Analyse Asymptotique 1 : - Les Relations de comparaison

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1 Anlyse Asymptotique : - Les Reltions de comprison MPSI Prytnée Ntionl Militire Pscl Delhye 0 mi 07 Jmes Stirling (69-770), Ecossis à l origine de l formule : n! ( n) n πn e Reltions de comprison : cs des fonctions Soient fonctions f, g : I R et un point I. Nous supposerons ici que f et g sont deux fonctions qui ne s nnulent ps sur un voisinge de privé de. Il s git ici de comprer les fonctions u voisinge de. Pour cel, formons leur rpport f(x) g(x) 3 cs intéressnts se présentent lors : et regrdons ce qui se psse lorsque x. Cs : f(x)/g(x) est borné u voisinge de On dir que f est dominé pr g : f = O(g) Cs : f(x)/g(x) tend vers 0 lorsque x tend vers On dir que f est négligeble devnt g : f = o(g) Cs 3 : f(x)/g(x) tend vers lorsque x tend vers On dir que f et g sont équivlentes : f g

2 . L reltion : Est un grnd O de... Soit I et f et g deux fonctions définies sur l intervlle I R ne s nnulnt ps sur un voisinge de privé de. Définition : Est un grnd O de... On dir que l fonction f est un grnd O de l fonction g u voisinge du point ssi f(x) g(x) est borné u voisinge de privé de Nottion : f = O(g) Pr busde lngge, on noter O(g) toute fonction étnt un grnd O de g u voisinge de. Remrque.. Lorsque f = O(g), on dit ussi que f est dominée pr g. Mis cette terminologie prête à confusion.... L nottion f = O(g) ne veut rien dire si l on ne précise ps u voisinge de quel point on se trouve. 3. Ecrire f = O() u voisinge de signifie que f est bornée u voisinge de. Exemple. Si f(x) = 3x 5 x 4 +x lors : { f = O(x) u voisinge de 0 f = O(x 5 ) u voisinge de +.. Est négligeble devnt... Soit I et f et g deux fonctions définies sur l intervlle I R ne s nnulnt ps sur un voisinge de privé de. Définition : L reltion : Est négligeble devnt... On dir que l fonction f est négligeble devnt l fonction g u voisinge du point ssi f(x) g(x) x 0 Nottion : f = o(g) ou prfois f << g Pr bus de lngge, on noter o(g) toute fonction négligeble devnt g u voisinge de. Remrque.. L nottion f = o(g) ne veut rien dire si l on ne précise ps u voisinge de quel point on se trouve.. f = o(g) signifie en gros que f(x) est beucoup plus petit en vleur bsolue que g(x) u voisinge de. 3. Ecrire f = o() u voisinge de signifie que f(x) x 0 Exemple. Soit (p, q) N. On : x p = o(x q ) u voisinge de 0 p > q Exemple 3. Si f(x) = 3x 5 x 4 +x lors : { f = o(x) u voisinge de 0 f = o(x 6 ) u voisinge de + Proposition : Lien entre les reltions de comprison Si u voisinge d un point on f(x) = o(g(x)) lors f(x) = O(g(x)). Preuve : Ps de difficulté. Théorème : Comprison des fonctions usuelles Soient α, β, γ > 0 trois réels.. Comprison ln et puissnce : en + : (lnx) γ = o(x α ) en 0 + : lnx γ = o( x α). Comprison puissnce et exponentielle : en + : x α = o(e βx ) en + : x α = o( x ), lorsque > en : e βx = o( xα), lorsque α N Pr trnsitivité, on en déduit que : en + : ln β x = o(e αx ) Preuve : Voir le cours sur les fonctions usuelles.

