BANQUE D EPREUVES DUT-BTS - SESSION EPREUVE DE MECANIQUE

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1 BANQUE D EPREUVES DUT-BTS - SESSION - EPREUVE DE MECANIQUE CODE EPREUVE : BE-MECA CALCULATRICE INTERDITE DUREE : h3

2 Question 1 On considèe une poute de Benouilli, en matéiau homogène, isotope de module d Young E. Le poids pope de la poute est négligeable. Sa section doite est ectangulaie et la longueu de la poute est L. Elle est encastée en A et soumise à effots ponctuels en B et C tels que : FB = P1 x (P 1 > ) = P x (P > ) FC Les positions des difféents points ainsi que les dimensions de la section sont données su le schéma. A B F B F C C x L L z h b (A) La éaction de l encastement en A est : = (P - P ) x R A 1 (B) Quelles que soient les valeus de P 1 et P (toujous positives), le tonçon B - C est toujous soumis à des containtes de compession. (C) Si P 1 = P, le tonçon A B n est pas containt. (D) Si P 1 < P, la containte de compession maximum en valeu absolue a lieu dans le tonçon A B et est égale à : P1 P σ = b h (E) La défomation dans le tonçon B C est égale à : P ε = E b h Question On considèe un coude de vilebequin fomé de touillons T1 et T, de bas B3 et B4, et d un maneton M5 (voi schéma ci-dessous). Les masses espectives de ces éléments sont notées m 1, m, m 3, m 4 et m 5. Leus centes d inetie espectifs sont notés G 1, G, G 3, G 4 et G 5. On suppose que les touillons et le maneton sont des clindes pafaits de section ciculaie.

3 Les bas sont des paallélépipèdes supposés pafaits. Les dimensions, points et axes sont pécisés su le schéma. On note Σ l ensemble T1 + T + B3 + B4 + M5. B3 M5 B4 T1 T d D O x z (A) L équilibage statique du coude de vilebequin pa appot à l axe (, x) otation du vilebequin) est éalisé. (B) La matice d inetie de l ensemble Σ au point O dans la base ( x,, z) fome : I Σ ( O, x,,z) A = B C O (axe de est de la (C) Le maneton M5 étant un clinde de aon R 5, de hauteu h 5, de masse m 5, de cente d inetie noté G 5, son moment d inetie pa appot à l axe (, x) est : (D) L axe (, x) m5 ( G, x) = ( 3R h ) I M O est axe pincipal d inetie pou l ensemble Σ. (E) Le moment d inetie du maneton M5 pa appot à l axe (, x) 5 O est : G 5 3

4 m5 R 5 I M5( O, x) = + m5 D Question 3 On considèe toujous le coude de vilebequin de la question pécédente. (A) Le cente d inetie de l ensemble Σ est le point G tel que : OG = m d + m 4 d + m m + m + m D 3 5 (B) L équilibage dnamique du coude de vilebequin pa appot à l axe (, x) éalisé. O est On considèe maintenant un coude «allégé», où les touillons, les bas et le maneton ont été alésés (voi schéma ci-dessous). On suppose les alésages pafaits, de aons 1 et pou les bas, et de aon 5 pou le maneton. B3 M5 B4 T1 O T d D x z (C) Le cente d inetie este inchangé pou chacun des solides. (D) La fome de la matice d inetie du coude allégé au point O dans la base ( x,, z) modifiée pa appot à celle du coude «plein». (E) Le moment d inetie du touillon T1 pa appot à l axe (, x) G 1 est maintenant : est 4

5 I T1 m1 ( G, x) = ( R ) Question 4 On considèe le mécanisme dont le schéma cinématique est donné ci-dessous. Ce mécanisme est constitué : - d un bâti S - d un bas coudé S 1 en liaison glissièe avec le bâti S. - d une oue munie d un bas S en liaison pivot avec le bas coudé S 1 et en contact ponctuel en I avec le bâti S - d un galet S 3 en liaison pivot glissant avec le bas lié à S. i schéma) : - soit vetical ascendant. - ( O, ) : axe de la liaison glissièe 1. - ( O, z ) = ( O 1, z 1 ) : axe de la liaison pivot 1. - ( O, ) : axe de la liaison pivot glissant 3. A chaque solide S i (pou i =, 1, ), on lie un epèe noté R ( O, x,, z ) x i i i tels que (voi Le galet S 3 est considéé comme une masse ponctuelle au point O 3. On ne lui attache donc aucun epèe. Les dimensions, points et axes sont pécisés su le schéma cinématique. Éléments de géométie des masses : - S 1 a pou masse m 1, pou cente d inetie G 1 tel que : O1G1 = a x1 + b 1 (a, b >) - S a pou masse m, pou cente d inetie G tel que O G = c x (c > ) et pou matice d inetie en G dans la base : A IS ( G, x,,z ) = B C - S 3 est une masse ponctuelle m 3 en O 3. Hpothèses : - Le epèe lié au bâti est supposé galiléen. - Les liaisons - 1, 1 - et - 3 du mécanisme sont supposées pafaites. Notation : dans tout le poblème, le toseu des Actions Mécaniques Tansmissibles pa un solide S i su un solide S j en un point quelconque P sea noté : 5

