DÉRIVATION ET CONTINUITÉ
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- Jeanne Renaud
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1 CHAPITE II DÉIVATIN ET CNTINUITÉ 1 Dérivtion 1.1 Nomre dérivé, tngente à une coure 6 5 A 2 M 2 (T) 1 M Sur le grphique ci-dessus,c f est l coure d une fonctionfet psse pr le pointa(;). Le point M 1 est ussi sur C f. n dit que l droite (AM 1 ) est une sécnte à C f. Lorsque le point M 1 "se rpproche de A" en prcournt C f, on otient d utres sécntes (Pr eemple (AM 2 ) sur le dessin). Il eiste une position limite des sécntes correspondnt à l droite(t) sur le dessin. n dit que(t) est tngente àc f ena. Pr définition, le coefficient directeur de cette tngente est le nomre dérivé defen. n le notef (). Au voisinge dea(imginer un zoom utour dea),c f se comporte comme l droite(t). Une droite étnt ssociée à une fonction ffine (simple à étudier), on peut insi otenir des informtions sur l fonction f notmment sur son sens de vrition. C est l ojet de l dérivtion. Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervlle ouvert I et I un réel. n ppelle nomre dérivé de f en le coefficient directeur de l tngente à C f u point de coordonnées (;). emrque 1 n peut donc lire un nomre dérivé sur un grphique à condition que l tngente soit trcée. Propriété 1 Eqution de l tngente Si f est dérivle en, lors une éqution de l tngente ena(,) à l coure représenttive defest : = f ()( )+ 1
2 1.2 Fonction dérivée Définition 2 Si une fonction f définie sur un intervlle I est dérivle en tout point de I on dit que l fonction est dérivle sur I. Dns ce cs, on définit l fonction dérivée defnotée f f : I f () 1. Dérivées des fonctions usuelles f définie sur... f() f () f dérivle sur... + n 1 1 [0; + [ n 1. Dérivées et opértions u etvsont deu fonctions dérivles sur un intervlle I : (u+v) = (u) = (uv) = ( u 2) = Si n est un entier non nul, (u n ) = Si l fonction v ne s nnule ps sur l intervllei(si v() 0 suri) ( ) 1 ( u ) = = v v 1.5 Dérivée et sens de vrition Théorème 1 Soit f une fonction définie et dérivle sur un intervlle I et f s fonction dérivée. Alors : Si f () 0 pour tout I lorsfest croissnte sur I Si f () 0 pour tout I lorsfest décroissnte suri Si f () = 0 pour tout I lors f est constnte sur I Propriété 2 Soit f une fonction définie et dérivle sur un intervlleietf s fonction dérivée. Si f () > 0 pour tout I (respectivement f () < 0), f est strictement croissnte sur I (resp. strictement décroissnte) 2
3 2 Continuité 2.1 Approche grphique Définition Une fonction f définie sur un intervlle I est continue en I si lorsque s pproche de, les vleurs prises pr f() s pprochent de. n dit qu une fonction est continue sur un intervlleisi elle est continue en tout point dei. Intuitivement, cel signifie que l coure représenttive de f ne présente ps de «sut», ou encore qu on peut l trcer sns lever le cron. Soit f une fonction définie sur un intervlle I etun réel de I. n note C f l coure représenttive de l fonction f etale point de C f d scisse. Pour tout réelde l intervlle I, on considère le pointmde l coure C f d scisse f() M f() M A A C f C f L fonction f est continue. Pour tout réelde I, on peut rendref() ussi proche que l on veut de pourvu que soit suffismment proche de. L fonction f n est ps continue en. L courec f présente un sut u point d scisse. Le point M n est ps proche du point A qund est proche de. Eercice 1 eprésenter grphiquement l fonction prtie entière sur +. Cette fonction est-elle continue? 2.2 Propriétés Propriété : Les fonctions usuelles étudiées depuis l seconde sont continues sur leur ensemle de définition : Les fonctions polnômes (du tpef() = n n ) sont continues sur. Les fonctions rtionnelles (quotient de deu fonctions polnômes) sont continues sur leur ensemle de définition. L fonction rcine crrée est continue sur + Toute fonction construite lgériquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à prtir de fonctions de référence est continue sur tout intervlle où elle est définie.
4 Propriété Si une fonction est dérivle sur un intervlleilors elle est continue sur I. 2. Théorème des vleurs intermédiires Théorème 2 Si f est une fonction continue sur un intervlle [,] lors f prend toutes les vleurs entre et. Autrement dit, pour tout réel compris entre et, l éqution f() = dmet une solution. f est continue sur I f n est ps continue sur I 0 m m 0 Tout réelcompris entre et est l imge d u moins un élément de [;]. Il eiste des réelscompris entre et pour lesquels l éqution f() = n ps de solution. Corollire 1 Si f est continue et strictement monotone sur [; ], lors pour tout réel compris entre et, l éqution f() = dmet une solution unique c pprtennt à[;]. c f est continue et strictement croissnte sur l intervlle [; ]. L éqution f() = dmet une unique solution. c f est continue et strictement décroissnte sur l intervlle [; ]. L éqution f() = dmet une unique solution. emrque 2 : Tleu de vrition Pr convention, les flèches oliques d un tleu de vrition signifient que sur l intervlle considéré l fonction est soit continue et strictement croissnte, soit continue et strictement décroissnte. n peut donc ppliquer le théorème des vleurs intermédiires sur cet intervlle.
5 Eemple 1 : n donne le tleu de vritions suivnt pour une fonction f définie sur [ 5,7]. Eiste-t-il des réelstels que :f() = 0?, f() =,5?, f() =? 5 7 f() 2 Sur l intervlle [ 5, ], f est continue et strictement décroissnte. De plus, f( 5) = et f() = 2. r 2 < 0 < donc, d près le théorème des vleurs intermédiires, l éqution f() = 0 dmet une solution unique sur [ 5,]. Pour les mêmes risons, cette éqution dmet une solution unique sur[, 7]. Finlement, l éqution f() = 0 dmet deu solutions sur [ 5,7]. n montre de même que l éqution f() =, 5 dmet une solution unique sur [ 5, 7] (elle est dns[ 5,]). L équtionf() = n dmet qunt à elle ps de solution sur[ 5,7]. En effet, 2 f() pour tout [ 5,7]. 5
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