3 Exemple 4. Déterminer l limite en + de f(x) = x3.ln x e 5x. Le théorème précédent dit en gros l chose suivnte : Aux bornes de leur intervlle de définition, les exponentielles l emportent sur les fonctions puissnce et les fonctions puissnce l emporte sur le logrithme. Proposition 3 : Opértions sur les reltions de comprisons ) f = o(g), g = o(h) f = o(h) cd (trnsitivité) idem vec O ) f = o(g), f = o(g) f +f = o(g) cd o(g)+o(g) = o(g) idem vec O 3) f = o(g ), f = o(g ) f f = o(g g ) cd o(g )o(g ) = o(g g ) idem vec O 4) f = o(g) hf = o(hg) cd ho(g) = o(hg) idem vec O 5) f = o(λg) (λ R ) f = o(g) cd o(λg) = o(g) idem vec O Preuve 3 : Ces démonstrtions ne posent ucune difficulté. Exemple 5.. En 0, on suppose que : f(x) = x+o(x) et que g(x) = x +o(x ). Que dire que f + g?. Déterminer une fonction f telle que xlnx = o(f(x)) u voisinge de Déterminer une fonction f telle que lnx = o(f(x)) u voisinge de 0. x Exercice : Ordonner les fonctions suivntes selon l reltion est négligeble devnt u voisinge de +. x e x, x+x x, lnx, e x x3 lnx, xlnx, x+ln x x, x+lnx, x ln x.3 L reltion : Est équivlent à Définition et premières propriétés Soit I et f et g deux fonctions définies sur l intervlle I R ne s nnulnt ps sur un voisinge de privé de. Définition 3 : Est équivlent à... On dir que f et g sont équivlentes u voisinge du point ssi : f(x) g(x) x Nottion : f(x) g(x) ou f(x) x g(x) ou encore f(x) g(x) s il n y ps d mbiguïté. Proposition 4 : Crctéristion de l équivlence de deux fonctions On u voisinge d un point : Preuve 4 : Qusi-immédit! f(x) g(x) f(x) = g(x)+o(g(x)) Remrque 3. L nottion f(x) g(x) ne veut rien dire si l on ne précise ps u voisinge de quel point on se trouve. Remrque 4.. Contrirement à l intuition, il n y ucune impliction entre f(x) g(x) et f(x) g(x) x 0. Ces deux propriétés définissent des notions de proximité différentes.. Ne JAMAIS écrireque f(x) 0 puisque l fonction nulle ne vérifie ps les conditions d ppliction de l définition. 3

4 Proposition 5 : L reltion est une reltion d équivlence sur F(I, R). Elle est en prticulier symétrique, c est à dire : si f est équivlente à g, g est lors équivlente à f. On dir donc que f et g sont équivlentes. Preuve 5 : On démontre fcilement que est réflexive, symétrique et trnsitive. Exemple 6.. Si P est une fonction polynomile non nulle : P est équivlente à son monôme de plus hut degré u voisinge de + P est équivlente à son monôme de plus bs degré u voisinge de 0. Au voisinge de + : chx ex et shx ex Remrque 5. En fit, une fonction donnée dmet une infinité d équivlents u voisinge d un point. Seulement l intérêt d un équivlent est de remplcer une fonction pr une utre fonction plus simple. On choisir donc toujours l équivlent le plus simple. Pr exemple, u voisinge de + on : x +x x x +x x +x+ x +x x x 3. Seul le premier équivlent un intérêt!! On retiendr de cet exemple qu il ne fut jmis donner un équivlent sous l forme d une somme!!! Exercice : Prouver que si x R, on P(x)e x +Q(x)e x = 0 vec P et Q des fonctions polynômiles, lors P = Q = 0.. Ne ps confondre l nottion vec l nottion utilisée prfois en physique.. cosx u voisinge de 0 est un équivlent. cosx x u voisinge de 0 est un développement limité cché (Nottion jmis utilisée en Mth!!) Proposition 6 : Lien entre les reltions de comprison On se plce u voisinge d un point.. Si f(x) g(x) lors f(x) = O(g(x)) et g(x) = O(f(x)). { f(x) g(x). Si lors g(x) = o(α(x)). f(x) = o(α(x)) { f(x) g(x) 3. Si lors α(x) = o(g(x)). α(x) = o(f(x)) Preuve 6 : Ps de difficulté..3. Comment obtenir des équivlents? Théorème 7 : Les équivlents de références Les limites usuelles en 0, nous donnent les équivlents suivnts u voisinge de 0 : sinx x rcsinx x shx x tnx x rctnx x thx x cosx x chx x ln(+x) x [e x ] x (+x) α αx Exemple 7. ( ) Déterminer à l ide d un chngement de vribles, un équivlent de rccosx u voisinge de. 4