6 X ij Fi / j = Yij Z ij F b i/j le numéo de la base étant pécisé en indice. L ij M i / j( P) = M ij N ij b On paamète le sstème de la façon suivante (voi schéma ci-dessous) : - mouvement de S 1 / S : = OO1?, 1 - mouvement de S / S 1 : ψ = ( x, x 1 ) - mouvement de S 3 / S : x = O O3? x 1 x 3 = O? O1,1 A 1 I O 1 = O ψ O 3 x 1 1 x ψ x 1 O R x = O? O3 x x 1 (A) La vitesse de glissement au point I de pa appot à est : V ( I) = (& R ψ& ) 6

7 On détemine la vitesse du point O 3 pa appot à pa la méthode de composition des mouvements en considéant le mouvement de S 3 pa appot à S. (B) La vitesse elative est alos : V O = x& x ( 3) (C) La vitesse d entaînement est : V O = x ψ& ( 3) Pou calcule l accéléation du point O 3 pa appot au bâti, on utilise à nouveau la méthode de composition des mouvements en considéant le mouvement de S 3 pa appot à S. (D) L accéléation d entaînement expimée dans la base est alos : γ ( O ) 3 x ψ& = x& ψ & + x ψ& (E) L accéléation de Coiolis expimée dans la base est égale à : γ O = x& ψ& Co ( 3) Question 5 On considèe toujous le mécanisme de la question pécédente. (A) Le toseu des actions mécaniques execées pa le solide S su le solide S 3 au point O dans la base est de la fome : F /3 M F / 3 / 3 = Y3 Z 3 ( O ) = M N 3 3 (B) Le théoème de la Résultante Dnamique appliqué à l ensemble (S + S 3 ) s écit : o o m γ G + m γ O = (m + m )g + F + F + ( ) 3 ( 3) 1 1/ / 3 / F (g : accéléation de la pesanteu). 7

8 On suppose qu un actionneu monté ente S et S 1 exece su S 1 le toseu d actions mécaniques suivant : FA /1 = F F A/1 M ( A )= A /1 1 (C) La ésultante de tous les effots extéieus s exeçant su S 1 est : F ext /1 X 1 = F m1 g Z 1 X 1 et Z 1 : composantes de la ésultante des actions mécaniques de su 1 expimée dans la base. (D) Le moment dnamique du solide S 1 dans son mouvement pa appot à est nul. (E) Le moment dnamique du solide S en O dans son mouvement pa appot à est : δ O = C ψ&& ( ) z Question 6 On considèe toujous le mécanisme des questions pécédentes. (A) Le moment dnamique de S 3 au point O dans son mouvement pa appot à se calcule pa : δ O = O O m γ ( ) ( ) O3 On suppose qu il a glissement au contact ponctuel en I ente et et que le fottement sec n est pas négligeable (coefficient de fottement f). Le toseu des actions mécaniques de su est alos de la fome : X F / = Y F / Z M ( I)= / (B) La Loi de Coulomb appliquée aux effots au contact en I implique d une pat : Z = (C) et d aute pat : X = f Y 8

9 Si on suppose qu il n a pas glissement au contact en I : (D) Les paamètes de mouvement x, ψ et ne sont plus indépendants. (E) La condition pou que l hpothèse de non-glissement soit véifiée est : X > f Y 9

