Intégrales de fonctions de plusieurs variables

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1 Intégrles de fonctions de plusieurs vribles 1

2 Vous connissez les intégrles de fonctions d une vrible (prfois ppelée intrégrles simples). Si f est une fonction d une vrible, l intégrle de f sur un intervlle [, b] que l on note f(x)dx mesure l ire de l région du pln située entre l xe des bscisses et le grphe de f, u-dessus de l intervlle [, b]. Pour clculer cette intégrle, il suffit de trouver une primitive de f, c est-à-dire une fonction F dont l dérivée est égle à f ; on lors f(x)dx F (b) F (). Le but des chpitres qui suivent est de définir une notion d intégrle pour les fonctions de plusieurs vribles. L une des nouveutés est l richesse des domines sur lesquelles on peut intégrer. En effet, le domine d intégrtion d une intégrle simple est toujours un intervlle (ou une union d intervlles). Pr contre, on peut intégrer une fonction de deux vribles sur un rectngle, un disque, un domine entouré pr une courbe compliquée (on prle d intégrles doubles). On peut intégrer une fonction de trois vribles sur une sphère, un cylindre, un cône, un ellipsoïde, etc. (on prle d intégrles triples). Vous verrez que l on peut ussi intégrer des fonctions de deux vribles le long de courbes : on prle d intégrles curvilignes. Vous pprendrez églement à relier ces différents types d intégrles : certines intégrles curvilignes le long d une courbe fermée C peuvent s exprimer comme des intégrles doubles sur l région du pln entourée pr C (c est l formule de Green-Riemnn). es intégrles de fonctions de plusieurs vribles interviennent dns toutes sortes de problèmes. Voici quelques exemples (choisis à peu près u hsrd, volontirement très simplifiés, et de ce fit peu rélistes). Vous souhitez clculer le volume d une cheminée centrle nucléire. Celle-ci est comme toujours en forme d hyperboloïde (pour des risons de solidité et de simplicité de construction). Le volume de l cheminée s exprime à l ide d une intégrle triple fcile à clculer. Vous étudiez le chmp mgnétique créé pr une bobine dns lquelle circule un cournt électrique. L vleur du chmp en un point s exprime à l ide d une intégrle triple que vous devrez évluer. Notons que l on ne sit ps clculer explicitement cette intégrle ; on doit donc l estimer numériquement à l ide d un ordinteur ; on peut ussi clculer une vleur pprochée du chmp près de l xe de l bobine à l ide de développements limités). 2

3 Vous étudiez une sonde sptile, soumise à l ttrction du Soleil et des plnètes à proximité desquelles elle psse, et munie de moteurs lui permettnt de suivre une trjectoire clculée à l vnce. Vous voulez clculer le trvil de l force d ttrction qu exerce le Soleil et les plnètes sur l sonde u cours de son trjet (ce clcul est entre utre nécessire pour évluer l énergie que consomeront les moteurs de l sonde u cours du trjet). Ce trvil s exprime à l ide une intégrle curviligne le long de l trjectoire de l sonde. En générl, on ne sur ps clculer cette intégrle explictement (à moins que l trjectoire de l sonde ne soit très simple), et on devr voir recours à un clcul numérique. J i évoqué ci-dessus, à deux reprises, l nécessité de recourrir à des instruments numériques pour clculer certines intégrles. e fit, clculer des intégrles n est ps une tâche isée. Clculer l dérivée d une fonction est toujours possible, et reltivement fcile : il suffit d ppliquer un certin nombre de règles de clcul bien connues ; il s git d une procédure purement lgorithmique. Pr contre, si on se donne une fonction f d une vrible u hsrd, il ne ser ps possible, en générl, de clculer explicitement une primitive de f. Même lorsque cel est possible, il n existe ps de procédure lgorithmique qui fournit l primitive de f : il fut deviner quelle est l bonne méthode à ppliquer (intégrtion pr prtie, chngement de vrible) pour obtenir l primitive de f. C est pourquoi clculer des intégrles de fonctions d une vrible, et fortiori des intégrles de fonctions de plusieurs vribles ne peut s pprendre que pr l prtique. 3

4 Chpitre 8 Rppels sur les intégrles de fonctions d une vrible 8.1 Primitives et intégrles éfinition (Primitive d une fonction). Une primitive d une fonction d une vrible f est une fonction F dont l dérivée est égle à f. Proposition (Existence et qusi-unicité d une primitive). Toute fonction continue d une vrible f dmet des primitives. e plus, (sur tout intervlle contenu dns l ensemble de définition de f) l différence entre deux primitives de f est une constnte. L existence de primitive n est ps fcile à démontrer. Pr contre, il est très fcile de voir que l différence entre deux primitives d une même fonction est une constnte : en effet, si F 1 et F 2 sont deux primitives d une fonction f, lors l dérivée de F 2 F 1 est nulle (puisque F 2 et F 1 ont l même dérivée f) ; pr conséquent, F 2 F 1 est une constnte (sur tout intervlle contenu dns son ensemble de définition). Considérons mintennt une fonction continue d une vrible f, et un intervlle I [, b] contenu dns l ensemble de définition de f. Puisque f est continue, elle dmet une primitive F. e plus, l différence F (b) F () ne dépend ps du choix de l primitive F. En effet, si G est une utre primitive de f, lors il existe une constnte c tel que G F c ; pr conséquent, G(b) G() F (b) + c (F () + c) F (b) F (). Ceci nous permet de définir l intégrle de f sur l intervlle I [, b] : éfinition (Intégrle d une fonction d une vrible). Soit f une fonction. On ppelle intégrle de f sur l intervlle I l quntité : f(x)dx F (b) F (). Remrque. L nottion dx réfère à une vrition infinitésimle de l vrible x. L nottion f(x)dx indique que l on intègre l quntité f(x) lorsque l vrible x vrie entre les 4

5 bornes et b. ns cette nottion, x est une vrible muette ; on peut remplcer x pr une utre vrible sns que cel ne chnge le résultt : f(x)dx f(y)dy f(t)dt 8.2 Intégrle et ire sous le grphe f(u)du... Les intégrles ont été inventées pour clculer des ires. Considérons pr exemple une fonction continue d une vrible, et un intervlle I [, b] inclus dns le domine de définition de f. Pour simplifier on suppose f positive. L intégrle f(x)dx été définie pour clculer l ire de l région S du pln délimitée pr l droite verticle x, l droite verticle x b, l xe des bscisses, et le grphe de f (figure ci-dessous). Pour que cel it un sens, il fut u prélble définir ce qu on entend pr l ire d une région Comment définir l ire d une région du pln? Commençons pr formuler un certin nombre d exigences : 1. Tout d bord, si 1 et 2 sont deux régions telles que 1 est contenue dns 2, on veut que l ire de 1 inférieure à l ire de Ensuite, si 1 et 2 sont deux régions disjointes, on veut que l ire de 1 2 soit égle à l somme de l ire de 1 et de l ire de Enfin, on veut que l ire d un crré de côté soit égl à 2. Ces trois exigences nous suffisent à définir l ire de n importe quelle région pr trop biscornue du pln. Considérons une région bornée du pln. Si on peut fire tenir n crrés de côtés ɛ deux-à-deux disjoints à l intérieur de l région, lors les conditions 1, 2 et 3 impliquent imméditement que l ire de (si tnt est que l on puisse l définir) doit être supérieure à n.ɛ 2 (figure ci-dessous à guche). e même, si on peut recouvrir l région pr n + crrés de côtés ɛ, lors les conditions 1, 2 et 3 impliquent imméditement que l ire de doit être inférieure à n +.ɛ 2 (figure ci-dessous à droite). Pr illeurs, si on l impression que, si on choisit ɛ très petit, l région ser très bien pprochée pr une union de crrés de côté ɛ. Résumons cel dns une définition formelle : 5

