MATHEMATIQUES CARNET DE VACANCES POUR LES ELEVES RENTRANT EN SECONDE

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1 MATHEMATIQUES CARNET DE VACANCES POUR LES ELEVES RENTRANT EN SECONDE Rélisé pr les professeurs de mthémtiques du lycée de L Pline de Neuphle 1/20

2 L'objectif de ce chier est d'ider l'élève qui v rentrer en clsse de seconde en lui fisnt revoir et retrviller les notions de bse indispensbles pour bien démrrer l clsse de seconde en mthémtiques. Ce chier devr être remis u professeur de mthémtiques de seconde à l rentrée de septembre. Une évlution écrite sur ces révisions de troisième ser donnée ux élèves en début d'nnée. Il est fortement conseillé pour une plus grnde efficcité dns l préprtion de l'entrée en seconde de ne ps fire le trvil de ce chier en une seule fois, mis d'étler le trvil demndé. BON COURAGE!! SOMMAIRE Clcul numérique, priorités, nom d'une expression 3 Nombres en écriture frctionnire 5 Puissnces 7 Arrondis 9 Développement et fctoristion 11 Résolution d'équtions 15 Résolution d'inéqutions 17 Fonctions 19 2/20

3 CALCUL NUMERIQUE, PRIORITÉS, NOM D'UNE EXPRESSION 1/ PRIORITÉS OPÉRATOIRES Dns un enchînement d'opértions et en l'bsence de prenthèses, les priorités sont les suivntes : - puissnces - multiplictions et divisions - dditions et soustrctions Les clculs entre prenthèses sont à effectuer en premier dns le même ordre que précédemment. Exemple : Clculer A = ² et B= A = ² = = = - 3 B= = 8 4 = 2 2/ NOM D'UNE EXPRESSION Toute expression numérique possède le nom de l dernière opértion effectuée. Exemple : Dns l'expression A = ², l dernière opértion à effectuer est l soustrction. Le résultt d'une ddition est une somme. Le résultt d'une soustrction est une différence. Le résultt d'une multipliction est un produit. Le résultt d'une division est quotient. 3/ OPPOSÉS ET INVERSES Il y souvent confusion entre l'opposé d'un nombre et l'inverse d'un nombre. Un nombre et son opposé sont de signes contrires. Exemple : L'opposé de 5 est -5 et l'opposé de 2 est L'inverse d'un nombre est le nombre qui multiplié pr donne 1. Exemple : L'inverse de 5 est 1 5 et l'inverse de 2 3 est /20

4 1/ Clculer les expressions suivntes en respectnt les priorités. Détiller les étpes. / = b/ = c/ 22 - ( ) - 3 = d/ 3 (- 4) 7 3 = e/ ( 5) ( 4) 12 2 f/ (- 6) ( ²) = = 2/ Retrouver dns chque cs l'expression numérique ssociée à chque expression littérle. Expression littérle en frnçis Écriture mthémtique L somme de 2 et de x Le double de x L somme du produit de 2 pr x et de 3 L somme de 2 et de l moitié de x L moitié de l somme de 2 et de x L somme de x et du produit de 3 pr 2 Le produit de 2 pr l somme de x et de 3 Le quotient de l différence de 2 et x pr 3 Le produit du crré de x et de l'inverse de 3 4/20

5 NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 1/ SOMME ET DIFFERENCE Propriété : Pour tous nombres, b et d tels que d soit non nul, on : d + b d = +b d et d b d = b d -> Il fut réduire les frctions u même dénominteur ( ppelé dénominteur commun ) et effectuer l'opértion u numérteur. Exemple : Clculer A=4 3 4 et B= A=4 3 4 = = = 13 4 B= = = = / PRODUIT Propriété : Pour tous nombres, b, c et d tels que c et d soient non nuls, on : -> Il fut multiplier les numérteurs entre eux et les dénominteurs entre eux. b c d = c b d. Astuce : Simplifier utnt que possible vnt d'effectuer les multiplictions llèger les clculs! Prennez l'hbitude de toujours donner le résultt sous forme de frction irréductible. Exemple : Simplifier C= C= = =2 9 3/ QUOTIENT Propriété : Pour tous nombres, b, c et d vec b, c et d non nuls, on : b = 1 b et b = c b d c d. -> Diviser pr un nombre non nul revient à multipliser pr son inverse. Exemple : Simplifier D= D= 5 9 = = 5 ( 6) 9 10 = = /20

