Problème 1. Problème 2

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1 DM 7 MÉCANIQUE Polème 1 Un pendule simple, de longueu l, est écaté de sa position veticale d équilie AB 0 ; la masse oscillante B est aandonnée sans vitesse dans la position B 1 de coodonnées (O, y 0, z 0 ) pa appot au epèe teeste B 0 x y z (B 0 x tangente au paallèle de latitude λ, diigée ves l Est, B 0 y dans le plan méidien, diigé ves le Nod, et B 0 z veticale ascendante). On tienda compte de la otation unifome de la tee autou de la ligne des pôles avec une vitesse angulaie ω=7, ad.s Faie une figue en indiquant les axes et les foces qui s execent su le pendule. Ecie la eltion fondamentale de la dynamique (RFD) sous fome vectoielle dans le éféentiel teeste non-galiléen. Faut-il teni compte de l accéléation d entainement? - Pojete la RFD dans la ase liée à B 0 x y z. On intoduia T l intensité de la foce de tension du fil. 3 - Dans le cas des petites oscillations, le mouvement de B se fait patiquement dans le plan hoizontal, de sote qu on poua néglige les temes en ż et en z. Estime en ode de gandeu la valeu du poduit ωẋ et le compae à l accéléation de la pesanteu g. En déduie une expession tès simple de T. g 4 - Ecie les deux équations estantes en intoduisant a = ωsinλ et = l. Monte en utilisant des valeus numéiques plausiles que a. Polème Déviation de la lumièe pa les étoiles Ce polème étudie, dans un modèle non elativiste, la déviation d une paticule pa une étoile E, considéée comme une épatition de masse à symétie sphéique, de ayon R, de masse M et de cente O. La paticule étudiée A est ponctuelle et de masse m. On considèe le système fomé de A et E comme isolé. Le éféentiel d étude (K ) est galiléen. A. Étude du système Σ fomé de A et de E 1. Défini le éféentiel aycentique du mouvement du système Σ elativement à (K ) ; on le notea (K ). Quelle popiété impotante du éféentiel (K ) peut-on affime?. On notea O un point fixe de (K ), G le cente d inetie du système Σ ; on notea G = OG. On notea aussi = E A (voi figue). Les déivées tempoelles successives, pises dans le éféentiel (K ), de ces vecteus sont notées : v G = d G ; v = d ; γ G = dv G ; γ= dv 5 - Intoduie la gandeu Z = x+ i y avec i = 1 et utilise Z pou ésoude le système d équation difféentielle. Monte qu on otient ainsi : x=y 0 cos t sin at y = y 0 cos t cos at O (K ) A G G E 6 - Décie le mouvement du pendule. Calcule la duée d une évolution complète du plan d oscillation de ce pendule de FOUCAULT en un lieu de latitude λ=45. Expime la vitesse et l accéléation de A elativement à (K ) en fonction de v G, v, γ et des masses m et M.

2 Page DM 7 Lycée Clemenceau Nantes MPSI 3. Expime le moment cinétique σ O en O du système Σ elativement à (K ) en fonction de G, v G,, v de m T = m+ M et de la masse éduite µ définie pa 1 µ = 1 m + 1 M. Expime aussi l énegie cinétique E c du système Σ elativement à (K ) en fonction de v G, v, m T et µ. 4. Explicite l équation difféentielle du second ode qui égit l évolution de. On notea = et on supposea > R. 5. En déduie la consevation du moment cinétique aycentique σ du système. L énegie cinétique aycentique du système E c se consevet-elle? B. Tajectoies hypeoliques de la paticule A On se place dans toute la suite du polème dans le éféentiel (K ). On suppose que M m. 1. Monte dans ce cas que G A et que la vitesse de A dans le éféentiel aycentique est voisine de v. Relie de même les constantes du mouvement aycentique σ et Ec au moment cinétique et à l énegie cinétique de A dans le éféentiel (K ).. On supposea > R. Quelle est