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1 < 20 Intégrtion: fonction réelle d une vrile réelle. Définition 2.5. (Intégrilité u sens de Riemnn) Une fonction réelle f: [, ] R est dite intégrle sur [,], si ǫ > 0, f 1, f 2 : [, ] R fonctions en escliers telles que: 1. f 1 f f 2 (i.e. x [,], f 1 (x) f(x) f 2 (x)) 2. f 2 (x)dx f 1 (x)dx < ǫ Théorème 2.6. (Intégrle définie) On suppose que l fonction réelle f: [, ] R est intégrle sur [, ]. Considérons lors une sudivision régulière = x 0 < x 1 < x n 1 < x n = (n 2) de ps h = n 1 n = x i x i 1 ( 1 i n) et posons I n = f(x i )(x i+1 x i ). i=0 Alors l suite réelle de terme générle I n converge dns R et s limite, notée f(x)dx est ppelée intégrle définie de f sur [, ]. Dns ce cours nous nous intéresserons essentiellement ux fonctions continues et ux fonctions continues pr morceux, définies sur un intervlle fermé orné [,] de R. Définition 2.7. On dit que l fonction de l vrile réelle f: [, ] R est continue pr morceux si f est ornée et l ensemle des points de discontinuité de f est de crdinl fini. Nous dmettrons et utiliserons souvent le théorème suivnt: Théorème 2.8. Soit [, ] un intervlle fermé orné de R. Alors toute fonction continue f:[,] R est intégrle sur [,]. Note 2.9. Dns l expression f(x)dx, et sont les ornes d intégrtion, x est l vrile d intégrtion; c est une vrile muette. Elle peut donc être remplcée pr toute utre vrile, à l exception de celles des ornes d intégrtion et ien sûr de l vrile utilisée pour nommée l fonction. Ainsi, si f: [, ] R est intégrle sur [, ], on les églités suivntes: f(x)dx = f(t)dt = f(u)du = f(v)dv = f(y)dy.

2 2.3 Les propriétés des intégrles définies Les propriétés des intégrles définies On suppose dns l liste des propriétés ci-dessous que [, ] est un intervlle fermé orné de R, f et g sont des fonctions intégrles sur [,]. 1. Qund les ornes d intégrtion sont confondues: f(x)dx = 0 2. L reltion de Chsles: c c [, ], f(x)dx+ c f(x)dx= 3. Qund on permute les ornes d intégrtion: f(x)dx = f(x)dx f(x)dx 4. L linérité: i. (f + g)(x)dx= f(x)dx+ g(x)dx (l intégrle de l somme est égle à l somme des intégrles) ii. λ R, (λf)(x)dx=λ f(x)dx 5. Qund le grphe d une des fonctions est toujours u dessus de l utre: Si f g sur [, ], lors f(x)dx g(x)dx 6. Comprison de l vleur solue de l intégrle et de l intégrle de l vleur solue: f(x)dx f(x) dx

3 22 Intégrtion: fonction réelle d une vrile réelle. 2.4 Primitives: clcul d intégrles définies Souvent, dns l prtique, clculer une intégrle définie se rmèner pour nous, à chercher une primitive pour l fonction à intégrer. Définition Soit f: [, ] R une fonction réelle d une vrile réelle. On ppelle primitive de f, toute fonction dérivle F définie sur [, ] et vérifint F = f. Exemple Sur l intervlle [ 1, 2], l fonction F définie pr F(x) = cos(x) est une primitive de l fonction f définie sur [ 1, 2] pr f(x)=sin(x). Sur un intervlle quelconque [, ], l fonction x f: x x. 1 2 x2 est une primitive de De même, l fonction x 1 2 x2 +1 est une primitive de f:x x. Théorème Si l fonction f: [, ] R dmet une primitive F, lors les primitives de f sont toutes les fonctions G de l forme G =F +λ pour λ prcournt R. Démonstrtion. L dérivée d une fonction constnte étnt nulle, on vérifie fcilement que si f dmet F pour primitive, lors toute fonction G de l forme G = F + λ est une primitive de f. Réciproquement, si H est une primitive de f, considérons l fonction (H F) qui est définie et dérivle sur [,]. Dérivnt (H F), on otient (H F) = H F, et comme pr hypothèse H = f et F = f, on (H F) =0. Conclusion: (H F) est une constnte réelle. Corollire Soient f: [, ] R une fonction réelle supposée dmettre une primitive F, x 0 [, ] et y 0 R. Alors il existe une et une seule primitive de f prennt l vleur y 0 en x 0. Exemple Soit f: [ 2, 2] R définie pr f(x) = x. f dmet une unique primitive F, prennt l vleur 3 en 1. Pour déterminer F, on écrit que toute primitive de f est de l forme F(x)= 1 2 x2 + λ où λ est une constnte réelle. L condition F(1) = 3 fixe l vleur de l constnte λ. F(1) = 3 si et seulement si λ = 7 2. Conclusion: F(x)= 1 2 ( x2 + 7). D une mnière générle, si on connît une primitive quelconque G de l fonction f: [, ] R, l primitive F de f prennt l vleur y 0 en x 0 est définie pr F(x)=G(x) G(x 0 )+ y 0. Note Une primitive (quelle qu elle soit) de f: [, ] R est ussi ppelée intégrle indéfinie de f et est notée f(x)dx (noter l sence de ornes).