6 éfinition (Aire d une région du pln). Soit une région bornée du pln. Pour tout ɛ > 0, on note n ɛ le nombre mximum de crrés de côté ɛ deux-à-deux disjoints que l on peut fire tenir dns l région, et on note n + ɛ le nombre minimum de crrés de côté ɛ nécessires pour recouvrir entièrement l région. On dit que l région est qurrble si les quntités n ɛ.ɛ 2 et n + ɛ.ɛ 2 ont l même limite qund ɛ tend vers 0. Cette limite commune est lors pr définition l ire de l région. Autrement dit : Aire() lim ɛ 0 n ɛ.ɛ 2 lim ɛ 0 n ɛ.ɛ 2. Il existe des régions du pln ( très biscornues ) telles que les quntités n ɛ.ɛ 2 et n ɛ.ɛ 2 n ont ps de limites qund ɛ tend vers 0, insi que des régions telles que les quntités n ɛ.ɛ 2 et n ɛ.ɛ 2 ont des limites différentes qund ɛ tend vers 0. L ire de telles régions ne sont ps ququrrblerrbles ; leur ire n est ps bien définie. Nénmoins, toute les régions dont le bord est défini à l ide de fonctions continues sont qurrbles Interpréttion des intégrles simples en termes d ire. Nous sommes mintennt en mesure d énoncer des résultts qui interprètent l intégrle d une fonction d une vrible comme l ire d une région du pln. Pour simplifier, commençons pr le cs de l intégrle d une fonction positive : Proposition (Lien entre ire et intégrle I). Soit f une fonction d une vrible, et [, b] un intervlle contenu d ns l ensemble de définition de f. On suppose f continue et positive sur [, b]. On note l région située entre les droites verticles x et x b, u-dessus de l xe des bscisses et en dessous du grphe de f. Alors l région est qurrble, et on (voir l figure de l pge précédente). f(x)dx Aire() L proposition ci-dessus fit le lien entre ire et intégrle d une fonction continue positive. Pour une fonction continue de signe quelconque, il fut distinguer l prtie du grphe de f située u-dessus de l xe des bscisses et celle située en dessous : Proposition (Lien entre ire et intégrle II). Soit f une fonction d une vrible, et [, b] un intervlle contenu d ns l ensemble de définition de f. On note + l région située entre les droites verticles x et x b, u-dessus de l xe des bscisses et en dessous 6

7 du grphe de f (région bleue sur l figure ci-dessous). On note l région située entre les droites verticles x et x b, en-dessous de l xe des bscisses et u-dessus du grphe de f (région june sur l figure ci-dessous). Alors les régions et + sont qurrbles, et on f(x)dx Aire( + ) Aire( ). Remrque. L mnière dont j i présenté les intégrles ci-dessus est l plus simple, mis ce n est ps l plus logique. En effet, si on voulit démontrer l proposition (l existence d une primitive pour toute fonction continue), il fut commencer pr démontrer une prtie de l proposition (le fit que l région située entre l xe des bscisse et le grphe d une fonction continue est qurrble). L présenttion que j i choisie ci-dessus un gros vntge : elle permet de donner très rpidement une définition de l intégrle d une fonction continue f (comme différence de vleurs d une primitive de f). Cette définition est effective : elle permet de clculer des intégrles. 8.3 Clcul des intégrles Pour clculer l intégrle d une fonction f sur un intervlle [, b] revient nous l vons dit à trouver une primitive de f. Héls, ce n est ps toujours possible : il n existe ucun lgorithme qui permettrit de trouver une expression explicite d une primitive de n importe quelle fonction (elle-même donnée pr une formule explicite). Il existe cependnt un certin nombre de méthodes qui, utilisées judicieusement, permettent de clculer des primitives pour certines fonctions simples. Nous llons rppeler ces méthodes. Tout d bord, on connit des primitives pour l pluprt des fonctions de bse : 7

8 Fonction Primitive x x α pour α 1 x xα+1 α+1 + constnte x 1 x x ln x + constnte x exp(x) x exp(x) + constnte x ln(x) x x ln(x) x + constnte x sin(x) x cos(x) + constnte x cos(x) x sin(x) + constnte x tn(x) x ln cos(x) + constnte x cosh(x) x sinh(x) + constnte x sinh(x) x cosh(x) + constnte Le tbleu ci-dessus fournit les briques de bses pour clculer des primitives. Héls, il n est ps fcile de combiner ces briques de bses entre elles. Certes, pour l somme et le produit pr une constnte, tout se psse bien : Proposition Si F et G sont respectivement des primitives de f et g, lors F + G est une primitive de f + g. Si F est une primitive de f, et si λ est une constnte, lors λf est une primitive de λf.... mis ç se gâte pour le produit, pour le quotient et l composée de deux fonctions : Même si on connit des primitives des fonctions f et g, on ne sit en générl clculer ni une primitive du produit fg, ni une primitive du quotient f g, ni une primitive de l composée f g. Il y cependnt quelques résultts qui ident à s en sortir dns certin cs. Tout d bord, si on connit une primitive de f, lors, pour toute fonction dérivble u, on connit une primitive de l fonction x u (x).f(u(x)) : 8

9 Proposition Si F est une primitive de f, et si u est une fonction dérivble, lors x F (u(x)) est une primitive de l fonction x u (x).f(u(x)) L preuve de cet énoncé est immédite : il suffti de dériver x F (u(x)). Cet énoncé est cependnt très souvent utile. Il nous dit pr exemple que, pour toute fonction dérivble u, l fonction x ln u(x) est une primitive de l fonction u (x) u(x) (là où cel un sens, c est-à-dire en dehors du lieu où u s nnule). C est insi que nous vons pu ffirmer plus hut que l fonction x ln cos(x) est une primitive de l fonction x tn(x) sin(x) cos(x). Si on doit clculer l primitive d un produit de fonctions, on peut prfois utiliser l formule d intégrtion pr prtie pour trnsformer ce produit en un utre : Proposition (Intégrtion pr prtie). Soient f et g deux fonctions d une vrible, que l on suppose dérivbles, et définies (u moins) sur un intervlle [, b]. On f (x)g(x)dx f(b)g(b) f()g() f(x)g (x)dx. émonstrtion. L dérivée de fg est f g+fg. Autrement dit fg est une pirmitive de f g+fg. Pr définition de l intégrle, on donc f (x)g(x) + f(x)g (x) dx f(b)g(b) f()g(). Exemple. Supposons que l on veuille clculer x sin(x)dx. L intégrnde est le produit de l fonction x sin(x) et de l fonction x x. Appliquer l formule d intégrtion pr prtie, nous conduir à remplcer l une de ces fonctions pr s dérivée, et l utre pr s primitive. Cel ser-t-il vntgeux? On remrque que l dérivée de l fonction x x est une constnte (ce qui simplifie considérblement l sitution, et que l primitive de l fonction x sin(x) est x cos(x) (qui n ets ni plus ni moins compliquée que x sin(x)). L intégrtion pr prtie semble donc vntgeuse. On pose f (x) sin(x) et g(x) x, et on obtient x. sin(x)dx b cos(b) + cos() L intégrle est clculée. cos(x)dx b cos(b) + cos() sin(b) + sin(). Enfin, un outil très puissnt mis difficile à mnipuler pour clculer des intégrles est le théorème de chngement de vrible : Théoreme (Théorème de chngement de vrible). Soit [, b] un intervlle de R, soit u une fonction définie (u moins) sur [, b] et dérivble, et soit f une fonction continue définie (u moins) sur l imge de l intervlle [, b] pr u. Alors on f(u(x))u (x)dx u(b) u() f(t)dt. émonstrtion. Soit F une primitive de f. Alors x F (u(x)) est une primitive de l fonction x f(u(x))u (x) (proposition 7.3.2). Pr définition de l intégrle, on donc f(u(x))u (x)dx F (u(b)) F (u()). 9

