Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue INTEGRALE DE RIEMANN

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1 Intégrle de Riemnn et Intégrle de Lebesgue Jen Gounon Définitions INTEGRALE DE RIEMANN Dns tout le chpître, b et f est une fonction réelle bornée sur [,b] = I Définition. Un prtge de I est un ensemble p = {x 0,x,...,x n, x n } vec = x 0 x... x n x n = b Si p p on dit que p est plus fin que p. Nottion.2 k {,...,n} : I k = [x k,x k ] ; m k = inf f(i k ); M k = sup f(i k ) Définition.3 Sommes de Drboux de f reltives à un prtge p : s f (p) = n (x k x k )m k ; S f (p) = n (x k x k )M k (on donc s f (p) S f (p)) Propriété.4 p p = [s f (p) s f (p ) et S f (p) S f (p )] Démonstrtion : Principe de l démonstrtion pour l première propriété (idem pour l utre) : ) Cs prticulier : p = {x 0,...,x n } et p = p {x} vec x k x x k 2) Cs générl : p = p {y,...,y r } : récurrence sur r, en utilisnt ) Propriété.5 Pour tous prtges p et p : s f (p) S f (p ) Démonstrtion : s f (p) s f (p p ) S f (p p ) S f (p ) Remrque.6 Soit P l ensemble de tous les prtges de I : l ensemble {s f (p)} p P est donc mjoré (pr un quelconque S f (p)) et l ensemble {S f (p)} p P est donc minoré (pr un quelconque s f (p)). Nottion.7 On note σ f = sup s f (p) et f = inf S f(p) p P p P Propriété.8 σ f f

2 Démonstrtion : Sinon σ f f et il existerit des prtges p et p tels que σ f s f (p) 2 (σ f + f ) S f(p ) f, impossible cr s f(p) S f (p ) Théorème.9 f est intégrble u sens de Riemnn, ou Riemnn-intégrble, ou R-intégrble, si et seulement si σ f = f. dns ce cs on note σ f = f = b f(x)dx, intégrle (de Riemnn) de f sur [,b] Nottion.0 Si b, on pose b f(x)dx = b f(x)dx (si f est R- intégrble sur [b,]); on pose de plus : f(x)dx = 0 2 Propriétés Théorème 2. (reltion de Chsles) Soient,b,c R, distincts deux à deux; soient α = min {,b,c} et β = mx {,b,c}. Si f est R-intégrble sur [α,γ], lors les trois intégrles c f(x)dx, b f(x)dx et c b f(x)dx sont définies et l on : c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx Théorème 2.2 Soit λ R et f, g R-intégrbles sur [, b]. Alors : ) f + g est R-intégrble et b (f + g)(x)dx = b f(x)dx + b g(x)dx 2) λf est R-intégrble et b (λf)(x)dx = λ b f(x)dx 3) fg est R-intégrble Remrque 2.3 Les propriétés ) et 2) expriment que l ensemble R des fonctions R-intégrbles sur [, b] est un sous-espce vectoriel de l espce vectoriel des fonctions bornées sur [,b] et que l ppliction ϕ : R [,b] : f b f(x)dx est une forme linéire sur R Théorème 2.4 Si f est R-intégrble sur [,b] et vérifie : x [,b] : f(x) 0, lors : b f(x)dx 0 (L forme linéire ϕ définie ci-dessus est donc une forme linéire positive) Théorème 2.5 On l équivlence : f R-intégrble sur [, b] ε 0 p P : S f (p) s f (p) ε Théorème 2.6 Les fonctions monotones sur [, b] sont R-intégrbles sur [, b]. Rppels : ) Une fonction f définie sur un intervlle ouvert contennt x 0 présente en x 0 une discontinuité de première espèce si et seulement si : f est discontinue en x 0 et f(x) et lim f(x) existent dn R. lim x x o+ x x 0 2) Une fonction f définie sur [,b] est continue pr intervlles sur [,b] si et seulement si elle n dmet qu un nombre fini (éventuellement nul) de discontinuités, ces discontinuités étnt toutes de première espèce. Théorème 2.7 Les fonctions continues pr intervlles sur [, b] sonr R-intégrbles. 2

