Théorie des dalles : Calcul par la méthode des bandes

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE INSTITUT DE STRUCTURES LABORATOIRE DE CONSTRUCTION EN BETON Dr Olivier Buret, Aitant : S. Plumey, E. Har, D. Reaelli EXERCICES 4 ème / 6 ème SEESTRE 005 Corrigé exercice : Théorie e alle : Calcul par la méthoe e bane 1. Dimenionner l armature an la alle préentée à la figure 1 par la méthoe tatiue e Hillerborg (éthoe e bane). Le conition appui ont pécifiée à la figure /10 /10 8/10 /10 8/10 / / / / / Fig.1 : Découpage e la alle en bane La première étape conite à écompoer la alle en ifférente bane, par exemple comme ur la figure 1. Chaue bane et coniérée comme une poutre ui repren une partie e la charge appliuée. Le choix e la part e la charge upportée par une bane et repectivement par la bane perpeniculaire correponante et fait ur la bae e ifférent apect ont la proximité aux appui, la rigiité e ceux-ci et l expérience an l application e cette méthoe. On choiit ici la répartition écrite ur la figure 1. Chaue bane peut enuite être imenionnée inépenamment comme une poutre. 1 SP, EH, DR 05

2 ENAC IS - BETON Exercice Armature minimale La norme SIA 6 prévoit e ipoer une armature minimale pour aurer un comportement uctile et éviter la formation e fiure trop importante. Pour e exigence normale, l armature minimale et éfinie e la manière uivante (cf. SIA 6, 4.4.) : On étermine abor le moment e fiuration e la alle : f ct, k t f ctm 1 f t ctm N / mm bh r W fct, fct, 18.7 knm / m 6 La réuction e l épaieur t à un tier et valable elon SIA 6, Pour une hauteur utile enne environ 160 mm, l armature néceaire pour limiter la contrainte an le acier à σ 435 N mm vaut :, am f / r 18.7 a, min 99 mm / m φ mm ou φ mm 0.9 σ , am Bane 1-1 : a 8 m / Fig.. Sytème tatiue et chargement e la bane 1-1 a Le moment maximal vaut knm / m Clae expoition u béton : XC1. Enrobage minimal, elon norme SIA : 0 mm. Armature en ème 10 nappe : mm L armature néceaire vaut : 14 a mm / m φ mm (armature minimale) 0.9 f SP, EH, DR 05

3 ENAC IS - BETON Exercice Bane - et 3-3 : 8/10 7 m Fig.3. Sytème tatiue et chargement e bane - et 3-3 La olution en Fig. 3 a été éterminée par le biai un logiciel e calcul aux élément fini e barre. Elle correpon onc à la olution élatiue exacte ou charge onnée. Le moment maximal vaut 47 knm/m à.6 m e l appui imple. Le moment minimal vaut -8 knm/m en encatrement. On aurait obtenu la même olution élatiue, par exemple, par le biai e la méthoe e force ou e éplacement, ui ont relativement imple à appliuer, au moin an le ca e poutre à inertie contante et avec e itribution e charge pa trop compliuée. Armature en 1 ère 14 nappe, en travée : mm 47 L armature néceaire vaut : a 694 mm / m φ mm 0.9 f Armature à l encatrement : mm 8 L armature néceaire vaut : a 15 mm / m φ mm 0.9 f SP, EH, DR 05

4 ENAC IS - BETON Exercice ~ ~ ~ ~ Approfoniement : bane hypertatiue, imenionnement elon la théorie e la platicité On aimerait rappeler ici ue la méthoe e imenionnement e bane, éveloppée par Hillerborg, e bae ur le principe u calcul platiue et, en particulier, ur le théorème tatiue. Cela ignifie ue pour imenionner une bane à la ruine, on et libre e choiir n importe uel iagramme effort «tatiuement amiible» (éuilibre et conition e bor tatiue repecté) et ui ne épae pa la réitance. En imenionnant le armature elon le iagramme effort choii, l ingénieur éfinit lui-même le moe e rupture e la tructure. Selon le théorème tatiue e la théorie e platicité, la olution et u côté e la écurité. Il faut encore vérifier ue la uctilité e ection à l état limite ultime et uffiante (rupture par écoulement e l armature), pour aurer ue la reitribution platiue puie avoir lieu. La olution élatiue (moment e réitance atteint en travée et ur appui imultanément) et une olution parmi autre. Elle à l avantage e conuire à un imenionnement ui onne généralement un bon comportement à l état limite e ervice (attention : la fiuration provoue aui une reitribution!), mai elle n et pa forcément la «meilleure olution», ni toujour la plu imple à obtenir. Dan le ca traité par exemple, on aurait également pu imenionner le armature en choiiant arbitrairement la valeur u moment hypertatiue à l encatrement. (voir TCG ). Pour opérer un choix «raionnable» u moment encatrement, on peut, par exemple : a) coniérer le iagramme e moment e la même poutre hypertatiue (avec un encatrement et un appui imple), chargée uniformément par une charge enne éuivalente (voir Fig. app1). Le valeur e moment à l encatrement et en travée ont: l in 8 9 l ax 18, avec : l 0 ( ) x x l On peut onc choiir un moment encatrement ui conuit a peu prè au même rapport entre le moment encatrement et le moment à mi-travée. b) éterminer tout abor le iagramme u moment une poutre iotatiue (appuyée aux eux extrémité), fig. app. Choiir enuite une valeur u moment encatrement, ui prouit un iagramme linéaire e moment le long e la poutre, et uperpoer le eux 4 SP, EH, DR 05