10 Pr illeurs, puisque F est une primitive de f, on, à nouveu pr définition de l intégrle, u(b) u() f(t)dt F (u(b)) F (u()). En mettnt ensemble ces deux églités, on obtient l formule de chngement de vribles. En prtique (chngement de vrible). Il existe deux fçon d ppliquer les théorème de chngement de vrible : En simplifint l intégrnde. On une intégrle g(x)dx à clculer. On remrque que g(x) est presque de l forme f(u(x)) (ou mieux f(u(x))u (x)). On chnge lors de vrible en posnt t u(x) (sns oublier que l on lors dt u (x)du). On obtient lors l intégrle d une fonction plus simple... ce qui permet prfois de terminer le clcul. En compliqunt l intégrnde. On une intégrle d c f(t)dt à clculer. Héls on ne connit ps de primitive de f. On peut lors essyer de poser t u(x), et de réécrire notre intégrle sous l forme f(u(x))u (x)dx. L nouvelle fonction à intégrer est :emph priori plus compliquée ; il rrive nénmoins que l on connisse une primitive de cette fonction plus compliquée. Bien sûr, toute l difficulté consiste à choisir stucieusement l fonction u pour obtenir une fonction f(u(x))u (x) dont on sit clculer une primitive... Exemple (Un chngement de vrible où on simplifie l intégrnde ). Supposons que l on veuille clculer l intégrle 1 e 2x 0 e x +1 dx. On remrque e2x (e x ) 2. L intégrnde est donc de l forme f(u(x)) vec u(x) e x, et même de l forme g(u(x)).u (x). On fit donc le chngement de vrible t e x (d où dt e x dx), et on obtient 1 0 e 2x 1 e x + 1 dx 0 L intégrle est clculée. e x e e x + 1 ex dx te x 1 t t + 1 dt e t + 1 dt [t ln(t + 1)]e 1. Exemple (Un chngement de vrible où on complique l intégrnde ). Supposons que l on veuille clculer l intégrle π 0 1 t 2 dt. On ne connit ps de primitive de l fonction 1 t 2. Mis, si on un peu l hbitude, on repère tout de suite qu en posnt t sin(x), on pourr profiter de l formule de trigonométrie 1 sin 2 (x) cos(x) pour se débrsser de l rcine crrée. On fit donc le chngement de vrible t sin(x) (d où dt cos(x)dx), et on obtient : 1 L intégrle est clculée. 0 π 1 t 2 2 dt 1 sin 2 (x) cos(x)dx tsin(x) 0 π 2 0 [ 1 + cos(2x) x dx sin(2x) ] π π 2 0 cos(x) cos(x)dx π 4. 10

11 Chpitre 9 Intégrles multiples 9.1 Théorème de Fubini - Intégrles doubles Considérons une fonction de deux vribles f : R 2 R continue, et une région du pln R 2, bornée et contenue dns l ensemble de définition de f. Nous voulons définir l intégrle de l fonction f sur. Pour ce fire, nous llons utiliser ce que nous connissons déjà : les intégrles simples, i.e. les intégrles de fonctions d une vrible. Autrement dit, on v d bord intégrer f pr rpport à l vrible x, en considérnt l vrible y comme un prmètre. Le résultt de cette première intégrtion dépendr de l vleur du prmètre y. On intégrer lors ce résultt pr rpport à y. Bien entendu, on pourr fire l même chose en échngent les rôles de x et de y ; nous verrons que cel donne le même résultt. Une des difficulté est de tenir compte de l géométrie de : ce peut être un polygone quelconque, ou un disque, ou l région délimitée pr une courbe fermée très compliquée... Fixer l vleur de l vrible y et intégrer pr rpport à x revient à découper en trnches horizontles ; fixer l vleur de l vrible x et intégrer pr rpport à y revient à découper en trnches verticles écoupge d une région bornée en trnches horizontles et verticles. L région est bornée ; il existe donc des nombres, b, c, d tels que est contenu dns le rectngle [, b] [c, d]. Pour intégrer f, on veut fixer l vleur de x, et fire vrier y de mnière à ce que le point (x, y) reste dns l région. On est donc mené à considérer, pour chque vleur x 0 [, b], l ensemble V x0 : {y R tels que (x 0, y) }. L ensemble V x0 est (l projection sur R de) l intersection de vec l droite verticle x x 0. Autrement dit, moins formellement, V x0 est l trnche verticle de d bscisse x 0. On lors {(x, y) R 2 tels que x [, b] et y V x }. Bien entendu, on peut ussi fixer l vleur de y et fire vrier x de mnière à ce que le point (x, y) reste dns l région. On est donc mené à considérer, pour chque vleur y 0 [c, d], l ensemble H y0 : {x R tels que (x, y 0 ) }. 11

12 L ensemble H y0 est (l projection sur R de) l intersection de vec l droite horizontle y y 0. Autrement dit, moins formellement, H y0 est l trnche horizontle de d ordonnée y 0. On lors {(x, y) R 2 tels que y [c, d] et x H y }. Exemple. Considérons le disque centré en (0, 0) de ryon 1. Autrement dit, {(x, y) R 2 tel que x 2 + y 2 1}. Clirement le disque est inclus dns le crré [ 1, 1] [ 1, 1]. Pour x [ 1, 1], si on note V x : {y R tel que (x, y) }, lors On peut donc écrire V x {y R tel que x 2 + y 2 1} {y R tel que 1 x 2 y } 1 x 2 [ 1 x 2, ] 1 x 2. { (x, y) R 2 tels que x [ 1, 1] et y [ 1 x 2, 1 x 2 ]}. e même, pour y [ 1, 1], si on note H y : {x R tel que (x, y) }, lors On peut donc écrire H y {x R tel que x 2 + y 2 1} {x R tel que 1 y 2 x } 1 y 2 [ 1 y 2, ] 1 y 2. { (x, y) R 2 tels que y [ 1, 1] et x [ 1 y 2, 1 y 2 ]}. Exemple. Considérons mintennt le tringle T est le tringle de sommets (0, 0), (1, 0) et (1, 1). On peut voir T comme l intersection de trois demi-plns : pour chcun des trois côtés de T, on considère le demi-pln contennt T délimité pr l droite qui porte le côté considéré. 12

13 On vérifie fcilement que des équtions de ces demi-plns sont respectivement x 1, y 0 et y x. Autrement dit, on T {(x, y) R 2 tels que x 1, y 0 et y x}. Clirement, le tringle T est inclus dns le crré [0, 1] [0, 1]. Pour x [0, 1], si on note V x : {y R tel que (x, y) }, lors V x {y R tel que y 0 et y x} {y R tel que 0 y x} [0, x]. On peut donc écrire T {(x, y) R 2 tels que x [0, 1] et y [0, x]}. e même, pour y [0, 1], si on note H y : {x R tel que (x, y) }, lors H y {x R tel que x 1 et y x} {x R tel que y x 1} [y, 1]. On peut donc écrire T {(x, y) R 2 tels que y [0, 1] et x [y, 1]}. Le théorème de Fubini et l intégrle d une fonction sur une région du pln Le mthémticien itlien G. Fubini démontré le résultt importnt suivnt u début du XXème siècle : Théoreme (Théorème de Fubini). Considérons une fonction continue de deux vribles f : R 2 R, et une région du pln, contenue dns le domine de définition de f, et bordée pr une courbe fermée continue. Considérons un rectngle [, b] [c, d] contennt. Pour chque x [, b], notons V x {y R tels que (x, y) }. Pour chque y [c, d], notons H y {x R tels que (x, y) }. On lors l églité xb ( ) ( yd ) (9.1.1) f(x, y)dy dx f(x, y)dx dy. x y V x yc x H y Guido Fubini ( ) Le théorème de Fubini ffirme qu il revient u même de fire l une ou l utre des deux choses suivntes : 13