l équation du mouvement de A? Monte que le mouvement de A est plan. On appellea Gx y le plan du mouvement ; on epèe la position de A dans le plan Gx y pa ses coodonnées polaies = G A et θ = (e x ). On notea e, e θ la ase locale polaie coespondante (voi figue cidessous) y v 0 z G e θ A θ e v 1 Φ x 3. On pose σ.e z = mc. Explicite C en fonction de et θ = dθ dv, puis explicite la déivée dθ en fonction de G, M et C. En déduie que le vecteu e = αv e θ est, pou un choix que l on pécisea de la constante α, une constante du mouvement. Explique pouquoi on ne ped pas de généalité dans l étude du mouvement en posant e = ee y avec e > À pati du ésultat de la question pécédente, expime v.e θ en fonction de α, e et θ ; en déduie l équation de la tajectoie, qu on écia sous la fome p = 1+e cos θ. Explicite p en fonction de α et C, puis en fonction de C, G et M. À quelle condition, potant su e, la tajectoie de A est-elle hypeolique? C. Étude de la tajectoie On ne fait plus ici d hypothèse paticulièe quant à la diection du vecteu e dans le plan G x y du mouvement. 1. Losque la paticule A est encoe située à tès gande distance de l étoile E (x A, voi la figue ci-dessus), sa vitesse v 0 est colinéaie à Gx ; elle a pou nome v 0. L asymptote à cette tajectoie incidente passe à la distance de G. Expime C en fonction de et v 0 ; pécise en paticulie le signe de C.. Losque la paticule A s est lagement éloignée de l étoile E, sa tajectoie est à nouveau une doite pacouue à la vitesse constante v 1. Quelle est la nome de v 1? 3. Expime, pou t puis pou t +, le vecteu e pojeté su la ase e x,e y en fonction de α, v 0 et de l angle de déviation Φ ente les doites et. En déduie une expession de tan Φ en fonction de v 0, C, G et M. 4. Los de son mouvement, la paticule A passe à un cetain instant à une distance minimale d du cente de l étoile E. À pati pa exemple de deux lois de consevation, détemine une équation du second degé

3 Page 3 DM 7 Lycée Clemenceau Nantes MPSI dont 1 d est solution. En déduie que : d = C G M+ G M +C v0 5. Quel est le sens de vaiation, pou v 0 fixé, de la fonction Φ(d) eliant l angle de déviation et la distance minimale d appoche? Commente. 6. Losque cette distance minimale coespond à une tajectoie asante d = R, quelle est la valeu de la déviation Φ 0? On montea que : tan Φ 0 = G M v 0 R(R+ ρ) où l on expimea ρ en fonction de G, M, et v Détemine numéiquement ρ, appelé ayon de SCHWARZSCHILD, dans le cas du Soleil pou une paticule de vitesse v 0 = c. D. Déviation de la lumièe pa le Soleil La lumièe est ici taitée comme un faisceau de photons, paticules dont la masse m n a pas esoin d ête pécisée dans la suite (même si on sait aujoud hui qu elle est nulle), et qu on taitea dans le cade de la mécanique non elativiste (même si cette appoximation n est pas légitime). Ces photons seont considéés comme soumis, comme une paticule matéielle odinaie, à l inteaction gavitationnelle avec l étoile. On admetta que, pou les photons passant à poximité du Soleil, ρ R (voi C6). 1. Détemine, en secondes d ac, la déviation Φ 0 coespondant à un photon asant le Soleil. On penda v 0 = c.. Une expédition fut montée en mai 1919 pou oseve cette déviation à l occasion d une éclipse de Soleil. La météo ne fut pas tès onne, pas plus donc que la qualité des osevations ; toutefois, des mesues ultéieues menées los de diveses éclipses de 19 à 1999 confimèent pogessivement une valeu mesuée expéimentalement Φ e = 1,75. Pouquoi la mesue doit-elle ête menée los d une éclipse du Soleil? Commente la valeu de Φ e = 1,75. E. Effets de