5 Théorème 8 : Les équivlents de références - Générlistion Plus générlement, u voisinge de lorsque f(x) x 0, on : sinf(x) f(x) rcsinf(x) f(x) shf(x) f(x) tnf(x) f(x) rctnf(x) f(x) thf(x) f(x) cosf(x) f(x) chf(x) f(x) ln(+f(x)) f(x) [ e f(x) ] f(x) [(+f(x)) α ] αf(x) Preuve 8 : Ces résultts proviennent directement des limites vues dns le cours sur les fonctions usuelles. Proposition 9 : Clculs vec des équivlents. Si f(x) x l et l 0 lors f l. Si f g et f g lors { f f g g f /f g /g 3. Soit α R. Si f g et f et g sont positives lors f α g α (α est ici indépendnt de x!). Preuve 9 : Ps de difficultés! Exercice : 3 Déterminer un équivlent simple des fonctions suivntes u voisinge de 0.. f(x) = xex x + ln(+x). g(x) = +x rcsin(cosx ). On ne peut ps tout fire vec des équivlents :. Soient les fonctions : f(x) = x +x g(x) = x h(x) = x + x. f(x) x f(x)+g(x) x Au voisinge de + on g(x) x, et pourtnt h(x)+g(x) h(x) x x. Soit { f(x) = (+x) x g(x) = ( x) x. Montrer qu u voisinge de 0 :. e f(x) e x lors que e h(x) e x { f(x) x. g(x) x. Conséquences!!. Le symbole ne se mnipule ps comme le signe = notmment lorsqu on une somme.. On peut prendre sns réfléchir des produits, quotients, puissnces d équivlents, mis il fut prendre certines précutions (voir ci-dessous!) dns l recherche d un équivlent d une somme, d une exponentielle ou d un logrithme. 3. Dns le cs où α est une fonction de x, il fudr écrire : f α = e αlnf. 4. L forme est une forme indéterminée! Théorème 0 : Cs du logrithme et de l exponentielle. Si { f g g(x) x l R+ \{} Alors lnf lng Si f(x) x Alors lnf(x) = ln(+(f(x) )) f(x). Si { f g f(x) g(x) x 0 Alors e f e g (Rrement utilisé en prtique) 5

6 Preuve 0 : Ps de difficulté. Exemple 8. Déterminer un équivlent des fonctions suivntes u voisinge de + et de 0 :. f(x) = ln(x +cosx). f(x) = ln((x+sinx) +) Remrque 6. A l exception des fonctions puissnces (sns précution) et logrithmes (vec précutions), on veiller à : Ne JAMAIS écrire u(x) α(x) donc f(u(x)) f(α(x)) Méthode : Recherche d un équivlent d une somme : f = g +h. On commencer pr vérifier si l somme est fctorisble. { g. Si ce n est ps le cs, on rechercher un équivlent simple des fonctions g et h : h b. On remplcer écrir lors f = +o()+b+o(b) et on comprer les ordres de grndeur de et b. 3. Lorsque +b = 0, l méthode précédente ne mrche ps. On pourr lors : soit tenter de trnsformer l fonction (fctoristion, quntité conjuguée...). soit recourir ux développements limités (voir un cours ultérieur). Exemple 9.. f(x) = x +x.ln/x u V(+ ).. f(x) = x+ln(+x) u V(0). 3. f(x) = sinx cos x + π 4 4. f(x) = sinx x u V(0). u V(0). Exemple 0.. Prouver qu u voisinge de 0 on :. (sinx) shx xlnx.. Montrer qu u voisinge de + on : sin 3 x ln(+x ) + x x. x +(x )lnx x. x x x x ln x 3. +x +x+x 4. ln 3 (x+) ln 3 x 3ln x x 5. sh x +x sh x x e x sh.3.3 Applictions des équivlents Proposition : Un équivlent donne une idée de l llure de l courbe u voisinge d un point Soient deux fonctions f, g : I R et un point I. Si u voisinge du point, f g lors, C f et C g ont l même llure. f(x) x u voisinge de + Exemple. Donner l llure de C f u voisinge de 0 et de l schnt que f(x) x u voisinge de 0 f(x) x u voisinge de. Proposition : Un équivlent donne loclement le signe de l fonction Soient deux fonctions f, g : I R et un point I. Si u voisinge du point, f g lors, il existe un voisinge V de sur lequel f et g ont même signe. Preuve : On démontre fcilement qu il existe un voisinge de sur lequel f(x) g(x). Exemple. On peut lors utiliser un équivlent de f (x) u voisinge de x 0 pour montrer que M(x 0, f(x 0 )) est un point d inflexion de l courbe C f. 6

