en Termnale : Montrer que 2 n est pas un nombre ratonnel. La preuve vue sans doute en Termnale, qu est celle d Euclde, éléments Lvre X. Par l absurde supposons que 2 = m n avec (m, n) (N ) 2 premers entre eux. On en dédut que m 2 = 2n 2 ( ) (Réflexe : toujours se ramener à une égalté dans Z). On a alors 2 dvse m 2. Montrons que cela entraîne que 2 dvse m : pluseurs justfcatons possbles () S un nombre premer dvse un produt, l dvse un des facteurs (lemme d Euclde) c : 2 dvse m 2 = m m donc dvse m. () Avec la D.F.P. v 2 (m 2 ) = 2v 2 (m), donc s v 2 (m 2 ) > 0 alors v 2 (m) > 0. Ans m = 2m 1 ce qu avec ( ) entraîne que 2n 2 = 4m 2 1, donc 2m 2 1 = n 2 donc 2 n 2 et donc de même 2 n et cela entraîne que 2 est un dvseur commun à m et n contradcton. b) Preuve smplfée quand on a meux comprs la D.F.P. S on a 2 = m n avec (m, n) Z2 alors on a une égalté m 2 = 2n 2 ( ) avec (m, n) Z 2. Mas cette égalté est mpossble par uncté de la D.F.P. : dans l équaton à gauche la valuaton 2-adque est pare, à drote elle est mpare, contradcton c) Généralsaton : Sot a N qu n est pas le carré d un enter. Montrer que a / Q. Sot a N qu n est pas le carré d un autre enter. En terme de D.F.P., cela équvaut à dre qu l exste un p P tel que v p (a) est mpare (H). Montrons qu alors a / Q. Par l absurde, s on a un couple (m, n) Z 2 tel que a = m/n alors m 2 = an 2 ( ). Consdérons alors la valuaton p-adque des deux membres de ( ). Par (H) celle du membre de drote est mpare alors que celle du membre de gauche est pare. Contradcton. VII Retours aux anneaux de congruence : 1) Intégrté, nversblté pour la multplcaton, les corps Z/pZ 4

5 a) b) () Défnton : un anneau commutatf (A, +, ) est dt ntègre s, et seulement s, (a, b) A 2, a.b = 0 a = 0 ou b = 0. () Exemple : (Z, +, ) est ntègre. Tout corps, tout sous-anneau d un corps est ntègre. (En effet, s A K où K est un corps, et s ab = 0 avec a 0, en multplant par l nverse de a qu exste dans K, on obtent b = 0). En revanche, (Z/6Z, +, ) n est pas ntègre. Thme : Z/nZ est un corps ss l est ntègre ss n est premer (dém.). L nverse d un k Z/pZ est obtenu avec le coeff. u d une dentté de Bézout entre k et p. c) Généralsaton : pour n N 2 quelconque, k Z/nZ est nversble ss k n = 1. 2) Applcatons de la structure de corps, d anneau de Z/pZ, Z/nZ a) Résoluton d équatons du premer degré : ax + b c[p] : nverser ā Z/pZ. Exple. Même pour n non premer, la méthode précédente s applque dès que ā nversble dans Z/nZ. Exple de 5x [24]. Cas contrare 6x 0 [24]. b) Recherches de racnes carrées. () Equaton du second degré la plus smple : x 2 = ā dans Z/pZ. Exple : équaton x 2 = 2 dans Z/7Z. On regarde la lste de tous les carrés dans Z/pZ. () Prop. (dém.) Dans tout corps (ou même tout anneau ntègre) un nombre a au plus deux racnes carrées, opposées. c) Equaton générale du second degré ax 2 + bx + c = 0. () Dans tous les corps où 2 0 (.e. 2.1 K 0 K ) : la forme canonque ramène au pb de savor s est un carré. Ensute les formules sont les mêmes une fos trouvé δ tel que δ 2 =. () Exple : Equaton x 2 x 1 = 0 dans Z/11Z. Sot on refat la forme canonque, sot (dans un pb. où on aurat déjà fat le ()) on applque drectement les formules en cherchant une racne carrée de δ. 3) Congruences smultanées : théorème des restes Chnos x a [m] Problème : résoluton d un système ou avec davantage de congruences. x b [n]. a) Premers exemples à la man : x 4 [5], Résoudre le système. x 3 [6] b) Cas général pour deux congruences : () C.N. m n = 1 pour l exstence de soluton pour tout (a, b) Z 2. () Récp. Théorème Chnos : Pour tout couple (m, n) Z 2 avec m n = 1, et pour tout (a, b) Z 2 x a [m], en notant S x b [n]. le système S admet toujours une soluton x 0 Z et x vérfe (S) ss x x 0 [mn]., x a [m] () Cas partculer mportant : pour m n = 1, x a [mn] x a [n] c) Exemple concret : chercher les x tels que x 3 [7] et x 12 [20]. () On peut fare comme au a). () Avec le théorème Chnos du (b) (), on sat que l ensemble des solutons est de la forme x Z car 7 20 = 1. On trouve l unque x 0 1, 140 en testant les dfférents représentants de 12 modulo ) Sutes de pussances dans Z/pZ, pett théorème de Fermat 5

6 a) Thm (au programme!) (Fermat) S p premer, a Z, a p a [p] Corollare : s ā 0 dans Z/pZ, ā p 1 = 1. La sutes de (ā k ) k N est p 1-pérodque (Très utle en exercce, comparer ex. III) b) Un détour par la formule du bnôme : () La formule du bnôme est valable pour (a, b) A 2, avec A anneau commutatf. () Une égalté sur les bnomaux : ( n k ) = n k (n 1 k 1 ). Conséquence : s n k = 1 alors n ( n k ). Cas partculer p premer : p ( p ) pour k 1, p 1. k () Appl. (x + y) p = x p + y p pour (x, y) (Z/pZ) 2. c) Applcaton : preuve par récurrence du pett thm. de Fermat. 6