14 1. Fixer une vleur de l coordonnée x, intégrer f(x, y) pr rpport à l vrible y, puis intégrer le résultt trouvé (qui dépend de l vleur que l on fixée pour x) pr rpport à l vrible x. 2. Fixer une vleur de l coordonnée y, intégrer f(x, y) pr rpport à l vrible x, puis intégrer le résultt trouvé (qui dépend de l vleur que l on fixée pour y) pr rpport à l vrible y. Nous nous ppuyons sur ce théorème pour définir l intégrle d une fonction de deux vribles sur un domine du pln : éfinition (Intégrle d une fonction de deux vribles sur un domine du pln). Avec les nottions du théorème 8.1.1, on ppeller intégrle de f sur le domine l quntité ( xb ) ( yd ) f(x, y)dxdy : f(x, y)dy dx f(x, y)dx dy. x y V x) yc x H y Qund on veut clculer l intégrle d une fonction f sur un domine, on donc deux possibilités 1 : soit on intègre d bord pr rpport à x (à y fixé), puis pr rpport à y, soit on intègre pr d bord pr rpport à y (à x fixé), puis pr rpport à x. près le théorème de Fubbini, ces deux mnières de procéder donnent le même résultt. En prtique, elle ne sont pourtnt ps toujours équivlentes : prfois, l une des deux méthodes donnent des clculs beucoup plus simples que l utre. Exemple. Soit le disque de centre (0, 0) et de ryon 1, et + l moitié de situé udessus de l xe des bscisses. On cherche à clculer l intégrle de l fonction f(x, y) y sur +. Essyons tout d bord de l clculer en intégrnt d bord en y puis en x. En utilisnt l description de vue précédemment, on vérifie fcilement que + { (x, y) R 2 tels que x [ 1, 1] et y [0, 1 x 2 ]}. On donc : f(x, y)dxdy x1 x 1 x1 x 1 x 1 x 1 ( ) y 1 x 2 ydy dx [ y 2 [ x 2 x3 6 2 y0 ] y 1 x 2 y0 1 x 2 dx 2 ] x1 x 1 dx 2 3 Essyons mintennt de clculer l intégrle en intégrnt d bord en x puis en y. En utilisnt l description de vue précédemment, on vérifie fcilement que + { (x, y) R 2 tels que y [0, 1] et x [ 1 y 2, 1 y 2 ]}. 1. Sns tenir compte pour l instnt des possibilités offertes pr les chngements de vribles que nous verrons bientôt 14

15 On donc : f(x, y)dxdy y1 y0 y1 y0 y1 y0 ( x 1 y 2 x 1 y 2 ydx [yx] x 1 y 2 x 1 y 2 dy 2y 1 y 2 dy [ 2 3 (1 y2 ) 3 2 ] y1 y0 ) dy 2 3. On boutit bien u même résultt, mis vec des clculs intermédiires sensiblement différents. 9.2 Intégrle et volume sous le grphe ; ire d un domine ns le chpitre précédent, nous vons vu que l intégrle d une fonction d une vrible f (que l on suppposer positive pour simplifier) est égle à l ire de l région située entre l xe des bscisses et le grphe de f. Ce résultt se générlise pour les fonctions de deux vribles : nous llons voir que l intégrle d une fonction de deux vribles f sur un domine R 2 est égle u volume de l région de l espce R 3 située à l verticle du domine, entre le pln z 0 et le grphe de f. Pour donner un sens à un tel énoncé, il fut bien sûr définir le volume d une région de l espce R 3. On le fit exctement de l même mnière que nous vons défini l ire d une région du pln dns le chpitre précédent : on pproche l région pr une union de cubes de côté ɛ ; on fit tendre ɛ vers 0 ; si le volume de l union de cubes une limite, lors cette limite ser pr définition le volume de l région. On lors le résultt suivnt : Théoreme (Intégrle double et volume sous le grphe). Soit f une fonction de deux vribles, et une région bornée du pln R 2, délimitée pr une courbe continue fermée et contenue dns le domine de définition de f. On suppose que f est positive sur. On note A l région de l espce R 3 constituée des points situés à l verticle de, entre le pln z 0 et le grphe de f ; utrement dit : A : {(x, y, z) R 3 tels que (x, y) et 0 z f(x, y)}. L région A est lors qurrble, et on f(x, y) dxdy Volume(A). Nous lissons u lecteur qui le souhite le soin dénoncer l générlistion du théorème ux fonctions dont le signe n est ps constnt sur le domine d intégrtion. Appliquons le théorème dns le cs prticulier où l fonction f est constnte égle à 1. ns ce cs prticulier, le grphe de f n est utre que le pln z 1. L région A est donc 15

16 un cylindre de bse et de huteur 1. Le volume de ce cylindre est égl à Aire de l bse huteur Aire() 1 Aire(). On obtient donc le corollire suivnt : Corollire Si est une région bornée du pln, bordée pr une courbe fermée continue, lors on Aire() 1dxdy. 9.3 Intégrles triples Les définitions et les résultts vus ci-dessus pour les fonctions de deux vribles se générlisent ux fonctions de trois vribles. En prticulier, le théorème de Fubini : Théoreme (Théorème de Fubini pour les fonctions de trois vribles). Considérons une fonction continue de trois vribles f, et une région de l espce R 3, contenue dns le domine de définition de f et bordée pr une surfce fermée continue. Considérons un pvé I J K [, b] [c, d] [e, f] contennt, et définissons des ensembles comme suit : pour (x, y) I J [, b] [c, d], nous notons Z x,y {z R tels que (x, y, z) } ; pour (x, z) I K [, b] [e, f], nous notons Y x,z {y R tels que (x, y, z) } ; pour (y, z) J K [c, d] [e, f], nous notons X y,z {x R tels que (x, y, z) }. On lors l églité ( ) f(x, y, z)dz dxdy I J z Z x,y ( ) f(x, y, z)dy dxdz I K y Y x,z ( ) f(x, y, z)dx dydz. x X y,z J K En bref, ce théorème dit que, lorsqu on intègre une fonction f succesivement pr rpport à ses trois vribles x, y, z, on obtient le même résultt quel que soit l ordre dns lequel on considère les vribles. Ce théorème nous permet de définir l intégrle d une fonction de trois vrible sur un domine de R 3 : éfinition (Intégrle d une fonction de trois vribles sur un domine). On reprend les nottions du théorème On ppeller intégrle de f sur le domine l quntité ( ) f(x, y, z) dxdydz : f(x, y, z)dz dxdy... [,b] [c,d] z Z x,y L un des intérêt des intégrles de fonctions de trois vribles est qu elles permettent de clculer le volume de régions de l espce R 3. On insi en effet un nlogue du corollire : Corollire Si est une région bornée de l espce R 3, bordée pr une surfce fermée continue, lors on Volume() 1 dxdydz. 16