6 1/ Donner le résultt des clculs suivnts sous l forme d'une frction irréductible. A= B= C= D= E= F =( ) 6 2/ En slle de physique, on dispose de deux éprouvettes identiques. L première est remplie ux d eu et l deuxième est remplie ux 5 12 d eu. Peut-on verser le contenu de l première éprouvette dns l deuxième sns que l eu ne déborde? Expliquer. 3/ Pierre, Julie et Christine se prtgent l fortune de leur père. Pierre reçoit le tiers, Julie les deux cinquièmes et Christine le reste. Quelle frction de l fortune fmilile reçoit Christine? 6/20

7 PUISSANCES 1/ PUISSANCE D'UN ENTIER RELATIF Définition : Soit un nombre reltif et n un nombre entier positif. n est le produit de n fcteurs tous égux à : n =. On lit «exposnt n». L'inverse du nombre n est - n. Cs prticuliers : 0 = 1, 1 =, 1 = 1 et 0n = 0. Remrque : Ne ps confondre n et ( ) n! 3² = 3 3 = 9 mis ( 3)² = ( 3) ( 3) = 9. 2/ OPÉRATIONS Propriété : Quels que soient les nombres et b non nuls, et m, n deux entiers : m m n = m+n n =m n ( m ) n = m n ( b) n = n b n ( n b ) = n b n 3/ PUISSANCES DE 10 Les mêmes règles s'ppliquent. Puissnce positive : 10 6 = ( 6 zéros près le 1) Puissnce négtive : 10-8 = 0, ( 8 zéros vnt le 1) Somme : = =1100 Produit : =10 3+( 7) =10 4 Quotient : =102 ( 8) = =10 10 Puissnce de puissnce : (10 5 ) 6 =10 5 ( 6) = / MULTIPLICATION PAR UNE PUISSANCE DE 10 Il suffit de déplcer l virgule vers l droite si l puissnce de 10 est positive et vers l guche si l puissnce de 10 est négtive. Exemple : 1, =123,5 40, = , =0, / ÉCRITURE SCIENTIFIQUE L'écriture scientifique d'un nombre est l'unique écriture de l forme 10 n pour lquelle est écrit vec un seul chiffre non nul vnt l virgule et n est un nombre entier reltif. Exemple : 0, =1, et =4, /20

8 1/ Dns chque cs, entourer l bonne réponse : Le nombre 2 3 est égl à Le nombre (-3) 4 est pir impir on ne sit ps Le nombre est égl à Le nombre est égl à Le nombre (6 3 ) 3 est égl à Le nombre 7² est égl à Le nombre ² est égl à Le nombre 3² 7² est égl à 21² 10² 21 4 Le nombre 10 5 est égl à Le nombre 0,00001 est égl à / Écrire les nombres suivnts sous l forme d'une seule puissnce : A=(5 3 ) 2... B= C= D= E= F = G= H = / Donner l'écriture scientifique des nombre suivnts : A = B = - 123, 8 Distnce Terre-Lune : C = km Dimètre d'un grin de sble : D = 0,063 mm Distnce Terre-Soleil : E = km 4/ Donner l'écriture décimle des nombre suivnts : A=8, B=726, C=32, D=0, E=473, /20

9 ARRONDIS On décide de trouver des vleurs pprochées du nombre π 3, Le nombre de chiffres exigé près l virgule peut être nnoncé de plusieurs fçons différentes : Un seul chiffre Deux chiffres Trois chiffres Qutre chiffres Dixième Centième Millième Dix-millième 0,1 0,01 0, 001 0, Un encdrement de π u centième près est lors : 3,14 < π < 3,15 3,14 est une vleur pprochée pr défut ( ussi ppelée troncture ) u centième près de π, c'està-dire qu'elle est strictement inférieure à π. 3,15 est une vleur pprochée pr excès u centième près de π, c'est-à-dire qu'elle est strictement supérieure à π. Un rrondi à 10 - n près est une vleur pprochée pr défut si l n+1 e décimle est comprise entre 0 et 4, et une vleur pprochée pr excès si elle est comprise entre 5 et 9. Il fut donc toujours penser à regrder le chiffre près le dernier demndé pour svoir s'il fut rrondir à l décimle supérieure ou non. Exemple : Arrondi de π u millième près : il nous fut 3 chiffres près l virgule. π = 3,142 cr l 4 e décimle est un 6, donc l'rrondi est une vleur pprochée pr excès. Arrondi de π à 0,0001 près : il nous fut 4 chiffres près l virgule. π = 3,1416 cr l 5 e décimle est un 9, donc l'rrondi est une vleur pprochée pr excès. Arrondi de π à 10-5 près : il nous fut 5 chiffres près l virgule. π = 3,14159 cr l 6 e décimle est un 2, donc l'rrondi est une vleur pprochée pr défut. 9/20