7 Théorème Fondmentl 3 : Un équivlent donne l limite! Soient deux fonctions f, g : I R et un point I. Si { f g g(x) x l lors f(x) x l Preuve 3 : Ps de difficulté en considérnt l fonction h définie pr h(x) = f(x) g(x). Remrque 7. Pour déterminer l limite d une fonction, on pourr insi rechercher un équivlent simple de l fonction. Pour cel, nous pourrons utiliser les résultts qui suivent... Exercice : 4 Etudier les limites suivntes :. f(x) = ln ex + e x + en +. g(x) = sin(sin3 x ) sin 3 (sin x) en 0 3. h(x) = x(x lnx) x en k(x) = ( ln(+x) ) xlnx en + 5. l(x) = (+lnx) tn(π x) en 6. m(x) = ln(lnx+ ) en + lnx x Remrque 8. Lorsqu on cherche un équivlent u voisinge de R, on pourr se rmener en 0 en posnt t = x. Exercice : 5 Prouver que :. lim x 0 +xln(xsh ) = 4. lim x x + x x x ln(+ x ) = 0 7. lim (cosx) shxsinx = e x 0 log. lim x log x = x shx sh lnch 5. lim e x +x e x x cos πx = e π ( lnx ) xlnx 8. lim = e x + ln(x+) 3. lim x 0 ( e x )sinx x +x 3 = 6. lim ( x x ) tn πx = e π 9. lim x 0 + (ln(+x)) ln(+x) = 7

8 Reltions de comprison : cs des suites L objectif de cette prtie est l étude du comportement d une suite en + pr comprison à des suites plus simples.. L reltion O : est un grnd O de... Définition 4 : Soient deux suites (u n ) et (α n ) telle que α n ne s nnule ps à prtir d un certin rng. On dit que l suite (u n ) est un grnd O de l suite (α n ) et l on note u n = O(α n ) lorsque : ( u n α n ) est bornée Remrque 9. u n = O(α n ) se lit de l fçon suivnte : u n est un grnd O de α n. Pour prouver que u n = O(α n ), on pourr pr exemple, étudier l limite de u n α n. Si cette limite existe et est finie, lors on ur bien u n = O(α n ). Remrque 0. Ecrire que u n = O() est équivlent à dire que (u n ) est bornée.. O(α n ) désigne une suite qui est une grnd O de (α n ). Elle est busive dns le sens où deux suites O de (α n ) seront notées de l même fçon.. Lorsque u n = O(α n ), on dit prfois que (u n ) est dominée pr (α n ). Cette terminologie prête à confusion cr elle semblerit indiquée que u n α n à prtir d un certin rng ce qui n est ps le cs. Exemple 3. Montrer que :. n(n+) = O( n ). n = O(n) 3. n +sinn = O(n ). L reltion o : est négligeble devnt... Définition 5 : Soient deux suites (u n ) et (α n ) telle que α n ne s nnule ps à prtir d un certin rng. On dit que l suite (u n ) est négligeble devnt l suite (α n ) et l on note u n = o(α n ) lorsque : u n α n 0. u n = o(α n ) se lit de l fçon suivnte : u n est un petit o de α n.. o(α n ) désigne une suite négligeble devnt (α n ). Elle est busive dns le sens où deux suites négligebles devnt (α n ) seront notées de l même fçon. Remrque.. Ecrire que : u n = o() est équivlent à dire que (u n ) converge vers 0.. Si α n l R lors toute suite négligeble devnt (α n ) converge vers 0 : o(α n ) 0. 8