7 Appendce : mémento sur les structures groupes-anneaux-corps Groupe : Sot G un ensemble. On dt que (G, ) est un groupe ss a) est une l.c.. de G, b) est assocatve, c) admet un élément neutre, d) tout élément de G admet un symétrque pour N.B.S la lo n est pas commutatve, la vérfcaton pour le neutre et les symétrques consste en chaque fos en deux égaltés. Moralté : Pour montrer que (G, ) est un groupe abélen on montre (dans cet ordre!)) que : a) est une l.c.. de G, b) est assocatve, c) est commutatve, d) admet un élément neutre, e) tout élément de G admet un symétrque pour. Une fos montrée la commutatvté, la vérfcaton qu un élément e est neutre est plus commode : on montre que a G, e a = a (au leu de cec et a e = a). De même pour les symétrques. On rappelle auss que s la lo est notée + le neutre est noté 0 ou 0 G et dans ce cas les symétrques sont notés avec un. Sous-groupe, pont de vue pratque (Workng-def.) Sot (G, ) un groupe et H un sous-ensemble de G. Pour montrer que : H est un sous-groupe de (G, ), on montre que : a) pour tout (h, h ) H 2, h h H, b) le neutre e de G est dans H, c) pour chaque élément de H, son symétrque pour (qu exste dans G) est dans H Prop. : Un sous-groupe d un groupe (G, ) est alors automatquement un groupe et un sous-groupe d un groupe abélen est automatquement abélen. Sous-groupe, pont de vue conceptuel Sot (G, ) un groupe et H G. Alors : H est un sous-groupe de (G, ) s, et seulement s, la restrcton de à H H fat de H un groupe de même neutre que G. Détal pour la preuve : On prend comme déf. de sous-groupe les 3 axomes donnés à la W-def. précédente. Le sens a été vu en cours. Il sufft de savor que l assocatvté, vrae dans G, se transmet automatquement à H. Le sens : on veut montrer les tros axomes de la workng-def. c-dessus. Or on sat que H H H H H autrement dt, on a la proprété (1) de stablté de H par, On a le même neutre par hyp. Sachant que le neutre e de G est dans H, b est symétrque de a dans H ss a b = b a = e, ce qu est la même déf que dans G. Le fat que (H, ) sot un groupe donne donc que pour tout a H, son symétrque ã G est dans H. D où la prop. (3). 7

8 Anneau : Sot A un ensemble mun de deux l.c.. qu on note + et. On dt que (A, +, ) est un anneau ss a) (A, +) est un groupe abélen, dont le neutre est noté 0 A. b) est une l.c.. de A assocatve avec neutre, ce neutre est noté 1 A. c) est dstrbutve par rapport à + ce qu, dans le cas où n est pas commutatve, sgnfe deux égaltés : (a, b, c) A 3 a (b + c) = a b + a c,, (b + c) a = b a + c a. Remarque : Ans + est toujours supposée commutatve, alors que pas forcément, On verra des exemples d anneaux non commutatfs quand on parlera de matrces. Anneau commutatf : les axomes précédents et commutatf. Cette défnton est tallée sur mesure pour : (Z, +, ) le segneur des anneaux commutatfs. Pour chaque structure, on peut défnr une sous-structure : Sous-anneaux, pont de vue pratque (W-Def) : Sot (A, +, ) un anneau et B A. On dt que B est un sous-anneau de (A, +, ) ss : a) B est un sous-groupe de (A, +), b) B est stable par (ou encore est une l.c.. de B), c) B content l élément unté 1 A. Prop. : S B est un sous-anneau de (A, +, ) alors (B, +, ) est un anneau. Preuve de la proprété : Toutes les proprétés qu s écrvent par des égaltés sur les éléments, s elles sont vraes pour tous les éléments de A, seront vraes en partculer pour tous les éléments de B. Ic, avec la déf. de B sous-anneau, on a automatquement les prop. suvantes : commutatvté et assocatvté de + dans B, assocatvté de dans B, et dstrbutvté. Ce sont exactement les prop. qu manquaent pour vérfer les axomes d anneau pour B. Les prop. que l on dot garder pour vérfer sous-truc (c sous-anneau) sont les prop. assurant la stablté par les los et la présence d éléments (neutres, symétrques. Celles qu sont automatques : les prop. vérfées par tous les éléments... Comme pour les groupes, on a auss un autre pont de vue pour donner la déf. de sous-anneau Sous-anneaux, pont de vue conceptuel Sot (A, +, ) un anneau et B A. On dt que B est un sous-anneau de (A, +, ) ss les restrctons de + et à B font de B un anneau avec les mêmes neutres. Preuve : analogue à celle donnée pour les groupes. Corps : On dt que (K, +, ) est un corps ss a) (K, +) est un groupe abélen, dont le neutre est noté 0 K, b) en notant K = K {0 K }, (K, ) est un groupe abélen c) est dstrbutve par rapport à +. Remarque : Les corps sont des anneaux melleurs que les autres, car tous les éléments non nuls sont nversbles. Exemples (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ). Notez ben que dans la déf. c-dessus, on suppose que la multplcaton est commutatve, ce qu est spécfé dans le programme. On parlera (du coup bzarrement) de corps non commutatf s la multplcaton n est pas commutatve. Sous-corps : S (K, + ) est un corps, et L K, on dt que L est un sous-corps de (K, +, ) ss a) L est un sous-groupe de (K, +), b) L = L {0} est un sous-groupe de (K, ). 8