17 9.4 Chngement de vribles Le théorème générl Le théorème de chngement de vribles que vous connissez pour les intégrles simples se générlise pour les intégrles doubles ou triples. En prtique, vous utiliserez presque toujours les mêmes chngements de vribles : les pssges en coordonnées polires, cylindriques ou sphériques. Afin d expliquer d où viennent ces cs prticuliers, je vis tout de même énoncer les théorèmes de chngements de vribles générux pour les intégrles doubles et triples. Commençons pr les intégrles doubles. Un chngement de vrible dns une intégrle simple fit intervenir une ppliction φ d une prtie de R vers une utre prtie de R, et l formule de chngement de vribles utilise l dérivée φ de cette ppliction φ. Pour les intégrles doubles, nous urons à fire à une ppliction φ d une prtie de R 2 vers une utre prtie de R 2. L formule de chngement de vribles utiliser une combinison des dérivées prtielles de fonctions coordonnées de φ, qu on ppelle le jcobien de φ. Voici l définition. éfinition. Considérons une ppliction φ : R 2 R 2.(u, v) φ(u, v) (x(u, v), y(u, v)) On suppose que les fonctions de deux vribles (u, v) x(u, v) et (u, v) y(u, v) dmettent des dérivées prtielles (prtout là où elles sont définies). Le jcobien de φ u point (u, v), que l on note Jc(φ)(u, v), est le déterminnt de l mtrice des dérivées prtielles de φ ; plus précisément : Jc(φ)(u, v) : det ( x u y u x (u, v) y (u, v) v v (u, v) (u, v) Les conditions pour pouvoir effectuer un chngement de vribles dns une intégrles doubles sont plus strictes que pour les intégrles simples. En prticulier, on besoin de supposer que le chngement de vribles est un difféomorphisme ; voici l définition. On dit qu une ppliction φ : R 2 R 2.(u, v) φ(u, v) (x(u, v), y(u, v)) induit un difféomorphisme d une région R 2 sur une région R 2 si : 1. pour tout point (x, y) de, il existe un point (u, v) (u(x, y), v(x, y)) de et une seul tel que (x, y) φ(u, v), 2. les fonctions de deux vribles (u, v) x(u, v), (u, v) y(u, v), (x, y) u(x, y) et (x, y) v(x, y) dmettent des dérivées prtielles continues. En prtique, l condition 2 ser toujours vérifiée ou presque dns les exemples uxquels vous urez à fire ; pr contre, il fudr déterminer l ensemble pour que l condition 1 soit stisfite. Théoreme (Théorème de chngement de vribles). Considérons une fonction continue de deux vribles f, et une région borné de R 2 délimité pr une courbe continue fermée et contenue dns le domine de définition de f. Considérons une ppliction φ : R 2 R 2, et supposons que cette ppliction induit un difféomorphisme d une région sur. Alors on f(x, y) dxdy f(φ(u, v)) Jc(φ)(u, v) dudv. ). 17

18 Pssons mintennt ux intégrles triples. Le théorème est presque le même que pour les intégrles doubles ; l seule différence est qu il nous fut mintennt considérer une ppliction φ de R 3 vers R 3 (ou d une prtie de R 3 vers une prtie de R 3 ). éfinition. Considérons une ppliction φ : R 3 R 3.(u, v, w) φ(u, v, w) (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) On suppose que les fonctions de deux vribles (u, v, w) x(u, v, w), (u, v, w) y(u, v, w) et (u, v, w) z(u, v, w) dmettent des dérivées prtielles (prtout là où elles sont définies). Le jcobien de φ u point (u, v, w), que l on note Jc(φ)(u, v, w), est le déterminnt de l mtrice des dérivées prtielles de φ ; plus précisément : x x x u (u, v, w) v (u, v, w) w (u, v, w) Jc(φ)(u, v, w) : det y y y (u, v, w) (u, v, w) (u, v, w). u z u (u, v, w) z v v (u, v, w) z w w (u, v, w) On définit l phrse φ induit un diff/ eomorphisme de sur exctement de l même mnière que dns le cs d une pplictiond e R 2 dns R 2. Théoreme (Théorème de chngement de vribles pour les intégrles triples). Considérons une fonction continue de trois vribles f, et une région borné de R 3 délimité pr une surfce continue fermée et contenue dns le domine de définition de f. Considérons une ppliction φ : R 3 R 3, et supposons que cette ppliction induit un difféomorphisme d une région sur. Alors on f(x, y, z) dxdydz f(φ(u, v, w)) Jc(φ)(u, v, w) dudvdw. Nous llons mintennt détiller trois exemples importnts de chngements de vribles : les pssges en coordonnées polires, en coordonnées cylindriques, et en coordonnées sphériques Coordonnées polires Un point M du pln R 2 peut bien sûr être repéré pr ses coordonnées crtésiennes (x, y), mis ussi pr ses coordonnées polires (r, θ). Rppelons que r désigne lors l distnce de M à l origine O, et que θ désigne l ngle orienté entre l demi-droite [Ox) et l demi-droite [OM). ns ces conditions r est bien sûr positif ou nul, et θ n est bien défini que modulo 2π. On peut décider que l on choisit toujours θ dns [0, 2π[ ; c est ce que nous ferons. Le pssge de coordonnées polires à crtésiennes est fcile à fire ; on : x r cos(θ) et y r sin(θ). Le théorème de chngement de vrible permet d exprimer l intégrle d une fonction de deux vribles en coordonnées polires. Pour ce fire considérons l ppliction pssge de coordonnées polires à crtésiennes φ : [0, + [ [0, 2π[ R 2 (r, θ) (x(r, θ), y(r, θ)) : (r cos(θ), r sin(θ)) 18

19 Étnt donné une région, si on note {(r, θ) [0, + [ [0, 2π[ tels que (r cos(θ), r sin(θ)) }, lors φ induit (presque) 2 un difféomorphisme de sur. Clculons le jcobien de φ : x x Jc(φ)(r, θ) r (r, θ) θ (r, θ) y (r, θ) (r, θ) cos(θ) r sin(θ) sin(θ) r cos(θ) r cos2 (θ) + r sin 2 (θ) r. y r θ En ppliqunt le théorème de chngement de vribles à φ, on obtient : Théoreme (Intégrle en coordonnées polires). Soit f une fonction continue de deux vribles x, y, et une région bornée du pln R 2, délimitée pr une courbe fermée continue, et contenue dns le domine de définition de f. On note {(r, θ) [0, + [ [0, 2π[ tels que (r cos(θ), r sin(θ)) }. On lors f(x, y) dxdy f(r cos(θ), r sin(θ)) r drdθ. ns l énoncé ci-dessus, il fut comprendre que et représente le même domine, mis vu dns des coordonnées différentes : en coordonnées crtésiennes pour, et en coordonnées polires pour. Pr exemple, dns le cs du disque unité, on ur {(x, y) R 2 tels que x 2 + y 2 1}, et {(r, θ) [0, + [ [0, 2π[ tels que r 1}. Le théorème permet d exprimer l intégrle de n importe quelle fonction de deux vribles en coordonnées polires. C est utile lorsque le domine d intégrtion et l fonction considérée ont des expressions plus simples en coordonnées polires qu en coordonnées crtésiennes. C est 2. Ce n est ps tout à fit vri, cr il y des problèmes en r 0 et θ 0, mis ç ne compte ps. 19

20 typiquement le cs lorsque le domine d intégrtion est un disque centré à l origine (qui se défini donc en coordonnées polires pr une seule inéqution très simple r r 0 ), et/ou lorsque l fonction f à intégrer ne dépend que de x 2 + y 2 (en coordonnées polires, f ne dépend lors que de l vrible r x 2 + y 2, et ps de l vrible θ. Exemple. Supposons que l on veuille clculer l intégrle de l fonction f(x, y) x 2 + y 2 sur le disque unité. On f(r cos θ, r sin θ) r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) r 2. En coordonnée polires, le disque unité s écrit correspond à près le théorème 8.4.3, on donc f(x, y) dxdy {(r, θ) [0, + [ [0, 2π[ tels que r 1}. π 2. r 2 r drdθ θ2π ( r1 θ0 θ2π θ0 θ2π θ0 [ r dθ r0 ] r1 ) r 3 dr dθ dθ r0 Effectuer le clcul sns psser pr les coordonnées polires urit été impossible Coordonnées cylindriques Un point M de l espce R 3 peut être repéré pr ses coordonnées crtésiennes (x, y, z). Il peut ussi l être pr ses coordonnées cylindriques (r, θ, z). Rppelons que (r, θ) sont ici les coordonnées polires de l projection de M dns le pln (Oxy) (c est-à-dire le pln z 0). Le pssge de coordonnées cylindriques à crtésiennes est donné pr : x r cos(θ) y r sin(θ) z z. Les coordonnées cylindriques (r, θ, z) d un point de l espce vrient donc dns [0, + [ [0, 2π[ R. 20