10 Question 7 On considèe un sstème vis-écou, comme tansfomateu de mouvement. Le mouvement d entée est la otation, sa féquence est de n tous/ min et le mouvement de sotie est la tanslation, de x mm : (A) La loi entée-sotie est de la fome x = (p.n)/z, où z est le nombe de filet de la vis et p le pas en mm/tou. (B) La loi entée-sotie peut aussi s expime pa x = z.(p/π).θ, où p est le pas en mm. (C) Un sstème vis-écou ne peut fonctionne comme tansfomateu de mouvement que si les mouvements sont conjugués. (D) Pou assue la tansfomation de mouvement, si la vis possède le mouvement de tanslation, alos l écou doit ête immobilisé en tanslation. (E) Pou assue la tansfomation de mouvement, si l écou possède le mouvement de otation et le mouvement de tanslation, alos la vis doit ête immobile. Question 8 On considèe un sstème bielle-manivelle, qui tansfome un mouvement de tanslation en otation, comme dans le cas d un moteu themique. On appelle OA = R = excentation su le vilebequin. On appelle AB = L = la longueu de la bielle. On note ω la vitesse angulaie du vilebequin, déivée de l angle θ pa appot au temps, et x B la position, pa appot à un epèe considéé comme fixe, du point B point commun à la bielle et au coulisseau. L oigine pou mesue x B est le cente de otation du vilebequin. (A) La position du point B est donnée pa la elation x B.R.x B.cos(θ) = L R. (B) La position du point B est donnée pa la elation x B = L R. (C) On choisit de constuie un appot L/R = 3 pou évite deux extemums d accéléations. (D) On choisit de constuie un appot L/R = _ pou évite les chocs dans les liaisons. (E) On obtient une loi de sotie, x B = f(θ), pafaitement sinusoïdale si la bielle a une longueu telle que L/R = 5. Question 9 On considèe un abe clindique dans un moeu. On appelle l la longueu commune et d le diamète commun, en contact ente l abe et l alésage du moeu. (A) Si l abe est seé dans le moeu, comme dans une boche de tou et que l/d >,6, alos on considèe la liaison ente l abe et l alésage comme cinématiquement équivalente à une liaison complète. 1

11 (B) Si l abe est seé dans le moeu, comme dans une boche de tou et que l/d <,, alos on considèe la liaison ente l abe et l alésage comme cinématiquement équivalente à une liaison otule. (C) Si l abe est guidé en otation dans l alésage, comme dans un palie lisse, alos la loi d évolution de la tangente de l angle de otulage ente l abe et l alésage, angle ente l axe de l abe et l axe de l alésage, en fonction du appot l/d a une allue hpebolique. (D) Si l abe est guidé en otation dans l alésage, comme dans un palie lisse, et que l/d <,5, alos on considèe la liaison ente l abe et l alésage comme cinématiquement équivalente à une liaison otule. (E) La difféence d appéciation, les valeus limites pou l/d sont difféentes ente les items (B) et (D), ente le cas seé et le cas guidé, ci dessus, est due à la pise en compte du jeu. Question 1 Si on considèe un sstème vis-écou comme sstème de tansfomation de mouvement, (A) Si la vis est à filet tapézoïdal, alos l écat de pas pou une longueu de 3 mm de vis est d un ode de gandeu compis ente 5 et 3 µm. (B) Si la vis est à filet tapézoïdal, alos l écat de pas pou une longueu de 3 mm de vis est d un ode de gandeu compis ente mm et 5 mm. (C) Si la vis est une vis à billes, alos l écat de pas pou une longueu de 3 mm de vis est d un ode de gandeu de mm. (D) Si la vis est une vis à billes, alos l écat de pas pou une longueu de 3 mm de vis est d un ode de gandeu compis ente 5 et µm. (E) L ode de gandeu du jeu axial est divisé pa dix pou une vis à bille pa appot à une vis à filet tapézoïdal. Question 11 Considéons le sstème à came de la distibution d un moteu themique automobile à essence. Ce sstème tansfome la otation de l abe à came en tanslation des soupapes, afin d assue, d une pat, l admission du mélange ai-essence et d aute pat l échappement des gaz bûlés. (A) Dans le cas d un abe à came en tête, la vitesse de otation de l abe à came, pa appot au bâti considéé comme fixe, est le double de celle du vilebequin. (B) Dans le cas d un abe à came en tête, la vitesse de otation de l abe à came, pa appot au bâti considéé comme fixe, est la moitié de celle du vilebequin. (C) Pou une même loi de levée, le pofil de la came n aua pas la même fome selon que le suiveu, c est-à-die la pièce en contact avec la came, est un plateau ou un galet. 11

12 (D) Dans le cas d une came dont le suiveu est un plateau, le pofil de came est difféent de la loi de levée. (E) Les cames d un abe à came sont cémentées puis nituées, avant d ête tempées. Question 1 On considèe l abe d un éducteu de vitesse à engenage, guidé en otation su deux oulements. Un pignon est centé ente les oulements et un aute en pote-à-faux à doite du montage, selon la figue ci-dessous. On modélise de la façon suivante, en considéant tous les éléments indéfomables et un jeu adial dans les oulements notés j et j. j j δ α L a (A) Dans la configuation du schéma ci-dessus, on obtient la déflexion en bout d abe δ, qui vaut δ = j.(1+a/l), en considéant que j = j. (B) Dans la configuation du schéma ci-dessus, on obtient la déflexion en bout d abe δ, qui vaut δ = j.(1+a/l), en considéant que j = j. (C) Les jeux adiaux seont plus impotants si les oulements sont à billes à contact adial que si les oulements sont à ouleaux coniques. (D) Un oulement à ouleaux coniques peut admette un otulage maximum de 1. (E) L angle de otulage α, qui va ête imposé aux oulements dans la configuation de la figue, est calculable pa la elation tanα = j/l. 1