lentille gavitationnelle La pésence d un aste massif E su le tajet d un faisceau de lumièe paallèle povoque une déviation des ayons lumineux fomant ce faisceau. L angle de déviation Φ dépend de la distance ente le ayon étudié et l aste E, sous la fome où M est la masse de l aste E. Φ κ G M c 1. Pa analyse dimensionnelle, pécise l unité de la gandeu constante κ.. Monte que la déviation gavitationnelle de la lumièe pa l aste E se compote, pou un ayon passant à la distance de l aste E (cf. figue ci-dessous), comme une lentille convegente dont on expimea la distance focale f en fonction de, κ, c, G et M. On considèe un ayon lumineux asant la suface du Soleil ; est donc voisin du ayon R du Soleil. E 3. Détemine f dans ces conditions ; on penda κ = SI et on expimea le ésultat en années-lumièe (une année-lumièe est la distance pacouue pa la lumièe pendant une année). 4. L osevation des astes lointains et peu lumineux est pafois amélioée losque s intepose, su le tajet de la lumièe ente ces astes et la Tee, une galaxie massive. Pouvez-vous explique ce fait? Données : Céléité de la lumièe dans le vide c = 3, m.s 1 Constante de BOLTZMANN k B = 1, J.K 1 Constante de la gavitation univeselle G = 6, m 3.kg 1.s Constante de PLANCK h= 6, J.s Duée d une année 365,5 jous=3, s Masse du Soleil M = 1, kg Rayon du Soleil R = 6, m Φ

4 Page 4 DM 7 Lycée Clemenceau Nantes MPSI Commentaies et coection : Polème 1 Un cetain nome d ente vous n ont pas compis le sens physique de l axe (z z) suivant le veticale ascendante. Cet axe a la même diection que le vecteu g, dans lequel on tient compte de l attaction de la Tee et la foce d inetie d entainement. Dans ce calcul, on n a à aucun moment esoin de néglige l accéléation d entainement, même s il est vai que sa contiution est en éalité négligeale. Beaucoup se sont aête au système d équations : x = y 0 cost sin at y = y 0 cost cos at C est dommage! C est la suite qui est la patie la plus intéessante. Polème Polème du concous Centale MP 009. Il a été ien taité pa la plupat d ente vous. C est pouquoi la coection est tès apide. Ce polème pemet de faie le point su le système à deux cops et su les foces centales. La natue conique des tajectoies pou les foces centales newtoniennes est démontée gâce au vecteu excenticité. Ce même vecteu pemet de calcule la déviation dans le cas d une tajectoie hypeolique. Polème La masse B est soumise à la tension du fil T, à son poids P qui contient l attaction teeste et la foce d inetie d entainement et à la foce d inetie de Coiolis F C = mω v où v est la vitesse dans le éféentiel teeste non galiléen. La RFD s écit : ma= mg+ T + F C Ω y x λ T B P z A - La tension du fil est de la fome : T = T /lb A. En pojetant la RFD su les axes on otient : mẍ= T x l mω( cosλż sinλẏ ) mÿ = T y mωsin λẋ l m z = mg T l z l + mωcosλẋ 3 - Dans le cas des petites oscillations, on a : z = 0 ; ż = 0 ; l z l = 1 z l 1 Le teme mωcosλẋ a pou ode de gandeu (1 kg)*(10 4 ad.s 1 )*(1 m.s 1 )= 10 4 m.s ce qui est faile devant g = 10 m.s. On néglige donc ce teme et la 3 ème équation donne T mg. 4 - Les équations estantes s écivent alos : ẍ ωsinλẏ+ g x l = 0 ÿ+ ωsinλẋ+ g y l = 0 En intoduisant = g /l et a= ωsinλ, il vient : ẍ aẏ+ x = 0 (1) ÿ+ aẋ+ y = 0 () Les odes de gandeu pou a et sont : a = 10 4 s 1 et = 10/1 3 s 1. On a ien a. 5 - Avec Z = x+ i y, on otient en écivant (1)+i () : Z + ai Ż + Z = 0 L équation caactéistique a pou solution : ai± a i = ai± a + i (a± ) d où la solution : Z = A 1 e i(a+) + A e i(a ) où A 1 et A sont de la fome : A 1 = α 1 + i β 1 et A = α + i β.