21 Considérons l ppliction pssge de coordonnées cylindriques à crtésiennes φ : [0, + [ [0, 2π[ R R 3 (r, θ, z) (x, y, z) : (r cos(θ), r sin(θ), z) Étnt donn/ ee une région, si on note {(r, θ, z) [0, + [ [0, 2π[ R tels que (r cos(θ), r sin(θ), z) }, lors φ induit (presque, mis ç ne compte ps) un difféomorphisme de sur. Le jcobien de φ est égl à : x x x r (r, θ, z) θ (r, θ, z) z (r, θ, z) Jc(φ)(r, θ, z) y y y (r, θ, z) (r, θ, z) (r, θ, z) r z r θ θ z z (r, θ, z) (r, θ, z) cos(θ) r sin(θ) 0 sin(θ) r cos(θ) r cos 2 (θ) + r sin 2 (θ) r. z z (r, θ, z) En ppliqunt le théorème de chngement de vribles à φ, on obtient : Théoreme (Intégrle en coordonnées cylindriques). Soit f une fonction continue de deux vribles x, y, z, et une région bornée de l espce R 3, délimitée pr une surfce fermée continue, et contenue dns le domine de définition de f. On note {(r, θ, z) [0, + [ [0, 2π[ R tels que (r cos(θ), r sin(θ), z) }. On lors f(x, y, z) dxdydz f(r cos(θ), r sin(θ), z) r drdθdz. Encore une fois, dns l énoncé ci-dessus, il fut comprendre que et représente le même domine, mis vu dns des coordonnées différentes : en coordonnées crtésiennes pour, et en coordonnées cylindriques pour. Voici un exemple de clcul d intégrle en coordonnées cylindriques. Exemple. Supposons que l on veuille clculer le volume d un cône dont l bse est un disque de ryon 1 et de huteur 1. près le corollire 8.3.2, cel revient à clculer l intégrle de l fonction constnte 1 sur un tel cône, pr exemple sur le cône C dont l bse est le disque de centre (0, 0, 0), de ryon 1, situé dns le pln z 0, et dont le sommet est le point (0, 0, 1). En coordonnées cylindriques, ce cône C est défini pr C : {(r, θ, z) [0, + [ [0, 2π[ R tels que 0 z 1 et r 1 z}. 21

22 En utilisnt le théorème 8.4.4, on donc Volume(C) : 1 r drdθdz C 2π ( 1 ( 1 z ) ) r dr dz dθ θ0 z0 r0 ( 2π ( 1 [r ] 2 r1 z ) ) dz dθ θ0 z0 2 r0 2π ( 1 (1 z) 2 ) dz dθ θ0 z0 2 2π ] z1 (1 z)3 [ 6 θ0 2π θ0 1 6 dθ 2π 6 π 3. dθ z0 Le volume d un cylindre d un cône dont l bse est un disque de ryon 1 et de huteur 1 est donc égl à π Coordonnées sphériques Un point M de l espce R 3 peut églement être repéré pr ses coordonnées sphériques (r, φ, θ). Rppelons comment sont définies ces coordonnées : r est l distnce du point M à l origine O ; θ est l ngle orienté entre l demi-droite [Oz) et l demi-droite [OM] ; en termes géogrphiques, θ est l co-ltitude du point M (c est-à-dire pi 2 rdins moins l ltitude du point M) ; si on note P l projection de M sur le pln (Oxy) (c est-à-dire le pln z 0), lors φ est l ngle orienté entre l demi-droite [Ox) et l demi-droite [OP ] ; en termes géogrphiques, φ est l longitude du point M. L coordonnée r vrie dns [0, + [. L co-ltitude θ vrie dns [0, π]. L longitude φ vrie dns [0, 2π]. 22

23 Remrque. Certins textes utilisent d utres conventions pour l définition des coordonnées. En prticulier, il rrive qu on utilise l ltitude u lieu de l co-ltitude, ou qu on échnge les noms des ngles θ et φ (i.e. que φ désigne l co-ltitude et θ l longitude). Fites ttention à ces choix de conventions! En fisnt un peu de trigonométrie, on voit que le pssge de coordonnées sphériques à crtésiennes est donc donné pr : x r cos(φ) sin(θ) y r sin(φ) sin(θ) z r cos(θ). Considérons l ppliction pssge de coordonnées sphériques à crtésiennes φ : [0, + [ [0, 2π[ R R 3 (r, φ, θ) (x, y, z) : (r cos(φ) sin(θ), r sin(φ) sin(θ), r cos(θ)) Étnt donn/ ee une région, si on note {(r, φ, θ) [0, + [ [0, 2π[ [0, π] tels que (r cos(φ) sin(θ), r sin(φ) sin(θ), r cos(θ)) }, lors φ induit (presque, mis ç ne compte ps) un difféomorphisme de sur. Le jcobien de φ est égl à : x x x r (r, φ, θ) φ (r, φ, θ) θ (r, φ, θ) y y y Jc(φ)(r, θ, z) r (r, φ, θ) φ (r, φ, θ) θ (r, φ, θ) z z z r (r, φ, θ) φ (r, φ, θ)) θ (r, φ, θ) cos(φ) sin(θ) r sin(φ) sin(θ) r cos(φ) cos(θ) sin(φ) sin(θ) r cos(φ) sin(θ) r sin(φ) cos(θ) cos(θ) 0 r sin(θ) cos(θ) ( r 2 sin 2 (φ) sin(θ) cos(θ) r 2 cos 2 (φ) cos(θ) sin(θ) ) r sin(θ) ( r cos 2 (φ) sin 2 (θ) + r sin 2 (φ) sin 2 (θ) ) r 2 cos 2 (θ) sin(θ) ( sin 2 (φ) + cos 2 (φ) ) r 2 sin(θ) sin 2 (θ) ( sin 2 (φ) + cos 2 (φ) ) r 2 sin(θ) ( sin 2 (θ) + cos 2 (θ) ) r 2 sin(θ). En ppliqunt le théorème de chngement de vribles à φ, on obtient : Théoreme (Intégrle en coordonnées sphériques). Soit f une fonction continue de deux vribles x, y, z, et une région bornée de l espce R 3, délimitée pr une surfce fermée continue, et contenue dns le domine de définition de f. On note {(r, φ, θ) [0, + [ [0, 2π[ [0, π] tels que (r cos(φ) sin(θ), r sin(φ) sin(θ), r cos(θ)) }. On lors f(x, y, z) dxdydz f(r cos(φ) sin(θ), r sin(φ) sin(θ), r cos(θ)) r 2 sin(θ) drdφdθ. Voici un exemple d utilistion des coordonnées sphériques pour un clcul d intégrle. 23

24 Exemple. Supposons que l on veuille clculer le volume d une boule de ryon R. près le corollire 8.3.2, cel revient à clculer l intégrle de l fonction constnte 1 sur une boule de ryon R, pr exemple sur l boule B de ryon R centrée en (0, 0, 0). En coordonnées sphériques, cette boule B est simplement définie pr B : {(r, φ, θ) [0, + [ [0, 2π[ [0, π] tels que r R}. En utilisnt le théorème 8.4.4, on donc Volume(C) : 1 r drdθdz C π ( 2π ( R ) ) r 2 sin(θ) dr dφ dθ θ0 φ0 r0 ( π ( 2π [r ] 3 rr ) ) 3 sin(θ) dφ dθ θ0 φ0 π ( 2π θ0 π θ0 φ0 R 3 3 sin(θ)dφ 2π R3 3 sin(θ)dθ 2π R3 [ cos(θ)]θπ θ πr3. Le volume d une boule de ryon R est donc égl à 4 3 πr3. r0 ) dθ 24