9 Proposition 4 : Clculs vec o. Dns les églités suivntes, le signe = signifie... est un... ou... peut s écrire comme un..... Une combinison linéire de deux suites négligebles devnt (α n ) est négligeble devnt (α n ) : λ.o(α n )+µ.o(α n ) = o(α n ). Une suite négligeble devnt (α n ) est dominée pr (α n ) : o(α n ) = O(α n ) mis O(α n ) o(α n ) 3. Le produit d une suite (β n ) pr une suite négligeble devnt (α n ) est négligeble devnt (β n.α n ) : β n.o(α n ) = o(β n.α n ) 4. L nottion o est trnsitive : si { n = o(b n ) b n = o(c n ) lors n = o(c n ) Preuve 4 : Ps de difficulté prticulière.... Attention!! On éviter d écrire des églités du type : u n = n + n +o( n ). En effet, dns cette expression le terme /n est un o(/n) et n pporte donc ucune informtion intéressnte. On écrir donc simplement u n = n +o( n ). Exemple 4.. Si u n = n+ n + démontrer que u n = n +o( n ).. Si u n = n +o( n ) et v n = n +o( n ), que peut-on dire de u n +v n? Exercice : 6 Soit l R. Que dire d une suite (u n ) à termes non nuls vérifint u n = l+o(u n )? Théorème 5 : Comprisons de référence. Si 0 < α < β lors n α = o(n β ) et n β = o( n α). Si 0 < α et 0 < β lors (lnn) β = o(n α ) 3. Si 0 < α et 0 < β lors n β = o(e αn ) et pr trnsitivité : (lnn) β = o(e αn ) 4. Si < et 0 < β lors n β = o( n ) 5. Si < lors n = o(n!) 6. n! = o(n n ) Preuve 5 :. Les 4 premiers résultts proviennent des comprisons entre fonctions de référence.. Pour prouver que n = o(n!), on pourr montrer que u n = n n! 0 en étudint l limite de u n+ u n 3. Pour prouver que n! = o(n n ), on pourr montrer que u n = n! n n 0 en mjornt u n pr n. Remrque. Bien retenir ces résultts cr ils sont très utilisés en prtique!! 9

10 Exemple 5. Clsser les suites, dont les termes générux sont les suivnts, pr ordre de négligebilité..() (b) n n (c) lnn (d) lnn n n.() n (b) n (c) nlnn (d) nlnn (e) (e) n.lnn n lnn.3 L reltion : est équivlent à... Définition 6 : Suites équivlentes Soient deux suites (u n ) et (α n ) telle que α n ne s nnule ps à prtir d un certin rng. On dit que deux suites (u n ) et (α n ) sont équivlentes (Nottion : u n v n ) lorsque : u n α n n + Remrque 3. Nous vons l équivlence : u n α n u n α n = o(α n ) Proposition 6 : L reltion est une reltion d équivlence sur l ensemble des suites. Preuve 6 : On démontre fcilement que l reltion est réflexive, symétrique et trnsitive.. u n α n n implique ps que : u n α n 0.. u n α n 0 n implique ps que : u n α n. Pour montrer que u n α n, on peut utiliser l une des 3 méthodes suivntes : soit on montre que : un α n, soit on montre que : u n = α n (+ε n ) vec ε n 0, soit on montre que : u n = α n +o(α n ). Ainsi, on de fçon immédite : n+lnn n et n +n+ n n Exemple 6. Trouver un équivlent de l suite (u n ) vérifint : u n +o(u n ) = n+o(n). Remrque 4. Equivlent d une suite convergente : Si u n l R lors u n l. En revnche, si u n 0 il ne fudr SURTOUT ps écrire u n 0!! Exemple 7. Si P est une fonction polynomile lors P(n) est équivlent u terme de plus hut degré Si F est une fonction rtionnelle lors F(n) est équivlent u rpport des termes de plus hut degré Proposition 7 :. Si u n α n lors u n = O(α n ) et α n = O(u n ).. Si { un v n u n = o(α n ) lors v n = o(α n ). Preuve 7 : Ps de difficulté. Théorème { Fondmentl 8 : Un équivlent permet d obtenir l limite d une suite un v Si n v n l R, lors u n l. Preuve 8 : On u n = v n (+ε n ) vec ε n 0. 0