4 2.4 Primitives: clcul d intégrles définies 23 Remrque (conséquence de l linérité de l dérivtion) 1. Pour deux fonctions f, g: [, ] R, si F et G sont des primitives respectives de f et g, lors l somme (F +G) est une primitive de (f + g). 2. Si f est une primitive de f, lors pour tout réel λ, (λf) est une primitive de (λf). Théorème (théorème de l moyenne) Soit f: [, ] R une fonction réelle continue sur [, ]. Il existe un point c [,] tel que f(c)= 1 f(x)dx. 1 (Le nomre réel f(x)dx est l moyenne de l fonction f sur l intervlle [, ]). En utilisnt le théorème de l moyenne on peut prouver le théorème fondmentl suivnt: Théorème Soit f: [, ] R une fonction réelle continue sur [, ]. Etnt donné un point x 0 [, ], l ppliction F:[,] R définie pr x F(x)= f(t)dt est une primitive de f. Cette primitive s nnule en x 0. x 0 Dns l prtique, c est le corollire suivnt que l on pplique pour clculer l intégrle définie d une fonction dont on connît une primitive. Théorème Soit f: [, ] R une fonction réelle continue sur [, ]. Si F est une primitive de f, lors on f(x)dx = F() F().

5 24 Intégrtion: fonction réelle d une vrile réelle. 2.5 Techniques d intégrtion Dns ce prgrphe, on décrit les techniques de se à mîtriser pour mener à ien le clcul d une intégrle définie Primitives de fonctions usuelles L liste de primitives de fonctions usuelles à connître: Primitives de quelques fonctions usuelles (λ est une constnte réelle) 1) pour α R, α 1, on x α dx= xα+1 α λ 1 2) x dx=ln x +λ 3) pour α R,α 0, on e αx dx= 1 α eαx + λ 4) pour un réel strictement positif et différent de 1, 5) sin(x)dx= cos(x)+λ 6) cos(x)dx=sin(x) + λ x dx= x ln() + λ Technique d intégrtion pr prties L technique d intégrtion pr prties est fondée sur l formule de dérivtion d un produit de fonctions dérivles: (u v) = u v + u v. Théorème Soient u et v deux fonctions réelles continûment dérivles (i.e. des fonctions dérivles et dont les dérivées sont continues) sur un intervlle I. Alors l fonction réelle produit u v dmet une primitive sur I et on : 1. (u v)(x)dx=(u v)(x) (u v )(x)dx 2. si et sont deux points de I, (u v)(x)dx=[(u v)(x)] (u v )(x)dx (dns cette formule, [(u v)(x)] désigne (u() v() u() v()) Exemple Clculer une primitive de l fonction f: R R définie pr f(x) = xe x. Solution: ) On pose u (x)=e x et v(x) =x, ce qui donne pr exemple u(x)= e x en utilisnt les formules des primitives des fonctions usuelles (ici, c est l formule ssociée à x e αx que l on pplique vec α = 1). On v (x)=1.

6 2.5 Techniques d intégrtion 25 ) En utilisnt le ) et l technique d intégrtion pr prties, on otient: xe x dx= xe x 1 ( e x )dx. On en déduit xe x dx= xe x e x +λ, où λ est une constnte réelle quelconque. Note: nous urions pu poser u (x)=x et v(x)=e x, ce qui urit donné: u(x)= 1 2 x2 pr exemple, et v (x)= e x. En ppliqunt l formule d intégrtion pr prties cel urit donné: xe x dx = x2 e + x 2 x2 e x dx. Ce qui nous mène à clculer x 2 e x dx. On voit que cette dernière primitive à clculer n est ps forcément plus simple que xe x dx. Conclusion: dns l formule d intégrtion pr prties ci-dessus, un choix judicieux de u et v s impose. 2. Clculer une primitive de l fonction f:]0,+ [ R, f(x)=ln(x). Solution: on pose u (x)=1, v(x)=ln(x), d où u(x)=x, v (x)= 1 et lors x ln(x)dx = x ln(x) x 1 x dx=xln(x) dx, ce qui donne ln(x)dx = x ln(x) x+λ où λ est une constnte réelle quelconque.

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