10 1/ L clcultrice ffiche le nombre suivnt : A = 3, Précision Encdrement Vleur pprochée pr défut Vleur pprochée pr excès Arrondi A l unité près Au dixième près Au centième près Au millième près 2/ Compléter le même tbleu pour le nombre B = 125, Précision Encdrement Vleur pprochée pr défut Vleur pprochée pr excès Arrondi A l unité près Au dixième près Au centième près Au millième près 3/ / Arrondir 6,5478 u dixième près : b/ Arrondir 35,6179 à 0,01 près : c/ Arrondir 72,489 mètres u centimètre près : d/ Arrondir 13,25976 kilomètres u mètre près : e/ Arrondir 42,36 u degré près : f/ Arrondir 130,56 u dixième de degré près : 10/20

11 DEVELOPPEMENT ET FACTORISATION Rppel : Développer une expression, c'est trnsformer un produit de plusieurs fcteurs en une somme ou une différence de plusieurs termes. Fctoriser une expression, c'est trnsformer une somme ou une différence de plusieurs termes en un produit de plusieurs fcteurs. Les identités remrqubles sont des expressions développées à l'ide de l double distributivité : ce sont des formules-rccourci à retenir pr coeur pendnt toute votre scolrité! Exemple : Développer les expressions suivntes. / 5(x + 2) = 5 x = 5x + 10 b/ ( 2x 3 )( 5x 4 ) = 2x 5x + 2x (- 4) 3 5x 3 (- 4 ) = 10x² 8x 15x + 12 = 10x² 23x + 12 c/ ( 4x 1 )² = (4x)² 2 4x 1 + 1² = 16x² 8x + 1 Pour fctoriser une expression, toujours effectuer les deux étpes ci-dessous : 1/ Vérifier si l'expression est l forme développée d'une identité remrquble. 2/ Rechercher un fcteur commun dns les termes de l'expression qui peut être un nombre ou une expression. Il est possible que les deux étpes n'boutissent ps cr il n'est ps toujours possible de fctoriser une expression! Exemple : Fctoriser les expressions suivntes. / - 6x + 22 = 2 (-3x ) = 2 ( -3x + 11 ) Fcteur commun : 2 b/ 4x² + 10x = 2x 2x + 2x 5 = 2x ( 2x + 5 ) Fcteur commun : 2x c/ 36 4x² = 6² (2x)² = ( 6 2x ) ( 6 + 2x ) Forme développée de l 3 e identité remrquble 11/20

12 1/ Donner le crré de chque expression :. (3x)² = 9x² b. (7x)² = c. (- 4 x)² = d. (4)² = e. (x²)² = 2/ Réduire chque produit :. 2 3x 4 = 24x b. 2 6x 2x = c.7 8x 5 = 3/ Développer en utilisnt l identité remrquble : ( + b)² = ² + 2b + b². Z = (x + 3)² Z = x² + 2 x 3 + 3² Z = x² + 6x + 9 A = (4 + x)² B = (2x + 1)² 4/ Développer en utilisnt l identité remrquble : ( b)² = ² 2b + b². Z = (5 x)² Z = 5² 2 5 x + x² Z = 25 10x + x² A = (x 3)² B = (3x 4)² 5/ Développer en utilisnt l identité remrquble : ( + b)( b) = ² b². Z =(2x +5)(2x 5) Z = (2x)² 5² Z = 4x² 25 A = (x +4)(x 4) B = (7x 2)(7x + 2) 6/ Développer en utilisnt l identité remrquble qui convient : A = (3x + 2)² B = (2x + 6)(2x 6) C = (3 4x)² 12/20