3 Théorème 2.8 Si f est R-intégrble sur [, b], lors : f est R-intégrble sur [,b] et : b f(x)dx b f(x) dx Nottion : Soit f R-intégrble sur [,b] (on sit que lors,pour tout x ],b], f est R-intégrble sur [,x]) ; on sit pr illeurs que définit lors l fonction notée F : [,b] R : x F(x) = f(t)dt = 0). On x f(t)dt Théorème 2.9 ) Si f est R- intégrble sur [,b], lors F est continue sur [,b] 2) Si f est continue sur [,b], lors F est dérivble sur [,b] et F = f Théorème 2.0 (Inéglité de l moyenne) Soient m = inf f([,b]) et M = supf([,b]). Alors, si f est R-intégrble sur [,b] : m(b ) b f(x)dx M(b ) Théorème 2. (formule de l moyenne pour une fonction continue) Si f est continue sur [,b], lors : c [,b] : b f(x)dx = (b ) f(c) Nottion : Soit f bornée sur [,b] et p = {x 0,...,x n } un prtge de [,b]. Un élément ξ = (ξ,...,ξ n ) R n est un n-uple ssocié à p si et seulement si : k {,...,n} : ξ k [x k,x k ]. Définition 2.2 Avec les nottions ci-dessus, on ppelle somme de Riemnn de f correspondnt à p et ξ le nombre ϕ f (p,ξ) = n (x k x k ) f(ξ k ) Théorème 2.3 (les nottions sont les mêmes que ci-dessus f est R-intégrble sur [,b] si et seulement si : I R : ε 0 α 0 : (p,ξ) : mx (x k x k ) α = k {,...,n} ϕ f (p,ξ) I ε. Dns ce cs, on : I = b f(x)dx Théorème 2.4 Soit f une fonction R-intégrble sur [,b] ; soit l suite (u n ) n N ( définie pr : u n = n b n f + k b ). Alors : lim u n = b n f(x)dx Démonstrtion : Il suffit d ppliquer le théorème précédent u prtge p = {x 0,...,x n } tel que k {,...,n} : x k x k = b et u n-uple ξ = (x,...,x n ) n Remrque 2.5 Ce théorème permet d étudier des limites de suites. Exemple : Etudier limu n vec u n = n u n = n n + k : n + k ; soit lors l fonction f définie pr f(x) = x pour n x [,2]. f est continue sur [,2] ; donc : lim u n = 3 2 dx x = ln 2

4 Théorème 2.6 (chngement de vrible) Soient les fonctions f et g telles que : f est continue sur [,b]; g est dérivble sur [α,β] et g est continue sur [α,β] ; t [α,β] : g(t) [,b]. Alors : g(β) g(α) f(x)dx = β α f(g(t))g (t)dt Théorème 2.7 (intégrtion pr prties) Soient deux fonctions f et g dérivbles sur [,b] et telles que f et g soient continues sur [,b]. Alors : b f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b b f (x)g(x)dx 4

5 INTEGRALE DE LEBESGUE 3 Sous-ensembles négligebles de R 3. Fmille sommble Définition 3. Soit I un ensemble quelconque. Soit F(I) l ensemble des prties finies de I. Soit = ( i ) i I une fmille de réels i : on note, pour J F(I) : s J () = i J i R. L fmille = ( i ) i J est dite sommble si et seulement si : s R : ε 0 : J ε F(I) : J F(I) : J ε J = s s J () ε Dns ce cs, on note : s = i I i, que l on nomme somme de l fmille sommble. Ce nombre s est unique. 3.2 Longueur d un intervlle borné de R Définition 3.2 Soit I un intervlle borné ; soit = inf I et b = supi. L longueur de I est l(i) = b. 3.3 Sous-ensemble négligeble de R Définition 3.3 Soit E R. E est négligeble si et seulement si : pour tout ε 0 il existe une fmille (I n ) n I d intervlles ouverts bornés telle que : ) E n I I n 2) l fmille (l(i n )) n I de réels positifs est sommble et l(i n ) ε n I Propriété 3.4 ) Toute prtie d un ensemble négligeble est négligeble 2) Toute réunion finie ou dénombrble d ensembles négligebles est négligeble (en prticulier, tout ensemble fini ou dénombrble est négligeble). Remrque 3.5 Un ensemble peut être négligeble sns être fini ou dénombrble : Exemple : L ensemble tridique de Cntor est négligeble et l puissnce du continu (rppelons qu il s git de l ensemble K = F n,vec F 0 = [0,] et, pour tout n N : on psse de F] n à F n+ en supprimnt dns chque intervlle mximl [,b] F n l intervlle + b [ ], + 2b ; exemple : F = [0,] 3 3 3, 2 [ = [ 3 0, ] [ ] [ 2 3 3, ; F 2 = 0, ] [ 2 9 9, ] [ 2 3 3, 7 ] [ ] 8 9 9, ). n N 3.4 Propriété vrie presque-prtout Soit une propriété P(x) (x R). L propriété P(x) est vrie presque-prtout sur A R si et seulement si P(x) est vrie pour tout x A E, E étnt négligeble. Exemple d utilistion de cette notion : 5

