Le Calcul de Primitives

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1 Le Clcul de Primitives MPSI Prytnée Ntionl Militire Pscl Delhye 25 octobre 27 ϕ(x) f(u) du = f(ϕ(t) )ϕ (t) }{{}}{{} u du Résultts préliminires Définition : Primitives Soit deux fonctions f et F définies sur un intervlle I. On dit que l fonction F est une primitive de l fonction f sur l intervlle I si et seulement si : L fonction F est dérivble sur I x I, F (x) = f(x). Théorème : Existence Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I Preuve : Voir le cours sur l intégrtion... Théorème 2 : Deux primitives sur un même intervlle diffèrent d une constnte Si F est une primitive de f : I C sur un intervlle I lors l ensemble des primitives de f sur I est : Preuve 2 : {F +C C C} Première inclusion : Soient G une utre primitive de f. On considère l fonction H = F G et on l dérive... Deuxième inclusion : On vérifie fcilement que les fonctions de l forme F +C vec C C sont des primitives de f sur I. Théorème 3 : Clcul d une intégrle à l ide d une primitive Si F est une primitive d une fonction f : I C continue sur un intervlle I et, b I, lors : b f(t) = [F(t)] b = F(b) F()

2 Cours MPSI-26/27 Clcul de primitives Preuve 3 : Vu plus trd... Corollire 4 : Existence d une primitive qui s nnule en x Soit f une fonction réelle ou complexe, continue sur un intervlle I. Pour tout x I, f dmet lors une unique primitive qui s nnule en x. Cette primitive est l fonction : x x f(t) Plus générlement, l expression d une primitive quelconque de f pourr être notée : f(t) Il s git d un bus de nottion qui ser utile à condition de se rppeler qu on est à une constnte près. Preuve 4 : On prend deux primitives qui s nnulent en x. I étnt un intervlle, elle sont donc égles à une constnte près... Remrque Ainsi vec un bus de nottion, on peut écrire pour tout x I : ( f(t) ) = f(x) x f(t) ) = f(x) ou encore ( Proposition 5 : Linérité des primitives Soit f, f 2 C(I, K), λ, µ K. On x I : λ.f (t)+µf 2 (t) = λ f (t) +µ f 2 (t) Preuve 5 : Ps de difficulté... Proposition 6 : Primitive d une fonction complexe Soit f = f +if 2 une fonction complexe vec f, f 2 C(I, R). f dmet lors pour primitives sur I les fonctions F telles que : F(x) = F +if 2 +C vec { F F 2 des primitives de { f f 2 et C C Preuve 6 : Vérifiction fcile... Ce chpitre est conscré à l présenttion de certines méthodes usuelles de clcul de primitives. Nous noterons : f(t) l expression d une primitive quelconque de l fonction f de vrible x f une primitive quelconque de f sur un intervlle I qu on n oublier ps de préciser. f(t) d expression de l primitive de f qui s nnule en Les deux premières nottions sont busives (cr elles ne désignent ps un unique objet), mis elles nous seront utiles pour l mise en oeuvre des méthodes usuelles. Pour clculer une primitive d une fonction, nous vons 3 outils principux à notre disposition : Les primitives usuelles à connître pr coeur!! Le chngement de vrible. L intégrtion pr prtie. Toute l difficulté consiter lors à : Penser à utiliser u moment opportun les primitives connues Fire un choix prmi l une des deux méthodes précédentes 2

3 Cours MPSI-26/27 Clcul de primitives Trnsformer judicieusement l fonction étudiée pour fire pprître une primitive connue Choisir le bon chngement de vrible 2 Primitives usuelles à connître pr coeur Toutes les primitives suivntes sont bien entendu données à une constnte près et sont vlbles sur tout intervlle où les fonctions sont continues. Les clssiques ( R) (t+) α = (x+)α+ α R\{ } 5. α+ = ln x+ 6. t+ e t = ex ( C ) 7. lnt = xlnx x 8. sin(t) = cosx cos(t) = sinx sh(t) = chx ch(t) = shx ( ) ( ) ( ) ( ) Exemple Soit (, b) R 2 \{(, )}. Déterminer cos(bt)e t et sin(bt)e t sur R. Les 5 utres à connître bsolument Soit un réel >. 2 +t 2 = rctn x 2 t 2 = rcsin x 2 t 2 = 2 ln +x x sur R sur ], [ sur ], [ ou ], [ ou ], + [ 5. t2 + 2 = ln(x+ x ) sur R t2 2 = ln(x+ x 2 2 ) sur ], + [ A connître églement : 3

