Examen du cours M8a Cohérence quantique et dissipation. Éléments de correction

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1 Examn du cours M8a Cohérnc quantiqu t dissipation Élémnts d corrction Jan Har 3 novmbr 009 Documnts autorisés Duré 3h I Hamiltonin dipolair élctriqu 1 Approch élémntair 1 a En traitant classiqumnt l champ, dans l cas l plus général on a : H = p qar /m + qφr 1 1 b On a r a 0 t λ/π c/ω où ω q /aπϵ 0 / ha 0, soit λ/π a 0 /α α constant d structur fin ou plus simplmnt r 1 nm t λ 1 µm. 1 c En dévloppant l hamiltonin 1, n négligant ls trms quadratiqus, n rmplaçant r par 0 n vrtu d la qustion précédnt t n s plaçant n jaug d Coulomb, pour laqull Φ = 0 pour un ond, on obtint l résultats dmandé. 1 d On considèr la rlation d commutation général [H, r] = i hp/m, dont on prnd l élémnt d matric ntr i t j. Comm i [H, r] j = E i E j i r j, on a bin l résultat dmandé. 1 Considérant qu E = iω L A puisqu Φ st nul t qu ω R ω ij, l xprssion V d t V p coïncidnt à un factur ω L /ω ij qui vaut 1 à résonanc. Transformation d Powr-Zinau-Woolly a L opératur d A0 st hrmitiqu. L opératur T st l xponntill d un opératur antihrmitiqu, t donc st unitair. Il a à la fois la form d un opératur d translation dans l spac ds impulsions d l élctron trm n r t dans l spac du champ trm n a + a. b Ls rlations dmandés sont très analogus à ds rlations utilisés dans l cours ou ls TD. La consrvation d r st évidnt. D [p, T ] = i h T / r = qa0 T, on déduit la rlation sur p. D mêm, pour un mod χ donné, on a, n utilisant fois l idntité d Glaubr : [a, xp aµ + a µ] = µ / xp aµ [a, xp+a µ] = µ / xp aµ µ xp+a µ = µ xp aµ + a µ 3 dont on déduit ls rlations sur a t a dmandés, avc µ χ = id ϵ A χ / h. c L nouvau hamiltonin H du systèm atom+rayonnmnt s écrit : H = THT p qa0 = T + hω χ a m χa χ T = p m + χ χ hω χ a χ + µ χa χ + µ χ 4 = p m + χ hω χ a χa χ + χ hω χ µχ a + µ χ a + µ χ, 5 où l on rconnaît l hamiltonin libr, l couplag dipolair élctriqu hω χ µ χ a +µ χ a = d ie χ a χϵ χ a χ ϵ χ,t un trm purmnt atomiqu, constant dans notr modèl. 1

2 FIP Mastr prmièr anné Anné d Dans ctt approch, l cas classiqu corrspond à rmplacr ls opératurs a χ t a χ par ls variabls normals c-numbrs α χ t α χ, c qui donn bin un couplag n d E0. Si l on n vut pas considérr l hamiltonin du champ, il faut n outr supposr qu α χ st un fonction du tmps, dont l évolution libr st d la form α χ t = α χ 0 iω χt. II La méthod ds champs séparés d Ramsy 1 Spctr d Rabi 1 a D après la formul 5 d l énoncé, on a : b f = i d E 0 h t t 0 cosω R t xp v /w 0t iω f t où t 0 < 0 st très antériur au branchmnt d l intraction. dt 6 1 b La quantité γ = v/w 0 st l invrs du tmps caractéristiqu d intraction τ. Avc ds ordrs d grandurs v 100 m s 1 t w 0 1 mm, on a γ 100 s 1 qui st d nombrux ordrs d grandur infériur à ω R. Il s n suit qu ls dux contributions à l intégral provnant d la décomposition du cos sont séparés d un quantité très supériur à lur largur, t on put donc négligr lur intrférnc. D plus, l trm anti-résonnant st négligabl. 1 c Il vint alors : d E0 t P f = xpω R ω f t xp γ t /dt h 7 t 0 d E0 πτ xp ω R ω f τ 8 h où l on a supposé qu t 0 t τ, c qui prmt d sommr d à +. On rconnaît un profil d résonanc gaussin, dont la largur st limité par la duré d l intraction, t l amplitud donné par l carré du produit Ω R τ, où Ω R = d E 0 / h st la fréqunc d Rabi. 1 d La probabilité n τ n st pas borné, t put donc xcédr 1. L xprssion obtnu n st donc valabl qu lorsqu Ω R τ st ptit dvant 1. 1 Il faut avoir πde 0 w 0 / hv = 1/. On a alors un «puls π/», l état d l atom prnant la form ψ = f + iϕ /, où ϕ st un phas qui n st pas prédit par notr modèl. Frangs d Ramsy On suppos maintnant qu l amplitud du champ st : Ex = E 0 xp x /w 0 + xp x L /w 0 où L w 0, 9 qui réalis un nsmbl d dux intractions spatialmnt séparés, avc un champ d mêm intnsité t d mêm phas dans ls dux zons. On suppos toujours v/w 0 ω R. a Au prmir ordr ds prturbations, t dans la mêm limit qu précédmmnt, on a : dont on déduit : b f = i d E 0 h = i d E 0 h xpω f ω R t { xp γ t / + xp γ t T / } dt πγ xp ωf ω R / γ {1 + xpiω f ω R T } P f = P f 4 cos ω f ω R T/. 10 C résultat était évidnt a priori n faisant l analogi avc un figur d diffraction n optiqu. On obtint donc ds «frangs» avc un nvlopp donné par l résultat d la qustion 1, applé «piédstal d Rabi».