5 ENAC IS - BETON Exercice iagramme, en changeant la valeur u moment encatrement e orte à obtenir une répartition uffiamment éuilibrée entre le moment maximaux, poitif et négatif. l in 8 9 l ax 18 l Fig. app1 : iagramme u moment an une poutre hypertatiue, charge uniforme enne Diagramme u moment iotatiue Effet u moment hypertatiue Diagramme u moment total + hyp choii à l'encatrement Fig. app : iagramme u moment iotatiue et u moment triangulier u à l encatrement ~ ~ ~ ~ 5 SP, EH, DR 05

6 ENAC IS - BETON Exercice Bane 4-4 : La bane 4-4 et appuyée ur un mur un côté mai n a pa la poibilité e appuyer irectement e l autre côté. Elle oit pren appui ur la bane 5-5 ; on parle appui inirect. On peut coniérer ue la réaction e la bane 4-4 et répartie uniformément ur la bane 5-5. La réultante e la réaction appui et onc centrée ur la bane 5-5. Cela revient à coniérer une poutre une portée égale à 4.5 m (Fig. 4). / R1 r / A R1 B R 4.5 m Fig.4. Sytème tatiue et chargement e la bane 4-4 La réaction appui R 1 peut être obtenue irectement en exprimant ue la omme e moment autour e l appui B et nulle : 4.5 R R et r R /1 m On trouve enuite le moment maximal : / 175 mm L armature néceaire vaut : 17.3 knm / m. Pour armature ipoée en 1 ère nappe : 17 a 48 mm / m φ mm (armature minimale) 0.9 f SP, EH, DR 05

7 ENAC IS - BETON Exercice Bane 5-5 : La bane 5-5 repren onc la réaction r e la bane 4-4 en plu e charge éfinie ur la figure /10 8 m Fig.5. Sytème tatiue et chargement e la bane 5-5 On calcule enuite le moment maximal itué à mi-travée : 70 knm / m Armature en ème nappe : / 157 mm L armature néceaire vaut : 70 a 1139 mm / m φ mm 0.9 f SP, EH, DR 05

8 ENAC IS - BETON Exercice. Euier an la figure 3 (a et b) le chéma armature écoulant u calcul précéent. Armature elon la méthoe e bane Nappe inférieure mm mm mm mm mm Nappe upérieure encatré par exemple an le mur mm 1 00 mm armature pour reprenre la charge u coffre fort 8 SP, EH, DR 05

9 ENAC IS - BETON Exercice Armature elon la méthoe e bane + armature minimale Nappe inférieure mm 14 x mm mm mm mm mm Nappe upérieure mm mm 1 00 mm mm mm 9 SP, EH, DR 05

10 ENAC IS - BETON Exercice 3. On écie e placer un coffre-fort carré e 1 m x 1 m un poi e calcul Q 30 kn à l enroit pécifié ur la figure. Comme chaue bane travaille e manière iociée e e bane voiine, la ipoition un coffre-fort n influence ue le bane - et 5-5. Le autre bane retent inchangée. On peut amettre e nouveau ue 80% e la charge et tranmie an la irection e la petite portée. La charge u coffre-fort correpon à une charge répartie e cf, 30 kn / m. Bane -: 8/10 ( +cf) 7 m Fig.8. Sytème tatiue et chargement e la bane - En réolvant ce ytème, on trouve le moment poitif maximal ui vaut 58 knm / m en travée à 3.0 m e l appui imple. Le moment négatif maximal, à l encatrement, vaut -113 knm/m En travée : Armature en 1 ère nappe : / 173 mm L armature néceaire vaut : 58 a 856 mm / m 0.9 f L armature éjà calculée pour reprenre le moment poitif an la bane - et φ mm onc a 770 mm / m. A mm 1 barre φ 1 oit être ajoutée an cette bane. On choiit uan même ajouter une barre φ 14 pour garer le même iamètre. L armature à l encatrement vaut : 113 a 1688 mm / m 0.9 f SP, EH, DR 05

11 ENAC IS - BETON Exercice L armature éjà calculée pour reprenre le moment négatif an la bane - et φ mm onc a 170 mm /m. A mm φ 1 00 mm oit être ajoutée (en alternance avec le φ 18) Bane 5-5: 0.9 /10 cf /10 8 m Fig.8. Sytème tatiue et chargement e la bane - En réolvant ce ytème, on trouve le moment maximal ui vaut 78.3 knm / m Armature en ème nappe : / 157 mm L armature néceaire vaut : 78 a 169 mm / m 0.9 f L armature éjà calculée pour reprenre le moment an la bane 5-5 et φ mm a 170 mm /m. oit L armature éjà imenionnée et onc uffiante en préence un coffre fort : aucune armature aitionnelle en bane 5-5 et néceaire pour reprenre le moment u au coffre fort. 11 SP, EH, DR 05