13 7/ Développer puis réduire : Z = (x + 2)² + (3 2x)(3 + 2x) A = (x + 1)(x 1) + (x + 3)² Z = x² + 4x x² Z = -3x² + 4x + 13 B = (x 6)² + (3x + 5)(4x 1) C = (3x + 1)² (x + 2)² 8/ Fctoriser les expressions suivntes en identifint et soulignnt à chque fois le fcteur commun. A = x² + 2x =... B = x + 100x² =... C = 7x ( x 4 ) + ( x 4 )² =... D = (x + 1)(2x + 5) - (x + 1)(3x + 4) = E = 9y² + 3y =... F = ( 2 y )( 3y + 1 ) + ( 3y + 1 ) =... 9/ Fctoriser les expressions suivntes en identifint l forme développée d'une identité remrquble. A = 25 - x² =... B = 1-2x + x² =... C = x + 4x² =... D = ( x - 1 )² - 16 =... 13/20

14 10/ Dns chcun des cs, indiquer, en les entournt, les ctions possibles et compléter les colonnes comme sur l exemple. Plusieurs réponses sont prfois possibles. Expressions 5x(3x + 2) Actions possibles développer fctoriser Résultt de chque ction L forme développée est 15x x. Il n'est ps possible de fctoriser dvntge cette expression. (2x - 1 )² - 16 développer fctoriser (6x + 2) 2 développer fctoriser ² développer fctoriser x² - 4x développer fctoriser ( 3 4x )( x 4) - ( 2x+1 )( 3-4x ) On note A cette expression. développer fctoriser ( x 3 )² - x +3 développer fctoriser ( x 4 )² développer fctoriser 14/20

15 RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS 1/ ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ Résoudre une éqution d'inconnue x, c'est trouver toutes les vleurs possibles de x pour que l'églité soit vérifiée. Une églité reste vrie : lorsqu'on joute/soustrit le même nombre ux deux membres de l'églité. lorsqu'on multiplie/divise pr le même nombre les deux membres de l'églité. Exemple : Soit et b deux nombres tels que soit non nul. On veut résoudre x + b = 0. Alors x + b = 0 x = b L solution de l éqution est b x = b. Soustrire b ux deux membres de l'églité. Diviser pr les deux membres de l'églité. Exemple : 6x 5 = 2 6x = x = 7 6 x 6 = 7 6 x= 7 6 L'éqution une solution : 7 6, donc S = { 7 6 }. Exemple : - 5x + 2 = 3x 4-5x + 2 3x = 3x 4 3x - 8x + 2 = 4-8x = 4 2-8x = 6 8 x 8 = 6 8 x= 3 4 L'éqution une solution : 3 4, donc S = { 3 4 }. 2/ ÉQUATIONS PRODUIT NUL Soient, b, c et d des nombres reltifs. Une éqution de l forme ( x + b )( cx + d ) = 0 est une éqution produit nul. Propriété : Un produit de fcteur est nul si et seulement si l'un u moins des fcteurs est nul. Exemple : ( 3x 2 ) ( - x + 7 ) = 0 Il s'git d'un produit de deux fcteurs étnt égl à 0. Cette éqution est ppelée éqution produit nul. On lors : Comme ( 3x 2 ) ( - x + 7 ) = 0 : soit 3x 2 = 0, soit - x + 7 = 0, 3x = 2 ou - x = - 7 x= 2 3 ou x = 7 L'éqution deux solutions : 2 3 et 7, donc S = { 2 3, 7 }. Remrque : Il ser prfois nécessire de fctoriser une expression pour se rmener à un produit nul. 15/20

16 1/ Résoudre les équtions du premier degré suivntes : / 3x 1= - 13 b/ - 2x + 5 = 8 c/ 5x = 0 d/ 4 x = 7 e/ 11x 3 = 2x + 9 f/ x 7 = 7 4 2/ Résoudre les équtions suivntes : / ( x + 4 )( 2x - 1 )= 0 b/ ( -2x 5 )( 3x + 2 )= 0 c/ ( 3x 2 )( 4x 2 ) ( 4x 2 )( x 6 ) = 0 16/20

