A propos des «formules du chaudronnier» Christophe Fond Université de Strasbourg

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1 A popos ds «fomuls du chaudonni» Chistoph Fond Univsité d Stasboug 1. Tuyaux t ésvois sous pssion Cylind ou sphè sous pssions - Résvoi sous pssion p Cylind sous pssion Considéons un ésvoi cylindiqu ou un tub ou tuyau sous pssion. La pssion intn vaut p i, la pssion vaut p, l ayon intn st noté R i t l ayon xtn st noté R = R i +, désignant l épaissu d la paoi. Nous utilisons ds coodonnés cylindiqus (,, z) avc bin sû comm oigin l cnt du cylind. Résoud l poblèm n élasticité linéai, ptits défomations t ptits déplacmnt, i.. sous l hypothès ds ptits ptubations (h. p. p.). Considéz nsuit ds paois d ptits épaissus, i.. << R i, t poposz un solution appoximativ ainsi qu un équilib associé. Opéatus vctoils n coodonnés cylindiqus : x 1 = cos x = sin x 3 = z U U U U z U U gad U = U U z U z U z U z z div = + z z z z z z zz z + z Ls conditions d axisyméti pmttnt d considé un poblèm plan pou lqul ls containts z, z, sont nulls t donc ls défomations z, z, l sont aussi. Dans l cas ds défomations plans ( zz = 0), ls déplacmnts sont uniqumnt adiaux t n dépndnt qu d donc U = f(), U = 0 t U z = 0. Dans l cas ds containts plans ( zz = 0), ls déplacmnts sont tls qu U = f(), U = 0 t U z = C z + D puisqu zz n dépnd qu d. Ls conditions aux limits du poblèm sont donc (R i ) = p i t (R ) = p. L équilib impos qu div = 0, c qui conduit à + = 0. Ls défomations s déduisnt ds déplacmnts puisqu = ½ (gad U + gad T U) c qui conduit à = U, = U t zz = U z z. 1

2 containts (Pa) containts (Pa) La loi d compotmnt impos qu : = µ + ( + + zz ) = µ + ( + + zz ) zz = µ zz + ( + + zz ) Si l on combin ls équations pécédnts, l équilib impos qu : (µ + ) ( ²U ² + U U ² ) = 0 Ctt équation difféntill accpt un solution d la fom U = A + B. Ls conditions aux limits pmttnt d idntifi ls constants A t B. On obtint : A = Ls containts sont donc distibués slon : µ + p i R i p R µ (µ + 3 R t B = 1 p ) R i R R i µ R R i = p i R i p R R p ) R i R R i (R R i ), = p i R i p R R p ) R i R R i (R R i ), zz = 0 Dans l cas ds défomations plans ( zz = 0 = 1 + E zz 1 E ( + )), ls xpssions pécédnts dmunt inchangés sauf bin sû pou zz qui vaut : zz = 1 + ( p i R i p R + ) = 1 + R R i Ls gaphs suivants illustnt l domain d validité ds appoximations pou p i = 1 MPa, p = 0 t = vai évidmmnt d 1 MPa à 0. 1,0x10 8 8,0x10 7 1,01x10 8 6,0x10 7 4,0x10 7,0x10 7 zz - p / 1,00x10 8 9,90x10 7 0,00 zz - p / 0,0 0,300 0,301 0,30 0,303 (m) -1,00x10 6 0,300 0,301 0,30 0,303 Distibution ds containts, solution xact t solutions appochés pou paois mincis pou = 0.01 R i. vai d MPa à 99.5 MPa. (m)

3 containts (Pa) containts (Pa) 1,0x10 7 8,0x10 6 6,0x10 6 4,0x10 6 zz,0x10 6 0,0 - p / 0,300 0,305 0,310 0,315 0,30 0,35 0,330 (m) Distibution ds containts, solution xact t solutions appochés pou paois mincis pou = 0.1 R i. vai d 10.5 MPa à 9.5 MPa. x10 6 1x zz - p / -1x10 6 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 (m) Distibution ds containts, solution xact t solutions appochés pou paois mincis pou = 1 R i. vai d 1.67 MPa à 0.67 MPa. Cas où << Ri : Dans l cas d paoi d faibl épaissu, ls équations pécédnts admttnt ds appoximations tès convnabls. Posons R = R i R, il vint : R i R R R R R R R i R R R i R 4 p i p p ) R (1 R ), p i p p ) R (1 R ) 3

4 On maqu qu (1 R R ) 0, (1 ) t qu, sauf cas paticuli où p i p, p i p p ) R (1 R ) Il st donc possibl d considé un appoximation supplémntai n négligant l tm dvant puis d calcul à pati d p i, p, R i t n posant : p Dans ctt xpssion, on considè qu la containt tangnt st constant dans l'épaissu. Il convint d considé R i pou satisfai à l'équilib du schéma suivant. Schéma d'équilib founissant un xcllnt appoximation pou ls paois mincs. 1.. Sphè sous pssion Faits d mêm qu pécédmmnt pou un sphè. En utilisant ds coodonnés sphéiqus (,, ) avc bin sû comm oigin l cnt d la sphè. Opéatus vctoils n coodonnés sphéiqus : x 1 = sin cos x = sin sin x 3 = cos U U sin U U U gad U = sin U U cotg U U sin U cotg div = + sin + + sin + 3 sin 3 U U U U U cotg cotg + ( ) cotg Si l on combin ls équations pécédnts, l équilib impos qu : 4

5 (µ + ) ( ²U ² + U U ² ) = 0 Ctt équation difféntill accpt un solution d la fom U = A + B. Ls conditions aux limits pmttnt d idntifi ls constants A t B. On obtint : A = 1 p i R 3 3 i p R µ + 3 R 3 3 t B = 1 p ) R 3 3 i R R i 4µ R 3 3 R i = A B / 3, = = A B / 3 = p i R 3 3 i p R R 3 3 p ) R 3 3 i R R i (R 3 R 3 i ) 3, = = p i R 3 3 i p R R 3 3 p R i (R 3 R 3 i ) 3 Ls mêms conclusions qu pou l cylind s'appliqunt à la sphè losqu'il s'agit d paois mincs t l'on obtint : 3 R 3 = p losqu << R i 1.3. Résvoi sous pssion Calculz l état d containt dans la pati cylindiqu dans la égion cntal du ésvoi d la figu pécédnt. A.N. : E = 10 GPa, = 0.33, R i = 30 cm, p i = 1 MPa, p = 0 MPa, vmmax = 100 MPa. Calculz la valu minimal d l épaissu pou qu la containt d von Miss n dépass pas vmmax. En utilisant l appoximation ds paois mincs, on put considé qu la matiè st n bitation n supposant la taction lié à la calott sphéiqu à cll d un cylind non bloqué n z. Dans l pè cylindiqu on a donc p i R i, zz p i R i t. Ctt dniè containt vai d p i à 0 t on l a considéa négligabl n pmiè appoximation. On véifia qu R i >> 1 t donc <<, d où : vm = [( ) + ( zz ) + ( zz ) ]/ p i R i (1 + 1/4 + 1/4)/ = p i R i 3/ p i R i vm 3/ Il convinda donc d pévoi au moins.6 mm d épaissu pou spct c citè. L hypothès d paoi minc st véifié. Un attntion paticuliè sa appoté aux codons d soudu 5