6 Théorème 3.6 Soit f : [,b] R. f est R-intégrble si et seulement si : ) f est bornée sur [,b] 2) f est continue presque-prtout sur [, b] (i.e.l ensemble de ses points de discontinuité sur [, b] est négligeble). 4 Mesure de Lebesgue 4. Fonctions continues à support compct Définition 4. Soit f F (ensemble des fonctions réelles définies sur R). Le support de f est : Supp(f) = Adh(f (R )). On note K l ensemble des fonctions f, continues et à support compct. C est un sous-espce vectoriel de F. 4.2 Mesure de Lebesgue Soit f K ; Supp(f) étnt borné, soient,b R tels que Supp(f) [,b]. Alors (pr reltion de Chsles) b f(x)dx (intégrle de Riemnn de l fonction f continue sur [,b]) est indépendnt de et b insi choisis. Définition 4.2 L mesure de Lebesgue sur R est l ppliction µ : K R : f µ(f) = b f(x)dx, et b étnt choisis rbitrirement comme ci-dessus. Propriété 4.3 D près les propriétés connues de l intégrle de Riemnn : µ est une forme linéire positive sur l espce vectoriel K, i.e. : ) α,β R f,g K : µ(αf + βg) = αµ(f) + βµ(g) 2) [ x R f(x) 0] = µ(f) 0 De plus : Si f K, lors f K et : µ(f) µ( f ) 5 Suites de Cuchy en moyenne de fonctions à support compct 5. Norme en moyenne sur K Théorème 5. L ppliction f µ( f ) de K dns R + est une norme sur l espce vectotiel K Démonstrtion : ) µ( f ) = 0 b f(x) dx = 0 f = 0 2) f,g K : µ( f + g ) = b f + g (x)dx b f(x) dx+ b g(x) dx donc µ ( f + g ) µ( f ) + µ( g ) 3) f K λ R : µ( λf ) = λ µ( f ) Définition 5.2 L ppliction f µ( f ) insi définie est l norme de l convergence en moyenne surk (Rppel : une utre norme sur K est l norme de l convergence uniforme, définie sur l espce vectoriel des fonctions bornées sur R (dont K esr un sousespce vectoriel) pr f = sup f(x) ). x R 6

7 5.2 Suite de Cuchy en moyenne de fonctions à support compct Définition 5.3 Une suite (f n ) n N d éléments de K est dite de Cuchy en moyenne si et seulement si elle est de Cuchy pour l norme de l convergence en moyenne, i.e. elle vérifie : ε 0 n 0 : [n,p n 0 = µ ( f n f p ) ε] Remrque 5.4 K n est ps complet pour l norme de l convergence en moyenne. Propriété 5.5 ) Soit (f n ) n N une suite de Cuchy en moyenne d éléments de K. Alors : l suite (µ(f n )) n N de réels converge dns R (en effet : µ(f n ) µ(f p ) = µ(f n f p ) µ ( f n f p ) donc l suite (µ (f n )) n N est de Cuchy dns R. 2) Soit (f n ) n N une suite de Cuchy en moyenne d éléments de K. Alors l suite ( f n ) n N est ussi de Cuchy en moyenne (en effet µ ( f n f p ) µ ( f n f p )) Remrque 5.6 ) Les suites de Cuchy en moyenne forment un sous-espce vectoriel de l espce vectoriel des suites de fonctions de F (pr (f n ) + (g n ) = (f n + g n ) et λ(f n ) = (λf n )); on le note Cuch K. 2) Soit (f n ) n N Cuch K. D près ci-dessus : (µ(f n )) converge dns R. On note : I((f n )) = lim µ(f n ) 3) L ppliction I : Cuch K R : (f n ) n N I((f n )) est une forme linéire sur Cuch K. 6 L espce L Définition 6. (et nottion) Soit f F. f est dite intégrble u sens de Lebesgue, ou Lebesgueintégrble (ou L-intégrble) si et seulement si : il existe une suite (f n ) n N Cuch K telle que (f n ) converge presque-prtout vers f (i.e.lim f n (x) = f(x) pour tout x R E vec E négligeble). L ensemble des fonctions L-intégrbles forme un sous-espce vectoriel de F, que l on note L. Théorème 6.2 Soit f L. Le nombre I((f n )) est indépendnt du choix de l suite (f n ) Cuch K convergent presque-prtout vers f. Nottion 6.3 Ce nombre commun I((f n )) est l intégrle de Lebesgue de f L ; on le note R f. Cs prticulier : Si f K, lors f est limite (prtout) de l suite constnte (f) n N Cuch K ; donc f L : K est un sous-espce vectoriel de L ; de plus : f K : R f = µ(f). Donc : l ppliction f R f de L dns R est un prolongement de l mesure de Lebesgue sur R. Théorème 6.4 Les fonctions continues pr intervlles sur R sont L-intégrbles 7