5 Page 5 DM 7 Lycée Clemenceau Nantes MPSI En penant la patie éelle et la patie imaginaie de Z, on aoutit a : x =α 1 cos(a+ )t+ β 1 sin(a+ )t + α cos(a )t+ β sin(a )t y = α 1 sin(a+ )t+ β 1 cos(a+ )t α sin(a )t+ β cos(a )t Les conditions initiales (t = 0 ; x = 0 ; ẋ = 0 ; y = y 0 ; ẏ = 0) conduisent aux équations : 0=α 1 + α (3) 0=β 1 (a+ )+β (a ) (4) y 0 =β 1 + β (5) 0= α 1 (a+ ) α (a ) (6) (3) donne α 1 = α. En utilisant a (4) conduit à β 1 β, soit avec (5), β 1 = β = 1 y 0. Enfin l équation (6) conduit à 0=α soit α 1 = α = 0 On otient ainsi : d où x= 1 y 0 [sin(a+ )t+ sin(a )t] y = 1 y 0 [cos(a+ )t+ cos(a )t] x = y 0 cost sin at y = y 0 cost cos at 6 - Le mouvement de B est la composition d un mouvement ectiligne sinusoïdal et d un mouvement ciculaie. On intoduit le vecteu unitaie u dans la diection BB 0. Le vecteu position de B est u= xe x + ye y avec = x + y = y 0 cost. y Nod B 1 e y B 0 e x u B sens de otation du plan d oscillation dans l hémisphèe nod x Est On a ainsi On en déduit que = y 0 cost u (7) = y 0 cost sin at e x + y 0 cos t cos at e y u= sin at e x + cos at e y (8) La elation (7) monte que B a un mouvement elatif ectiligne sinusoïdal dans la diection de u et que, d apès (8), cette diection toune autou de Oz avec la péiode : Pou λ=45, on otient : Polème T = π a = π ωsinλ T T = 1, s=33 h 47 min Déviation de la lumièe pa les étoiles A. Étude du système Σ fomé de A et de E 1. Le éféentiel (K ) est le éféentiel en tanslation elativement à (K ) à la vitesse v G/K, où G est le aycente de Σ. Le système Σ étant isolé, l accéléation de G est nulle dans le éféentiel galiléen (K ) donc le éféentiel (K ) est galiléen.. O A= OG+ G A soit aussi O A = OG+ M E A donc pa deux déivations successives, v A = v G + M M+ m v et γ A = γ G + M M+ m γ. 3. Le théoème de König affime que σ O = m T G v G + σ où le moment cinétique aycentique est indépendant du point de calcul ; on peut donc le calcule en E sous la fome σ = m v A avec v A = v A v G donc v A = M v d apès la question pécédente; il vient σ = Mm v donc enfin σ O = m T G v G + µ v. De la même façon, E c = 1 m T v G + E c où E c = 1 (m v A + M v E ) donc en utilisant les mêmes expessions que ci-dessus, v A = M v et v E = m v et apès simplification, E c = 1 m T v G + 1 µ v.

6 Page 6 DM 7 Lycée Clemenceau Nantes MPSI 4. Dans (K ), l équation du mouvement de A s écit m d v A = G mm puisque, pou 3 > R, le champ de gavitation de l étoile est le même que celui d une masse ponctuelle M en E ; apès développement, on peut écie µ d ien d m+ M = G 3. mm = G ou 3 5. On peut écie d σ = µ d donc d σ = 0 : le moment cinétique aycentique de Σ se conseve (foce centale). Pa conte, en pésence d une foce consevative, seule l énegie mécanique totale Ec + E p se conseve ; l énegie cinétique E c ne se conseve pas. B. Tajectoies hypeoliques de la paticule A 1. G A= M E A E A si M m donc G A ; pa déivation, on a au même ode d appoximation v A v. On a aussi µ m donc σ σ A et E c 1 m v A.. L équation du mouvement de A est aussi celle de la paticule fictive de position ; avec M m on a donc d v A = G M 3 A A comme si A était soumis à la foce de gavitation execée pa l étoile E, fixe. Cette foce est centale, σ A est une constante donc A este constamment pependiculaie à la diection fixe de σ A et le mouvement est plan. 3. En coodonnées polaies, A = e et v A = ṙ e + θ e θ donc C = θ. On peut alos écie d v = G M e donc d v dθ = G M θ e qu on écit d v dθ = G M C d e θ dθ. On en déduit que d ( C dθ G M v e ) θ = 0 donc α= C. Le vecteu e est un vecteu du G M plan défini pa v et e θ, donc du plan du mouvement. Dans ce plan, le choix des axes (Ox) et (O y) étant aitaie, on peut impose e = e e y sans pete de généalité. 