25 Chpitre 10 Intégrles curvilignes ns le chpitre précédent, nous vons ppris à intégrer des fonctions de deux vribles sur des régions du pln : ce sont des intégrles doubles. Pour clculer ces intégrles doubles, on est mené à intérgrer les fonctions de deux vribles considérées sur des segments horizontux ou verticux. En fit, on peut ussi intégrer une fonction de deux vribles le long d une courbe plne. On prle lors d intégrle curviligne. Ces intégrles sont l objet de notre dernier chpitre Courbes géométriques, prmétrges et orienttions ns ce chpitre, nous considérerons des courbes géométriques plnes. Rppelons (voir le chpitre??) qu une courbe géométrique plne C est un sous-ensemble du pln R 2 qui est l imge d une courbe prmétrée plne continue, c est-à-dire l imge d une fonction continue d un intervlle I R dns R 2. Si C est une courbe géométrique plne, et si M : I R 2 est une courbe prmétrée d imge C, on dit que M : I R 2 est un prmétrge de C. Un prmétrge M : I R 2 d une courbe C est dit injectif s il ne repsse ps deux fois u même point : si t 1 t 2 lors M(t 1 ) M(t 2 ). Une courbe plne dmet toujours un prmétrge injectif. Il est importnt de comprendre que, si une courbe prmétrée plne dmet pr définition des prmétrges, elle n est munie priori d ucun prmétrge privilégiée : c est simplement un sous-ensemble du pln. Comme toujours, nous ne nous préoccuperons guère des questions de continuité et de dérivbilité. Toutes les courbes prmétrées que nous considérerons seront sns qu on le précise à chque fois - seront dérivbles, à dérivées continues, suf peut-être en un nombre fini de points (ceci permettnt d inclure pr exemple les courbes prmétrées dont les imges sont des polygones). Les courbes géométriques considérées seront églement supposées continument dérivbles pr morceux, ce qui signifie qu elles dmettront des prmétrges dérivbles, à dérivées continues, suf peut-être en un nombre fini de points. Une orienttion d une courbe géométrique plne est un sens de prcours de cette courbe 1. Une courbe géométrique plne dmet exctement deux orienttions. Une courbe géométrique plne orientée est une courbe géométrique plne munie d un choix d orienttion. Un prmétrge direct d une courbe plne orientée C est un prmétrge injectif M : I R 2 de C 1. Je ne donne ps de définition mthémtiques précise ; à mon vis, cel ne ferit que vous embrouiller. 25

26 qui respecte le sens de prcourt donné pr l orienttion de C. Ceci équivut à demnder que le vecteur vitesse OM (t) pointe selon le sens de prcourt de C donné pr sont orienttion. éfinition. Soit C une courbe géométrique plne orientée, et p 0 un point de cette courbe. Le vecteur unitiire tngent direct à C u point p 0, que nous noterons générlement t(p), est le vecteur tngent à C u point p 0 de norme 1 qui pointe selon l orienttion de C. Plus formellement, il est défini en choisissnt un prmétrge direct M : I R 2 de C, en notnt s 0 l unique élément de I tel que c(s 0 ) p 0, puis en posnt t(p 0 ) t(m(s 0 )) : OM (s 0 ) OM (s 0 ). On vérifie fcilement que cette définition ne dépend ps du choix du prmétrge direct M. Si on note (x(s), y(s)) les coordonnées de M(s), lors on 1 t(m(s 0 )) OM (s 0 ) (x (s 0 ), y (s 0 )). éfinition. Soit C une courbe géométrique plne orientée, et p 0 un point de cette courbe. Le vecteur unitiire norml direct à C u point p 0, que nous noterons générlement n(p), est le vecteur obtenu en tournnt t(p 0 ) de pi 2. Autrement dit, c est le vecteur en p 0 tel que ( n(p 0 ), t(p 0 )) forme une bse orthonormle directe. Si M : I R 2 est un prmétrge de C, et si on note (x(s), y(s)) les coordonnées de M(s), lors on 1 n(m(s 0 )) OM (s 0 ) (y (s 0 ), x (s 0 )). Une courbe orientée C. Les vecteurs unitire tngent direct et unitire norml direct à C en un point p 0 C. Informellement, une courbe fermée est une courbe qui revient u même point. Plus formellement, une courbe géométrique plne fermée est une courbe géométrique plne qui dmet un prmétrge M : [, b] R 2 vec M() M(b). Informellement, une courbe fermée simple est une courbe fermée sns croisement. Plus formellement, c est une courbe géométrique plne fermée est une courbe géométrique plne qui dmet un prmétrge M : [, b] R 2 vec M() M(b) (elle est fermée) et M(t 1 ) M(t 2 ) pour t 1, t 2 [, b[ et t 1 t 2 (elle est simple). Une courbe géométrique plne fermée C sépre le pln en deux région : une région bornée qu on ppelle usuellement l intérieur de C, et une région non-bornée qu on ppelle l extérieur de C. Nous l vons déjà dit : une courbe fermée dmet toujours deux orienttions. Lorsque l courbe est fermée et simple, il est possible de distinguer ces deux orienttions priori. 26

27 Une courbe non-fermée Une courbe fermée (non-simple) Une courbe fermée simple éfinition. Soit C une courbe fermée simple orientée. On dit que que C est positivement orientée si le vecteur norml unitire direct n pointe vers l extérieur de C. Sinon on dit que C est négtivement orientée. Une courbe positivement orientée Une courbe négtivement orientée 10.2 Intégrle d une fonction le long d une courbe Proposition Soient M : [, b] R 2 et N : [c, d] R 2 deux prmétrges directs (et continument dérivbles pr morceux) d une même courbe plne orientée C. Soit f une fonction de deux vribles (continue), définie sur C. Alors on f(m(s)) OM (s) ds d c f(p (t)) OP (t) dt. émonstrtion. Le prmétrge P est direct donc injectif : on peut donc définir sont inverse P 1 : C [c, d]. On considère le chngement de prmétrge [, b] [c, d] s t(s) : P 1 (M(s)). 27

28 En utilisnt l formule de dérivtion composée, on vérifie que utrement dit t (s) OM (s) OP (P 1 (M(s))) OP (t) dt OM (s) ds. OM (s) OP (t(s)), ès lors, l églité souhitée découle donc de I formule de chngement de vrible. L proposition permet de formuler l définition suivnte : éfinition (Intégrle d une fonction le long d une courbe plne orientée). Soit C une courbe plne orientée (qu on suppose comme toujours continument dérivble pr morceux), et f une fonction de deux vribles définie (u moins) sur C. On ppelle intégrle de f le long de C, et on note C f, l quntité définie comme suit : on choisit un prmétrge direct M : [, b] R2 de l courbe C, et on pose où C f : f(m(s)) OM (s) ds, OM (s) désigne l vitesse du prmétrge M u temps s. Remrque. Cette définition est légitime puisque, d près l proposition 9.2.1, l vleur de l intégrle f(m(s)) OM (s) ds ne dépend ps du choix du prmétrge direct s M(s). Insistons sur l présence du fcteur OM (s) : sns ce fcteur, l intégrle ne serit ps indépendnte du choix du prmétrge de l courbe. Exemple (Longueur d une courbe). Soit C une courbe plne orientée, qu on suppose comme toujours continument dérivble pr morceux. On peut définir l longueur de C, en pprochnt C de mieux en mieux pr des lignes polygonles (une ligne polygonle est une suite de segments mis bout-à-bout). On peut lors montrer l énoncé suivnt : L longueur de C est égle à l intégrle de l fonction 1 le long de C Circultion d un chmp de vecteurs le long d une courbe. Flux d un chmp de vecteurs à trvers une courbe éfinition (Chmp de vecteurs). Un chmp de vecteurs X sur une région de R 2 est une ppliction qui à chque point (x, y) de ssocie un vecteur X(x, y) bsé u point (x, y). Exemple. Vous vez déjà mnipulé des chmps de vecteurs. une prt, en Physique, les chmps de forces (le chmp électrique créé pr une distribution de chrge pr exemple) sont des chmps de vecteurs : en chque point de l espce Physique, on un vecteur qui donne l intensité et l direction de l force considérée (pr exemple, électrique) en ce point. utre prt, si f : R 2 R est une fonction de deux vribles, lors le grdient de f (x, y) Grd (x,y) f 28