11 Théorème 9 : Un équivlent simple permet d obtenir le signe d une suite Si deux suites sont équivlentes : u n v n lors elles sont de même signe à prtir d un certin rng. Preuve 9 : Dns le cs où v n 0, on : u n v n = +o(). Pr conséquent, u n v n 0 à prtir d un certin rng. Remrque 5. Lorsqu une suite (u n ) dmet pour limite 0 ou l, un équivlent de u n donne l vitesse à lquelle u n tend vers cette limite. Ainsi :. si u n n et v n n, comme n = o( n ), lors v n = o(u n ) et donc (v n ) tend plus rpidement vers 0 que (u n ).. si u n n et v n e n, comme n = o(e n ), lors u n = o(v n ) et donc (v n ) tend plus rpidement vers + que (u n )..4 Recherche prtique d équivlents Pour rechercher l limite d une suite (u n ), il est très utile de commencer pr en rechercher un équivlent!!.4. Les équivlents usuels Nous dmettrons pour l instnt les équivlents clssiques suivnts : Théorème 0 : Equivlents usuels Soit (u n ) une suite telle que u n 0. Alors :. sinu n u n. tnu n u n 3. shu n u n 4. thu n u n 5. rcsinu n u n 6. rctnu n u n 7. [ cosu n ] u n/ 8. [ chu n ] u n/ 9. ln(+u n ) u n 0. [e un ] u n. [(+u n ) α ] αu n lorsque α R Exemple 8. Donner des équivlents des suites suivntes :. u n = sin n. v n = e n e n + e n 3. w n = ln(cos n ) Proposition : Formule de Stirling Nous vons : n! ( n) n πn e Preuve : Admise. Exemple 9. ( ) Déterminer un équivlent de ( ) n n.4. Produit, quotient et puissnce d équivlents Théorème : Produit, quotient, puissnce d équivlents Soient qutre suites (u n ), ( n ) et (v n ), (b n ) vérifint u n n et v n b n lors :. u n v n n b n. u n v n n b n (si v n et b n ne s nnulent ps) 3. u α n α n α R (uniquement pour des suites à termes positifs lorsque α / Z). α est un réel qui ne doit ps dépendre de n. Preuve : Il suffit d utiliser l définition.

12 . On peut multiplier ou diviser des équivlents, mis nous llons voir qu on ne peut ps les dditionner ou prendre leur imge pr une fonction quelconque (exponentielle, logrithme etc...) sns prendre certines précutions. Exemple 0. { { un = n. Somme : Soit 3 +n un n v n = n 3 +n. On lors 3 v n n 3 et pourtnt (u n +v n ) 0. Exponentielle : Soit u n = n +n. On lors u n n et pourtnt e un e n 3. Logrithme : Soit u n = +/n. On lors u n et pourtnt lnu n ln..4.3 Logrithme et exponentielle d équivlents Théorème 3 : Logrithme et Exponentielle d équivlents Soient (u n ), ( n ) R N, telles que : u n n : - Si u n l R\{} lors lnu n ln n - Si u n lors lnu n = ln(+(u n )) u n - Si u n n 0 lors e un e n Preuve 3 : Ps de difficulté. Exemple. Déterminer un équivlent simple des suites de terme générl :. u n = ln(sin n ).. v n = e (sin n ). Remrque 6. Un équivlent simple d une suite est un produit-quotient de suites de références. Pr exemple : En prticulier, un équivlent simple ne ser jmis une somme de suites. πn n, n3.ln n 3 n... Exemple. Prouver que :. π(n+) πn. e n +n+ n e n.e n 3. ln(n +n+) lnn πn +3n πn n n+ 4.3 n 5. ln(n+) lnn n ln(n +) lnn n+ n e n +n! n+ (n )! 8. n+ n n 9. e n +e n +n n +n n en 0. e n +n!+ n e n +n!. ln(n +3 n ) ln(n +4 n ) nln 3 4. lnn+n! n +(n+)! n+. Contrirement ux o et ux O, on ne peut supprimer les constntes multiplictives dns les équivlents. Cs des suites de l forme u n = bn n Lorsqu une suite se présente sous l forme u n = bn n, il fut commencer pr l exprimer sous l forme u n = e bn.ln(n) On essie lors de fire pprître les équivlents connus pour le logrithme et l exponentielle.... Si { un n + v n n +, lors uvn + n ne tend ps forcément vers : c est une forme indéterminée! Exemple 3. Trouvez l limite des suites de terme générl : ( + n) n ( et n) n.