8 7 Propriétés de l intégrle de Lebesgue ) Si f L, lors f L (en effet, f est limite presque-prtout de (f n ) Cuch K ; donc f est limite presque-prtout de ( f n ) n N, et ( f n ) n N Cuch K (propriété vue plus hut)) ; de plus, on : R f R f (pr µ(f n) µ( f n )) 2) L ppliction f R f est une forme linéire positive sur L 3) On nomme négligeble une fonction f F nulle presque-prtout. Alors : ) f négligeble [ f L et R f = 0] b) L ensemble N des fonctions négligebles est un sous-espce vectoriel de L c) L ensemble A R est négligeble si et seulement si s fonction crctéristique χ A est négligeble. 8 Semi-norme sur L. Théorème de Lebesgue Rppel : Une semi-norme sur un K-espce vectoriel E (K est R ou C) est une{ ppliction p : E R + telle que : u,v E : p(u + v) = p(u) + p(v) α K u E : p(αu) = α p(u) ( p donc toutes les propriétés d une norme, suf l équivlence : p(u) = 0 u = 0) Théorème 8. L ppliction de L dns R + définie pr f R f est une semi-norme sur le R- espce vectoriel L. On l ppelle semi-norme de l convergence en moyenne. Définition 8.2 L terminologie ssociée à une métrique se retrouve pour une semi-norme. Pr exemple : ) Une suite (f n ) d éléments de L est dite de Cuchy en moyenne si et seulement si : ε 0 n 0 N : n,p n 0 = R f n f p ε 2) Une suite (f n ) d éléments de L tend vers f L en moyenne si et seulement si lim n R f f n = 0 Théorème 8.3 Soit f L : toute suite de Cuchy en moyenne qui converge presque-prtout vers f converge vers f en moyenne. Théorème 8.4 Théorème de Lebesgue (ou de l convergence dominée) Soit ϕ L. Soit (f n ) une suite de fonctions de L convergent presqueprtout sur R vers f et telle que : n N : f n ϕ. Alors : f L ; (f n ) converge en moyenne vers f ; et lim R f n = R f 9 L espce L Nottion 9. On note L = L N (espce vectoriel-quotient de L pr le sousespce N des fonctions négligebles : un élément de L, clsse d une fonction f L, est l ensemble des fonctions de L égles presque-prtout à f). 8

9 Propriété 9.2 (et nottion) Si f et g sont deux fonctions de L égles presque-prtout : R f = R g (puisque R (f g) R f g = 0). D où l nottion, si Φ L : R Φ = R f (f étnt un quelconque élément de Φ). Propriété 9.3 ) Puisque l ppliction f R f est une forme linéire positive sur L, l ppliction : L R : Φ R Φ est une forme linéire sur L. 2) Soient f,g Φ : lors f = g ; l ppliction F : L R + : Φ R f (vec f élément quelconque de Φ) est une norme sur L : en effet, c est une semi-norme pr pssge u quotient de l semi-norme f R f sur L ; et de plus : F(Φ) = 0 = R f = 0 = f N = Φ = 0 (clsse de l fonction nulle sur R). Cette norme est nommée norme de l convergence en moyenne sur L Théorème 9.4 Théorème de Fischer-Riesz L espce vectoriel L est complet pour l norme de l convergence en moyenne. 0 Fonctions Lebesgue-intégrbles sur une prtie A de R Définition 0. ) Soit f : D f R. Soit A D f. f est dite Lebesgueintégrble { (ou L-intégrble) sur A si et seulement si l fonction g définie pr : g(x) = f(x) si x A est L-intégrble. g(x) = 0 si x R A 2) Dns ce cs, l intégrle de Lebesgue de f sur A est le nombre R g ; on le note A f. L ensemble des fonctions L-intégrbles sur A est noté L (A); c est un sous-espce vectoriel de l espce vectoriel des fonctions réelles définies sur A. Théorème 0.2 Toute fonction Riemnn-intégrble sur [, b] est Lebesgueintégrble sur [,b] ; de plus : b f(x)dx = [,b] f Remrque 0.3 Une fonction de L ([,b]), même bornée sur [,b], peut n être ps Riemnn-intégrble sur [, b]. Exemple : Soit l fonction χ Q crctéristique de l ensemble Q des rtionnels, et un intervlle [,b] quelconque : * Cette fonction n est continue en ucun point de [,b] et n est donc ps R-intégrble (l ensemble de ses points de discontinuité sur [, b] nétnt ps négligeble). *{ L fonction f définie pr f(x) = χq (x) si x [,b] f(x) = 0 si x / [,b] est négligeble : en effet, f = χ Q [,b] ; or Q [,b] est dénombrble donc négligeble ; f est donc L-intégrble (et d intégrle nulle) et donc χ Q est L- intégrble sur [, b]. 9

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