3 FIP Mastr prmièr anné Anné b On rtrouv bin ls frangs avc un nvlopp à pu près gaussinn. La périod ds frangs d Hz st consistant avc notr analys, compt tnu d T = 0.5 s donné sur la figur. La largur du piédstal d Rabi st plus difficil à contrôlr, n raison d la configuration n «fontain» utilisé dans ctt xpérinc ds atoms froids sont lancés vrticalmnt puis rtombnt, ls dux intractions ayant liu à l allr t au rtour dans la mêm cavité. Piédstal d Rabi Périod ds frangs δ=1/t= Hz Largurà mi-hautur = γ ln / π ν =ω f ω R /π Figur 1 Signal d frangs d Ramsy dans l horlog atomiqu n fontain PHARAO G. Santarlli t al., PRL 8, 4619,1999 c Ctt configuration prmt d obtnir un résolution analogu à cll qu l on aurait u avc un intraction pndant tout la duré T, sans avoir pour autant à crér t maintnir un champ d amplitud t d phas bin contrôlé sur tout la longuur L. D plus l intnsité total étant limité aux dux zons d intraction, il st plus facil d attindr un taux d transfrt important qu n répartissant la puissanc sur tout l étndu L. 3 Point d vu intrférométriqu On put intrprétr ls frangs d Ramsy comm un signal d intrférnc quantiqu. 3 a Étud d un zon d intraction On utilis ici l formalism du spin 1/, avc f t +. α. En prnant l origin ds énrgis au cntr ds dux nivaux f t, cs nivaux ont ds énrgis ±ω f / on doit donc idntifir ω 0 t ω f, t l hamiltonin atomiqu n l absnc d champ st donc l prmir trm d l xprssion proposé. L trm d couplag atom champ st ntièrmnt non-diagonal car la valur moynn d r st null pour ds raisons d parité dans un état atomiqu donné. Ainsi V d st proportionnl à un combinaison linéair d σ x t d σ y qui dépnd d l argumnt d d = d u z f. Clui-ci étant supposé rél, On put écrir d E = d Exσ x sinω R t + ϕ où ϕ st la phas arbitrair du champ. C trm st bin d la form dmandé avc Gx = dex/ h. β. En écrivant l couplag sous la form σ + + σ α α/i on fait apparaîtr ds trms résonants σ + α + σ α, t ls trms anti-résonants n σ α + σ + α sont négligés. L résultat st donc d la form indiqué, qui s écrit ncor : iω Rt+ϕ σ + +iω Rt+ϕ σ /i = sinω R t + ϕσ x + cosω R t + ϕσ y 11 qui st bin c qu l on aurait obtnu n considérant un ond polarisé circulairmnt, porté par l vctur unitair tournant ut = cosω R t + ϕ + π/ u x + sinω R t + ϕ + π/ u y. γ. La transformation d référntil st un transformation unitair dépndant du tmps, t l nouvau hamiltonin s écrit donc : H = RHR + i hṙr = hω 0 ω R σ z + h GxR σ + iωrt+ϕ + σ +iω Rt+ϕ R A l aid ds rlations vérifiés par ls matrics d Pauli, on évalu aisémnt : R σ + R = iω Rt σ + 3