13 .4.4 Recherche d un équivlent d une somme Si u n = n +b n.. Chercher un équivlent simple des suites ( n ) et (b n ) : { n = α n +o(α n ) b n = β n +o(β n ).() Si les deux équivlents ne sont ps du même ordre de grndeur : Si pr exemple β n = o(α n ), lors u n = α n +o(α n ) et donc u n α n. (b) Si α n +β n 0 : Alors β n = λα n vec λ et on u n = (λ+)α n +o(α n ) et donc u n (λ+)α n (c) Si β n +α n = 0 : Alors on re-trnsforme u n en essynt de fire pprître les équivlents usuels ou en utilisnt les développements Limités. Remrque 7. Les résultts précédents doivent être systémtiquement rédémontrés à chque fois qu ils sont utilisés. Exemple 4. Montrer que :.. n+ n n. ln(+/n )+sin(/n) n 3. ln(+/n)+sin(/n) 3 n 4. cos(/n) e sin(/n) 5 4n 5. ln(n +3) ln(n +/n) 3 n ( 6. cos ln ( +sin(/n) )) e sin(/n) n 7. e sin n +e n n 8. ln(n + n ) nln ( en + ) 9. ln n cos(/n) +n n Exemple 5. Cs d une suite où l recherche d un équivlent psse pr les Développements Limités : (u n ) / u n = ln(nsin n ).4.5 Appliction à l étude de l convergence des suites fonctionnelles Lorsqu une suite fonctionnelle fit pprître une forme indéterminée, on pourr l lever en utilisnt les équivlents plutôt que les limites usuelles. Exemple 6. Rechercher l limite des suites suivntes et en donner un équivlent. : cos n. u n = sin[tn(ln(n+) lnn)]. v n = 3. w n = ln( ) cos n ln(n+) lnn cose n. Inutile de s chrner à trouver un équivlent de u n lorsque l objectif est simplement de rechercher s limite! Exemple 7. Trouvez les limites des suites de terme générl : ( + ) n ( et ) n. n n Exercice : 7 Etudier l convergence de l suite de terme générl : u n = ( cos ) n 4 sin n n Remrque 8. Lorsqu une suite converge vers un réel l, on pourr étudier l vitesse de convergence vers l en recherchnt un équivlent de v n = u n l. Exemple 8. Vitesse de convergence de (u n ) définie pr : u n = ln en n+. 3

14 3 Connissez-vous votre cours? Vous devez impértivement svoir répondre ux différentes questions suivntes : Questions Réponses ttendues 3. Pouvez-vous redéfinir les nottions O, o et pour les suites? cf cours 4. Utilisez les nottions O, o et pour comprer n et n 00. { n = o(n 00 ) n = O(n 00 ) 5. Pourquoi ne fut-il jmis écrire u n 0? cf cours 6. Donner 3 utilistions possibles des équivlents. cf cours 7. Dns quels cs l impliction u n v n f(u n ) f(v n ) est fusse? cf cours 8. Comment fire pour trouver un équivlent de lnu n? De e un? De u n +v n? cf cours 7. Rppeler les définitions usuelles de f = O(g), f = o(g) et f g u V(). cf cours 8. Equivlent de f(x) = x +x+lnx u voinge de 0 et de +. Au V(0) : f(x) lnx Au V(+ ) : f(x) x 9. Pourquoi ne fut-il (presque) jmis écrire f 0 u voisinge d un point? cf cours 0. Suriez-vous prouver que { f = o(u) g = o(v) fg = o(uv) cf cours. Justifier pourquoi il n y ucune impliction entre f g et f(x) g(x) x 0. cf cours. Pourquoi l reltion est dite reltion d équivlence? En citer d utres! cf cours 3. Connissez-vous les équivlents des fonctions usuelles u voisinge de 0? cf cours 4. Pourquoi un équivlent ne doit ps être donné sous l forme d une somme? cf cours 5. A quoi peuvent servir les équivlents? 3 réponses! 6. Quels clculs peut-on fire ou ne ps fire vec les équivlents? cf cours 7. Comment déterminer l équivlent d une somme? cf cours 8. Comment fire pour obtenir un équivlent d un logrithme ou d une exponentielle? cf cours 4