17 RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS Une inéglité reste vrie : lorsqu'on joute/soustrit le même nombre ux deux membres de l'inéglité. lorsqu'on multiplie/divise pr le même nombre les deux membres de l'églité et en distingunt deux cs : si ce nombre est positif, on grde le sens de l'inéglité et si ce nombre est négtif, on en chnge le sens Exemple : Soit et b deux nombres tels que soit non nul. On veut résoudre x + b > 0. Alors x + b > 0 x > b Soustrire b ux deux membres de l'églité. Il fut diviser pr les deux membres de l'églité et considérer les deux cs possibles : Si est positif x > b Si est négtif x < b Les solutions sont les nombres tels que x > b. Les solutions sont les nombres tels que x < b. Exemple : 6x 5 2 6x x 7 6 x x 7 6 Donc les solutions sont tous les nombres tels que x 7 6. Exemple : - 5x + 2 < 3x 4-5x + 2 3x < 3x 4 3x - 8x + 2 < 4-8x < 4 2-8x < 6 8 x 8 > 6 8 x> 3 4 Donc les solutions sont tous les nombres tels que x> /20

18 Résoudre les inéqutions suivntes : / - 2x < 0 b/ 4x 3 c/ 2 > 3-2x d/ 3 + 4x 2 e/ 5 < - 3x - 4 f/ 2 x > 1 e/ 3( 2x 1 ) < 5 ( 2 3x ) - 1 f/ 2 x 3 +1 x 5 4 g/ 5 x x 3 18/20

19 FONCTIONS NUMÉRIQUES 1/ ASPECT NUMÉRIQUE Une fonction f est un procédé qui ssocie à un nombre x un utre nombre noté f(x) et ppelé «imge de x pr f». On dit que x est un ntécédent de f(x). Exemple : On considère l fonction g : x 4x + 2. Alors pour clculer l'imge d'un nombre pr g, on remplce x pr ce nombre : g( 1)=4 ( 1)+2= 4+2= 2-2 est l'imge de -1 et donc -1 est un ntécédent de -2. g(1)=4 (1)+2=4+2=6 6 est l'imge de 1 et donc 1 est un ntécédent de 6. 2/ ASPECT GRAPHIQUE Sur l représenttion grphique d'une fonction f, on considère un point d'bscisse x. Son ordonnée est lors f(x). Exemple : On considère l représenttion grphique ci-contre de l fonction f. Pour lire l'imge de 3 pr l fonction f, on lit sur l représenttion grphique de f l'ordonnée du point d'bscisse 3 : 4. Donc l'imge de 3 pr f est 4. Pour déterminer un ou plusieurs ntécédent(s) de 2 pr l fonction f, on lit sur l représenttion grphique de f les bscisses des points d'ordonnée 2 : il y ici 4 points d'ordonnée 2, d'bscisses respectives -4, -2, 2 et 6. 2 donc 4 ntécédents pr l fonction f : -4, -2, 2 et 6. 3/ FONCTIONS AFFINES Une fonction ffine ssocie à x le nombre mx + p. Elle est représentée grphiquement pr une droite. Exemple : Les fonctions ffines f et g sont représentées grphiquement ci-contre. p se lit à l'intersection entre l droite et l'xe des ordonnées. m se trouve à prtir de deux points sur l droite : près voir trcé un tringle rectngle suivnt le qudrillge en prtnt du point à l'bscisse minimle, m se trouve pr le quotient du déplcement verticl pr le déplcement horizontl. Fonction f : p = 4 et m= 1, donc f(x) = -x + 4. Fonction g : p = 3 et m= 2 1 3, donc g(x)= 2 3 x+3 19/20

20 1/ On considère l fonction h : x x² - 5. Compléter le tbleu de vleurs de h : x h(x) 2/ Soit k une fonction. On considère le tbleu de vleurs suivnt : Quelle est l'imge de 4 pr l fonction k? Quelle est l'imge de 2 pr l fonction k? Donner un ntécédent de 0 pr l fonction k : Donner un ntécédent de -2 pr l fonction k : x k(x) / On représenté ci-contre une fonction f. Lire grphiquement les imges respectives de - 4 et 1. Lire grphiquement les ntécédents éventuels de 5, 1 et 0. 4/ On représenté ci-contre une fonction g. Lire grphiquement les imges respectives de -0.5, 2 et 3. Lire grphiquement les ntécédents éventuels de 2 et 0. 5/ On représenté ci-contre trois fonctions ffines f, g et h. A l'ide d'une lecture grphique, déterminer les fonctions f, g et h ( c'est-à-dire exprimer f(x), g(x) et h(x) en fonction de x ). Soit l l fonction ffine définie pr l(x) = 6 2x. L représenter sur le grphique. 20/20