29 est un chmp de vecteurs sur R 2. Ces deux exemples sont d illeurs reliés. En effet, l pluprt des chmps de forces en Physique dérivent d un potentiel. ceci signifie que ce sont des grdients de fonctions, qu on ppelle des potentiels. Pr exemple, le chmp électrique E s est le grdient du potentiel électrique. éfinition (Circultion d une chmp de vecteurs le long d une courbe). Soit C un courbe plne orientée, et X un chmp de vecteurs (défini u moins u voisinge de C). Pour (x, y) C, on note t(x, y) le vecteur tngent unitire direct de C en (x, y). L circultion de X le long de C est l intégrle du produit sclire de X vec t le long de l courbe C : Circultion( X, C) : X. t L circultion d un chmp de vecteurs X le long d un courbe plne orientée C est définie indépendmment de toute prmétristion. Il n empêche que, pour clculer cette circultion, il fut choisir une prmétristion de C. Soit donc une prmétristion directe de C. Alors M : [, b] R 2 s M(s) (x(s), y(s)) t(m(s)) C OM (s) OM (s). Notons (P (x, y), Q(x, y)) les coordonnées du vecteur X(x, y). On donc 1 X. τ C OM X(M(s)). OM (s) OM (s) ds (s) En résumé : X(M(s)). OM (M(s)) ds P (x(s), y(s)).x (s) + Q(x(s), y(s)).y (s) ds. L circultion du chmp de vecteurs X (P, Q) le long de l courbe prmétrée s M(s) est égle à (10.3.1) Circultion( X, Γ) P (x(s), y(s)).x (s) + Q(x(s), y(s)).y (s) ds. Interpréttion physique. Si X est un chmp de forces, lors l circultion de X le long d une courbe Γ est le trvil de ce chmp de force qund on déplce un point le long de C. Considérons pr exemple l sitution où une chrge électrique e se trouve dns soumise à un chmp électrique E. Cette chrge subit une force électrique X e. E. Si on déplce l chrge le long d une courbe Γ, le trvil de force électrique u cours de ce déplcement ser égl l circultion de X le long de Γ. 29

30 éfinition (Flux d un chmp de vecteurs à trvers une courbe). Soit C un courbe plne orientée, et X un chmp de vecteurs (défini u moins u voisinge de C). Pour (x, y) C, on note n(x, y) le vecteur norml unitire direct de C en (x, y). Le flux de X à trvers C est l intégrle du produit sclire de X vec n le long de l courbe C : Flux( X, Γ) : X. n Considérons un chmp de vecteurs X et une courbe C comme ci-dessus. Notons (P, Q) les coordonnées de X, et considérons une prmétristion directe M : [, b] R 2 s M(s) (x(s), y(s)) de l courbe C. Notons OM (t) (x (t), y (t)) le vecteur vitesse de cette prmétristion u temps s. Comme nous l vons vu plus hut, le vecteur norml unitire direct de C est donné pr 1 n(m(s)) OM (s) (y (s), x (s)). On donc Ainsi : C X. n 1 OM (s) Γ ( P (M(s)).y (s) Q(M(s)).x (s) ) OM (s) ds P (M(s)).y (s) Q(M(s)).x (s) ds. Le flux du chmp de vecteurs X (P, Q) à trvers l courbe prmétrée s c(s) est égle à (10.3.2) Flux( X, C) P (x(s), y(s)).y (s) Q(x(s), y(s)).x (s) ds. Remrque. Considérons une courbe plne orientée Γ. En observnt les formules (9.3.1) et (9.3.2), on constte que le flux à trvers C d un chmp de vecteurs de coordonnées (P, Q) est égl à l circultion le long de C du chmp de vecteurs de coordonnées ( Q, P ). Interpréttion physique. Le terme flux provient du cs où X est le chmp des vitesses des prticules d un fluide (qu on suppose en écoulement sttionnire pour simplifier) Ceci signifie que X(x, y) est l vitesse de l prticule se trouvnt u point (x, y) (cette vitesse ne dépend ps de l instnt d observtion si l écoulement est sttionnire). ns ce cs, le flux de X à trvers l courbe Γ est un quntité de fluide qui trverse Γ pr unité de temps. Autrement dit, c est le débit de fluide à trvers Γ. 30

31 10.4 Formule de Green-Riemnn ns le chpitre précédent, nous ppris à intégrer une fonction de deux vrible sur une région du pln entourée pr une courbe fermée : c est l notion d intégrle double. Nous venons de voir qu il est ussi possible d intégrer une fonction de deux vribles le long d une courbe : c est l notion d intégrle curviligne. Nous llons mintennt énoncer des résultts qui relient certines intégrles curvilignes le long de courbes fermées à des intégrles doubles sur les régions du pln entourées pr ces courbes fermées. Théoreme (Formule de Green-Riemnn). Soit C une courbe plne fermée simple positivement orientée (et continument dérivble). On note l région bornée délimitée pr C. Si X est un chmp de vecteurs de coordonnées (P, Q) défini sur, on Circultion( X, C) Q P (x, y) (x, y) dxdy. x y Georges Green ( ) Bernhrd Riemnn ( ) L formule de Green-Riemnn exprime l circultion de X le long de l courbe C (qui est, pr définition, une intégrle curviligne, donc une intégrle simple) comme une intégrle double sur le domine délimité pr C. ns cette intégrle double interviennent certines dérivées prtielles des coordonnées du chmp de vecteurs X. L formule de Green-Riemnn est une générlistion en dimension 2 de l formule que vous connissez bien f(b) f() f (t) dt. Nous llons donner ci-dessous un corollire de l formule de Green-Riemnn qui permet d exprimer le flux d un chmp de vecteurs comme une intégrle double. Pour énoncer ce corollire, il est commode d introduire l notion de divergence d un chmp de vecteurs : éfinition (ivergence d un chmp de vecteurs). Soit X un chmp de vecteurs défini sur une région du pln, de coordonnées (P, Q). L divergence de X, notée div X est l fonction de deux vribles définie pr div X(x, y) : P x Q (x, y) + (x, y). y 31

32 Interpréttion physique. L vleur de l divergence du chmp X indique si, qund on prend deux points proches (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ), les vecteurs X(x 1, y 1 ) et X(x 2, y 2 ) ont tendnce à pointer dns l même direction (divergence nulle), à voir des directions divergentes (divergence positive), ou des directions convergentes (divergence négtive) 2. Nous pouvons mintennt énoncer (et démontrer) le corollire nnoncé : Corollire (Flux et divergence). Soit C une courbe plne fermée simple positivement orientée (dérivble, à dérivée continue, u moins pr morceux ). On note l région bornée délimitée pr C. Si X est un chmp de vecteurs défini sur, lors le flux de X à trvers l courbe C est égl à l intégrle sur de l divergence de X : Flux( X, C) divx. émonstrtion. Si (P, Q) sont les coordonnées du chmp X, il suffit d ppliquer l formule de Green-Riemnn u chmp ( Q, P ) et d utiliser l remrque 9.3. Appliction en mécnique des fluides. Soit X le chmp de vitesse d un fluide. Supposons le fluide incompressible. Alors, pour tout région bornée du pln, l quntité de fluide qui se trouve dns ne vrie ps u cours du temps. Ceci implique que le flux de X à trvers le bord de est nul. près le corollire ceci implique que l intégrle de l divergence de X sur l région est nulle. Mis ceci est vlble pour n importe quelle région bornée. On en déduit fcilement que l divergence de X est identiquement nulle (en effet, si l divergence de X n étit ps identiquement nulle, elle serit strictement positive ou strictement négtive en un point (x, y) ; pr continuté, elle serit strictement positive ou strictement négtive sur un voisinge de (x, y) ; son intégrle sur une petite région contenu dns ce voisinge de (x, y) serit donc non-nulle). On donc montré que : si X est le chmp de vitesse d un fluide incompressible, lors l divergence de X est nulle. Un exemple de chmp de vitesse de fluide compressible 2. Attention, je simplifie beucoup. 32