15 4 Exercices ) Les suites. Pour comprer deux suites u voisinge de +, on recherche l limite de leur rpport. () Si cette limite est nulle ou égle à l lors l une est négligeble devnt l utre (b) Si cette limite vut lors ces deux suites sont équivlentes.. Pour déterminer un équivlent, on utilise générlement les opértions usuelles : multipliction, rpport, puissnce constnte 3. Attention ux 3 cs suivnts : () Pour une somme de suite, on compre les deux termes de l somme. (b) Pour un logrithme, on regrde si l limite de l rgument vut ou utre chose. (c) Pour une exponentielle, on regrde si l limite de l différence entre l rgument et son équivlent est nulle. Exercice de TD : ( ) Ordonner les suites dont les termes générux sont donnés ci-dessous de fçon à ce que toute suite soit négligeble devnt l suite qui l suit. Vous utiliserez l nottion <<.. n. lnn 3. n.lnn 4. e n 5. lnn n 6. (lnn).e n 7. n +n 3 8. n + n 3 9. n. n 0. n. n.lnn. n+ n 3. n.(lnn) 4. n.e n 5. n 4 +lnn 6. n +e n 7. lnn+(lnn) 8. n.lnn Exercice de TD : ( ) Déterminez des équivlents des suites suivntes puis en déduire leur limite.. u n = cos( π + π n ). u n = lnn3 + lnn+(lnn) 3. u n = n.ln n+ n+ 4. u n = n [ sin n +ln(+ n )] 5. u n = (n +lnn).ln(+e n ) 6. u n = n +n+3 n+lnn (sin n +e n ) 7. u n = ( + n + ) n+ n n 3 +lnn Exercice de TD : 3 n ( ) Montrer que u n = k! est équivlent à n! et déterminer un équivlent de ( n k! ) n! k= Exercice de TD : 4 ( ) Soit >.. En posnt u n = n n!, montrer l existence d un entier n 0 tel que : n n 0, 0 u n+ u n.. En déduire que n = o(n!) Exercice de TD : 5 ( ) On considère l suite (u n ) définie pr u et vérifint pour tout n : ln(n+)u n+ ln(n)u n = n. En fisnt intervenir une suite télescopique, déterminer un équivlent de u n. Exercice de TD : 6 ( ) Pour tout entier n on définit : K n = 0 e t t n dt.. Montrer que l suite (K n ) est positive et décroissnte.. A l ide d une intégrtion pr prtie, donner une reltion de récurrence entre K n et K n+ 3. Montrer que l suite (K n ) converge vers 0 et que K n e n. k= 5

16 Exercice de TD : 7 ( ) Soit n N. On dmet que l éqution x lnx = n dmet une unique solution u n dns [, + [.. Montrer que (u n ) diverge vers +. Montrer que u n n et que u n n lnn. ) Les fonctions Mêmes conseils que pour les suites. Exercice de TD : 8 ( ) Déterminer, les limites en des fonctions suivntes en recherchnt éventuellement un équivlent :. f(x) = sin x en = 0. f(x) = cosx x.exp( sinx ) +x 3. f(x) = ln (x+) ln x en = + 4. f(x) =.sin x x 5. f(x) = sinx 3cosx en = π 6. f(x) = cosx 3 7. f(x) = (sinx) x en = f(x) = ln(sin x) x π. f(x) = xe x +x en = +. f(x) = x+sinx x lnx xlnx 3. f(x) = xlnx en = + 4. f(x) = xlnx x lnx x+cosx 5. f(x) = ( x lnx xex x 7. f(x) = chx ) lnx x en = + 6. f(x) = lnx+x ln(x+x ) en = + en = 0 en = 0 x+ x+ x x en = + en = π en = 0 + en = + en = 0 + 6