4. On en déduit v e θ = θ = 1 α (e cosθ+ 1) qui pend la fome demandée si on emaque que θ= C C ; il vient donc p = Cα donc p =. On econnaît l équation d une conique, qui est une hypeole si e > 1 G M. C. Étude de la tajectoie 1. σ A = m ( e y l e x ) v0 e x = mc e z donc C = v 0 < 0 ; le signe de C est aussi celui de θ, cf. figue de l énoncé.. La consevation de l énegie mécanique E m = E c G Mm puisque 0 et e 1 ; on a donc v 1 = v 0. impose E c0 = E c1 3. e(t ) = α v 0 ( e y ) donc e(t )=αv 0 e x + e y. De même pou t +, v v 0 (cosφ e x sinφ e y ) et e θ cosφ e y + sinφ e x donc e(t + )= e x [αv 0 cosφ sinφ] e y [cosφ+αv 0 sinφ]. On déduit de la consevation de e les deux elations αv 0 (1 cosφ)= sinφ et 1+cosΦ= αv 0 sinφ qui sont équivalentes à tan Φ = 1 αv 0 donc tan Φ = G M. C v 0 4. La consevation de l énegie impose 1 mv 0 = 1 mv G Mm d où v est la vitesse à l instant du passage à la distance minimale d. Comme = min, ṙ = 0 et la vitesse est alos othoadiale donc la consevation du moment cinétique impose aussi C = v 0 = d v. On élimine v pou écie 1 d G M 1 v0 d 1 = 0 ; le disciminant éduit de cette équation est = G M + 1 > 0 mais le poduit des acines étant 1, elles sont de signe contaie et on etient la seule acine positive 1 d = G M v 0 + G M v v ou, avec 4 C = v0, d = C. G M+ G M +C v0 5. La elation ci-dessus s écit aussi 1 d = G M G v0 + M 4 v ; d est une fonction coissante de 1, donc d une fonction coissante de. On peut ecopie l expession de la question pécédente sous la fome tan Φ = G M ; v0 Φ est donc une fonction décoissante de. On elie ces deux affimations pou conclue dφ dd < 0. Si la paticule A s appoche tès pès de E, d diminue donc Φ augmente : la déviation est aussi plus impotante. C G M+ G M +C v0 G M +C v 0 G M 6. Si d = R, on en déduit R = = donc (Rv v0 0 + G M) = G M + C v0 ; comme tan Φ = G M C v 0, on expime alos C v 0 = C v0 sous la fome C v 0 = (Rv0 +G M) G M qu on écit encoe C v 0 = R v0 4+ G MRv 0 soit C v 0= v0 G M R(R+ ρ) en posant ρ=. v 0

7 Page 7 DM 7 Lycée Clemenceau Nantes MPSI 7. ρ= G M c =,95km. D. Déviation de la lumièe pa le Soleil 1. Puisque R ρ, tan Φ 0 = G M v 0 R donc Φ 0= 0,88.. L éclipse de Soleil pemet de distingue la lumièe eaucoup plus faile povenant de l étoile E au moment où la déviation a lieu, donc au moment où l étoile est au od du disque solaie. La valeu de Φ e Φ 0 ésulte de phénomènes elativistes ; la mesue de 1919 constitua la pemièe confimation expéimentale de la elativité généale. E. Effets de lentille gavitationnelle 1 1. On peut écie Φ=κ G Mm, la gandeu mc ayant la dimension d une énegie (cinétique), et G Mm mc celle d une énegie (potentielle) ; κ est donc (comme Φ) sans dimension.. Dans une lentille odinaie, la déivation Φ d un faisceau paallèle véifie (cf. schéma page suivante) Φ = f, où f est la distance focale de la lentille ; la déviation gavitationnelle de la lumièe se compote donc comme une lentille convegente de focale f = c κg M. 3. f = c R G M = 0,017AL 4. Il y a focalisation du faisceau de lumièe émis pa l étoile lointaine ; si le faisceau convege en diection de l osevateu, l étoile osevée semlea plus lumineuse qu elle n est en éalité. Φ F +