4 Cours MPSI-26/27 Clcul de primitives cos 2 t = tnx sin 2 t = tnx ch 2 t = thx sh 2 t = thx tnt = ln cosx tht = ln chx 3 Les formes à reconnître Définition 2 : Fonction de clsse C Soit f : I C où I est un intervlle de R. Nous dirons que f est de clsse C sur I lorsque : f est dérivble sur I f est continue sur I Théorème 7 : Forme à reconnître Soit une fonction f : I C continue sur l intervlle I de primitive F. Soit u : J I une fonction de clsse C sur l intervlle J Alors : f[u(t)] (t) = F u(x) Preuve 7 : En dérivnt, on remrque que Foϕ est bien une primitive de foϕ.ϕ. Corollire 8 : Quelques formes usuelles Soit u une fonction de clsse C sur un intervlle I. On lors pour α R\{} : u α = uα+ α+ u u = ln u e u = e u u 2 = rctnu cos(u) = sin(u) 2 u = u u 2 = rcsinu +u 2 = ln(u+ +u 2 ) 2 u 2 = 2 ln u+ u Exercice : Clculer les primitives suivntes sur un intervlle à déterminer. rctn 3 t +t 2 cost.e sint sint +cos 2 t e t tcos(t 2 +) e t e 2t Exercice : 2 ( ) Clculer les primitives sur ] π 2, π 2 [ des fonctions tn, tn2, tn 3 et tn 4. On pourr remrquer que tn = +tn 2. 4

5 Cours MPSI-26/27 Clcul de primitives 4 Le chngement de vribles Théorème 9 : Chngement de vribles Soit une fonction f : I R continue sur l intervlle I. Soit ϕ : [, b] I une fonction de clsse C sur le segment [, b]. Alors : b f[ϕ(t)]ϕ (t) = ϕ(b) ϕ() f(x) dx Preuve 9 : On considère F une primitive de f et on remrque lors que Foϕ est une primitive de foϕ.ϕ. On peut lors clculer les deux membres de l églité et montrer qu ils sont égux. Corollire : Cs des primitives Soit f : I R une fonction continue et ϕ : J I de clsse C de l intervlle J vers l intervlle I. ϕ(x) f(ϕ(t)) ϕ (t) = f(u) du Preuve : Il suffit de prendre b = x dns l formule précédente et de ne plus tenir compte des constntes. Soit f une fonction continue sur I. Pour déterminer une primitive de f, on pourr lors utiliser en prtique l démrche suivnte : Pour clculer g(t) sur J, on pourr poser : u = ϕ(t) vec t J On écrit lors { u = ϕ(t) du = ϕ (t) ϕ(x) et on trnsforme g(t) en f(u) du : en remplçnt t et pr leur expression en fonction de u en remplçnt l borne x pr ϕ(x) Exemple Clculer les primitives suivntes en posnt u = tn t 2, ou u = th t 2 ou u = et. sint cost sur I =],π[ sur I =] π 2, π 2 [ sht cht sur I =], + [ sur I = R Exemple Clculer à l ide d un chngement de vribles les primitives suivntes : t2 sur ],[ t 2 sur ],[ Exemple Clculer les primitives suivntes : lnt t(+ln 2 t) sur R+ sin 3 t cos 5 t) sur ] π 2, π 2 [ 5

6 Cours MPSI-26/27 Clcul de primitives 5 L intégrtion pr prtie Théorème : Clcul d un intégrle pr Intégrtion pr prties Soient u, v : I R deux fonctions de clsse C sur l intervlle I vec, b I. Alors : b (t)v(t) = [u(x)v(x)] b b u(t)v (t) Preuve : Soit f = uv. Les fonctions u et v étnt dérivbles sur I, f est dérivble sur I et (uv) = v+uv. Les fonctions u,, v et v étnt continues, v et uv dmettent des primitives et : b (uv) = b u v + b uv. Corollire 2 : Clcul d une primitive pr Intégrtion pr prties Soient u, v : I R deux fonctions de clsse C sur l intervlle I. Alors : (t)v(t) = u(x)v(x) u(t)v (t) x I Preuve 2 : Il suffit de prendre b = x dns l formule précédente et de ne plus tenir compte des constntes. Remrque L formule précédente est vrie à une constnte près. Pour clculer f(t) sur I : on introduit deux fonctions u et v de clsse C sur I telles que f = v on pplique l formule d intégrtion pr prtie Remrque On n oublier ps d indiquer que les fonctions u et v choisies sont bien de clsse C sur I!! Exemple 5. Clculer une primitive de : rctn sur R. rcsin sur [, ]. rccos sur [, ]. Exercice : 3 ( ) Clculer les primitives suivntes sur des intervlles à préciser : tln(t 2 +) ln(+t 2 ) 5. 6t2 +9 (t 2 t+3)e 2t tsin 3 t 6. shtsint Exercice : 4 ( ) Clculer les primitives suivntes sur des intervlles à préciser : sin(lnt) e t sint e rccost Exercice : 5 ( ) Clculer sur R les primitives de t 2 e t cos2t. 6