4 FIP Mastr prmièr anné Anné t d mêm au sign près pour σ σ +. On n déduit : H = hω 0 ω R σ z + h Gx σ + iϕ σ iϕ, 1 i qui st bin indépndant du tmps à l xcption d la variation d Gx = Gv t. δ. Avc la modélisation proposé, n prnant ϕ = 0 t n négligant l désaccord durant l intraction, l hamiltonin s réduit à : H hgσ y 13 t l opératur d évolution dans l référntil tournant s écrit Ũ = xp ih t/ h = xp iθ/ σ y avc θ = G t = G /v. L opératur Ũ st un matric d rotation autour d l ax y qu l on évalu à l aid d la rlation 3 d l énoncé : cosθ/ sinθ/ Ũ = cosθ/11 + i sinθ/σ y =, sinθ/ cosθ/ comm dmandé. ϵ. Pour obtnir un «impulsion π/» au sns défini plus haut, il faut ici qu θ = π/, soit G /v = π/, qui mis n rlation avc la qustion 1 prmt d choisir un définition consistant d la longuur n fonction d w ζ. Comm R0 = 11, on a bin : S 1 = S = 1 1 Pour la scond zon, on a, n posant ψ = ω R T/ : S = R + T SRT = 1 iψ 0 0 +iψ iψ 0 0 iψ = 1 1 iψ +iψ 1 Cs dux matrics S 1 t S n diffèrnt qu par la phas additionnll dans l un d ntr lls. 3 b Lam séparatric On put rprésntr cs matrics par ls schémas suivants :. 14 / / -iψ / / f f/ f/ f f/ -iψ f/ { 1 { Figur Rprésntation schématiqu 1 d l action d S 1, t d l action d S 1 Par linéarité, on put bin sûr traitr aussi l cas d un combinaison linéair d f t d. D façon général si f t f + r t r f + t, on doit n tout généralité avoir t = t, r = r t tt rr = 1, c qui st clairmnt vérifié ici. 3 c Intrférnc quantiqu L évolution d l état atomiqu s décompos n trois phass : 1 impulsion π/ n 1, évolution libr d 1 à, 3 impulsion π/ n. L opératur d évolution s écrit alors : U = S xp iω 0 tσ z S 1 = 1 1 iω R T iω 0T/ iω RT. 1 0 iω. 15 0T/ 1 1 L amplitud rchrché st l cofficint 1, d ctt matric, qui vaut : b f = iω RT/ cosω R ω 0 T/ 4

5 FIP Mastr prmièr anné Anné iω 0 T/ 1 / 1 / iω R T / f 1 1 / +iω 0 T/ Figur 3 Rprésntation schématiqu ds chmins impliqués dans ls frangs d Ramsy t on rtrouv clairmnt ls frangs précédnts. On put rprésntr c résultat comm résultant d l intrférnc ntr ls dux chmins abstraits rprésntés sur la figur, analogu à un intrféromètr d Mach- Zhndr, comm indiqué sur la figur 3. Dans ctt approch, on a intrférnc ntr l chmin dans lqul l atom st xcité lors d la prmièr impulsion π/, dont l amplitud st : a 1 = 1 iω0t/ 1 t clui où l atom st xcité lors d la prmièr impulsion, dont l amplitud st : a = 1 +iω0t/ iω R T c qui conduit à un amplitud total : a = a 1 + a = 1 iω0t/ + +iω0t/ iω RT = iω RT/ iω0 ωrt/ + +iω0 ω RT/ qui st bin l résultat obtnu par l calcul d l opératur d évolution. III Msur intrférométriqu d un champ quantiqu 1 Atom habillé limit disprsiv 1 a On voit clairmnt qu l couplag V cré un quantum d xcitation dans l champ lorsqu l atom s désxcit t invrsmnt. L nombr quantiqu consrvé st donc σ z / + a a, comm on l vérifi n écrivant avc [σ z, σ ± ] = ±σ ± : [σ z / + a a, σ + a + σ a ] = σ + a σ a + σ + a + σ a = 0. Il n résult qu l état +, n n a d élémnt d matric non nul qu avc ls états contnant l mêm nombr d xcitations ; la sul possibilité st alors d basculr l spin t d ajoutr un photon, c qui corrspond bin à, n b Dans la limit ω C ω f g, ls dux nivaux ci-dssus sont non dégénérés, t l couplag un ptit prturbation. La théori ds prturbations stationnairs donn, au scond ordr l prmir st nul : E +,n = E,n+1 =, n + 1 V +, n E +,n E,n+1 = h g n + 1 ω f ω C 16 5

6 FIP Mastr prmièr anné Anné c Dans ctt limit prturbativ, ls états proprs sont toujours ls états ±, n. Si l on introduit, s 0 = hg /ω f ω C l déplacmnt d l état +, 0, ls déplacmnts ds autrs nivaux s écrivnt hn + 1s 0 pour l état +, n t hns 0 pour l état +, n. Ls trms proportionnls à n s mttnt sous la form opératorill hs 0 σ z a a, t l trm supplémntair pour l état +, n put d écrir hs Dans la msur où σ + σ = + +, on a bin établi l résultat dmandé. 6