7 Cours MPSI-26/27 Clcul de primitives 6 Primitives de fonctions rtionnelles simples. On de fçon immédite, sur des intervlles I dptés : Pour, b R Pour, b R et n N \{} = ln x+b t+b (t+b) n = (n )(x+b) n Exemple 6. Déterminer une primitive des fonctions rtionnelles suivntes sur un intervlle à déterminer : f(x) = 2 3x+ g(x) = 3 (2x ) 2 Lorsque f(x) = (x )(x b) vec b, on effectue une décomposition en éléments simples. On cherche lors deux réels α et β tels que : (x )(x b) = α x + β x b Exemple 7. Déterminer une primitive des fonctions rtionnelles suivntes sur un intervlle à déterminer : f(x) = 2x 2 +x 3 g(x) = 2x+ x 2 3x h(x) = x2 3 x 2 3x+2 vec l méthode précédente on commence pr fire pprître l dérivée du dénominteur u numérteur on commence pr fire pprître le dénominteur u numérteur Remrque : lorsque le numérteur est de degré supérieur ou égl à 3, on commence pr effectuer une division euclidienne. Lorsque f(x) = x 2 +x+b vec,b R et <, on effectue une décomposition cnonique. x 2 +x+b = (x+ 2 )2 +(b 2 4 ) Puis on se rmène à l forme t 2 +c 2 pr chngement de vribles. Exemple 8. Déterminer une primitive des fonctions rtionnelles suivntes sur un intervlle à déterminer : f(x) = x 2 +x+ g(x) = x+ x 2 +x+3 h(x) = x2 + x 2 x+3 7 Entrinement u clcul de primitives Exercice de TD : ( ) Clculer les primitives suivntes sur des intervlles dptés : sin 2 tcos 3 t sin 2 tcos 4 t (pr linéristion) sin 5 tcos 2 t sin 2 tcos 4 2t (pr linéristion) 7

8 Cours MPSI-26/27 Clcul de primitives On retiendr que lorsqu une des deux puissnces p ou q est impire, lors on clcule fcilement cos p (t)sin q (t) à l ide d un chngement de vribles bien choisi. Exercice de TD : 2 ( ) Un clcul un peu long... mis complet! Trouver des réels, b et c tels que u 3 +u 3 = + +u + bu+c u 2 u+ En déduire une primitive sur R de f(x) = 3 e x On poser : u = 3 e t Exercice de TD : 3 ( ) Clculer des primitives des fonctions suivntes sur des intervlles à déterminer : f(x) = x +x. On poser u = +t. f(x) = x +x. On poser u = t. f(x) = x ( x) 3. On poser u = t t. f(x) = x +x x. On poser u = +t t. 5. f(x) = x +x. On poser u = t 6. f(x) = x+ 3 x. On poser : u = 6 t. Exercice de TD : 4 ( ) Clculer des primitives des fonctions suivntes sur des intervlles à déterminer : sinx f(x) = sin 2 x cosx. f(x) = sinx f(x) = cosx sinxcos2x. sinx cosx. f(x) = sinx cos 2 x+tn 2 x. 5. f(x) = cosx +tn x Exercice de TD : 5 ( ) Clculer A n = ch((n+)t)sh n t et B n = sh((n+)t)sh n t. On pourr s intéresser à A+B et A B Exercice de TD : 6 ( ) Trouver une CNS pour que les primitives des fonctions suivntes soient des fonctions rtionnelles. ( ) x x+b x 3 (x ) 2 ( ) x x3 + x(x 2 +) 2 Vous pourrez effectuer des DES. Exercice de TD : 7 ( ) Montrer que sin 2 rcsin x dx+ cos 2 Pour cel on introduir F d expression F() = On étudier F sur [, π/2] rccos x dx = π 4 sin 2 On montrer que F est impire et π-périodique Exercice de TD : 8 rcsin x dx+ pour tout réel. cos 2 rccos x dx et : + t ( ) Clculer 2 t 2 On poser : u = rcsinx sur un intervlle à déterminer. ( ) Clculer cos(2lnt) sur un intervlle à déterminer. On poser : u = e x 8

9 Cours MPSI-26/27 Clcul de primitives Exercice de TD : 9 ( ) Pour tout n N, on considère les expressions f n (x) = Exprimer pour n N et x R, F n (x) en fonction de F n (x). En déduire F n (x) pour tout n N. n k= x k k! et F n (x) = f n (t)e t. 9